二测量中坐标系和其坐标转换PPT课件
测量中的常用坐标系及坐标转换概述
测量中的常用坐标系及坐标转换概述在测量领域中，常用的坐标系包括直角坐标系、极坐标系和球坐标系。
不同的坐标系适用于不同的测量任务和数据处理需求，而坐标转换则是将不同坐标系下的测量数据相互转换的方法。
本文将对常用坐标系及坐标转换进行概述。
1.直角坐标系直角坐标系是最常见的坐标系之一，通常用于描述二维或三维空间中的点的位置。
在二维直角坐标系中，一个点的位置可以由两个坐标值(x,y)表示。
而在三维直角坐标系中，一个点的位置可以由三个坐标值(x,y,z)表示。
直角坐标系中的坐标轴是相互垂直的，可以方便地描述点的位置和进行测量。
2.极坐标系极坐标系是另一种常用的坐标系，通常用于描述平面上的点的位置。
极坐标系由一个极径和一个极角组成。
极径表示点到原点的距离，极角表示点与正x轴的夹角。
在极坐标系中，一个点的位置可以由(r,θ)表示。
极坐标系在一些特定情况下对测量任务更加方便，例如描述圆形或对称物体的位置。
3.球坐标系球坐标系用于描述三维空间中的点的位置。
球坐标系由一个极径、一个极角和一个方位角组成。
极径表示点到原点的距离，极角表示点与正z轴的夹角，方位角表示点在xy平面上的投影与正x轴的夹角。
在球坐标系中，一个点的位置可以由(r, θ, φ)表示。
球坐标系在描述球体或对称物体的位置时非常有用。
在测量中，常常需要在不同的坐标系之间进行转换以满足不同的需求。
以下是常见的坐标转换方法：1.直角坐标系到极坐标系的转换从直角坐标系到极坐标系的转换可以通过以下公式实现：极径 r = sqrt(x^2 + y^2)极角θ = atan2(y, x)其中，sqrt表示平方根，atan2表示求反正切值。
2.极坐标系到直角坐标系的转换从极坐标系到直角坐标系的转换可以通过以下公式实现：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)3.直角坐标系到球坐标系的转换从直角坐标系到球坐标系的转换可以通过以下公式实现：极径 r = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)极角θ = acos(z / r)方位角φ = atan2(y, x)4.球坐标系到直角坐标系的转换从球坐标系到直角坐标系的转换可以通过以下公式实现：x = r * sin(θ) * cos(φ)y = r * sin(θ) * sin(φ)z = r * cos(θ)需要注意的是，在进行坐标转换时，要确保所使用的公式和单位系统是一致的，否则会导致转换结果错误。
极坐标系和直角坐标系的转换
极坐标系和直角坐标系的转换引言坐标系是在数学和物理学中常用的一种描述空间位置的工具。
常见的坐标系包括直角坐标系和极坐标系。
在某些情况下，我们需要在不同的坐标系之间进行转换，以便更好地描述和分析问题。
本文将介绍极坐标系和直角坐标系之间的转换关系以及其应用。
直角坐标系直角坐标系也被称为笛卡尔坐标系，是最常见的坐标系之一。
直角坐标系使用两条垂直的轴，通常表示为x和y轴，以及一个原点来描述空间中的点。
每个点可以由其在x轴和y轴上的坐标表示。
直角坐标系中，任意点的坐标通常表示为(x, y)，其中x表示点在x轴上的水平距离，y表示点在y轴上的垂直距离。
通过这种方式，我们可以在平面上准确地定位任何点。
极坐标系极坐标系使用极径和极角来描述点的位置。
极径表示点到原点的距离，极角表示点与x轴之间的夹角。
在极坐标系中，点的坐标表示为(r, θ)，其中r表示极径，θ表示极角。
不同于直角坐标系中的直线表示，极坐标系用曲线表示。
极径决定了点到原点的距离，而极角决定了点相对于x轴的位置。
极坐标系和直角坐标系之间的转换极坐标系转换为直角坐标系将极坐标系转换为直角坐标系的关系可以通过简单的三角函数计算得到。
对于给定的极坐标(ρ, θ)，对应的直角坐标为：x = ρ * cos(θ)y = ρ * sin(θ)这些公式告诉我们如何根据给定的极坐标确定点在直角坐标系中的位置。
其中，cos函数表示余弦，sin函数表示正弦。
直角坐标系转换为极坐标系将直角坐标系转换为极坐标系的过程稍微复杂一些。
给定的直角坐标(x, y)可以通过以下公式计算得到对应的极坐标：ρ = sqrt(x^2 + y^2)θ = atan(y / x)这些公式中，sqrt函数表示开方操作，atan函数表示反正切。
应用案例极坐标系和直角坐标系的转换关系在很多领域都有实际应用。
以下是一些典型的应用案例：导航系统导航系统通常使用直角坐标系来存储和计算地理位置数据。
但在某些应用场景中，使用极坐标系可以更方便地计算和描述位置。
人教版高中数学课件-极坐标系
【自主預習】
1.極坐標系
(1)取極點:平面內取一個______. 定點O
(2)作極軸:自極點引一條射線Ox.
