2018年秋九年级数学下册 小专题(六)圆中常见的最值问题习题 (新版)沪科版
2018中考数学圆地最值问题(含问题详解)
合用标准文案数学组卷圆的最值问题一．选择题〔共7 小题〕1．〔 2021 春 ?兴化市月考〕在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为〔 3， 0〕，点 B 为 y 轴正半轴上的一点，点 C 为第一象限内一点，且AC=2 ，设 tan∠ BOC=m ，那么 m 的取值范围是〔〕A ． m≥0 B．C．D．2．〔 2021?武汉模拟〕如图∠ BAC=60 °，半径长 1 的⊙ O 与∠ BAC 的两边相切，P 为⊙ O 上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的⊙P 交射线 AB 、AC 于 D、 E 两点，连接DE，那么线段DE 长度的最大值为〔〕A．3B．6C．D．3．〔 2021?武汉模拟〕如图， P 为⊙ O 内的一个定点， A 为⊙ O 上的一个动点，射线AP 、AO 分别与⊙ O 交于 B 、C 两点．假设⊙ O 的半径长为 3， OP=，那么弦BC的最大值为〔〕A ． 2B ． 3C．D．34．〔 2021?黄陂区校级模拟〕如图，扇形AOD 中，∠ AOD=90 °，OA=6 ，点 P 为弧 AD 上任意一点〔不与点 A 和 D 重合〕， PQ⊥ OD 于 Q，点 I 为△OPQ 的内心，过 O， I 和 D 三点的圆的半径为 r．那么当点 P在弧 AD 上运动时， r 的值满足〔〕A ． 0＜r ＜3B ．r=3 C．3＜ r＜ 3 D ．r=35．〔 2021?苏州〕如图， A 、B 两点的坐标分别为〔2，0〕、〔 0，2〕，⊙ C 的圆心坐标为〔﹣ 1，0〕，半径为 1．假设 D 是⊙ C 上的一个动点，线段DA 与 y 轴交于点 E，那么△ ABE面积的最小值是〔〕A ． 2B． 1C． D ．6．〔 2021?市中区模拟〕如图， A 、B 两点的坐标分别为〔8， 0〕、〔0，﹣ 6〕，⊙ C 的圆心坐标为〔 0，7〕，半径为 5．假设 P 是⊙ C 上的一个动点，线段PB 与 x 轴交于点 D ，那么△ ABD 面积的最大值是〔〕A．63B． 31C． 32D． 307．〔 2021?枣庄〕如图，线段 OA 交⊙ O 于点 B，且 OB=AB ，点 P 是⊙ O 上的一个动点，那么∠ OAP 的最大值是〔〕A ． 90° B． 60° C． 45° D． 30°优秀文档合用标准文案二．填空题〔共12 小题〕8．〔 2021?武汉〕如图， E， F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足AE=DF ．连接 CF 交 BD 于点 G，连接BE 交 AG 于点 H ．假设正方形的边长为2，那么线段DH 长度的最小值是．9．〔 2021?黄陂区校级模拟〕如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB=90 °， AC=4 ， BC=3 ，点 D 是平面内的一个动点，且AD=2 ， M 为 BD 的中点，在 D 点运动过程中，线段 CM 长度的取值范围是．10．〔 2021?宁波〕如图，△ ABC 中，∠ BAC=60 °，∠ ABC=45 °， AB=2， D 是线段 BC 上的一个动点，以 AD 为直径画⊙ O 分别交 AB ， AC 于 E， F，连接 EF，那么线段 EF 长度的最小值为．11．〔2021?峨眉山市一模〕如图，直线l 与⊙ O 相离， OA ⊥ l 于点 A ， OA=10 ， OA 与⊙ O 订交于点 P， AB 与⊙ O 相切于点 B，BP 的延长线交直线l 于点 C．假设⊙ O 上存在点 Q，使△ QAC 是以 AC 为底边的等腰三角形，那么半径 r 的取值范围是：．12．〔 2021?长春模拟〕如图，在△ABC 中，∠ C=90 °，AC=12 ，BC=5 ，经过点 C 且与边 AB 相切的动圆与 CA 、CB 分别订交于点 P、Q，那么 PQ 长的最小值为．13．〔 2021?陕西〕如图， AB 是⊙ O 的一条弦，点 C 是⊙ O 上一动点，且∠ ACB=30 °，点 E、 F 分别是 AC 、 BC 的中点，直线 EF 与⊙ O 交于 G、 H 两点．假设⊙ O 的半径为7，那么 GE+FH 的最大值为．14．〔 2021?咸宁〕如图，在 Rt △ AOB 中， OA=OB=3，⊙ O 的半径为1，点 P 是 AB 边上的动点，过点P作⊙O 的一条切线 PQ〔点 Q 为切点〕，那么切线 PQ 的最小值为．15．〔 2021?内江〕在平面直角坐标系xOy 中，以原点 O 为圆心的圆过点A〔 13，0〕，直线 y=kx ﹣ 3k+4 与⊙ O 交于B、 C 两点，那么弦 BC 的长的最小值为．16．〔 2021?苏州校级一模〕如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心， 2 为半径画⊙ O，P 是⊙ O 是一动点且 P 在第一象限内，过P 作⊙ O 切线与 x 轴订交于点 A ，与 y 轴订交于点 B ．那么线段 AB 的最小值是．17．〔2021 秋 ?江阴市校级期中〕如图，⊙ O 与正方形 ABCD 的两边 AB 、AD 相切，且 DE与⊙ O 相切于 E 点．假设正方形 ABCD 的周长为 28，且 DE=4 ，那么 sin∠ ODE=．优秀文档合用标准文案18．〔 2021 春 ?兴化市校级月考〕以以下图， A 〔 1， y1〕，B 〔2， y2〕为反比率函数 y=图象上的两点，动点P 〔 x， 0〕在 x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段 BP 之差到达最大时，点P 的坐标是．19．〔 2021?泰兴市二模〕如图，定长弦CD 在以 AB 为直径的⊙ O 上滑动〔点C、D 与点 A 、B 不重合〕， M 是 CD 的中点，过点 C 作 CP⊥ AB 于点 P，假设 CD=3 ， AB=8 ，PM=l ，那么 l 的最大值是．三．解答题〔共 5 小题〕20．〔 2021?武汉模拟〕如图，在边长为 1 的等边△ OAB 中，以边 AB 为直径作⊙ D，以 O 为圆心 OA 长为半径作圆 O，C 为半圆 AB 上不与 A 、B 重合的一动点，射线 AC 交⊙ O 于点 E，BC=a， AC=b ．〔 1〕求证： AE=b+a；〔 2〕求 a+b 的最大值；22〔 3〕假设 m 是关于 x 的方程： x +ax=b + ab 的一个根，求m 的取值范围．21．〔 2021 春 ?泰兴市校级期中〕如图，E、 F 是正方形ABCD 的边 AD 上的两个动点，满足AE=DF ．连接 CF 交BD 于 G，连接 BE 交 AG 于 H．正方形ABCD 的边长为4cm，解决以下问题：〔 1〕求证： BE⊥ AG ；〔 2〕求线段DH 的长度的最小值．22．：如图，AB 是⊙ O 的直径，在AB 的两侧有定点 C 和动点 P，AB=5 ， AC=3 ．点 P 在上运动〔点P 不与 A ，B 重合〕， CP 交 AB 于点 D ，过点 C 作 CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q．〔 1〕求∠ P 的正切值；〔 2〕当 CP⊥ AB 时，求 CD 和 CQ 的长；〔 3〕当点 P 运动到什么地址时，CQ 取到最大值？求此时CQ 的长．23．〔 2021?日照〕问题背景：合用标准文案如图〔 a〕，点 A 、B 在直线 l 的同侧，要在直线l 上找一点C，使 AC 与 BC 的距离之和最小，我们可以作出点 B 关于 l 的对称点B′，连接 AB ′与直线 l 交于点 C，那么点 C 即为所求．〔 1〕实践运用：如图〔 b〕，，⊙ O 的直径 CD 为 4，点 A 在⊙ O 上，∠ ACD=30 °， B 为弧 AD 的中点， P 为直径 CD 上一动点，那么 BP+AP 的最小值为．〔 2〕知识拓展：如图〔 c〕，在 Rt △ ABC 中， AB=10 ，∠ BAC=45 °，∠ BAC 的均分线交 BC 于点 D ，E、 F 分别是线段 AD 和 AB 上的动点，求 BE+EF 的最小值，并写出解答过程．24．〔 2021?苏州〕如图，半径为 2 的⊙ O 与直线 l 相切于点 A ，点 P 是直径 AB 左侧半圆上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 C，PC 与⊙ O 交于点 D，连接PA、 PB，设 PC 的长为 x〔 2＜x＜ 4〕．（1〕当 x= 时，求弦 PA、 PB 的长度；（2〕当 x 为何值时， PD?CD 的值最大？最大值是多少？25、如图，在等腰Rt△ ABC中，∠ C=90°， AC=BC=4， D 是 AB的中点，点 E 在 AB 边上运动〔点 E 不与点 A 重合〕，过 A、D、 E 三点作⊙ O，⊙ O交 AC于另一点 F，在此运动变化的过程中，线段 EF 长度的最小值为．AEFDE OO26 、如图，线段B DC A C BAB=4， C 为线段 AB 上的一个动点，以AC、 BC为边作等边△ ACD和等边△ BCE，⊙ O外接于△CDE，那么⊙ O半径的最小值为().A.4B.23C.32D. 2 3227、如图，直角△ AOB中，直角极点 O在半径为 1 的圆心上，斜边与圆相切，延长AO，BO分别与圆交于 C， D．试求四边形 ABCD面积的最小值．优秀文档初中数学组卷圆的最值问题参照答案与试题解析一．选择题〔共7 小题〕1．〔 2021 春 ?兴化市月考〕在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为〔 3， 0〕，点 B 为 y 轴正半轴上的一点，点 C 为第一象限内一点，且AC=2 ，设 tan∠ BOC=m ，那么 m 的取值范围是〔〕A ． m≥0 B．C．D．【考点】直线与圆的地址关系；坐标与图形性质；锐角三角函数的定义．【解析】 C 在以 A 为圆心，以 2 为半径的圆周上，只有当OC 与圆 A 相切〔即到 C 点〕时，∠ BOC 最小，依照勾股定理求出此时的OC，求出∠ BOC= ∠CAO ，依照解直角三角形求出此时的值，依照tan∠ BOC 的增减性，即可求出答案．【解答】解： C 在以 A 为圆心，以 2 为半径作圆周上，只有当OC 与圆 A 相切〔即到 C 点〕时，∠ BOC 最小，AC=2 ， OA=3 ，由勾股定理得：OC=，∵∠ BOA= ∠ ACO=90 °，∴∠ BOC+ ∠ AOC=90 °，∠ CAO+ ∠ AOC=90 °，∴∠ BOC= ∠ OAC ，tan∠ BOC=tan ∠ OAC==，随着 C 的搬动，∠ BOC 越来越大，∵C 在第一象限，∴C 不到x 轴点，即∠ BOC＜ 90°，∴tan∠BOC ≥，应选 B．【谈论】此题观察认识直角三角形，勾股定理，切线的性质等知识点的应用，能确定∠ BOC 的变化范围是解此题的要点，题型比较好，但是有必然的难度．2．〔 2021?武汉模拟〕如图∠ BAC=60 °，半径长 1 的⊙ O 与∠ BAC 的两边相切，P 为⊙ O 上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的⊙P 交射线 AB 、AC 于 D、 E 两点，连接DE，那么线段DE 长度的最大值为〔〕A．3B．6C．D．【考点】切线的性质．【专题】计算题．【解析】连接 AO 并延长，与圆O 交于 P 点，当 AF 垂直于 ED 时，线段 DE 长最大，设圆O 与 AB 相切于点 M，连接 OM ， PD，由对称性获取AF 为角均分线，获取∠ FAD 为 30 度，依照切线的性质获取OM 垂直于 AD ，在直角三角形 AOM 中，利用30 度角所对的直角边等于斜边的一半求出AO 的长，由 AO+OP求出 AP 的长，即为圆 P 的半径，由三角形AED 为等边三角形，获取DP 为角均分线，在直角三角形PFD 中，利用30 度所对的直角边等于斜边的一半求出PF 的长，再利用勾股定理求出FD 的长，由 DE=2FD 求出 DE 的长，即为DE 的最大值．【解答】解：连接 AO 并延长，与ED 交于 F 点，与圆O 交于 P 点，此时线段ED 最大，连接 OM ， PD，可得 F 为 ED 的中点，∵∠ BAC=60 °， AE=AD ，∴△ AED 为等边三角形，∴ AF 为角均分线，即∠FAD=30 °，在Rt△AOM 中，OM=1 ，∠OAM=30 °，∴ OA=2 ，∴ PD=PA=AO+OP=3 ，在 Rt△ PDF 中，∠ FDP=30 °， PD=3 ，∴PF= ，依照勾股定理得：FD==，那么 DE=2FD=3．应选 D合用标准文案【谈论】此题观察了切线的性质，等边三角形的判断与性质，勾股定理，含30 度直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解此题的要点．3．〔 2021?武汉模拟〕如图， P 为⊙ O 内的一个定点， A 为⊙ O 上的一个动点，射线AP 、AO 分别与⊙ O 交于 B 、C 两点．假设⊙ O 的半径长为 3， OP=，那么弦BC的最大值为〔〕A．2 B ．3C．D．3【考点】垂径定理；三角形中位线定理．【解析】当 OP⊥ AB 时，弦 BC 最长，依照三角形相似可以确定答案．【解答】解：当 OP⊥ AC 时，弦 BC 最长，又∵ AC 是直径，∴∠ CBA=90 °，因此△APO ∽△ ABC ，∴，又∵ OP=，∴ BC=2．故答案选 A ．【谈论】此题观察了直径所对的圆周角是 900这一性质的应用，以及如何取线段最值问题的做法，用好三角形相似是解答此题的要点．4．〔 2021?黄陂区校级模拟〕如图，扇形 AOD 中，∠ AOD=90 °，OA=6 ，点 P 为弧 AD 上任意一点〔不与点 A 和 D 重合〕， PQ⊥ OD 于 Q，点 I 为△OPQ 的内心，过 O， I 和 D 三点的圆的半径为 r．那么当点 P在弧 AD 上运动时， r 的值满足〔〕A ． 0＜r ＜3B ．r=3 C．3＜ r＜ 3 D ．r=3【考点】三角形的内切圆与内心．【解析】连 OI，PI，DI ，由△ OPH 的内心为I，可获取∠ PIO=180 °﹣∠ IPO﹣∠ IOP=180 °﹣〔∠ HOP+ ∠ OPH〕=135 °，并且易证△OPI ≌△ ODI ，获取∠ DIO= ∠ PIO=135 °，因此点 I 在以 OD 为弦，并且所对的圆周角为 135°的一段劣弧上；过 D 、I、O 三点作⊙ O′，如图，连 O′D，O′O，在优弧 AO 取点 P′，连 P′D，P′O，可得∠ DP ′O=180 °﹣ 135°=45 °，得∠ DO′O=90°，O′O=3．【解答】解：如图，连OI ，PI ， DI ，∵△ OPH 的内心为I ，∴∠ IOP=∠ IOD ，∠ IPO=∠ IPH ，∴∠ PIO=180 °﹣∠ IPO﹣∠ IOP=180 °﹣〔∠ HOP+∠ OPH〕，而 PH⊥ OD ，即∠ PHO=90 °，∴∠ PIO=180 °﹣〔∠ HOP+∠ OPH〕=180°﹣〔180°﹣90°〕=135°，在△OPI 和△ODI 中，，∴△ OPI≌△ ODI 〔 SAS〕，∴∠ DIO= ∠ PIO=135 °，因此点 I 在以 OD 为弦，并且所对的圆周角为 135°的一段劣弧上；过D 、 I、O 三点作⊙ O′，如图，连 O′D，O′O，在优弧 DO 取点 P′，连 P′D， P′O，∵∠ DIO=135 °，∴∠ DP′O=180 °﹣ 135°=45°，∴∠ DO′O=90°，而 OD=6 ，∴OO′=DO ′=3 ，∴ r 的值为 3．应选： D．【谈论】此题观察的是三角形的内切圆与内心，依照题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的要点．5．〔 2021?苏州〕如图， A 、B 两点的坐标分别为〔2，0〕、〔 0，2〕，⊙ C 的圆心坐标为〔﹣1，0〕，半径为1．假设D 是⊙ C 上的一个动点，线段DA 与 y 轴交于点E，那么△ ABE 面积的最小值是〔〕A．2B．1C．D．【考点】切线的性质；坐标与图形性质；三角形的面积；相似三角形的判断与性质．【专题】压轴题；动点型．【解析】由于 OA 的长为定值，假设△ ABE 的面积最小，那么 BE 的长最短，此时 AD 与⊙ O 相切；可连接 CD ，在 Rt△ADC 中，由勾股定理求得 AD 的长，即可获取△ ADC 的面积；易证得△AEO ∽△ ACD ，依照相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△ AOE 的面积，进而可得出△ AOB和△AOE的面积差，由此得解．【解答】解：假设△ ABE 的面积最小，那么AD 与⊙ C 相切，连接C D，那么 CD ⊥AD ；Rt△ ACD 中， CD=1 ， AC=OC+OA=3 ；由勾股定理，得：AD=2；∴ S△ACD = A D ?CD=；易证得△ AOE ∽△ ADC ，∴=〔22，〕 =〔〕 =即 S△AOE = S△ADC = ；∴ S△ABE =S△AOB﹣ S△AOE=×2×2﹣=2﹣；另解：利用相似三角形的对应边的比相等更简单！应选： C．【谈论】此题主要观察了切线的性质、相似三角形的性质、三角形面积的求法等知识；可以正确的判断出△BE面积最小时 AD 与⊙ C 的地址关系是解答此题的要点．6．〔2021?市中区模拟〕如图， A 、B 两点的坐标分别为〔 8，0〕、〔 0，﹣ 6〕，⊙ C 的圆心坐标为〔0，7〕，半径为 5．假设 P 是⊙ C 上的一个动点，线段 PB 与 x 轴交于点 D，那么△ ABD 面积的最大值是〔〕A．63 B．31C．32D．30【考点】一次函数综合题．【解析】当直线 BP 与圆相切时，△ABD 的面积最大，易证△OBD ∽△ PBC，依照相似三角形的对应边的比相等即可求得 OD 的长，那么 AD 的长度可以求得，最后利用三角形的面积公式即可求解．【解答】解：当直线BP 与圆相切时，△ ABD的面积最大．连接 PC，那么∠ CPB=90 °，在直角△ BCP 中， BP===12．∵∠ CPB=90 °．∴∠ DOB= ∠ CPB=90 °又∵∠ DBP= ∠ CBP，∴△ OBD ∽△ PBC ，∴===，∴OD= PC= ．∴AD=OD+OA= +8= ，∴ S△ABD = AD ?OB=××6=31．应选 B．【谈论】此题观察了切线的性质，以及相似三角形的判断与性质，理解△ ADB的面积最大的条件是要点．7．〔 2021?枣庄〕如图，线段OA 交⊙ O 于点 B，且 OB=AB ，点 P 是⊙ O 上的一个动点，那么∠OAP 的最大值是〔〕A ． 90° B． 60° C． 45° D． 30°【考点】切线的性质；含30 度角的直角三角形．【解析】当 AP 与⊙ O 相切时，∠ OAP 有最大值，连接OP，依照切线的性质得OP⊥AP ，由 OB=AB 得 OA=2OP ，尔后依照含30 度的直角三角形三边的关系即可获取此时∠OAP 的度数．【解答】解：当 AP 与⊙ O 相切时，∠ OAP 有最大值，连接 OP，如图，那么 OP⊥AP，∵ OB=AB ，∴ OA=2OP ，∴∠ PAO=30 °．应选 D．【谈论】此题观察了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也观察了含30 度的直角三角形三边的关系．二．填空题〔共 12 小题〕8．〔 2021?武汉〕如图， E， F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足AE=DF ．连接 CF 交 BD 于点 G，连接BE 交 AG 于点 H ．假设正方形的边长为 2，那么线段 DH 长度的最小值是﹣ 1 ．【考点】正方形的性质．【专题】压轴题．