九年级数学几何图形圆的精选练习题
九上数学每日一练：圆内接四边形的性质练习题及答案_2020年压轴题版
九上数学每日一练：圆内接四边形的性质练习题及答案_2020年压轴题版答案解析答案解析2020年九上数学：图形的性质_圆_圆内接四边形的性质练习题1.(2019拱墅.九上期末) 如图，在△ABC 中，AB =AC ， 以AB 为直径的⊙O 分别交BC ， AC 于点D ， E ， 连结EB ，交OD 于点F ．（1） 求证：OD ⊥BE ．（2） 若DE = ，AB =6，求AE的长．（3） 若△CDE 的面积是△OBF 面积的 ，求线段BC 与AC 长度之间的等量关系，并说明理由．考点： 垂径定理;圆周角定理;圆内接四边形的性质;相似三角形的判定与性质;2.(2019鄞州.九上期末) 如图1，△ABC 是⊙O 的内接等腰三角形，点D 是AC 上异于A ，C 的一个动点，射线AD 交底边BC 所在的直线于点E ，连结BD 交AC 于点F ．（1） 求证：∠ADB=∠CDE ：（2） 若BD=7，CD=3，①求AD·DE 的值；②如图2，若AC ⊥BD ，求tan ∠ACB（3） 若tan ∠CDE= ，记AD=x ，△ABC 的面积和△DBC 面积的差为y ，直接写出y 关于x 的函数解析式．考点： 圆内接四边形的性质;相似三角形的判定与性质;3.(2019宁波.九上期中) 定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．（1） 如图1，若四边形ABCD 是圆美四边形，求美角∠A 的度数．（2） 在(1)的条件下，若⊙O 的半径为5．①求BD 的长．②如图2，在四边形ABCD 中，若CA 平分∠BCD ，则BC+CD 的最大值是．答案解析答案解析（3） 在(1)的条件下，如图3，若AC 是⊙O 的直径，请用等式表示线段AB ，BC ，CD之间的数量关系，并说明理由．考点：含30度角的直角三角形;圆内接四边形的性质;4.(2020昌平.九上期末) 如图，已知 ，.（1） 求证：是等边三角形；（2） 求 的度数．考点： 等边三角形的判定与性质;圆内接四边形的性质;5.(2020宁波.九上期末) 如图1，在平面直角坐标系中，已知⊙M 的半径为5，圆心M 的坐标为(3，0)，⊙M 交x 轴于点D ，交y 轴于A ，B 两点，点C 是 上的一点(不与点A 、D 、B 重合)，连结AC 并延长，连结BC ，CD ，AD 。
决战2021年九年级中考复习数学考点满分专练——几何专题：《圆的综合》(一)
决战2021年九年级中考复习数学考点满分专练——几何专题：《圆的综合》（一）1．如图1所示，以点M（﹣1，0）为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A，B，C，D，与⊙M相切于点H的直线EF交x轴于点E（﹣5，0），交y轴于点F（0，）．（1）求⊙M的半径r；（2）如图2所示，连接CH，弦HQ交x轴于点P，若cos∠QHC＝，求的值；（3）如图3所示，点P为⊙M上的一个动点，连接PE，PF，求PF+PE的最小值．2．如图，AB是半圆O的直径，C为半圆弧上一点，在AC上取一点D，使BC＝CD，连结BD并延长交⊙O于E，连结AE，OE交AC于F．（1）求证：△AED是等腰直角三角形；（2）如图1，已知⊙O的半径为．①求的长；②若D为EB中点，求BC的长．（3）如图2，若AF：FD＝7：3，且BC＝4，求⊙O的半径．3．已知：BD为⊙O的直径，O为圆心，点A为圆上一点，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，点C为⊙O上一点，且AB＝AC，连接BC交AD于点E，连接AC．（1）如图1，求证：∠ABF＝∠ABC；（2）如图2，点H为⊙O内部一点，连接OH，CH，若∠OHC＝∠HCA＝90°时，求证：CH＝DA；（3）在（2）的条件下，若OH＝6，⊙O的半径为10，求CE的长．4．如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF．（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长．（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，①求证：PE＝PF．②若DF＝EF，求∠BAC的度数．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC⊥AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作⊙Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF．（1）求线段AE的长；（2）若AB﹣BO＝2，求tan∠AFC的值；（3）若△DEF与△AEB相似，求EF的值．6．如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD•AO＝AM•AP．（1）连接OP，证明：△ADM∽△APO；（2）证明：PD是⊙O的切线；（3）若AD＝12，AM＝MC，求PB和DM的值．7．如图1，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于D，E是BA延长线上一点，连接CE，∠ACE＝∠ACD，K是线段AO上一点，连接CK并延长交⊙O于点F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AD＝DK，求证：AK•AO＝KB•AE；（3）如图2，若AE＝AK，＝，点G是BC的中点，AG与CF交于点P，连接BP．请猜想P A，PB，PF的数量关系，并证明．8．对于平面内的点P和图形M，给出如下定义：以点P为圆心，以r为半径作⊙P，使得图形M上的所有点都在⊙P的内部（或边上），当r最小时，称⊙P为图形M的P点控制圆，此时，⊙P的半径称为图形M的P点控制半径．已知，在平面直角坐标系中，正方形OABC的位置如图所示，其中点B（2，2）．（1）已知点D（1，0），正方形OABC的D点控制半径为r1，正方形OABC的A点控制半径为r2，请比较大小：r1r2；（2）连接OB，点F是线段OB上的点，直线l：y＝x+b；若存在正方形OABC的F点控制圆与直线l有两个交点，求b的取值范围．9．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2＝EH•EA；（3）若⊙O的半径为，sin A＝，求BH的长．10．如图1，CD是⊙O的直径，且CD过弦AB的中点H，连接BC，过弧AD上一点E作EF∥BC，交BA的延长线于点F，连接CE，其中CE交AB于点G，且FE＝FG．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）如图2，连接BE，求证：BE2＝BG•BF；（3）如图3，若CD的延长线与FE的延长线交于点M，tan F＝，BC＝5，求DM 的值．参考答案1．解：（1）如图1，连接MH，∵E（﹣5，0），F（0，﹣），M（﹣1，0），∴OE＝5，OF＝，EM＝4，∴在Rt△OEF中，tan∠OEF＝＝，∴∠OEF＝30°，∵EF是⊙M的切线，∴∠EHM＝90°，∴sin∠MEH＝sin30°＝，∴MH＝ME＝2，即r＝2；（2）如图2，连接DQ、CQ，MH．∵∠QHC＝∠QDC，∠CPH＝∠QPD，∴△PCH∽△PQD，∴，由（1）可知，∠HEM＝30°，∴∠EMH＝60°，∵MC＝MH＝2，∴△CMH为等边三角形，∴CH＝2，∵CD是⊙M的直径，∴∠CQD＝90°，CD＝4，∴在Rt△CDQ中，cos∠QHC＝cos∠QDC＝，∴QD＝CD＝3，∴；（3）连MP，取CM的点G，连接PG，则MP＝2，G（﹣2，0），∴MG＝CM＝1，∴，又∵∠PMG＝∠EMP，∴△MPG∽△MEP，∴，∴PG＝PE，∴PF+PE＝PF+PG，当F，P，G三点共线时，PF+PG最小，连接FG，即PF+PE有最小值＝FG，在Rt△OGF中，OG＝2，OF＝，∴FG＝＝＝．∴PF+PE的最小值为．2．