(3)定單位:選定一個長度單位,一個角度單位(通常取
弧度)及其正方向(通常取逆時針方向).
2.點的極座標
(1)定義:有序數對(ρ,θ)叫做點M的極座標,記為
2.如圖,在極坐標系中, (1)作出以下各點: A(5，0)，B(3，)，C(4，3)，D(2，－3). (2)求點E,F的6 極座標2(ρ,θ)(ρ2≥0,θ∈R).
【解析】(1)如圖,在極坐標系中,點A,B,C,D的位置是 確定的. (2)由於點E的極徑為4, 在θ∈[0,2π)內,極角 又因為點的極座標為(ρ,θ)(7ρ6≥，0,θ∈R),
【解析】因為 2 ，
3 62
故∠AOB=90°,故
AB 62 62 6 2.
【延伸探究】 1.本例已知條件不變,試求△AOB的面積.
【解析】因為 2 故 ∠，AOB=90°, 3 62
所以S△AOB=1 6 6 18. 2
2.本例已知條件不變,試求線段AB中點的極座標.
【解析】設線段AB中點M的極座標為(ρ,θ),
【變式訓練】1.在極坐標系中,極軸的反向延長線上一 點M與極點的距離為2,則點M的極座標的下列表示: ①(2,0);②(2,π);③(2,-π);④(2,2kπ)(k∈Z). 其中,正確表示的序號為____________.
【解析】由於極軸的反向延長線上一點M與極點的距離 為2,極角的始邊為Ox,終邊與平角的終邊相同,故點M的 極座標為(2,π+2kπ)(k∈Z),故②③正確. 答案:②③
兩點 A( 5, 5 )，B(7, 7 ) 間的距離是 ( )
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
极坐标点坐标计算介绍课件
sin(θ)
3 极坐标转换为直
角坐标：x = r * cos(θ)，y = r * sin(θ)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
极坐标点坐标计算示例
01
示例1：已知极点坐标 （0,0）和极径r，求点 （r,0）的极坐标
03
示例3：已知极点坐标 （0,0）和极径r，求点 （r,π）的极坐标
02
示例2：已知极点坐标 （0,0）和极径r，求点 （r,π/2）的极坐标
03
极坐标通常用 于表示平面上 的点，尤其是 在几何和物理 问题中。
04
极坐标与直角 坐标可以相互 转换，方便在 不同坐标系下 进行计算。
极坐标与直角坐标转换
STEP1
STEP2
STEP3
STEP4
极坐标：以极点为 原点，以极轴为x 轴，以极角为y轴 的坐标系
直角坐标：以原点 为原点，以x轴为x 轴，以y轴为y轴的 坐标系
03 工程：极坐标在工程领域有广泛应用，如机 械设计、建筑设计等。
04 计算机图形学：极坐标在计算机图形学领域 有广泛应用，如二维图形绘制、三维建模等。
谢谢
极坐标与直角坐标转换公式：r = √(x^2 + y^2)，θ = arctan(y/x)
2
极坐标点坐标计算
极坐标点坐标计算方法
极坐标：以极点 为原点，以极轴
为x轴，以极角为 1
y轴的坐标系
直角坐标转换为 4
极坐标：r = √(x^2 + y^2)， θ = arctan(y/x)
极坐标点坐标计 算公式：x = r *
3
转换过程：首先将极坐标转换为直 角坐标，然后将直角坐标转换为柱
极坐标系公开课精品PPT课件
（2）当M在极点时，它的极坐标为（0，θ）， 可取任意值。
题组一. 如图，写出各点的极坐标：
2
5
4
6
D• Q E•
•C
。 O
•P
B
A
•
7 x
A(4,0)
B(3, )
4
C(2,
2
)
D(5,
5 6
)
E(4.5, )
F
•R
4
G
• 5
F(6, 4) 3
G(7, 5) 3
3 在图中描出点P(3,
9
),
3 Q(5,-
办公
（1）他向东偏北60 °方向 楼E
走120m后到达什么位置？ 120m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
45°
（2）如果有人打听体育馆
和办公楼的位置，他应
50m
60°
如何描述？
A教 60m 学楼
B体 育馆
从这向北 走2000米.