【解析】依照正方形的性质可得 AB=AD=CD ，∠ BAD= ∠ CDA ，∠ ADG= ∠CDG ，尔后利用“边角边〞证明△ ABE 和△ DCF 全等，依照全等三角形对应角相等可得∠ 1=∠ 2，利用“SAS 〞证明△ADG 和△ CDG 全等，依照全等三角形对应角相等可得∠ 2=∠ 3，进而获取∠ 1=∠ 3，尔后求出∠ AHB=90 °，取 AB 的中点 O，连接 OH 、OD ，依照直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH= AB=1 ，利用勾股定理列式求出OD ，尔后依照三角形的三边关系可知当 O、D 、 H 三点共线时， DH 的长度最小．【解答】解：在正方形 ABCD 中， AB=AD=CD ，∠ BAD= ∠ CDA ，∠ ADG= ∠ CDG ，在△ABE 和△ DCF 中，，∴△ ABE ≌△ DCF 〔SAS〕，∴∠ 1=∠ 2，在△ADG 和△CDG 中，，∴△ ADG ≌△ CDG 〔 SAS〕，∴∠ 2=∠ 3，∴∠ 1=∠ 3，∵∠ BAH+ ∠ 3=∠ BAD=90 °，∴∠ 1+∠ BAH=90 °，∴∠ AHB=180 °﹣ 90°=90°，取 AB 的中点 O，连接 OH 、OD，那么 OH=AO= AB=1 ，在 Rt△ AOD 中， OD===，依照三角形的三边关系，OH+DH ＞ OD ，∴当 O、D 、H 三点共线时， DH 的长度最小，最小值 =OD ﹣OH=﹣1．〔解法二：可以理解为点H 是在 Rt△ AHB ， AB 直径的半圆上运动当O、 H、 D 三点共线时， DH 长度最小〕故答案为：﹣ 1．【谈论】此题观察了正方形的性质，全等三角形的判断与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出 DH 最小时点 H 的地址是解题要点，也是此题的难点．9．〔 2021?黄陂区校级模拟〕如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB=90 °， AC=4 ， BC=3 ，点 D 是平面内的一个动点，且AD=2 ， M 为 BD 的中点，在 D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是＜CM＜．【考点】轨迹．【解析】作AB 求得CE和的中点 E，连接 EM 、 CE，依照直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理的长，尔后在△ CEM 中依照三边关系即可求解．【解答】解：作 AB 的中点 E，连接 EM、 CE．在直角△ ABC 中， AB===5，∵E 是直角△ ABC 斜边 AB 上的中点，∴ CE= AB= ．∵M 是 BD 的中点， E 是 AB 的中点，∴ ME= AD=1 ．∴在△CEM 中，﹣1＜CM＜+1，即＜CM＜．故答案是：＜CM．【谈论】此题观察了轨迹，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．10．〔 2021?宁波〕如图，△ ABC中，∠ BAC=60°，∠ ABC=45°，AB=2，D 是线段BC上的一个动点，以AD 为直径画⊙ O 分别交 AB ， AC 于 E， F，连接 EF，那么线段 EF 长度的最小值为．【考点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．【专题】压轴题．【解析】由垂线段的性质可知，当AD 为△ ABC 的边 BC 上的高时，直径AD 最短，此时线段EF=2EH=20E ?sin∠ EOH=20E ?sin60°，因此当半径 OE 最短时， EF 最短，连接OE， OF，过 O 点作 OH ⊥ EF，垂足为 H ，在 Rt△ ADB 中，解直角三角形求直径AD ，由圆周角定理可知∠EOH=∠ EOF=∠ BAC=60°，在Rt△ EOH中，解直角三角形求EH ，由垂径定理可知EF=2EH ．【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD 为△ ABC 的边 BC 上的高时，直径AD 最短，如图，连接OE， OF，过 O 点作 OH⊥ EF，垂足为H ，∵在 Rt△ ADB 中，∠ ABC=45 °， AB=2，∴AD=BD=2 ，即此时圆的直径为 2，由圆周角定理可知∠ EOH= ∠ EOF=∠ BAC=60 °，合用标准文案∴在 Rt△ EOH 中， EH=OE ?sin ∠EOH=1 ×=，由垂径定理可知EF=2EH=．故答案为：．【谈论】此题观察了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用．要点是依照运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形．11．〔2021?峨眉山市一模〕如图，直线l 与⊙ O 相离， OA ⊥ l 于点 A ， OA=10 ， OA 与⊙ O 订交于点 P， AB 与⊙ O 相切于点B，BP 的延长线交直线l 于点 C．假设⊙ O 上存在点 Q，使△ QAC 是以 AC 为底边的等腰三角形，那么半径 r 的取值范围是：2≤r＜10．【考点】直线与圆的地址关系．【解析】第一证明 AB=AC ，再依照得出 Q 在 AC 的垂直均分线上，作出线段 AC 的垂直均分线 MN ，作 OE⊥MN ，求出 OE ＜ r，求出 r 范围即可．【解答】解：连接 OB．如图 1，∵AB 切⊙ O 于 B，OA ⊥AC ，∴∠ OBA= ∠ OAC=90 °，∴∠ OBP+ ∠ABP=90 °，∠ ACP+ ∠ APC=90 °，∵ OP=OB ，∴∠ OBP= ∠OPB，∵∠ OPB= ∠APC ，∴∠ ACP= ∠ABC ，∴ AB=AC ，作出线段 AC 的垂直均分线MN ，作 OE⊥MN ，如图 2，∴ OE= AC= AB=，又∵圆 O 与直线 MN 有交点，∴ OE=≤r，∴≤2r，22即： 100﹣ r ≤4r ，合用标准文案∴r 2≥20，∴r≥2 ．∵OA=10 ，直线 l 与⊙ O 相离，∴ r＜10，∴ 2 ≤r＜ 10．故答案为： 2≤r＜10．【谈论】此题观察了等腰三角形的性质和判断，相似三角形的性质和判断，切线的性质，勾股定理，直线与圆的地址关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力．此题综合性比较强，有必然的难度．12．〔 2021?长春模拟〕如图，在△ABC中，∠ C=90°，AC=12，BC=5，经过点C且与边AB相切的动圆与CA 、CB分别订交于点P、Q，那么 PQ 长的最小值为．【考点】切线的性质；垂线段最短；勾股定理．【解析】过 C 作 CD⊥ AB 于 D，在△ABC 中，由勾股定理求出AB=13 ，由三角形面积公式求出CD=，当CD为过 C 点的圆的直径时，此时圆的直径最短，是，求出PQ为圆的直径即可．【解答】解：过 C 作 CD⊥AB 于 D，在△ ABC 中，∠ C=90°， AC=12 ，BC=5 ，由勾股定理得：AB=13 ，由三角形面积公式得：S= AC ×BC=AB ×CD ，CD=，合用标准文案当 CD 为过 C 点的圆的直径时，此时圆的直径最短，是，∵∠ BCA=90 °，∴ PQ 为圆的直径，即此时 PQ 的长是，故答案为：．【谈论】此题观察了勾股定理，三角形面积，圆周角定理，垂线段最短等知识点的应用，要点是求出圆的直径．13．〔 2021?陕西〕如图， AB 是⊙ O 的一条弦，点 C 是⊙ O 上一动点，且∠ ACB=30 °，点 E、 F 分别是 AC 、 BC 的中点，直线 EF 与⊙ O 交于 G、 H 两点．假设⊙ O 的半径为 7，那么 GE+FH 的最大值为 10.5 ．【考点】圆周角定理；三角形中位线定理．【专题】压轴题．【解析】由点 E、 F 分别是 AC 、 BC 的中点，依照三角形中位线定理得出EF= AB=3.5 为定值，那么 GE+FH=GH ﹣EF=GH ﹣，因此当 GH 取最大值时， GE+FH 有最大值．而直径是圆中最长的弦，故当GH为⊙ O的直径时，GE+FH 有最大值14﹣．【解答】解：当 GH 为⊙ O 的直径时， GE+FH 有最大值．当 GH 为直径时， E 点与 O 点重合，∴ AC 也是直径， AC=14 ．∵∠ ABC 是直径上的圆周角，∴∠ ABC=90 °，∵∠ C=30°，∴ AB=AC=7 ．∵点 E、 F 分别为 AC 、 BC 的中点，∴ EF= AB=3.5 ，∴ GE+FH=GH ﹣ EF=14﹣．故答案为：．【谈论】此题结合动点观察了圆周角定理，三角形中位线定理，有必然难度．确定GH 的地址是解题的要点．14．〔 2021?咸宁〕如图，在Rt △ AOB 中， OA=OB=3，⊙ O的半径为1，点 P 是 AB 边上的动点，过点P 作⊙ O 的一条切线PQ〔点 Q 为切点〕，那么切线 PQ 的最小值为2．【考点】 切线的性质；等腰直角三角形．【专题】 压轴题．【解析】 第一连接 OP 、OQ ，依照勾股定理知定理即可求得答案．【解答】 解：连接 OP 、OQ ．∵ PQ 是⊙ O 的切线， ∴ OQ ⊥ PQ ；依照勾股定理知 PQ 2 =OP 2﹣ OQ 2， ∴当 PO ⊥ AB 时，线段 PQ 最短，∵在 Rt △ AOB 中， OA=OB=3 ，∴ AB=OA=6 ， ∴ OP= =3，∴ PQ= = =2 ．故答案为： 2．合用标准文案2 2 2，可适合 OP ⊥ AB 时，即线段 PQ 最短，尔后由勾股PQ =OP ﹣ OQ【谈论】 此题观察了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意获适合 PO ⊥ AB 时，线段 PQ 最短是要点．15．〔 2021?内江〕在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心的圆过点A 〔 13，0〕，直线 y=kx ﹣ 3k+4 与⊙ O 交于B 、C 两点，那么弦 BC 的长的最小值为 24 ．【考点】 一次函数综合题． 【专题】 压轴题．【解析】依照直线y=kx ﹣ 3k+4 必过点 D 〔 3， 4〕，求出最短的弦 CB 是过点 D 且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再依照以原点 O 为圆心的圆过点 A 〔 13，0〕，求出 OB 的长，再利用勾股定理求出 BD ，即可得出答案．【解答】解：∵直线 y=kx ﹣ 3k+4=k 〔 x﹣3〕 +4，∴k〔 x﹣ 3〕 =y ﹣ 4，∵ k 有无数个值，∴x﹣ 3=0 ，y﹣ 4=0 ，解得 x=3， y=4 ，∴直线必过点 D〔 3， 4〕，∴最短的弦 CB 是过点 D 且与该圆直径垂直的弦，∵点 D 的坐标是〔 3， 4〕，∴OD=5 ，∵以原点 O 为圆心的圆过点 A 〔 13， 0〕，∴圆的半径为13，∴OB=13 ，∴BD=12 ，∴BC 的长的最小值为 24；故答案为： 24．【谈论】此题观察了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，要点是求出BC 最短时的地址．16．〔 2021?苏州校级一模〕如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心， 2 为半径画⊙ O， P 是⊙ O 是一动点且 P 在第一象限内，过P 作⊙ O 切线与 x 轴订交于点 A ，与 y 轴订交于点B．那么线段AB 的最小值是4．．【考点】切线的性质；坐标与图形性质．【解析】如图，设 AB 的中点为 C，连接 OP，由于 AB 是圆的切线，故△OPC是直角三角形，有OP＜ OC，因此当OC 与 OP 重合时， OC 最短；【解答】解：〔 1〕线段 AB 长度的最小值为4，原由以下：∴OP⊥AB ，取 AB 的中点 C，∴ AB=2OC ；当 OC=OP 时， OC 最短，即AB 最短，此时 AB=4 ．故答案为： 4．【谈论】此题利用了切线的性质，等腰直角三角形的性质求解，属于基础性题目．17．〔 2021 秋 ?江阴市校级期中〕如图，⊙O 与正方形ABCD 的两边 AB 、 AD 相切，且DE 与⊙ O 相切于 E 点．假设正方形 ABCD 的周长为 28，且 DE=4 ，那么 sin∠ ODE=．【考点】切线的性质；正方形的性质．【解析】先证得四边形ANOM 是正方形，求出AM 长，依照勾股定理求得OD 的长，依照解直角三角形求出即可．【解答】解：设切线AD 的切点为M ，切线 AB 的切点为N，连接 OM 、 ON、 OE，∵四边形 ABCD 是正方形，正方形ABCD 的周长为28，∴AD=AB=7 ，∠ A=90 °，∵圆 O 与正方形ABCD 的两边 AB 、 AD 相切，∴∠ OMA= ∠ONA=90 °=∠ A ，∵OM=ON ，∴四边形 ANOM是正方形，∵AD 和DE 与圆O相切，∴OE⊥DE ，DM=DE=4 ，∴ AM=7 ﹣ 4=3 ，∴ OM=ON=OE=3 ，在 RT△ ODM 中， OD==5，∵OE=OM=5 ，∴sin∠ODE= = ．故答案为．【谈论】此题观察了正方形的性质和判断，切线的性质，切线长定理等知识点的应用，要点是求出AM 长和得出DE=DM ．18．〔 2021 春 ?兴化市校级月考〕以以下图， A 〔 1， y1〕，B 〔2， y2〕为反比率函数y= 图象上的两点，动点 P 〔 x， 0〕在 x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段 BP 之差到达最大时，点 P 的坐标是〔3， 0〕．【考点】反比率函数图象上点的坐标特色；待定系数法求一次函数解析式；三角形三边关系．【专题】计算题．【解析】先依照反比率函数图象上点的坐标特色确定 A 点坐标为〔 1， 1〕， B 点坐标为〔 2，〕，再利用待定系数法确定直线AB 的解析式为y= ﹣x+，尔后依照三角形三边的关系获取|PA﹣ PB|≤AB ，当点 P 为直线 AB 与 x 轴的交点时，取等号，那么线段AP 与线段 BP 之差到达最大，尔后确定直线y=﹣x+与x轴的交点坐标即可．【解答】解：把 A 〔 1， y1〕， B〔 2， y2〕代入 y=得y1=1，y2=，那么A点坐标为〔1，1〕，B点坐标为〔2，〕，设直线 AB 的解析式为y=kx+b ，把 A 〔 1， 1〕， B〔 2，〕代入得，解得，因此直线 AB 的解析式为y= ﹣x+，由于 |PA﹣ PB|≤AB ，因此当点 P 为直线 AB 与 x 轴的交点时，线段AP 与线段 BP 之差到达最大，把 y=0 代入 y= ﹣x+得﹣x+ =0，解得 x=3 ，因此 P 点坐标为〔 3， 0〕．故答案为〔 3， 0〕．【谈论】此题观察了反比率函数图象上点的坐标特色：反比率函数y=〔k为常数，k≠0〕的图象是双曲线，图象上19．〔 2021?泰兴市二模〕如图，定长弦 CD 在以 AB 为直径的⊙ O 上滑动〔点 C、D 与点 A 、B 不重合〕， M 是 CD 的中点，过点 C 作 CP⊥ AB 于点 P，假设 CD=3 ， AB=8 ，PM=l ，那么 l 的最大值是 4 ．【考点】垂径定理；三角形中位线定理．【解析】当 CD ∥ AB 时， PM 长最大，连接 OM ， OC，得出矩形 CPOM ，推出 PM=OC ，求出 OC 长即可．【解答】解：法①：如图：当 CD ∥ AB 时， PM 长最大，连接 OM ， OC，∵CD∥AB ，CP⊥CD，∴ CP⊥AB ，∵M为CD中点，OM过O，∴OM ⊥CD，∴∠ OMC= ∠ PCD= ∠ CPO=90°，∴四边形 CPOM 是矩形，∴PM=OC ，∵⊙ O 直径 AB=8 ，∴半径 OC=4 ，即 PM=4 ，故答案为： 4．法②：连接 CO，MO ，依照∠ CPO= ∠CM0=90 °，因此 C，M ，O，P，四点共圆，且 CO 为直径．连接 PM，那么 PM 为⊙ E 的一条弦，当 PM 为直径时 PM 最大，因此 PM=CO=4 时 PM 最大．即 PM max=4【谈论】此题观察了矩形的判断和性质，垂径定理，平行线的性质的应用，要点是找出吻合条件的CD 的地址，题目比较好，但是有必然的难度．三．解答题〔共 5 小题〕20．〔 2021?武汉模拟〕如图，在边长为 1 的等边△OAB 中，以边 AB 为直径作⊙ D，以 O 为圆心 OA 长为半径作圆O， C 为半圆 AB 上不与 A 、B 重合的一动点，射线AC 交⊙ O 于点 E， BC=a ， AC=b ．〔 1〕求证： AE=b+a；〔 2〕求 a+b 的最大值；22〔 3〕假设 m 是关于 x 的方程： x +ax=b + ab 的一个根，求m 的取值范围．【考点】 圆的综合题．【解析】〔 1〕第一连接 BE ，由 △OAB 为等边三角形，可得∠ AOB=60 °，又由圆周角定理，可求得∠ E 的度数，又由 AB 为⊙ D 的直径，可求得CE 的长，既而求得 AE=b+a ；（2〕第一过点 C 作 CH ⊥ AB 于 H ，在 Rt △ ABC 中， BC=a ， AC=b ，AB=1 ，可得〔 a+b 〕 2 2 2=a +b +2ab=1+2ab=1+2CH ?AB=1+2CH ≤1+2AD=1+AB=2 ，即可求得答案；〔 3〕由 x 2+ ax=b 2 + ab ，可得〔 x ﹣ b 〕〔 x+b+ a 〕 =0 ，那么可求得 x 的值，既而可求得m 的取值范围．【解答】 解：〔 1〕连接 BE ，∵△ OAB 为等边三角形， ∴∠ AOB=60 °， ∴∠ AEB=30 °， ∵ AB 为直径，∴∠ ACB= ∠ BCE=90 °， ∵ BC=a ，∴ BE=2a ， CE= a ， ∵ AC=b ，∴ AE=b+a ；〔 2〕过点 C 作 CH ⊥ AB 于 H ，在 Rt △ABC 中， BC=a ， AC=b ， AB=1 ，22∴ a +b =1，∵ S △ABC = AC ?BC= AB ?CH ，∴ AC ?BC=AB ?CH ，∴〔 a+b 〕 222=a +b +2ab=1+2ab=1+2CH ?AB=1+2CH ≤1+2AD=1+AB=2 ， ∴ a+b ≤ ，故 a+b 的最大值为，22ab ，〔 3〕∵ x + ax=b + ∴ x 2﹣ b 2+ ax ﹣ ab=0，∴〔 x+b 〕〔x ﹣ b 〕 + a 〔 x ﹣b 〕 =0，∴〔 x ﹣ b 〕〔 x+b+ a 〕 =0 ， ∴ x=b 或 x=﹣〔 b+ a 〕，当 m=b 时， m=b=AC ＜AB=1 ，∴ 0＜ m ＜ 1， 当 m=﹣〔 b+a 〕时，由〔 1〕知 AE= ﹣ m ，又∵ AB ＜ AE ≤2AO=2 ，∴ 1＜﹣ m ≤2，∴﹣∴ m 的取值范围为0＜ m＜ 1 或﹣ 2≤m＜﹣ 1．【谈论】此题观察了圆周角定理、等边三角形的性质、完好平方公式的应用以及一元二次方程的解法．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类谈论思想的应用．21．〔 2021 春 ?泰兴市校级期中〕如图，E、 F 是正方形ABCD 的边 AD 上的两个动点，满足AE=DF ．连接 CF 交BD 于 G，连接 BE 交 AG 于 H．正方形ABCD 的边长为4cm，解决以下问题：〔 1〕求证： BE⊥ AG ；〔 2〕求线段DH 的长度的最小值．【考点】正方形的性质；全等三角形的判断与性质．【解析】〔 1〕依照正方形的性质可得AB=AD=CD ，∠ BAD= ∠ CDA ，∠ ADG= ∠ CDG ，尔后利用“边角边〞证明△ABE 和△ DCF 全等，依照全等三角形对应角相等可得∠ 1=∠ 2，利用“边角边〞证明△ ADG 和△ CDG 全等，依照全等三角形对应角相等可得∠ 2=∠ 3，进而获取∠ 1=∠ 3，尔后求出∠ AHB=90 °，再依照垂直的定义证明即可；〔 2〕依照直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，取AB 的中点 O，连接 OH 、 OD，尔后求出OH= AB=1 ，利用勾股定理列式求出OD ，尔后依照三角形的三边关系可知当O、D 、H 三点共线时， DH 的长度最小．【解答】〔 1〕证明：在正方形 ABCD 中， AB=AD=CD ，∠ BAD= ∠CDA ，∠ ADG= ∠ CDG ，在△ABE 和△ DCF 中，，∴△ ABE ≌△ DCF 〔SAS〕，∴∠ 1=∠ 2，在△ADG 和△CDG 中，，∴△ ADG ≌△ CDG 〔 SAS〕，∴∠ 2=∠ 3，∴∠ 1=∠ 3，。