解：（1）∵BC＝CD，AB是直径，∴△BCD是等腰直角三角形，∴∠DBD＝45°，∵∠CBD＝∠EAD＝45°，∵∠AEB＝90°，∴△AED是等腰直角三角形；（2）①∵∠EAD＝45°，∴∠EOC＝90°，∴△EOC是等腰直角三角形，∵⊙O的半径为，∴CE的弧长＝×2×π×＝；②∵D为EB中点，∴ED＝BD，∵AE＝ED，在Rt△ABE中，（2）2＝AE2+（2AE）2，∴AE＝2，∴AD＝2，∵ED＝AE，CD＝BC，∠AED＝∠BCD＝90°，∴△AED∽△BCD，∴BC＝；（3）∵AF：FD＝7：3，∴AF＝AD，过点E作EG⊥AD，∴EG＝AD，∴GF＝AD，∴tan∠EFG＝，∴＝＝，∴FO＝r，在Rt△COF中，FC＝r，∴EF＝r，在Rr△EFG中，（r）2＝（AD）2+（AD）2，∴AD＝r，∴AF＝r，∴AC＝AF+FC＝r，∵CD＝BC＝4，∴AC＝4+AD＝4+r，∴r＝4+r，∴r＝．3．解：（1）∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠D+∠ABD＝90°，∵FB是⊙O的切线，∴∠FBD＝90°，∴∠FBA+∠ABD＝90°，∴∠FBA＝∠D，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠C＝∠D，∴∠ABF＝∠ABC；（2）如图2，连接OC，∵∠OHC＝∠HCA＝90°，∴AC∥OH，∴∠ACO＝∠COH，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠ABC+∠CBO＝∠ACB+∠OCB，即∠ABD＝∠ACO，∴∠ABD＝∠COH，∵∠H＝∠BAD＝90°，∴△ABD∽△HOC，∴＝＝2，∴CH＝DA；（3）由（2）知，△ABD∽△HOC，∴＝2，∵OH＝6，⊙O的半径为10，∴AB＝2OH＝12，BD＝20，∴AD＝＝16，在△ABF与△ABE中，，∴△ABF≌△ABE，∴BF＝BE，AF＝AE，∵∠FBD＝∠BAD＝90°，∴AB2＝AF•AD，∴AF＝＝9，∴AE＝AF＝9，∴DE＝7，BE＝＝15，∵AD，BC交于E，∴AE•DE＝BE•CE，∴CE＝＝＝．4．（1）解：∵OE⊥AB，∠BAC＝30°，OA＝1，∴∠AOE＝60°，OE＝OA＝，AE＝EB＝OE＝，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠C＝60°，∵OC＝OB，∴△OCB是等边三角形，∵OF＝FC，∴BF⊥AC，∴∠AFB＝90°，∵AE＝EB，∴EF＝AB＝．（2）①证明：过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH．∵∠FGA＝∠ABC＝90°，∴FG∥BC，∴△OFH∽△OCB，∴＝＝，同理＝，∴FH＝OE，∵OE⊥AB．FH⊥AB，∴OE∥FH，∴四边形OEHF是平行四边形，∴PE＝PF．②∵OE∥FG∥BC，∴＝＝1，∴EG＝GB，∴EF＝FB，∵DF＝EF，∴DF＝BF，∵DO＝OB，∴FO⊥BD，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°．5．解：（1）∵点A（0，4），∴AO＝4，∵AD是⊙Q的直径，∴∠AEB＝∠AED＝90°，∴∠AEB＝∠AOB＝90°，∵BA垂直平分CD，∴BC＝BD∴∠ABO＝∠ABE在△ABE和△ABO中，，∴△ABE≌△ABO（AAS）∴AE＝AO＝4；（2）设BO＝x，则AB＝x+2，在Rt△ABO中，由AO2+OB2＝AB2得：42+x2＝（x+2）2，解得：x＝3，∴OB＝BE＝3，AB＝5，∵∠EAB+∠ABE＝90°，∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠EAB＝∠ACB，∵∠BF A＝∠AFC，∴△BF