请问：去屠宰场怎么走？
思考:“从这向南走2000米”这句话包含哪些要素? 它为何能使问路人明确屠宰场的位置?
7
),
R(6, 10
)
4
6
3
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
一般地，极坐标 (, ) 与
(, 2k )( k Z ) 表示同一个点。
三、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐标 M
More You Know, The More Powerful You Will Be
1.2.2极坐标和直角坐标的互化
例1.
2 将点M的极坐标 (5, ) 3
化成直角坐标.
2 5 解: x 5 cos 3 2 2 5 3 y 5 sin 3 2 5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为( , 2 2
已知下列点的极坐标，求它们的直 角坐标。
17 ) 6
D. (3,
5 － 6
)
2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称 的点是( ) B A.(ρ,θ) B.(ρ, － θ) C.(ρ,θ＋π) D.(ρ,π－θ)
3.在极坐标系中,与点(8, )关于极 6
点对称的点 的一个坐标是( A )
A.(－ 8, 6 )
5 B. (－ 8, － ) 6
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A ( 3, 3 )
B (1, 3 )
C (5,0) E ( 3,3)
D (0,2)
F (3,0)
题组三 1. 在极坐标系中，与点 (3, )重合 6 的点是( A ) 13 A.(3, 6 ) B. (3, － 6 )
C. (3,
5 C. (－8, 6 )
D.(－8, － ) 6
A ( 3, ) 6
B ( 2, ) 2
C (1, ) 2
3 3 D ( , ) E ( 2, ) 2 4 4
3 F (0, ) 4
例2. 将点M的直角坐标
( 3, 1)
化成极坐标.
（ 1 ）2 解: ( 3 )
2 2
1 3 tan 3 3 7 因为点在第三象限, 所以 6 7 因此, 点M的极坐标为( 2, ) 6
极坐标直角坐标转换
极坐标直角坐标转换极坐标和直角坐标是数学中常用的两种坐标系统，它们在不同的场景下具有不同的优势和适用性。
本文将介绍极坐标和直角坐标的概念、转换关系以及它们的应用。
一、极坐标和直角坐标的概念极坐标是一种描述平面上点位置的坐标系统，它以原点为中心，以极轴和极角来确定点的位置。
其中，极轴是通过原点的一条射线，极角是该射线与固定方向的夹角。
直角坐标是另一种常用的坐标系统，它以两条互相垂直的坐标轴来确定点的位置，其中一条轴称为x轴，另一条轴称为y轴。
二、极坐标和直角坐标的转换关系极坐标和直角坐标之间可以进行相互转换。
将一个点的极坐标(r,θ)转换为直角坐标(x,y)的公式如下：x = r * cosθy = r * sinθ其中，r是点到原点的距离，θ是该点的极角。
将一个点的直角坐标(x,y)转换为极坐标(r,θ)的公式如下：r = sqrt(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)三、极坐标和直角坐标的应用1. 极坐标在天文学中的应用天文学中常用极坐标来描述恒星和行星的位置。
由于天体运动规律的特殊性，使用极坐标可以更直观地表示天体的轨迹和运动速度。
2. 直角坐标在地图制作中的应用地图制作中通常使用直角坐标来确定地理位置。
直角坐标可以提供更精确的位置信息，方便人们准确定位和导航。
3. 极坐标在工程设计中的应用在工程设计中，极坐标常用于描述旋转物体的位置和方向。
例如，机械工程师需要使用极坐标来确定旋转轴的位置和角度，以便进行准确的设计和制造。
4. 直角坐标在建筑设计中的应用建筑设计中常使用直角坐标来确定建筑物的位置和尺寸。
直角坐标可以提供更精确的测量结果，方便建筑师进行规划和设计。
5. 极坐标在雷达系统中的应用雷达系统中常使用极坐标来描述目标的位置和距离。
由于雷达的工作原理和扫描方式，使用极坐标可以更方便地进行目标跟踪和定位。
6. 直角坐标在数据分析中的应用数据分析中常使用直角坐标来表示变量之间的关系。
1.2.2《极坐标和直角坐标的互化》 课件(人教A版选修4-4)(3)
所以线段AB中点C的极坐标为 ( 1 , 5 ).