沪科版九年级数学下册圆的有关概念及性质中考题汇编二(含答案)
沪科版九年级数学下册圆的有关概念及性质中考题汇编二（含答案）一、选择题1. (2018·张家界)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5 cm，CD＝8 cm，则AE的长为()A. 8 cmB. 5 cmC. 3 cmD. 2 cm第1题第2题2. (2018·枣庄)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为()A. 15B. 2 5C. 215D. 83. (2018·台湾)如图，A，B分别为⊙P与x轴，y轴的交点，有一直线l通过点P且与AB垂直，C为l与y轴的交点．若点A，B，C的坐标分别为(a，0)，(0，4)，(0，－5)，则a的值为()A. －214B. －2 5C. －8D. －7第3题第5题4. (2018·安顺)已知⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，AB＝8 cm，则AC的长为()A. 2 5 cmB. 4 5 cmC. 2 5 cm或4 5 cmD. 2 3 cm或4 3 cm5. (2018·乐山)《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸(ED＝1寸)，锯道长1尺(AB＝1尺＝10寸)，问这块圆形木材的直径是多少？”如图，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是()A. 13寸B. 20寸C. 26寸D. 28寸6. (2018·衢州)如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，连接BC，过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝8 cm，AE＝2 cm，则OF的长度是()A. 3 cmB. 6 cmC. 2.5 cmD. 5 cm第6题第7题7. (2018·贵港)如图，点A，B，C均在⊙O上．若∠A＝66°，则∠OCB的度数是()A. 24°B. 28°C. 33°D. 48°8. (2018·陕西)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为()A. 15°B. 35°C. 25°D. 45°第8题 第9题9. (2018·聊城)如图，在⊙O 中，弦BC 与半径OA 相交于点D ，连接AB ，OC .若∠A ＝60°，∠ADC ＝85°，则∠C 的度数是( )A. 25°B. 27.5°C. 30°D. 35°10. (2018·赤峰)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点(点A ，B 除外)，∠AOD ＝130°，则∠C 的度数是( )A. 50°B. 60°C. 25°D. 30°第10题 第11题11. (2018·济宁)如图，点B ，C ，D 均在⊙O 上．若∠BCD ＝130°，则∠BOD 的度数是( )A. 50°B. 60°C. 80°D. 100°12. (2018·铜仁)如图，圆心角∠AOB ＝110°，则圆周角∠ACB 的度数是( )A. 55°B. 110°C. 120°D. 125°第12题 第13题第14题13. (2018·南充)如图，BC 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上的一点，∠OAC ＝32°，则∠B 的度数是( )A. 58°B. 60°C. 64°D. 68°14. (2018·阜新)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠ABC ＝65°，那么∠OCA 的度数是( )A. 25°B. 35°C. 15°D. 20°15. (2018·盐城)如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ADC ＝35°，则∠CAB 的度数为( )A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°第15题 第16题16. (2018·苏州)如图，AB 是半圆的直径，点O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是AC ︵上的点．若∠BOC ＝40°，则∠D 的度数为( )A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°17. (2018·菏泽)如图，在⊙O 中，OC ⊥AB ，∠ADC ＝32°，则∠OBA 的度数是( )A. 64°B. 58°C. 32°D. 26°第17题 第18题18. (2018·盘锦)如图，在⊙O 中，OA ⊥BC ，∠AOC ＝50°，则∠ADB 的度数为( )A. 15°B. 25°C. 30°D. 50°19. (2018·青岛)如图，点A ，B ，C ，D 均在⊙O 上，∠AOC ＝140°，B 是AC ︵的中点，则∠D 的度数是( )A. 70°B. 55°C. 35.5°D. 35°第19题 第20题20. (2018·巴中)如图，在⊙O 中，半径OC ⊥弦AB 于点D ，点E 在⊙O 上，∠E ＝22.5°，AB ＝4，则半径OB 的长为( ) A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 321. (2018·襄阳)如图，点A ，B ，C ，D 都在半径为2的⊙O 上．若OA ⊥BC ，∠CDA ＝30°，则弦BC 的长为( )A. 4B. 2 2C. 3D. 23第21题 第22题22. (2018·白银)如图，⊙A 过点O (0，0)，C (3，0)，D (0，1)，B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO ，BD ，则∠OBD 的度数是( )A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°23. (2018·通辽)已知⊙O 的半径为10，圆心O 到弦AB 的距离为5，则弦AB 所对的圆周角的度数是( )A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120°24. (2018·广州)如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB ，交⊙O 于点C ，连接OA ，OB ，BC .若∠ABC ＝20°，则∠AOB 的度数是( )A. 40°B. 50°C. 70°D. 80°第24题 第25题25. (2018·遂宁)如图，在⊙O 中，AE 是直径，半径OC 垂直弦AB 于点D ，连接BE .若AB ＝27，CD ＝1，则BE 的长是( )A. 5B. 6C. 7D. 826. (2018·威海)如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，C 为AB ︵的中点．若∠ABC ＝30°，则弦AB 的长为( )A. 12B. 5C. 532D. 53 第26题 第27题27. (2018·咸宁)如图，⊙O 的半径为5，弦AB ，CD 所对的圆心角分别是∠AOB ，∠COD .若∠AOB 与∠COD 互补，弦CD ＝6，则弦AB 的长为( )A. 6B. 8C. 5 2D. 5328. (2018·宜宾)在△ABC 中，若O 为BC 边的中点，则必有：AB 2＋AC 2＝2AO 2＋2BO 2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG 中，DE ＝4，EF ＝3，点P 在以DE 为直径的半圆上运动，则PF 2＋PG 2的最小值为( )A. 10B. 192C. 34D. 10 第28题 第29题29. (2018·湖州)尺规作图特有的魅力曾使无数人沉迷其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：① 如图，将半径为r 的⊙O 六等分，依次得到A ，B ，C ，D ，E ，F 六个等分点；② 分别以点A ，D 为圆心，AC 长为半径画弧，G 是两弧的一个交点；③ 连接OG .问：OG 的长是多少？大臣给出的正确答案应是( )A. 3rB. (1＋22)rC. (1＋32)r D. 2r 30. (2018·泰安)如图，⊙M 的半径为2，圆心M 的坐标为(3，4)，P 是⊙M 上的任意一点，PA ⊥PB ，且PA ，PB 与x 轴分别交于A ，B 两点．若点A ，B 关于原点O 对称，则AB 的最小值为( )第30题A. 3B. 4C. 6D. 8二、 填空题31. (2018·烟台)如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O ，A ，B ，C 在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O 为原点建立平面直角坐标系，则过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为________．第31题32. (2018·双鸭山)如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝6，EB ＝1，则⊙O 的半径为________．第32题 第33题33. (2018·玉林)小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2 cm 的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位：cm)，请你帮小华算出圆盘的半径是________cm.34. (2018·孝感)已知⊙O 的半径为10 cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ，则弦AB 和CD 之间的距离是________cm.35. (2018·海南)如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(20，0)，点B 的坐标是(16，0)，点C ，D 在以OA 为直径的半圆M 上，且四边形OCDB 是平行四边形，则点C 的坐标为________．第35题36. (2018·广东)某圆中，已知AB ︵所对的圆心角是100°，则AB ︵所对的圆周角的度数为________．37. (2018·随州)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A ＝40°，∠C ＝20°，则∠B ＝________°.第37题 第38题38. (2018·吉林)如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ︵＝BC ︵.若∠AOB ＝58°，则∠BDC ＝________°.39. (2018·镇江)如图，AD 为△ABC 的外接圆⊙O 的直径．若∠BAD ＝50°，则∠ACB ＝________°.第39题 第40题40. (2018·连云港)如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴，y 轴分别相交于A ，B 两点，⊙O 经过A ，B 两点．已知AB ＝2，则k b的值为________． 41. (2018·曲靖)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为BC 延长线上一点．若∠A ＝n °，则∠DCE ＝________°.第41题 第42题42. (2018·梧州)如图，在⊙O 中，半径OA ＝2，弦AB ＝2，∠BAD ＝18°，OD 与AB 交于点C ，则∠ACO ＝________°.43. (2018·无锡)如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，OC ⊥OB ，点A 在BC ︵上，且OA ＝AB ，则∠ABC 的度数为________．第43题 第44题44. (2018·北京)如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，CB ︵＝CD ︵，∠CAD ＝30°，∠ACD ＝50°，则∠ADB 的度数为________．45. (2018·杭州)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是半径OA 的中点，过点C 作DE ⊥AB ，交⊙O 于D ，E 两点，过点D 作直径DF ，连接AF ，则∠DF A 的度数为________．第45题 第46题46. (2018·黄冈)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，∠CAB ＝60°，弦AD 平分∠CAB .若AD ＝6，则AC 的长为________．47. (2018·扬州)如图，⊙O 的半径为2，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝135°，则AB 的长为________．第47题 第48题48. (2018·泰安)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A ＝45°，BC ＝4，则⊙O 的直径为________．49. (2018·临沂)如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝5 cm.能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是________cm.第49题 第52题50. (2018·绍兴)在等腰三角形ABC 中，顶角A 为40°，点P 在以点A 为圆心，BC 长为半径的圆上，且BP ＝BA ，则∠PBC 的度数为________．51. (2018·内江)已知△ABC 的三边a ，b ，c 满足a ＋b 2＋|c －6|＋28＝4a －1＋10b ，则△ABC 的外接圆半径为________．52. (2018·通辽)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝k x(k ＞0)的图象与半径为5的⊙O 交于M ，N 两点，△MON 的面积为3.5.若动点P 在x 轴上，则PM ＋PN 的最小值是________．三、 解答题53. (2018·安徽)如图，⊙O 为锐角三角形ABC 的外接圆，半径为5.(1) 用尺规作图作出∠BAC 的平分线，并标出它与BC ︵的交点E ；(保留作图痕迹，不写作法)(2) 若(1)中的点E 到弦BC 的距离为3，求弦CE 的长．第53题54. (2018·宜昌)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的半圆交AC 于点D ，交BC 于点E ，延长AE 至点F ，使EF ＝AE ，连接FB ，FC.(1) 求证：四边形ABFC 是菱形；(2) 若AD ＝7，BE ＝2，求半圆和菱形ABFC 的面积．第54题55. (2018·温州)如图，D 是△ABC 的BC 边上一点，连接AD ，作△ABD 的外接圆，将△ADC 沿直线AD 折叠，点C 的对应点E 落在⊙O 上．(1) 求证：AE ＝AB ；(2) 若∠CAB ＝90°，cos ∠ADB ＝13，BE ＝2，求BC 的长．第55题56. (2018·湘潭)如图，AB 是以点O 为圆心的半圆的直径，半径CO ⊥AO ，M 是AB ︵上的动点，且不与点A ，C ，B 重合，直线AM 交直线OC 于点D ，连接OM 与CM .(1) 如图①，若半圆的半径为10.① 当∠AOM ＝60°时，求DM 的长；② 当AM ＝12时，求DM 的长．(2) 探究：在点M 运动的过程中，∠DMC 的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．(可分图①②讨论)第56题57. (2018·福建A卷)已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E.(1) 延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图①.求证：PC＝PB.(2) 过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图②.若AB＝3，DH＝1，∠OHD＝80°，求∠BDE的大小．第57题58. (2018·福建B卷)如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F.BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC＝PB.(1) 求证：BG∥CD；(2) 设△ABC外接圆的圆心为点O，若AB＝3DH，∠OHD＝80°，求∠BDE的大小．第58题59. (2018·陕西)问题提出(1) 如图①，在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝AC ＝5，则△ABC 的外接圆半径R 的值为________． 问题探究(2) 如图②，⊙O 的半径为13，弦AB ＝24，M 是AB 的中点，P 是⊙O 上一动点，求PM 的最大值． 问题解决(3) 如图③，AB ，AC ，BC ︵是某新区的三条规划路，其中AB ＝6 km ，AC ＝3 km ，∠BAC ＝60°，BC ︵所对的圆心角为60°，新区管委会想在BC ︵路边建物资总站点P ，在AB ，AC 路边分别建物资分站点E ，F ，也就是分别在BC ︵，线段AB 和AC 上选取点P ，E ，F .由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P →E →F →P 的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE ，EF 和FP .为了快捷、环保和节约成本，要使得线段PE ，EF ，FP 之和最短，试求PE ＋EF ＋FP 的最小值．(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)第59题参考答案一、1.A 2.C 3.A 4.C 5.C 6.D 7.A 8.A 9.D 10.C 11.D 12.D 13.A 14.A 15.C 16.B 17.D 18.B 19.D 20.C 21.D 22.B 23.D 24.D25.B 26.D 27.B 28.D 29.D 30.C二、31. (－1，－2) 32.5 33.10 34.2或14 35. (2，6) 36.50° 37.60 38.29 39.40 40.－2241.n 42.8143.15° 44.70° 45.30° 46.23 47.22 48.42 49.1033 50.30°或110° 51.258点拨：由题意，得(a －1－2)2＋(b －5)2＋|c －6|＝0，∴a ＝5，b ＝5，c ＝6.不妨令AC ＝BC ＝5，AB ＝6，作CD ⊥AB 于点D ，则AD ＝12AB ＝3，CD ＝AC 2－AD 2＝4.设△ABC 的外接圆的半径为r ，圆心为点O ，连接OA.易得点O 在CD 上．则在Rt △ADO 中，32＋(4－r )2＝r 2，解得r ＝258. 52.52 三、53. (1) 尺规作图如图所示 (2) 如图，连接OE 交BC 于点M ，连接OB ，OC ，CE.∵AE 是∠BAC的平分线，∴∠BAE ＝∠CAE.∴BE ︵＝CE ︵.∴∠BOE ＝∠COE.∵OB ＝OC ，∴BM ＝CM ，OE ⊥BC.由题意，得EM ＝3，OB ＝OC ＝5，∴在Rt △OMC 中，CM 2＝OC 2－OM 2＝52－(5－3)2＝21.∴在Rt △EMC 中，CE 2＝CM 2＋EM 2＝21＋32＝30.∴CE ＝30(负值舍去)．答：弦CE 的长为30第53题 第54题54. (1) ∵AB 是半圆的直径，∴∠AEB ＝90°.∴AE ⊥BC .∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE .∵AE ＝EF ，∴四边形ABFC 是平行四边形．∵AC ＝AB ，∴四边形ABFC 是菱形 (2) 设CD ＝x .由(1)，得AB ＝AC ＝7＋x ，CB ＝2BE ＝4.如图，连接BD .∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°.在Rt △ADB 中，BD 2＝AB 2－AD 2，在Rt △BDC 中，BD 2＝CB 2－CD 2，∴AB 2－AD 2＝CB 2－CD 2，即(7＋x )2－72＝42－x 2.整理，得x 2＋7x －8＝0，解得x 1＝1，x 2＝－8(舍去)．∴AC ＝AB ＝7＋1＝8，BD ＝82－72＝15.∴S 半圆＝12·π·(12AB )2＝8π，S 菱形ABFC ＝AC ·BD ＝815 点拨：本题也可以利用△AEC ∽△BDC 求出CD 的长．55. (1) 由折叠的性质可知△ADE ≌△ADC ，∴∠AED ＝∠ACD ，AE ＝AC.∵AD ︵＝AD ︵，∴∠ABD ＝∠AED.∴∠ABD ＝∠ACD.∴AB ＝AC.∴AE ＝AB (2) 如图，过点A 作AH ⊥BE 于点H.∵AB ＝AE ，BE＝2，∴BH ＝EH ＝1.∵AB ︵＝AB ︵，∴∠AEB ＝∠ADB.由(1)，得AE ＝AB ，∴∠ABE ＝∠AEB.∴∠ABE ＝∠ADB.∵cos ∠ADB ＝13，∴cos ∠ABE ＝13.∴在Rt △AHB 中，BH AB ＝13.∴AB ＝3.∵∠CAB ＝90°，AC ＝AB ，∴BC ＝32＋32＝32第55题56. (1) ①当∠AOM ＝60°时．∵OM ＝OA ，∴△AMO 是等边三角形．∴∠A ＝∠MOA ＝60°.∵CO ⊥AO ，∴∠MOD ＝90°－60°＝30°，∠D ＝90°－60°＝30°，即∠MOD ＝∠D .∴DM ＝OM ＝10 ②如图①，过点O作OH ⊥AM 于点H ，则∠AHO ＝90°，AH ＝12AM ＝6.在Rt △AHO 中，OH ＝OA 2－AH 2＝8.∵CO ⊥AO ，∴∠AOD ＝90°＝∠AHO .又∵∠OAH ＝∠DAO ，∴△AHO ∽△AOD .∴AH AO ＝AO AD ，即610＝10AD .∴AD ＝503.∴DM ＝AD －AM ＝503－12＝143(2) 连接BC .∵CO ⊥AO ，OC ＝OB ，∴∠B ＝∠OCB ＝45°.当点M 位于AC ︵之间时，如图①.∵四边形AMCB 是⊙O 的内接四边形，∴∠CMA ＝180°－∠B ＝135°.∴∠CMD ＝180°－∠CMA＝45°(定值)．当点M 位于BC ︵之间时，如图②.∵AC ︵＝AC ︵，∴∠CMD ＝∠CBA ＝45°(定值)．综上所述，在点M 运动的过程中，∠DMC 的大小为一定值，是45°第56题57. (1) ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°.∵DE ⊥AB ，∴∠DEA ＝90°.∴∠DEA ＝∠ABC .∴BC ∥DF .∴∠F ＝∠PBC .∵四边形BCDF 是⊙O 的内接四边形，∴∠F ＋∠DCB ＝180°.∵∠PCB ＋∠DCB ＝180°，∴∠F ＝∠PCB .∴∠PBC ＝∠PCB .∴PC ＝PB (2) 如图，连接OD .∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°.∵BG ⊥AD ，∴∠AGB ＝90°.∴∠ADC ＝∠AGB .∴BG ∥DC .∵BC ∥DE ，∴四边形DHBC 是平行四边形．∴BC ＝DH ＝1.在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，∴tan ∠CAB ＝BC AB ＝33.∴∠CAB ＝30°.∴∠ACB ＝90°－∠CAB ＝60°.∴BC ＝12AC ＝OD .∴DH ＝OD .∴在△DOH 中，∠DOH ＝∠OHD ＝80°.∴∠ODH ＝20°.设DE 交AC 于点N ，∵BC ∥DE ，∴∠ONH ＝∠ACB ＝60°.∴∠NOH ＝180°－(∠ONH＋∠OHD )＝40°.∴∠DOC ＝∠DOH －∠NOH ＝40°.∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA .∴∠OAD ＝12∠DOC ＝20°.∴∠CBD ＝∠OAD ＝20°.∵BC ∥DE ，∴∠BDE ＝∠CBD ＝20°第57题58. (1) ∵PC ＝PB ，∴∠PCB ＝∠PBC.∵四边形ABCD 内接于圆，∴∠BAD ＋∠BCD ＝180°.∵∠BCD ＋∠PCB ＝180°，∴∠BAD ＝∠PCB .∵∠BAD ＝∠BFD ，∴∠BFD ＝∠PCB ＝∠PBC .∴BC ∥DF .∵DE ⊥AB ，∴∠DEA ＝90°.∴∠ABC ＝∠DEA ＝90°.∴AC 是圆的直径．∴∠ADC ＝90°.∵BG ⊥AD ，∴∠AGB ＝90°.∴∠ADC ＝∠AGB .∴BG ∥CD(2) 连接BD .由(1)，得BC ∥DF ，BG ∥CD ，∴四边形BCDH 是平行四边形．∴BC ＝DH .在Rt △ABC 中，∵AB ＝3DH ，∴tan ∠ACB ＝AB BC ＝3DH DH ＝ 3.∴∠ACB ＝60°.∴∠BAC ＝30°.∴∠ADB ＝60°，BC ＝12AC .∴DH ＝12AC .情况1：当点O 在DE 的左侧时，如图①，作直径DM ，连接AM ，OH ，易得∠DAM ＝90°，∴∠AMD ＋∠ADM ＝90°.∵DE ⊥AB ，∴∠BED ＝90°.∴∠BDE ＋∠ABD ＝90°.∵∠AMD ＝∠ABD ，∴∠ADM ＝∠BDE .∵DH ＝12AC ，AC 是圆的直径，∴DH ＝OD .∴∠DOH ＝∠OHD ＝80°.∴∠ODH ＝20°.∵∠ADB ＝60°，∴∠ADM ＋∠BDE ＝40°.∴∠BDE ＝∠ADM ＝20°.情况2：当点O 在DE 的右侧时，如图②，作直径DN ，连接BN ，OH ，由情况1，得∠ADE ＝∠BDN ＝20°，∠ODH ＝20°，∴∠BDE ＝∠BDN ＋∠ODH ＝40°.综上所述，∠BDE 的度数为20°或40°第58题59. (1) 5 点拨：∵∠A ＝120°，AB ＝AC ＝5，∴∠C ＝30°.设点O 是△ABC 的外接圆的圆心，连接OA ，OB ，OC .则∠AOB ＝2∠C ＝60°.∵OA ＝OB ，∴△ABO 是等边三角形．∴R ＝OA ＝OB ＝AB ＝5. (2) 如图①，连接OM ，OA ，OB ，OP ，延长MO 交⊙O 于点P ′.∵OA ＝OB ，M 是AB 的中点，∴OM ⊥AB ，AM ＝12AB ＝12.在Rt △AMO 中，OM ＝AO 2－AM 2＝5.由题意，得PM ≤OP ＋OM ＝OP ′＋OM ＝MP ′＝18.∴当点P运动到点P ′时，PM 取得最大值，最大值为18 (3) 如图②，设BC ︵所在圆的圆心为点O ，连接OB ，OC ，OA ，AP ，OP .分别以AB ，AC 所在直线为对称轴，作出点P 关于AB 的对称点M ，点P 关于AC 的对称点N ，连接MN ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，连接PE ，PF .根据轴对称的性质，得AM ＝AP ＝AN ，PE ＝ME ，PF ＝FN ，∠MAB ＝∠P AB ，∠NAC ＝∠P AC ，∴点M ，P ，N 在以点A 为圆心，AP 长为半径的圆上．∵∠BAC ＝∠P AB ＋∠P AC ＝∠MAB ＋∠NAC ＝60°，∴∠MAN ＝120°.设AP ＝r km ，则在△AMN 中，易求MN ＝3r km ，∴PE ＋EF ＋PF ＝ME ＋EF ＋FN ＝MN ＝3r km.∴当AP 最小时，PE ＋EF ＋PF 可取得最小值．∵AP ＋OP ≥OA ，∴当点P 在OA 上时，AP 可取得最小值．此时如图③，设AB 的中点为Q ，连接BC ，CQ .∴AQ ＝12AB ＝3km ＝AC .∵∠BAC ＝60°，∴△AQC 为等边三角形．∴AQ ＝QC ＝AC ＝BQ ＝3km ，∠AQC ＝60°.∴∠ABC ＝∠QCB ＝12∠AQC ＝30°.∴∠ACB ＝90°.∴由勾股定理可求得BC ＝33km.∵∠BOC ＝60°，OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形．∴∠OBC ＝60°，OB ＝OC ＝BC ＝33km.∴∠ABO ＝90°.∴由勾股定理可求得OA ＝37km.∵OP ＝OB ＝33km ，∴AP ＝r ＝OA －OP ＝(37－33)km.∴此时PE ＋EF ＋PF ＝3r ＝(321－9)km.因此PE ＋EF ＋FP 的最小值为(321－9)km第59题。
沪科版九年级下册数学第24章 圆 含答案
沪科版九年级下册数学第24章圆含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在菱形中，点是的中点，以C为圆心、为半径作弧，交于点F，连接.若，，则阴影部分的面积为（）A. B. C. D.2、如图，是直径，点C、D将分成相等的三段弧，点P在上．已知点Q在上且，则点Q所在的弧是（）A. B. C. D.3、如图，AB和⊙O相切于点B，∠AOB=60°，则∠A的大小为（）A.15°B.30°C.45°D.60°4、在平面直角坐标系中，线段OP的两个端点坐标分别是O（0，0），P（4，3），将线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，则点P′的坐标为（）A.（3，4）B.（﹣4，3）C.（﹣3，4）D.（4，﹣3）5、如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且∠D ＝40°，则∠PCA等于（）A.50°B.60°C.65°D.75°6、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.7、国旗上的四个小五角星，通过怎样的移动可以相互得到（）A.轴对称B.平移C.旋转D.平移和旋转8、如图所示的圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，点A与点B 的距离是2 cm.若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出圆的直径是（）A.1 cmB.2 cmC.4 cmD. cm9、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（）A.3B.3C.4D.210、如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P＝40°，则∠ABC的度数为（）A.20°B.25°C.40°D.50°11、如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，连接OD、OC，下列结论：①∠DOC=90°，②AD+BC=CD，③S△AOD ：S△BOC=AD2：AO2，④OD：OC=DE：OE，⑤OD2=DE•CD，正确的有（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个12、如图，四边形为的内接四边形，若，则的度数是（）A. B. C. D.13、下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（）A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形14、在△ABC中，AB=3，AC= ．当∠B最大时，BC的长是（）A. B. C. D.215、已知RtΔABC中，∠ACB=90°，AC= 4，BC=3，以AB边所在的直线为轴，将ΔABC旋转一周，则所得几何体的表面积是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、在半径为5的⊙O中，弦AB的长为5，则∠AOB＝________.17、如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为直径，BC=4，点E是△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于点D，则DE=________．18、已知圆锥的母线长5，底面半径为3，则圆锥的侧面积为________，圆锥侧面展开图形的圆心角是________度．19、如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，AE＝4cm，则OF的长度是________cm.20、已知圆锥如图所示放置,.其主视图面积为12，俯视图的周长为6π，则该圆锥的侧面积为________.21、如果一个正多边形每一个内角都等于144°，那么这个正多边形的边数是________．22、如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的弦AB 与小圆相交，则弦AB的取值范围是________.23、如图，点B是的半径上的中点，过点B作的垂线交于点是上一点，，过点C作的切线l，连接并延长交直线l于点F．已知的半径为4，则为________．24、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O是AB上一点，⊙O与BC相切于点E，交AB于点F，连接AE，若AF=2BF，则∠CAE的度数是________．25、如图，△ABC为等边三角形，AB=6，动点O在△ABC的边上从点A出发沿着A→C→B→A的路线匀速运动一周，速度为1个长度单位每秒，以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是出发后第________秒．三、解答题(共5题，共计25分)26、我们知道，长方形绕着它的一边旋转形成圆柱体，圆柱体的侧面展开图为长方形，现将一个长、宽分别为4cm和3cm的长方形绕着它的宽旋转一周，求形成的圆柱体的表面积．27、已知点P（2，﹣3）在第四象限，求：（1）点P分别关于x轴、y轴、原点的对称点M1、M2、M3的坐标；（2）P点分别到x轴、y轴、原点的距离．28、如图，⊙O是梯形ABCD的内切圆，AB∥DC，E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点．（1）求证：AB+CD=AD+BC；（2）求∠AOD的度数．29、如图所示,在边长为1的网格中作出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90∘,再向下平移2格后的图形△A′B′C′.30、如图，在5×7的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形顶点叫做格点，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕着点O顺时针旋转90°得到△A′B′C′，请在图中画出旋转后的△A′B′C′．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、D3、B4、C5、C6、B7、C8、C9、D10、B11、D13、A14、C15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、30、。
九年级重难点：圆中动点求最值专训
圆中动点求最值专训一．选择题（共24小题）1．如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为，以AB为直径作⊙M，点C是优弧上的一个动点，连结AC、BC分别交⊙M于点D、E，则线段CD的最大值为（）A．B．2 C． D．2．如图，等边△ABC边长为2，射线AM∥BC，P是射线AM上一动点（P不与A点重合），△APC的外接圆交BP于Q，则AQ长的最小值为（）A．1 B．C．D．3．如图，已知⊙O的直径AB=6，弦CD⊥AB于H，⊙O′分别切⊙O、AB、CD于点E、F、G，则当⊙O′的半径取得最大值时，边BC的长度是（）A．3.5 B．3 C．2.5 D．24．如图，∠MAN=45°，B、C为AN上的两点，且AB=BC=2，D为射线AN上的一个动点，过B、C、D三点作⊙O，则sin∠BDC的最大值为（）A．B．C．D．5．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB上的一点，将△BCE沿CE折叠至△FCE，若CF，CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，则⊙O的半径为（）A．1 B．﹣1 C．﹣1 D．6．如图，△ABC内接于⊙O，过BC的中点D作直线l∥AC，l与AB交于点E，与⊙O交于点G、F，与⊙O在点A处的切线交于点P，若PE=3，ED=2，EF=3，则PA的长度为（）A．B．C．D．7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以OB为直径画圆M，过D作⊙M的切线，切点为N，分别交AC、BC于点E、F，已知AE=5，CE=3，则DF的长是（）A．3 B．4 C．4.8 D．58．如图，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为（）A．4 B．C．D．29．如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作⊙A、⊙B，M，N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（）A．5﹣4 B．﹣1 C．6﹣2D．10．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为劣弧上一点，PA交BD于点M，PB交AC于点N，记∠PBD=θ．若MN⊥PB，则2cos2θ﹣tanθ的值（）A．B．1 C．D．11．如图，以G（0，1）为圆心，2为半径的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D 两点，点E为圆G上一动点，CF⊥AE于F，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F经过的路径长为（）A．B．C．D．12．如图，⊙P在第一象限，半径为3．动点A沿着⊙P运动一周，在点A运动的同时，作点A关于原点O的对称点B，再以AB为边作等边三角形△ABC，点C在第二象限，点C 随点A运动所形成的图形的面积为（）A．B．27πC．D．π13．如图，正方形纸片ABCD的边长为4cm，点M、N分别在边AB、CD上．将该纸片沿MN折叠，使点D落在边BC上，落点为E，MN与DE相交于点Q．随着点M的移动，点Q移动路线长度的最大值是（）A．4cm B．2cm C．cm D．1cm14．如图，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=2AD=6，直线BD、CE交于点P，Rt△ABC固定不动，将△ADE绕点A旋转一周，点P的运动路径长为（）A．