2 12
二、填空题（每小题8分，共24分）
7.极坐标系中，点（6，7 ）的直角坐标为_______.
3
【解析】∵x=ρcosθ=6cos 7 =3,
3
y=ρsinθ=6sin 7 = 3 3 ,
∴点的极坐标（6，7 ）化为直角坐标为（3， 3）. 3
【解析】∵tanθ= - ,
5 5 4 3 ＜θ＜π, 2
∴cosθ= - 3 ，sinθ= 4 , ∴x=5cosθ=-3,y=5sinθ=4, ∴点M的直角坐标为(-3,4). 答案：(-3,4)
三、解答题（共40分）
x=2x 10.（12分）已知点P的直角坐标按伸缩变换 变换为点 y= 3y
一、选择题（每小题6分，共36分） 1.极坐标系中，点(1,-π )的直角坐标为( （A）(1，0) （B）(0,1) （C）(-1,0) ) （D）(0 ，-1)
【解析】选C.∵x=ρcosθ=cos（-π）=-1，
y=ρsinθ=sin（-π）=0.
3 3
答案：(3, 3 3)
8.将点的直角坐标 - ， ） 化为极坐标（ρ ＞0，θ ∈[0，2π )) （
为_______. 【解析】
2 2
答案： 2 , 3） （
2 4
9.已知点M的极坐标为(5,θ,则 2
点M的直角坐标为_______.
θ∈［0,2π).
4.在极坐标系中，点A(2,
(A)1 (B)2
)与B(2,- )之间的距离为( 6 6
)
(C)3
6
(D)4
)的直角坐标分别 6
【解析】选B.方法一：点A(2, )与B(2,为( 3,1)与( 3,-1), 于是|AB|= ( 3- 3)2 +(1+1)2 =2.
极坐标系概念 课件
tan = 1=-1，=- (为第四象限角)．
1
4
∴点 M 的极坐标为
2,
4
.
特别强调：由极径的意义可知，ρ≥0；当极角θ的取值范围 是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)建立一一对 应的关系．
3．负极径的规定
在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以取任意的 正角或负角．
当ρ<0时，点M(ρ，θ)位于极角终边的反向延长线上，且 OM＝|ρ|.
一般地，极坐标（ρ,θ）与（ρ,θ+2kπ）（k∈Z）表示同一 个点，和直角坐标系不同，平面内一个点的极坐标有无数种表 示.
6．已知圆C：(x＋1)2＋(y－ 3 )2＝1，则圆心C的极坐标
为__2_，__23π___(ρ＞0,0≤θ＜2π)．
7．极坐标系中，点A的极坐标是
3,
π 6
，则：
(1)点A关于极轴对称的点的极坐标是________.
(2)点A关于极点对称的点的极坐标是________. (3)点A关于直线θ＝ π 的对称点的极坐标是_____． (限
解析：A(5,0)，B
2， 6
，C
4， 2
，D
5，3 4
，E(2，)，
F
5，4 3
，G
3.5，5 3
.
将点 M 的极坐标5，23π化成直角坐标．
解析：因为 x＝5cos
23π＝－52，y＝5sin
23π＝5
2
3 .
所以，点
M
的直角坐标为－52，5
2
3.
将点 M 的直角坐标(－ 3，－1)化成极坐标． 解析：ρ＝ － 32＋－12＝ 3＋1＝2，tan θ＝－－13