12πB．8πC．6πD．4π15．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（）A．π B．πC．2D．216．如图，直线y=2x与双曲线（x＞0）交于点A，将直线y=2x向右平移3个单位后，与双曲线（x＞0）交于点B，与x轴交于点C．若，则k的值为（）A．12 B．10 C．8 D．617．如图，已知⊙O的半径为5，两弦AB、CD相交于AB中点E，且AB=8，CE：ED=4：9，则圆心到弦CD的距离为（）A．B．C．D．18．如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点E，交AD 边于点F，则=（）A．B．C．D．19．如图，以OB为直径的半圆与半圆O交于点P，A、O、C、B在同一条直线上，作AD ⊥AB与BP的延长线交于点D，若半圆O的半径为2，∠D的余弦值是方程3x2﹣10x+3=0的根，则AB的长等于（）A． B．C．8 D．520．如图，I为△ABC的内心，△ABC的外接圆O，O在BC上，AD、BE、CF都经过I点分别交⊙O于点D、E、F，EF交AB于点G，交AC于点H，IM⊥BC于M．则下列结论：①EF⊥AD；②AB+AC﹣BC=AI；③AD=（IM+BC）；④S△BIC：S△EFI的值随A点位置变化而变化．其中正确的是（）A．①②④ B．①②C．①②③ D．③④21．如图，BC是⊙O的直径，半径为R，A为半圆上一点，I为△ABC的内心，延长AI交BC于D点，交⊙0于点E，作IF⊥BC，连接AO，BI．下列结论：①AB+AC=BC+2IF；②4∠AIB﹣∠BOA=360°；③EB=EI；④为定值，其中正确的结论有（）A．①③④ B．①②③ C．①②③④D．①②④22．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，EP∥OA，交OB于点E，且EP=6．若点F是OP的中点，则CF的长是（）A．6 B． C． D．23．如图，△ABC中，CA=CB，AB=6，CD=4，E是高线CD的中点，以CE为半径⊙C．G 是⊙C上一动点，P是AG中点，则DP的最大值为（）A．B．C．2D．24．如图，直线l与半径为3的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连结PA，设PA=m，PB=n，则m﹣n的最大值是（）A．3 B．2 C．D．圆中动点求最值专训参考答案与试题解析一．选择题（共24小题）1．如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为，以AB为直径作⊙M，点C是优弧上的一个动点，连结AC、BC分别交⊙M于点D、E，则线段CD的最大值为（）A．B．2 C． D．【解答】解：如图：连接OM，OB，OA，BD．则在Rt△OMB中，∵OB=2，MB=，∴OM=1．∵OB=2，∴∠OBM=30°．∴∠MOB=60°．连接OA．则∠AOB=120°．∴∠C=∠AOB=60°．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB=90°，∴∠CBD=30°，∴CD=BC，∴当BC取最大值时，CD最大．如图2，当BC是直径时，BC最大，此时点A、D重合．即BC=4．∴CD最大=2．故选B．2．如图，等边△ABC边长为2，射线AM∥BC，P是射线AM上一动点（P不与A点重合），△APC的外接圆交BP于Q，则AQ长的最小值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：过点B作BD⊥直线AP，垂足为D，过点C作CE⊥直线AP，垂足为E，连接QC，如图，则有BD∥CE．∵AP∥BC，∠BDE=90°，∴四边形BCED是矩形，∴∠DBC=∠ECB=90°．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠ABC=∠ACB=60°，∴∠DBA=∠ECA=30°，∴AD=1，AE=1，∴BD=，CE=．设AP=x，则DP=x+1，EP=．在Rt△BDP中，BP2=BD2+DP2=3+（x+1）2=x2+2x+4．在Rt△CEP中，CP2=CE2+EP2=3+（x﹣1）2=x2﹣2x+4．∵AM∥BC，∴∠APB=∠CBP．∵∠APB=∠ACQ，∴∠ACQ=∠CBP．∵∠QAC=∠CPB，∴△AQC∽△PCB，∴=，∴AQ=2×，∴AQ2=4×=4×=4×（1﹣）=4×（1﹣）=4﹣，当=0即x=2时，AQ2取到最小值为，此时AQ=．故选D．3．如图，已知⊙O的直径AB=6，弦CD⊥AB于H，⊙O′分别切⊙O、AB、CD于点E、F、G，则当⊙O′的半径取得最大值时，边BC的长度是（）A．3.5 B．3 C．2.5 D．2【解答】解：设⊙O′的半径为r，BC=x，∵AB为⊙O的直径，∴∠C=90°，又AB⊥CD，∴BC2=BH•BA=6（BF﹣FH）=6（BF﹣r），如图，连接O′F，OO′，∵AB为⊙O′的切线，∴△OO′F为直角三角形，∴O′O2﹣O′F2=OF2，∴（3﹣r）2﹣r2=（BF﹣3）2，∴BF2=6（BF﹣r），∴BC=BF，∴BC2=6（BC﹣r），即x2=6（x﹣r），∴r=﹣x2+x=﹣（x﹣3）2+，∴当x=3时，⊙O′的半径取得最大值，即BC的长为3，故选B．4．如图，∠MAN=45°，B、C为AN上的两点，且AB=BC=2，D为射线AN上的一个动点，过B、C、D三点作⊙O，则sin∠BDC的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：当⊙O与AM相切于D时，∠BDC最大，此时sin∠BDC的最大，如图，作BH⊥AD于H，∵∠A=45°，∴△ABH为等腰直角三角形，∴∠ADB=45°，AH=AB=，∵AD为⊙O的切线，∴AD2=AB•AC=2（2+2）=8，∴AD=2，∴DH=AH=，∴BH为△ACD的中位线，∴BH∥CD，∴CD⊥AM，∴∠ADC=90°，∴∠BDC=45°，∴sin∠BDC=．故选C．5．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB上的一点，将△BCE沿CE折叠至△FCE，若CF，CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，则⊙O的半径为（）A．1 B．﹣1 C．﹣1 D．【解答】解：连接AC交于点O，设EC与⊙O相切于点N，连接ON，∵O为正方形ABCD的中心，∴∠DCO=∠BCO，又∵CF与CE都为圆O的切线，∴CO平分∠ECF，即∠FCO=∠ECO，∴∠DCO﹣∠FCO=∠BCO﹣∠ECO，即∠DCF=∠BCE，又∵△BCE沿着CE折叠至△FCE，∴∠BCE=∠ECF，∴∠BCE=∠ECF=∠DCF=∠BCD=30°，∴∠OCN=15°，∵BC=AB=4，∴CO=AC=2，∵sin∠OCN=sin15°==，∴=，即ON=×2===﹣1，故选：C．6．如图，△ABC内接于⊙O，过BC的中点D作直线l∥AC，l与AB交于点E，与⊙O交于点G、F，与⊙O在点A处的切线交于点P，若PE=3，ED=2，EF=3，则PA的长度为（）A．B．C．D．【解答】解：∵点D为BC的中点，DE∥AC，∴DE为△ABC的中位线，∴AE=BE，∵PE=EF=3，∴四边形PBFA是平行四边形，∴PA=BF，PB∥AF，∴∠BPF=∠AFP，∵PF∥AC，∴∠AFP=∠FAC，∴BPF=∠FAC，又∵∠FBC=∠FAC，∴∠FBC=∠BPF，∵∠DFB=∠BFP，∴△BFD∽△PFB，∴，即=∴BF=，∴PA=BF=．故选C．7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以OB为直径画圆M，过D作⊙M的切线，切点为N，分别交AC、BC于点E、F，已知AE=5，CE=3，则DF的长是（）A．3 B．4 C．4.8 D．5【解答】解：延长EF，过点B作直线平行AC和EF相交于P，∵AE=5，EC=3，∴AC=AE+CE=8，∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC=AC=4，AC⊥BD，∴OE=OC﹣CE=4﹣3=1，∵以OB为直径画圆M，∴AC是⊙M的切线，∵DN是⊙M的切线，∴EN=OE=1，MN⊥AN，∴∠DNM=∠DOE=90°，∵∠MDN=∠EDO，∴△DMN∽△DEO，∴DM：MN=DE：OE，∵MN=BM=OM=OB，∴DM=OD+OM=3MN，∴DE=3OE=3，∵OE∥BP，∴OD：OB=DE：EP，∵OD=OB，∴DE=EP=3，∴BP=2OE=2，∵OE∥BP，∴△EFC∽△PFB，∴EF：PF=EC：BP=3：2，∴EF：EP=3：5，∴EF=EP×=1.8，∴DF=DE+EF=3+1.8=4.8．故选C．8．如图，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为（）A．4 B．C．D．2【解答】解：如图，分别作∠A与∠B角平分线，交点为P．∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AP与BP为CD、CE垂直平分线．又∵圆心O在CD、CE垂直平分线上，则交点P与圆心O重合，即圆心O是一个定点．连接OC．若半径OC最短，则OC⊥AB．又∵∠OAC=∠OBC=30°，AB=4，∴OA=OB，∴AC=BC=2，∴在直角△AOC中，OC=AC•tan∠OAC=2×tan30°=．故选：B．9．如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作⊙A、⊙B，M，N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（）A．5﹣4 B．﹣1 C．6﹣2D．【解答】解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，则此时PM+PN最小，∵点A坐标（2，3），∴点A′坐标（2，﹣3），∵点B（3，4），∴A′B==5，∴MN=A′B﹣BN﹣A′M=5﹣3﹣1=5﹣4，∴PM+PN的最小值为5﹣4．故选A．10．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为劣弧上一点，PA交BD于点M，PB交AC于点N，记∠PBD=θ．若MN⊥PB，则2cos2θ﹣tanθ的值（）A．B．1 C．D．【解答】解：设⊙O的半径为1，则BD=2．连结PD，则∠BPD=90°．在Rt△BPD中，PB=BD•cosθ=2cosθ．在Rt△BON中，BN==，在Rt△BMN中，MN=BN•tanθ=，在Rt△PMN中，∵∠MPN=∠APB=∠ADB=45°，∴PN=MN=．∵BN+PN=PB，∴+=2cosθ，∴1+tanθ=2cos2θ，∴2cos2θ﹣tanθ=1．故选B．11．如图，以G（0，1）为圆心，2为半径的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D 两点，点E为圆G上一动点，CF⊥AE于F，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F经过的路径长为（）A．B．C．D．【解答】解：连接AC，AG，∵GO⊥AB，∴O为AB的中点，即AO=BO=AB，∵G（0，1），即OG=1，∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AO==，∴AB=2AO=2，又∵CO=CG+GO=2+1=3，∴在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC==2，∵CF⊥AE，∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，当E位于点B时，CO⊥AE，此时F与O重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在Rt△ACO中，tan∠ACO==，∴∠ACO=30°，∴度数为60°，∵直径AC=2，∴的长为=π，则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长．故选B．12．如图，⊙P在第一象限，半径为3．动点A沿着⊙P运动一周，在点A运动的同时，作点A关于原点O的对称点B，再以AB为边作等边三角形△ABC，点C在第二象限，点C 随点A运动所形成的图形的面积为（）A．B．27πC．D．π【解答】解：如图所示，点C随A运动所形成的图形为圆，可得OC=OA，OC′=OA′，∴CC′=OC′﹣OC=（OA′﹣OA）=AA′=6，∴点C随点A运动所形成的圆的面积为π×（3）2=27π，故选B．13．如图，正方形纸片ABCD的边长为4cm，点M、N分别在边AB、CD上．将该纸片沿MN折叠，使点D落在边BC上，落点为E，MN与DE相交于点Q．随着点M的移动，点Q移动路线长度的最大值是（）A．4cm B．2cm C．cm D．1cm【解答】解：如图，取AB、CD中点K、G，连接KG、BD交于点O．由题意可知点Q运动的路线就是线段OG，∵DO=OB，DG=GC，∴OG=BC=×4=2．∴点Q移动路线长度的最大值是2．故选B．14．如图，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=2AD=6，直线BD、CE交于点P，Rt△ABC固定不动，将△ADE绕点A旋转一周，点P的运动路径长为（）A．12πB．8πC．6πD．4π【解答】解：如图，作△ABC的外接圆⊙O，△ADE绕点A旋转一周，点P的运动轨迹是，当AD⊥BD时，∵AB=2AD，∴∠ABD=30°，∵∠ABC=45°，∴∠OBP=15°，∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP=15°∴∠POC=∠OPB+∠OBP=30°，当AE′⊥CE′时，同理可得∠BOP′=30°，∴∠POP′=120°，∵AC=AB=6，∠BAC=90°，∴BC=AB=12，∴OP=6，∴==4π，故选D．15．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（）A．π B．πC．2D．2【解答】解：取AB的中点O、AE的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，∴AB=BC=4，∴OC=AB=2，OP=AB=2，∵M为PC的中点，∴OM⊥PC，∴∠CMO=90°，∴点M在以OC为直径的圆上，点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF=OC=2，∴M点的路径为以EF为直径的半圆，∴点M运动的路径长=•2π•1=π．故选B．16．如图，直线y=2x与双曲线（x＞0）交于点A，将直线y=2x向右平移3个单位后，与双曲线（x＞0）交于点B，与x轴交于点C．若，则k的值为（）A．12 B．10 C．8 D．6【解答】解：∵直线y=2x与双曲线（x＞0）交于点A，将直线y=2x向右平移3个单位后，∴y=2（x﹣3）=2x﹣6，∵与双曲线（x＞0）交于点B，与x轴交于点C．若，∴AD=2BE，∴假设B点的横坐标为3+x，∴B点的纵坐标为：y=2（x+3）﹣6=2x，∴BE=2x，AD=4x，∵y=2x，∴OD=AD=2x，∴A点的纵坐标为：4x，根据A，B都在反比例函数图象上得出：∴2x×4x=（3+x）×2x，x=1，∴k的值为：2×1×4×1=8，故选：C．17．如图，已知⊙O的半径为5，两弦AB、CD相交于AB中点E，且AB=8，CE：ED=4：9，则圆心到弦CD的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：作OF⊥CD，垂足为F，∵两弦AB、CD相交于AB中点E，且AB=8，CE：ED=4：9，∴AE=BE=4，AE×BE=CE×DE，假设CE=4x，DE=9x，∴4×4=4x•9x，解得：x=，∴CE=4×=，DE=9×=6；∵OF⊥CD，∴DF=CF=，⊙O的半径为5，∴OF==．故选A．18．如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点E，交AD 边于点F，则=（）A．B．C．D．【解答】解：连接OE、OF、OC．∵AD、CF、CB都与⊙O相切，∴CE=CB；OE⊥CF；OF平分∠AFC，OC平分∠BCF．∵AF∥BC，∴∠AFC+∠BCF=180°，∴∠OFC+∠OCF=90°，∴∠COF=90°．∴△EOF∽△EOC，得OE2=EF•EC．设正方形边长为a，则OE=a，CE=a．∴EF=a．∴=．故选C．19．如图，以OB为直径的半圆与半圆O交于点P，A、O、C、B在同一条直线上，作AD ⊥AB与BP的延长线交于点D，若半圆O的半径为2，∠D的余弦值是方程3x2﹣10x+3=0的根，则AB的长等于（）A． B．C．8 D．5【解答】解：∵3x2﹣10x+3=0，∴x=3（不合题意，舍去）或x=．∴cosD=AD：BD=1：3，设AD=x，则BD=3x．∴AB==2x，BC=2x﹣4．∴（2x）2=（2x﹣4）•x．∴x=0（舍去），或x=2．∴AB=2×2=8．故选C．20．如图，I为△ABC的内心，△ABC的外接圆O，O在BC上，AD、BE、CF都经过I点分别交⊙O于点D、E、F，EF交AB于点G，交AC于点H，IM⊥BC于M．则下列结论：①EF⊥AD；②AB+AC﹣BC=AI；③AD=（IM+BC）；④S△BIC：S△EFI的值随A点位置变化而变化．其中正确的是（）A．①②④ B．①②C．①②③ D．③④【解答】解：∵I为△ABC的内心，∴∠ABE=∠CBE，∠ACF=∠BCF，∠BAD=∠CAD，∴弧AE+弧AF+弧CD=180°，∴∠AGF=∠EAD+∠AEF=90°，∴①正确；∵O在BC上，∴∠BAC=90°，∵I是△ABC的内心，∴CM=BM，CQ=CM，BM=BH，∴∠IQA=∠CAB=∠IHA=90°，IQ=IH，∴四边形QIHA是正方形，∴IQ=AQ=AI=IH，∴AC﹣IH+AB﹣IH=BC，∴IH=（AC+AB﹣BC），由勾股定理得：AI=IH，∴②正确；AD=AI+ID=（AC+AB﹣BC）+BC，=AC+AB，（IM+BC）=[（AC+AB﹣BC）+BC]=AC+AB，∴③正确；∵∠F=∠EBC，∠FEI=∠ICM，∴△EFI∽△CBI，∴=，∵BC一定，∴④错误；故选C．21．如图，BC是⊙O的直径，半径为R，A为半圆上一点，I为△ABC的内心，延长AI交BC于D点，交⊙0于点E，作IF⊥BC，连接AO，BI．下列结论：①AB+AC=BC+2IF；②4∠AIB﹣∠BOA=360°；③EB=EI；④为定值，其中正确的结论有（）A．①③④ B．①②③ C．①②③④D．①②④【解答】解：①∵直角三角形内切圆半径=，∴IF=，∴AB+AC=BC+2IF，正确；②∵I为△ABC的内心，∴∠BIA=90+∠C，∴4∠BIA=360°+2∠C，∵∠BOA=2∠C，∴4∠AIB﹣∠BOA=360°，正确；③∵点I是△ABC的内心，∴∠FBI=∠ABI，∠CAD=∠BAD，∵∠CAD=∠EBC，∴∠EBC=∠BAD，∴∠EBC+∠FBI=∠ABI+∠BAD∴∠EIB=∠EBI，∴EB=EI．③正确；④作EN⊥AC于点N，EM⊥AB于点M，连接EC，EB，那么四边形ENAM是矩形，∠ENC=∠EMB=90°，∵∠BAC是直角，AI平分∠BAC，∴∠EAN=45°，∴EN=AN，∴四边形ENAM是正方形，∴（AM+AN）=AE，EN=EM，∵∠CEN+∠NEB=90°，∠NEB+∠MEB=90°，∴∠CEN=∠BEM，∴△CEN≌△BEM，∴CN=BM，∴（AB+AC）=AE，由（1）得AB+AC=BC+2IF，∴AB+AC=2R+2IF，IF+R=，∴=，∴④正确．故选C．22．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，EP∥OA，交OB于点E，且EP=6．若点F是OP的中点，则CF的长是（）A．6 B． C． D．【解答】解：∵EP∥OA，∴∠DEP=∠AOB=60°，∵PD⊥OB，∴PD=PE=×6=3，∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC=PD=3，∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，∴∠POC=×60°=30°，∴OP=2PC=6，∵点F是OP的中点，∴CF=OP=×6=3．故选D．23．如图，△ABC中，CA=CB，AB=6，CD=4，E是高线CD的中点，以CE为半径⊙C．G 是⊙C上一动点，P是AG中点，则DP的最大值为（）A．B．C．2D．【解答】解：连接BG，如图．∵CA=CB，CD⊥AB，AB=6，∴AD=BD=AB=3．又∵CD=4，∴BC=5．∵E是高线CD的中点，∴CE=CD=2，∴CG=CE=2．根据两点之间线段最短可得：BG≤CG+CB=2+5=7．当B、C、G三点共线时，BG取最大值为7．∵P是AG中点，D是AB的中点，∴PD=BG，∴DP最大值为．故选A．24．如图，直线l与半径为3的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连结PA，设PA=m，PB=n，则m﹣n的最大值是（）A．3 B．2 C．D．【解答】解：如图，作直径AC，连接CP，∴∠CPA=90°，∵AB是切线，∴CA⊥AB，∵PB⊥l，∴AC∥PB，∴∠CAP=∠APB，∴△APC∽△PBA，∴=，∵PA=m，PB=n，半径为3，∴=，∴n=m2，∴m﹣n=m﹣m2=﹣m2+m=﹣（m﹣3）2，∴m﹣n的最大值是．故选C．。
沪科版九年级下册数学第24章 圆 阶段核心题型 圆中常见的计算题型
9．如图，在“世界杯”足球比赛中，队员甲带球向对方球 门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同队队员乙已经助 攻冲到B点，现有两种射门方式：一是由队员甲直接 射门；二是队员甲将球迅速传给队员 乙，由队员乙射门．从射门角度考虑， 你认为选择哪种射门方式较好？为什么？
【点拨】本题运用转化思想，将射门角度大小的问 题，通过建模转化到圆中，根据圆周角的相关知识 来解决实际问题．
∵点C运动到如图所示的位置时，PC距离最大， ∴PC经过圆心．
∵PA，PB为⊙O的切线， ∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°.
又∵PC＝PC，∴△APC≌△BPC(SAS)， ∴∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC. ∴∠APC＝∠ACP＝30°. ∴AP＝AC.∴AP＝AC＝PB＝BC. ∴四边形APBC是菱形．
2．【中考·绍兴】在屏幕上有如下内容： 如图，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为2，过点C的 切线交AB的延长线于点D.张老师要求添加条件后，编 制一道题目，并解答．
(1)在屏幕内容中添加条件∠D＝30°，求AD的长，请你 解答．
解：连接OC，如图．
∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD. ∴∠OCD＝90°. ∵∠D＝30°，∴OD＝2OC＝2. ∴AD＝AO＋OD＝1＋2＝3.
5.【中考·赤峰】如图，AB为⊙O的直径，C，D是半圆AB 的三等分点，过点C作AD延长线的垂线CE，垂足为E.
(1)求证：CE是⊙O的切线．
证明：如图，连接 OC，OD. ∵点 C，D 为半圆 AB 的三等分点， ∴A︵D＝C︵D＝B︵C. ∴∠AOD＝∠COD＝∠BOC. ∴∠BOC＝12∠BOD.
(2)如图②，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四 边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请 说明理由．
难点详解沪科版九年级数学下册第24章圆专题练习试题(含答案及详细解析)
沪科版九年级数学下册第24章圆专题练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．把△ABC绕点A逆时针方向旋转到△AB'C'，点B'恰好落在AC边上，则CC'＝（）A．10 B．C．D．2、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，若∠BAC＝30°，BC＝2，则AB的长为（）A．4 B．6 C．8 D．103、将等边三角形绕其中心旋转n时与原图案完全重合，那么n的最小值是（）A．60 B．90 C．120 D．1804、下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5、某村东西向的废弃小路/两侧分别有一块与l距离都为20 m的宋代碑刻A，B，在小路l上有一座亭子P．A，P分别位于B的西北方向和东北方向，如图所示．该村启动“建设幸福新农村”项目，计划挖一个圆形人工湖，综合考虑景观的人文性、保护文物的要求、经费条件等因素，需将碑刻A，B原址保留在湖岸（近似看成圆周）上，且人工湖的面积尽可能小．人工湖建成后，亭子P到湖岸的最短距离是（）A．20 m B．mC．（ - 20）m D．（m6、如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB，垂足为点E，若⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（）A．3 B．2 C．1 D7、下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．8、将一把直尺、一个含60°角的直角三角板和一个光盘按如图所示摆放，直角三角板的直角边AD 与直尺的一边重合，光盘与直尺相切于点B，与直角三角板相切于点C，且3AB ，则光盘的直径是（）A．6 B．C．3 D．9、下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C ．D ．10、下列判断正确的个数有（ ）①直径是圆中最大的弦；②长度相等的两条弧一定是等弧；③半径相等的两个圆是等圆；④弧分优弧和劣弧；⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、两直角边分别为6、8，那么Rt ABC 的内接圆的半径为____________．2、如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB C D '''的位置，旋转角为()090αα︒<<︒．若1110∠=︒，则α的大小为________（度）．3、如图，半圆O 中，直径AB ＝30，弦CD ∥AB ，CD 长为6π，则由CD 与AC ，AD 围成的阴影部分面积为_______．4、如图，在平面直角坐标系中，点N 是直线5y x =-+上动点，M 是C 上动点，若点C 的坐标为()2,0-，且C 与y 轴相切，则MN 长度的最小值为____________．5、把一个正六边形绕其中心旋转，至少旋转________度，可以与自身重合．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在Rt ABC △中，90BCA ∠=︒，AC BC =，将ABC 绕着点A 顺时针旋转得到ADE ，连接BD ，连接CE 并延长交BD 于点F ．（1）求BFE ∠的度数；（2）若5AC BC ==，且CE EF =，求DF 的长．2、如图，在6×6的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，A ，B 两点均在格点上．请按要求在图①，图②，图③中画图：（1）在图①中，画等腰△ABC ，使AB 为腰，点C 在格点上．（2）在图②中，画面积为8的四边形ABCD ，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形，C ，D 两点均在格点上．（3）在图③中，画△ABC ，使∠ACB =90°，面积为5，点C 在格点上．3、如图，ABC 是⊙O 的内接三角形，75BAC ∠=︒，45ABC ∠=︒，连接AO 并延长交⊙O 于点D ，过点C 作⊙O 的切线，与BA 的延长线相交于点E ．（1）求证：AD ∥EC ；（2）若AD ＝6，求线段AE 的长．4、如图，以四边形ABCD 的对角线BD 为直径作圆，圆心为O ，点A 、C 在O 上，过点A 作AE CD ⊥的延长线于点E ，已知DA 平分BDE ∠．（1）求证：AE是O切线；（2）若4AE=，6CD=，求O的半径和AD的长．5、问题：如图，AB是O的直径，点C在O内，请仅用无刻度的直尺，作出ABC中AB边上的高.小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．作法：如图，①延长AC交O于点D，延长BC交O于点E；②分别连接AE，BD并延长相交于点F；③连接FC并延长交AB于点H．所以线段CH即为ABC中AB边上的高．（1）根据小芸的作法，补全图形；（2）完成下面的证明．证明：∵AB是O的直径，点D，E在O上，∴ADB AEB∠=∠=________°．（______）（填推理的依据）∴AE BE⊥，BD AD⊥．∴AE，________是ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是ABC的高所在直线．∴CH是ABC中AB边上的高．-参考答案-一、单选题1、D【分析】首先运用勾股定理求出AC的长度，然后结合旋转的性质得到AB= AB'，BC= B'C'，从而求出B'C，即可在Rt△B'C'C中利用勾股定理求解．【详解】解：∵在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∴10AC=，由旋转性质可知，AB= AB'=6，BC= B'C'=8，∴B'C=10-6=4，在Rt△B'C'C中，CC'=故选：D．本题考查勾股定理，以及旋转的性质，掌握旋转变化的基本性质，熟练运用勾股定理求解是解题关键．2、A【分析】根据直径所对的圆角为直角，可得90C ∠=︒ ，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴90C ∠=︒ ，∵∠BAC ＝30°，BC ＝2，∴24AB BC ==．故选：A【点睛】本题主要考查了直径所对的圆角，直角三角形的性质，熟练掌握直径所对的圆角为直角；直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．3、C【分析】根据旋转对称图形的概念（把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角），找到旋转角，求出其度数．【详解】解：等边三角形绕其中心旋转n 时与原图案完全重合，因而绕其中心旋转的最小度数是3603=120°． 故选C ．本题考查了根据旋转对称性，掌握旋转的性质是解题的关键．4、A【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．5、D【分析】根据人工湖面积尽量小，故圆以AB为直径构造，设圆心为O，当O，P共线时，距离最短，计算即可．【详解】∵人工湖面积尽量小，∴圆以AB为直径构造，设圆心为O，过点B作BC⊥l，垂足为C，∵A，P分别位于B的西北方向和东北方向，∴∠ABC=∠PBC=∠BOC=∠BPC=45°，∴OC=CB=CP=20，∴OP=40，OB∴最小的距离PE=PO-OE m），故选D．【点睛】本题考查了圆的基本性质，方位角的意义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握圆中点圆的最小距离是解题的关键．6、B【分析】连接OC，由垂径定理，得到CE=4，再由勾股定理求出OE的长度，即可求出AE的长度．【详解】解：连接OC，如图∵AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为点 E ，CD =8， ∴118422CE CD ==⨯=，∵5AO CO ==，∴3OE ，∴532AE =-=；故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出3OE =．7、C【分析】根据中心对称图形的概念：一个平面图形绕某一点旋转180,如果旋转后的图形能够和原图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是对称中心. 根据中心对称图形的概念对各选项进行一一分析判定即可求解．【详解】A 、不是中心对称图形，不符合题意；B 、不是中心对称图形，不符合题意；C 、是中心对称图形，符合题意；D 、不是中心对称图形，不符合题意．【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握好中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能够与原来的图形重合．8、D【分析】如图所示，设圆的圆心为O ，连接OC ，OB ，由切线的性质可知∠OCA =∠OBA =90°，OC =OB ，即可证明Rt △OCA ≌Rt △OBA 得到∠OAC =∠OAB ，则()1==180=602OAC OAB DAC ︒-︒∠∠∠，∠AOB =30°，推出OA=2AB =6，利用勾股定理求出OB =O 的直径为【详解】解：如图所示，设圆的圆心为O ，连接OC ，OB ，∵AC ，AB 都是圆O 的切线，∴∠OCA =∠OBA =90°，OC =OB ，又∵OA =OA ，∴Rt △OCA ≌Rt △OBA （HL ），∴∠OAC =∠OAB ，∵∠DAC =60°， ∴()1==180=602OAC OAB DAC ︒-︒∠∠∠， ∴∠AOB =30°，∴OA =2AB =6，∴OB =∴圆O 的直径为【点睛】本题主要考查了切线的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟知切线的性质是解题的关键．9、B【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐项分析【详解】解：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项正确，符合题意；C. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；D. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．10、B【详解】①直径是圆中最大的弦；故①正确，②同圆或等圆中长度相等的两条弧一定是等弧；故②不正确③半径相等的两个圆是等圆；故③正确④弧分优弧、劣弧和半圆，故④不正确⑤同一条弦所对的两条弧可位于弦的两侧，故不一定相等，则⑤不正确．综上所述，正确的有①③故选B【点睛】本题考查了圆相关概念，掌握弦与弧的关系以及相关概念是解题的关键．二、填空题1、5【分析】直角三角形外接圆的直径是斜边的长．【详解】解：由勾股定理得：AB，∵∠ACB=90°，∴AB是⊙O的直径，∴这个三角形的外接圆直径是10，∴这个三角形的外接圆半径长为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，知道直角三角形外接圆的直径是斜边的长是关键；外心是三边垂直平分线的交点，外心到三个顶点的距离相等．2、20【分析】先利用旋转的性质得到∠ADC=∠D=90°，∠DAD′=α，再利用四边形内角和计算出∠BAD‘=70°，然后利用互余计算出∠DAD′，从而得到α的值．【详解】∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A′B′C′D′的位置，∴∠ADC=∠D=90°，∠DAD′=α，∵∠ABC=90°，∴∠BAD’=180°-∠1=180°-110°=70°，∴∠DAD′=90°-70°=20°，即α=20°．故答案为20．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．3、45【分析】连接OC，OD，根据同底等高可知S△ACD=S△OCD，把阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式S=12lr来求解．【详解】解：连接OC，OD，∵直径AB=30，∴OC=OD=130152⨯=，∴CD∥AB，∴S△ACD=S△OCD，∵CD长为6π，∴阴影部分的面积为S阴影=S扇形OCD=1615452ππ⨯⨯=，故答案为：45π．【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解阴影部分的面积=扇形COD的面积是解题的关键．4-2【分析】由图可知，当CN⊥AB且C、M、N三点共线时，MN长度最小，利用勾股定理求出CN的长，故可求解．【详解】由图可知，当CN ⊥AB 且C 、M 、N 三点共线时，MN 长度最小∵直线AB 的解析式为5y x =-+当x =0时，y =5，当y =0时，x =5∴B （0，5），A （5，0）∴AO =BO ，△AOB 是等腰直角三角形∴∠BAO =90°当CN ⊥AB 时，则△ACN 是等腰直角三角形∴CN =AN∵C ()2,0-∴AC =7∵AC 2=CN 2+AN 2=2CN 2∴CN 当 C 、M 、N 三点共线时，MN 长度最小即MN =CN -CM -2-2．【点睛】此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是根据题意找到符合题意的位置，利用等腰直角三角形的性质求解．5、60【分析】正六边形连接各个顶点和中心，这些连线会将360°分成6分，每份60°因此至少旋转60°，正六边形就能与自身重合．【详解】360°÷6=60°故答案为：60【点睛】本题考查中心对称图形的性质，根据图形特征找到最少旋转度数是本题关键．三、解答题1、（1）45°；（2）DF =【分析】（1）根据旋转的性质得AC AE =，AB AD =，90ACB AED ∠=∠=︒，45BAC DAE ∠=∠=︒，通过等量代换及三角形内角和得AEC ADB ∠=∠，根据四点共圆即可求得；（2）连接EB ，先证明出()SAS BCE DEF ≌△△，根据全等三角形的性质得45BEF BFE ∠=∠=︒，在BDE 中利用勾股定理，即可求得．【详解】解：（1）由旋转可知：AC AE =，AB AD =，90ACB AED ∠=∠=︒，45BAC DAE ∠=∠=︒，∴BAD CAE ∠=∠，ACE AEC ∠=∠，ABD ADB ∠=∠．由三角形内角和定理得AEC ADB ∠=∠，∴点A ，D ，F ，E 共圆． ∴45BFE DAE ∠=∠=︒．（2）连接EB ，∵AC AE =，∴ACE AEC ∠=∠．∵90ACB AED ∠=∠=︒， ∴BCE DEF ∠=∠．又∵CE EF =，CB ED =，∴()SAS BCE DEF ≌△△． ∴BEC DFE ∠=∠，BE DF =． ∴45BEF BFE ∠=∠=︒． 在BDE 中，90DBE ∠=︒，BF BE DF ==，5DE =， ∵222BE BD DE +=，∴DF =【点睛】 本题考查了旋转的性质、三角形全等判定及性质、勾股定理、三角形内角和等，解题的关键是掌握旋转的性质．2、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）因为AB=5，作腰为5的等腰三角形即可（答案不唯一）；（2）作边长为2，高为4的平行四边形即可；（3）根据（1）的结论，作BG边的中线，即可得解．【详解】解：（1）如图①中，△ABC即为所求作（答案不唯一）；（2）如图②中，平行四边形ABCD即为所求作；（3）如图③中，△ABC即为所求作（答案不唯一）；∵AB =AG ，BC =CG ，∴AC ⊥BG ，∵△ABG 的面积为154102⨯⨯=，∴△ABC 的面积为5，且∠ACB =90°．【点睛】本题考查作图-应用与设计，等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．3、（1）见解析；（2）6【分析】（1）连接OC ，根据CE 是⊙O 的切线，可得∠OCE ＝90︒，根据圆周角定理，可得∠AOC =90︒，从而得到∠AOC +∠OCE ＝180︒，即可求证；（2）过点A 作AF ⊥EC 交EC 于点F ，由∠AOC ＝90︒，OA ＝OC ，可得∠OAC ＝45︒，从而得到∠BAD ＝30，再由AD ∥EC ，可得30E ∠=︒，然后证得四边形OAFC 是正方形，可得AF OA =，从而得到AF =3，再由直角三角形的性质，即可求解．【详解】证明：（1）连接OC ，∵CE 是⊙O 的切线，∴∠OCE ＝90︒，∵∠ABC ＝45︒，∴∠AOC ＝2∠ABC ＝90︒，∵∠AOC +∠OCE ＝180︒，∴AD ∥EC ；（2）解：过点A 作AF ⊥EC 交EC 于点F ，∵∠AOC ＝90︒，OA ＝OC ，∴∠OAC ＝45︒，∵∠BAC ＝75︒，∴∠BAD ＝754530BAC OAC ∠-∠=︒-︒=︒，∵AD ∥EC ，∴30E BAD ∠=∠=︒，∵∠OCE ＝90︒，∠AOC ＝90︒，∠AFC =90°，∴四边形OAFC 是矩形，∵OA ＝OC ，∴四边形OAFC 是正方形，∴AF OA =，∵6AD =， ∴132AF AD ==， 在Rt △AFE 中，30E ∠=︒，∴AE =2AF =6．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，正方形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．4、（1）证明见解析（2）【分析】（1）连接OA，根据已知条件证明OA⊥AE即可解决问题；（2）取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得OF⊥CD，所以四边形AEFO是矩形，利用勾股定理即可求出结果．（1）证明：如图，连接OA，∵AE⊥CD，∴∠DAE+∠ADE=90°．∵DA平分∠BDE，∴∠ADE=∠ADO，又∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠DAE+∠OAD=90°，∴OA⊥AE，∴AE是⊙O切线；（2）解：如图，取CD中点F，连接OF，∴OF⊥CD于点F．∴四边形AEFO是矩形，∵CD=6，∴DF=FC=3．在Rt△OFD中，OF=AE=4，∴5OD=，在Rt△AED中，AE=4，ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2，∴AD=∴AD的长是【点睛】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．5、（1）见详解；（2）90，直径所对的圆周角是直角，BD．【分析】（1）根据作图步骤作出图形即可；（2）根据题意填空，即可求解．【详解】解：（1）如图，CH为△ABC中AB边上的高；（2）证明：∵AB是O的直径，点D，E在O上，∴ADB AEB∠=∠=___90_°．（__直径所对的圆周角是直角_）（填推理的依据）∴AE BE⊥，BD AD⊥．∴AE，_BD__是ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是ABC的高所在直线．∴CH是ABC中AB边上的高．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，BD．【点睛】本题考查了圆周角定理的推理，三角形的三条高线相交于一点等知识，熟知两个定理，并根据题意灵活应用是解题关键．。
2024年中考数学复习--圆的最值问题专项练习
圆的最值问题专项练习核心知识点1 线段的最值知识赋能1.在动点问题中寻找临界条件，找到几何最值.2.利用转化思想，把已知和需求转移到相对集中的图形中解决问题.例1 一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是 .例2 如图，两个同心圆O，小圆的半径为1，大圆的半径为√5，点A为小圆上的动点，P，Q是大圆上的两个动点，且AP⊥AQ，则PQ的长的最大值是 .例3 如图，抛物线y=1(x+2)(x−4)与x轴交于A, B两点, P是以点C(0, 3)为圆心,2为半径的圆上的动点，Q是线段4PA上靠近点A的三等分点，连接OQ，则线段OQ的最大值是 .核心知识点2 线段和路径的最值知识赋能1.熟悉将军饮马模型中的各种线段和求最早问题的常见模型.2.数形结合，利用代数方法表示几何变换结果.例4 如图，已知⊙O的半径是1，C，D 是直径AB 同侧圆周上的两点，弧 AC 的度数为96°, 弧 BD的度数为36°,,动点P 在AB上, 则PC+PD的最小值为 .例5 如图, 在矩形ABCD中, BC=8, AB=6, 经过点 B 和点 D 的两个动圆均与AC相切,且与AB, BC, AD, DC分别交于点G, H, E, F, 则EF+GH的最小值是 .例6 如图，抛物线y=1532(x−6)2−158与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C，点A关于抛物线对称轴的对称点为点D，点E在y轴上，点F在以点C为圆心，半径为2的圆上, 则 DE+EF的最小值是 .例7 如图，圆锥的底面半径R=3，母线l=5dm，AB为底面直径，C 为底面圆周上一点，∠COB=150°, D为VB上一点, VD=√7dm..现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点 C爬到D，则蚂蚁爬行的最短路程是 .核心知识点3 面积的最值知识赋能1.熟悉圆与圆各种相切关系的对应半径之间的关系.2.把面积最值的问题转化为某个几何量的最值问题求解.例8 如图, 在矩形ABCD中, AD=9, CD=8, ⊙O₁与⊙O₂是矩形内的二圆, 且⊙O₁与AB, AD相切, ⊙O₂与 CD, CB 相切,二圆又外切, 则二圆面积之和的最大值是 ,最小值是 .y例9 如图, 已知M(3, 3), ⊙M的半径为2, 四边形ABCD是⊙M的内接正方形, E为AB 中点，当正方形ABCD绕圆心M 转动时，△OME的面积最大值为 .例10 如图，有一施工工地上有三根直径为1m的水泥管道两两相切地叠放在一起，则其最高点到地面的距离为 m.中考满分学力训练1. 一只蚂蚁以10 cm/min的速度在地面上爬行，如果它在2 min 内爬行了一周，那么它爬过的最大面积约是( )cm².A. 31.8B. 25C. 19.2D. 402.如图，已知圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为2，一小虫在圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处，则小虫所走的最短距离为 .3. 如图,在平面直角坐标系中,已知A,B两点的坐标分别为(-2,0),(0,1),⊙C的圆心坐标为(0, -1),半径为1. 若D是⊙C上的一个动点, 射线AD与y轴交于点E，则△ABE 面积的最大值是 .4. 如图, 在Rt△ABC中, AB⊥BC, AB=6, BC=4, P是△ABC内部的一个动点, 且满足∠PAB=∠PBC, 则线段CP长的最小值为 .5.过圆内某点的所有弦长，长度最短的叫这点的极小弦.则圆内某点的极小弦与该圆过该点的半径，并且弦长被该点.6.若用半径为r的圆形桌布将边长为60 cm的正方形餐桌盖住，则r的最小值为 cm.7. 如图，要从80cm×160 cm长方形布料上裁下2个半径相等的半圆，那么裁下半圆最大直径是 cm.8.工人师傅在一个长为25cm，宽为18cm的矩形铁皮上剪去一个和三边都相切的圆后，在剩余部分的废料上再剪出一个最大的圆B，则圆B的直径是 cm.x2−4与x轴交于A, B两点, P是以点C(0, 3)为圆心, 2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，9. 如图,抛物线y=14连接OQ，则线段OQ的最大值是 .10. 如图, 动点 C 在⊙O 的弦AB 上运动, AB=2√3,连接OC, CD⊥OC交⊙O于点D, 则CD 的最大值为 .11. 以O为圆心，1 为半径的圆内有一定点A，过A引互相垂直的弦PQ，RS. 则PQ+RS的最大值是，最小值是.12. 如图，AOB是半径为1的单位圆的四分之一，半圆O₁的圆心( O₁在 OA 上, 并与弧AB内切于点A，半圆O₂的圆心O₂在OB上，并与弧AB内切于点B，半圆( O₁与半圆O₂相切，设两半圆的半径之和为x，面积之和为y.(1)试建立以x为自变量的函数y的解析式；(2)求函数y的最小值.13. 如图，堆放的一堆钢管共110根，最上面的一层有5根，每往下一层就增加一根，如果每根钢管的直径为10cm，那么这堆钢管的总高度是 cm.14. 如图, 在△ABC中, AB=10, AC=8, BC=6. 经过点C且与AB 相切的动圆与CB, CA分别相交于点E, F, 则线段EF长度的最小值是 .15.今有一副三角板如图，中间各有一个直径为2cm的圆洞，现用三角板a的30°角那一头插入三角板b的圆洞中，则三角板a通过三角板b的圆洞那一部分的最大面积为( )cm². (不计三角板厚度)A.2+√3B.2√3C. 4D.4+√316. 如图, 以G(0, 2)为圆心, 半径为4的圆与x轴交于A, B两点, 与y轴交于C, D两点, 点E为⊙G上任意一点, CF⊥AE于F, 则线段 FG的长度的最小值为 .17. 已知直线MA，NB均与线段MN为直径的半圆相切，直线AB 与半圆相切于点 F，P 在线段MN上且PF⊥MN, 当直的最大值为 .线AB变化时, 则PA+PBAB18. 如图,点 P 是圆上一动点,弦. AB=√3cm,PC 是∠APB 的平分线, ∠BAC=30°. 则当∠PAC等于多少度时, 四边形PACB有最大面积?最大面积是多少?。
沪科版九年级下册数学第24章 圆 含答案
沪科版九年级下册数学第24章圆含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则( )A.不能构成三角形B.这个三角形是等腰三角形C.这个三角形是直角三角形D.这个三角形是钝角三角形2、如图，在中，．小丽按照下列方法作图：①作的角平分线，交于点D；②作的垂直平分线，交于点E．根据小丽画出的图形，判断下列说法中正确的是（）A.点E是的外心B.点E是的内心C.点E在的平分线上 D.点E到边的距离相等3、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.4、如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为（）A.15°B.25°C.30°D.50°5、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A. B. C. D.6、已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是( )A.4B.8C.10D.127、已知在平面直角坐标系中，圆P的圆心坐标为（4，5），半径为3个单位长度，把圆P沿水平方向向左平移d个单位长度后恰好与y轴相切，则d的值是（）A.1B.2C.2或8D.1或78、如图，将Rt△ABC（∠B=25°）绕点A顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A.65°B.80°C.105°D.115°9、如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，把矩形ABCD 绕AB所在直线旋转一周所得圆柱的侧面积为( )A.10πB.4πC.2πD.210、已知圆锥的底面半径为2，侧面积为8π，则该圆锥的侧面展开图的母线长为（）A.8B.C.2D.411、在平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，圆心在原点O，则P（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（）A.在⊙O上B.在⊙O内C.在⊙O外D.不能确定12、A，B，C为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则( )A.可以画一个圆，使A，B，C都在圆周上B.可以画一个圆，使A，B在圆周上，C在圆内C.可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆外D.可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆内13、如图图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.14、如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是A. 把△ABC向右平移6格，B. 把△ABC向右平移4格，再向上平移1格 C. 把△ABC绕着点A顺时针方向90º旋转，再右平移6格 D. 把△ABC绕着点A逆时针方向90º旋转，再右平移6格15、已知的半径为，点的坐标为，点的坐标为，则点与的位置关系是（）A.点在外B.点在上C.点在内D.不能确定二、填空题(共10题，共计30分)16、半径为6的扇形的面积为，则该扇形的圆心角为________；17、如图，P是抛物线y＝x2﹣4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线y＝0相切时，点P的坐标为________．18、如图，在中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与相交于点F.若的长为，则图中阴影部分的面积为________.19、如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2,CD=1,则BE的长是________.20、如图，扇形圆心角为，半径为，点E，F分别为，中点，连接与相交于点G，则阴影部分面积为________；21、如图，点A，B，C是⊙O上的点，OA=AB，则∠C的度数为________ .22、如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB=3，OD=2，则阴影部分的面积之和为________．23、如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，∠BCD=22°30′，则⊙O的半径为________cm．24、如图，过正六边形的顶点D作一条直线于点D，分别延长交直线l于点，则________；若正六边形的面积为6，则的面积为________．25、如图，竖直放置的一个铝合金窗框由矩形和弧形两部分组成，AB=m，AD= 2m，弧CD所对的圆心角为∠COD=120°．现将窗框绕点B顺时针旋转横放在水平的地面上，这一过程中，窗框上的点到地面的最大高度为________m．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，AB＝4，BC＝3，点E是劣弧上的一点，连接AE，DE．过点C作⊙O的切线交线段AE的延长线于点F，若∠CDE＝30°，求CF的长．27、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)已知AB＝10，BC＝6，求⊙O的半径r.28、如图，在△ABC中，AB=BC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB，BC，CA分别相切于点D、E、F．（1）求证：BE=CE；（2）若∠A=90°，AB=AC=2，求⊙O的半径．29、用数学的眼光观察问题，你会发现很多图形都能看成是动静结合，舒展自如的．下面所给的三排图形(如图)，都存在着某种联系．用线将存在联系的图形连接起来．30、在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m，n），规定以下三种变换：①f（m，n）=（m，﹣n）；②g（m，n）=（﹣m，n）；③h（m，n）=（﹣m，﹣n）．（1）请你根据以上规定的变换，求f[g（﹣3，2）]的值；（2）请你以点（a，b）为例，探索以上三种变换之间的关系．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)2、A3、A4、B5、A6、D7、D8、D9、B10、D11、A12、D13、D14、D15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、29、。
沪科版数学九年级下册圆有关计算经典题型汇编二选择、填空题
沪科版数学九年级下册圆有关计算经典题型汇编二一、选择题1. 半径为 R 的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c的大小关系是 ( )A. a ＜b ＜cB. b ＜a ＜cC. a ＜c ＜bD. c ＜b ＜a2. 如图，等边三角形ABC 和正方形ADEF 都内接于⊙O ，则AD ∶AB 等于( )A. 2√2∶√3B. √2∶√3C. √3∶√2D. √3∶2√23. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝√3，BC ＝2，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交边BC于点E ，连接AE ，则DÊ的长为 ( ) A. 4π3 B. π C. 2π3 D. π3 第2题图第3题图第4题图5题图4、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，点C ，D 在直径AB 的两侧.若 ∠AOC ∶∠AOD ∶∠DOB＝2∶7∶11，CD ＝4，则CD̂的长为 ( ) A. 2π B. 4π C. √2π2 D. √2π5.如图，在半径为5的⊙O 中，将劣弧AB 沿弦AB 翻折，使折叠后的AB̂恰好与OA ，OB 相切，则劣弧AB 的长为 ( )A. 53πB. 52πC. 54πD. 56π 6、如图，在扇形OAB 中，已知∠AOB ＝90°，OA ＝√2，过AB̂的中点C 作CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，则图中阴影部分的面积为 ( )A. π－1B. π2－1C. π－12D. π2－127. 如图，在半径为10的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，C 为AB̂上一点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E.若∠CDE ＝36°，则图中阴影部分的面积为 ( )A. 10πB. 9πC. 8πD. 6π第6题图第7题图8、如图，在⊙O 中，OA ＝2，∠C ＝45°，则图中涂色部分的面积为 ( )A. π2－√2B. π－√2C. π2－2D. π－2 9. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝ √2，以点C 为圆心画弧，与斜边AB 相切于点D ，交AC 于点E ，交BC 于点F ，则图中涂色部分的面积是 ( )A. 1－π4B. π−14C. 2－π4D. 1＋π4 第8题图第9题图第10题图10、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，点O 在AB 上，经过点A 的⊙O 与BC 相切于点D ，交AB 于点E.若CD ＝√2，则图中涂色部分面积为 ( )A. 4－π2B. 2－π2C. 2－πD. 1－π4 11.如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝4，以BC 为直径的半圆O 交斜边AB 于点D ，则图中涂色部分的面积为 ( )A. 43π－√3B. 23π－√32C. 13π－√32D. 13π－√3 第11题图第12题图第13题图12、如图，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上的一点，OD ⊥AC ，垂足为D ，延长OD 与半圆O 交于点E.若AB ＝8，∠CAB ＝30°，则图中涂色部分的面积为( )A. 43π－√3B. 43π－2√3C. 83π－√3D. 83π－2√313.如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为对角线的交点，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，以点C 为圆心，2为半径作圆弧BD̂，再分别以点E ，F 为圆心，1为半径作圆弧BO ̂，OD ̂，则图中涂色部分的面积为 ( )A. π－1B. π－2C. π－3D. 4－π14、如图，直径AB ＝6的半圆，绕点B 顺时针旋转30°，此时点A 到了点A ′，则图中涂色部分的面积是 ( )A. π2B. 3π4C. πD. 3π15. 在△ABC 中，已知∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1.如图，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°后得到△AB ′C ′，则图中涂色部分的面积为 ( )A. π4B. π−√32C. π−√34D. √32π 第14题图第15题图16、如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中涂色部分的面积为 ( )A. 24√3－4πB. 12√3＋4πC. 24√3＋8πD. 24√3＋4π17. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，连接OC ，DB.如果OC ∥DB ，OC＝2√3，那么图中涂色部分的面积是 ( )A. πB. 2πC. 3πD. 4π第16题图第17题图第18题图18、如图，C ，D 是以AB 为直径的半圆的三等分点，CD ̂的长为13π，则图中涂色部分的面积为 ( )A. 16πB. 316πC. 124πD. 112π＋√3419.一个圆锥的底面半径r ＝10，高h ＝20，则这个圆锥的侧面积是 ( )A. 100√3πB. 200√3πC. 100√5πD. 200√5π20.用一个半径为3，面积为3π的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径为 ( )A. πB. 2πC. 2D. 121、如图，正方形ABCD 的边长为4，以点A 为圆心，AD 长为半径，画圆弧DE 得到扇形DAE(涂色部分，点E 在对角线AC 上). 若扇形DAE 正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是 ( )A. √2B. 1C. √22D. 12 22.一个圆锥的底面半径是4 cm ，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是( )A. 8 cmB. 12 cmC. 16 cmD. 24 cm23.如图，有一块半径为1 m ，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器(接缝忽略不计)，那么这个圆锥形容器的高为 ( )A. 14 mB. 34 mC. √154 mD. √32 m第21题图第23题图二、填空题 24.一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI 为正九边形，其中心点为O ，点M ，N分别在射线OA ，OC 上，则∠MON ＝________°.第24题第25题第26题第27题25.如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和等边三角形ABF，连接FE，FC，则∠EFA的度数是________．26. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为DÊ上一点(不与点D，E重合)，连接PC，PD，DG⊥PC，垂足为G，∠PDG的度数为________°.27. (1) 若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为________；(2) 如图，折扇的骨柄长为27 cm，折扇张开的角度为120°，图中AB̂的长为________cm.28.如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.以点B为圆心，BO长为半径画弧，̂的长为________．分别交AB，BC于点E，F.若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则EF第28题第29题第30题̂的长为29. 小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角∠AOB＝90°，测得ACD̂的长为________cm.36 cm，则ADB30.如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC，交BĈ于点D，E为半径OB 上一动点．若OB＝2，则涂色部分的周长的最小值为________．31. (1)一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为________；(2) 若一个扇形的弧长是2πcm，面积是6πcm2，则扇形的圆心角是________°；cm2，则这个扇形的弧长为________cm；(3)若一个扇形的圆心角为60°，面积为π6(4)一个扇形的面积是13πcm2，半径是6 cm，则此扇形的圆心角是________°.32. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2√3，则涂色部分的面积为________．第32题图33.如图，在△ABC中，D为BC的中点，以点D为圆心，BD长为半径画弧，交AC于点E，若∠A＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为________．第33题第34题第35题第36题34.如图，在菱形OABC中，OB是对角线，OA＝OB＝2，⊙O与边AB相切于点D，则图中涂色部分的面积为___________．35. 如图，A，B，C是⊙O上的点，连接AB，AC，BC，且∠ACB＝15°，过点O作OD ∥AB交⊙O于点D，连接AD，BD，已知⊙O半径为2，则图中涂色部分面积为________．π，则半圆的半36. 如图，C，D分别是半圆AOB上的三等分点，若涂色部分的面积是32径OA的长为________．。
沪科版数学九年级下册课时练 第24章 圆 专项4 圆中常见的计算问题
沪科版数学九年级下册第24章圆类型1有关角度的计算圆中角的计算，首先应该从弧入手，圆的弧与角是紧密相连的，然后再从特殊三角形入手．∠CAB的度数．解：如图，连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠B＝90°.∵∠ADC＝∠B，∠ADC＝3∠CAB，∴4∠CAB＝90°，∴∠CAB＝22.5°.2．如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD.(1)求证：△ABD≌△CDB；(2)若∠DCB＝37°，求∠EBD的度数．解：(1)证明：∵AB，CD是直径，∴∠ADB ＝∠CBD ＝90°.在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，BD ＝DB ，∴Rt △ABD ≌Rt △CDB (HL )．(2)∵BE 是切线，∴AB ⊥BE ，∴∠ABE ＝90°， ∴∠DBE ＋∠ABD ＝90°.∵∠C ＋∠BDO ＝90°，∠ODB ＝∠OBD ， ∴∠EBD ＝∠C ＝37°. 类型2 有关线段的计算计算线段长的方法主要有：勾股定理，三角函数，相似三角形等，因此遇到求半径或弦长问题时，应该从构造三角形入手．解：∵AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝90°， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝32＋42＝5. 如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E ， 则由垂径定理，得AD ＝2AE .∴cos A ＝AC AB ＝AE AC ＝35，∴AE ＝35AC ＝95， ∴AD ＝2AE ＝185.4．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上两点，且AB ＝4，AC ＝CD ＝1，求BD 的长． 解：如图，连接OC ，AD .∵AB 是⊙O 的直径，AB ＝4， ∴∠ADB ＝90°，OA ＝2. ∵AC ＝CD ＝1，∴AC ︵＝CD ︵， ∴AD ⊥OC .设OE ＝x ，则CE ＝2－x .在Rt △ACE 中，AE 2＋CE 2＝AC 2， 即AE 2＝AC 2－CE 2；在Rt △AOE 中，AE 2＋OE 2＝OA 2， 即AE 2＝OA 2－OE 2，∴AC 2－CE 2＝OA 2－OE 2，即12－(2－x )2＝22－x 2， 解得x ＝74.∵∠ADB ＝∠AEO ，点O 是AB 的中点， ∴OE 是△ABD 的中位线，∴BD ＝2OE ＝72. 类型3 有关弧长的计算弧长的计算可以用公式，公式中的关键量是半径和圆心角，因此求弧长就是先要求出这两个量．5．如图，边长为2的正方形ABCD 的四个顶点分别在扇形OEF 的半径OE ，OF 和 EF ︵上，且点A 是线段OB 的中点，则EF ︵的长为( D ) A.55π B.54π C.12πD.52π第5题图 第6题图6．(2019·浙江湖州吴兴区期末)如图，探究：用6个小正方形构造如图所示的网格图(每个小正方形的边长均为2)，设经过图中M ，P ，H 三点的圆弧与AH 交于点R ，则HR ︵的长为( D ) A.π2 B.24π C.34πD.52π7．(2019·甘肃白银会宁一模)如图，半圆O 的直径AB ＝6，弦CD ＝3，AD ︵的长为34π，求BC ︵的长．解：如图，连接OD ，OC .∵CD ＝3，AB ＝6，∴CD ＝OC ＝OD ＝3， ∴△CDO 是等边三角形，∴∠COD ＝60°， ∴CD ︵的长为60×π×3180＝π.又∵半圆弧的长度为12×6π＝3π， ∴BC ︵的长为3π－π－3π4＝5π4.8．制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再备料．如图所示的一段管道，其中直管道部分AB 的长为 3 000 mm ，弯形管道部分BC ，CD 弧的半径都是 1 000 mm ，∠O ＝∠O ′＝90°，计算图中中心虚线的长度．解：l＝nπr180＝90·π·1 000180＝500π(mm)，中心虚线的长度为 3 000＋500π×2＝(3 000＋1000π)mm.答：中心虚线的长度为(3 000＋1 000π)mm.角度2：点旋转后的路径长问题9．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚(如图)，那么点B从开始至结束所走过的路径长度为( B )A.3π2 B.4π3C．4 D．2＋3π210．如图，Rt△ABC的斜边AB在直线l上，AC＝1，AB＝2.将Rt△ABC绕点B在平面内按顺时针方向旋转，使边BC落在直线l上，得到△A1BC1，再将△A1BC1绕点C1在平面内按顺时针方向旋转，使边A1C1落到直线l上，得到△A2B1C1，则点A所经过的两条弧的长度和为__136π__.11．(2019·安徽六校联考)如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形(即三角形的顶点都在格点上)．(1)把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；(2)把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2；(3)如果网格中小正方形的边长为1，求点B经过(1)(2)变换的路径总长．解：(1)如图，△A 1B 1C 1即为所求． (2)如图，△A 1B 2C 2即为所求．(3)由题意，得BB 1＝32＋32＝32， B 1B 2︵的长为90π×2180＝22π，∴点B 经过(1)(2)变换的路径总长为32＋22π. 类型4 有关扇形面积的计算简单的扇形面积公式相关的量是半径和圆心角，因此求扇形面积首先从这两个量入手．复杂图形的面积方法比较灵活，如和(差)法、割补法、等积转化法等． 12．如图，AD 是半圆O 的直径，AD ＝12，B ，C 是半圆O 上两点．若AB ︵＝BC ︵＝CD ︵，则图中阴影部分的面积是( A ) A ．6π B ．12π C ．18πD ．24π第12题图 第13题图13．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ∥BC ，以点B 为圆心，BA 为半径的圆弧与BC 交于点E ，四边形AECD 是平行四边形，AB ＝6，则扇形(图中阴影部分)的面积是__6π__. 方法2：利用割补法求面积14．如图，一个半径为1的⊙O 1经过一个半径为2的⊙O 的圆心，则图中阴影部分的面积为( A ) A ．1 B.12 C. 2D.22第14题图 第15题图15．(2019·山东德州模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D 经过原点O ，与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点B 的坐标为(0，23)，OC 与⊙D 相交于点C ，∠OCA ＝30°，则图中阴影部分的面积为__2π－23__.16．(2016·安徽六安裕安区期末)如图，在⊙O 中，半径OA ⊥OB ，过OA 的中点C 作FD ∥OB 交⊙O 于D ，F 两点，且CD ＝3，以O 为圆心，OC 为半径作CE ︵，交OB 于点E . (1)求⊙O 的半径； (2)计算阴影部分的面积．解：(1)如图，连接OD .∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°.∵CD∥OB，∴∠OCD＝90°.∵C是AO的中点，∴OD＝OA＝2OC.在Rt△OCD中，设OC＝x，则x2＋(3)2＝(2x)2，∴x＝1，∴OD＝2，∴⊙O的半径为2.(2)∵sin∠CDO＝COOD＝12，∴∠CDO＝30°.∵FD∥OB，∴∠DOB＝∠ODC＝30°，∴S阴影＝S△CDO＋S扇形OBD－S扇形OCE＝12×1×3＋30π×22360－90π×12360＝32＋π12.方法3：利用等积转化法求面积17．如图，矩形ABCD的长和宽分别为2 cm和1 cm，以D为圆心，AD为半径作弧AE，再以AB的中点F为圆心，FB的长为半径作弧BE，则阴影部分的面积是( A )A．1 cm2B．2 cm2C．3 cm2D．4 cm218．(2018·广东东莞中考)如图，在矩形ABCD中，BC＝4，CD＝2，以AD为直径的半圆O 与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为__π__.(结果保留π)19．如图，半圆O的直径AB＝20，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O′，交AB于点P.(1)求AP的长；(2)求图中阴影部分的面积(结果保留π)．解：(1)∵∠OBA ′＝45°，O ′P ＝O ′B ，∴△O ′PB 是等腰直角三角形，∴PB ＝2BO ′＝2BO ＝102，∴AP ＝AB －BP ＝20－10 2.(2)S 阴影＝S 扇形A ′O ′P ＋S △O ′PB ＝14×π×102＋12×10×10＝25π＋50.。
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小专题（六） 圆中常见的最值问题
类型1 利用对称求最值
1．如图，A 点是⊙O 上直径MN 所分的半圆的一个三等分点，B 点是AN ︵
的中点，P 点是MN 上一动点，⊙O 的半径
为3，则AP ＋BP
类型2 利用垂线段最短求最值
2．如图，已知一次函数y ＝－x ＋22的图象与坐标轴分别交于A ，B 两点，⊙O 的半径为1，P 是线段AB 上一动点，过点P 作⊙O 的切线PM ，切点为M ，则PM 的最小值为3．
提示：当OP⊥AB 时，PM 取得最小值．
类型3 利用两点之间线段最短求最值
3．如图，⊙M 的半径为2，圆心M 的坐标为（3，4），点P 是⊙M 上的任意一点，PA ⊥PB ，且PA ，PB 与x 轴分别交于A ，B 两点．若点A ，B 关于原点O 对称，则AB 的最小值为6．
提示：连接PO ，由题意可知PO ＝1
2AB ，所以AB 最小转化为PO 最小，点O ，P ，M 三点共线时PO 取得最小值．
类型4 利用直径是圆中最长的弦求最值
4．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于A ，B 两点，已知⊙O 的半径为4，劣弧AB ︵
的度数为120°，Q 是⊙O 上一动点，则PQ 长的最大值是（B ）
A ．12 3
B ．
第4题图 第5题图
5．（2018·安徽四模）如图，AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点，且∠ACB＝30°，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，直线EF 与⊙O 交于G ，H 两点．若⊙O 的半径为6，则GE ＋FH 的最大值为（B ）
A ．6
B ．9
C ．10
D ．12
提示：EF 为△ABC 的中位线，所以EF ＝1
2AB ，所以当GH 最大时，GH －EF 最大，即GE ＋FH 取得最大值．
6．如图，AB 是⊙O 的弦，AB ＝8，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB＝45°.若点M ，N 分别是AB ，AC 的中点，
则MN
第6题图 第7题图
7．（2018·内江）如图，以AB 为直径的⊙O 的圆心O 到直线l 的距离OE ＝3，⊙O 的半径r ＝2，直线AB 不垂直于直线l ，过点A ，B 分别作直线l 的垂线，垂足分别为点D ，C ，则四边形ABCD 的面积的最大值为12．
拓展类型 隐圆问题
8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，E 是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE 的最小值为（B ）
A .32
B ．210－2
C ．213－2
D ．4
提示：点E 在以Rt △ABE 斜边为直径的圆上．。