A∽△AFC∴＝＝，设EF＝x，则AF＝4+x，BF＝（4+x），∵在Rt△BEF中，BE2+EF2＝BF2，∴32+x2＝[（4+x）]2，解得：x＝，即EF＝，∴tan∠AFC＝＝＝；（3）①当△DEF∽△AEB时，∠BAE＝∠FDE，∴∠ADE＝∠FDE，∴BD垂直平分AF，∴EF＝AE＝4；②当△DEF∽△BEA时，∠ABE＝∠FDE，∴AB∥DF，∴∠ADF＝∠CAB＝90°，∴DF相切⊙Q，∴∠DAE＝∠FDE，设⊙Q交y轴于点G，连接DG，作FH⊥DG于H，如图所示：则∠FDH＝∠DAG，四边形OGHF是矩形，∴OG＝FH，∵△ABE≌△ABO，∴∠OAB＝∠EAB，∵AB⊥AD，∴∠DAE＝∠CAO，∵∠CAO＝∠DAE，∴∠DAE＝∠DAE，∴∠DAE＝∠DAG＝∠FDE＝∠FDH，∴AG＝AE＝4，∴EF＝FH＝OG＝AO+AG＝4+4＝8，综上所述，若△DEF与△AEB相似，EF的值为4或8．6．（1）证明：连接OD、OP、CD．∵AD•AO＝AM•AP，∴，∠A＝∠A，∴△ADM∽△APO．（2）证明：∵△ADM∽△APO，∴∠ADM＝∠APO，∴MD∥PO，∴∠DOP＝∠MDO，∠POC＝∠DMO，∵OD＝OM，∴∠DMO＝∠MDO，∴∠DOP＝∠POC，∵OP＝OP，OD＝OC，∴△ODP≌△OCP（SAS），∴∠ODP＝∠OCP，∵BC⊥AC，∴∠OCP＝90°，∴OD⊥AP，∴PD是⊙O的切线．（3）解：连接CD．由（1）可知：PC＝PD，∵AM＝MC，∴AM＝2MO＝2R，在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，∴R2+122＝9R2，∴R＝3，∴OD＝3，MC＝6，∵，∴，∴AP＝18，∴DP＝AP﹣AD＝18﹣12＝6，∵O是MC的中点，∴，∴点P是BC的中点，∴PB＝CP＝DP＝6，∵MC是⊙O的直径，∴∠BDC＝∠CDM＝90°，在Rt△BCM中，∵BC＝2DP＝12，MC＝6，∴BM＝＝＝6，∵△BCM∽△CDM，∴，即，∴DM＝2．7．解：（1）证明：连接OC，如图所示：∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO，又∵∠ACE＝∠ACD，∴∠ACE+∠ACO＝90°，即∠ECO＝90°，∴CE是⊙O的切线；（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠B＝90°，又∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD＝∠B，∴∠ACE＝∠B，∵AD＝DK，CD⊥AB，∴CA＝CK，∠CAD＝∠CKD，∴∠CAE＝∠BKC，∴△CAE∽△BKC，∴＝，∴AC•KC＝AE•KB，又∵∠CAD＝∠CKD，∠CAD＝∠OCA，∴△OCA∽△CAK，∴＝，∴AC•KC＝AK•AO，∴AK•AO＝KB•AE；（3）P A2+PF2＝PB2．理由如下：如图，连接AF、BF，∵＝，∴∠ACF＝∠BCF＝∠ACB＝45°，AF＝BF，∴∠ECK＝∠ACK+∠ACE＝45°+∠ACE，∠EKC＝∠BCK+∠KBC＝45°+∠ABC，∴∠ECK＝∠EKC，∴EC＝EK＝AE+EK＝2AE，∵∠ACE＝∠CBE，∠E＝∠E，∴△EAC∽△ECB，∴＝＝，∴BC＝2AC，∵点G是BC的中点，∴BC＝2CG＝2GB，∴AC＝CG，∠ACF＝∠BCF，∴CP⊥AG，AP＝PG，设AC＝CG＝GB＝x，则AG＝＝x，∴＝＝，又∠PGB＝∠BGA，∴△PGB∽△BGA，∴∠GBP＝∠GAB，∴∠GBP+∠BCF＝∠GAB+∠GAC，即∠BPF＝∠BAC＝∠BFP，∴BP＝BF＝AF，∵在Rt△APF中，P A2+PF2＝AF2，∴P A2+PF2＝PB2．8．解：（1）由题意得：r1＝BD＝CD＝＝，r2＝AC＝＝2，∴r1＜r2，故答案为：＜．（2）如图所示：⊙O和⊙B的半径均等于OB，当直线l：y＝x+b与⊙O相切于点M时，连接OM，则OM⊥l，则直线OM的解析式为：y＝﹣x，设M（x，﹣x），∵OM＝OB，∴OM＝＝，∴x2+＝8，解得：x＝﹣或x＝（舍），∴﹣x＝，∴M（﹣，），将M（﹣，）代入y＝x+b得：＝×（﹣）+b，解得：b＝4．当直线l：y＝x+b与⊙B相切于点N时，连接BN，则BN⊥l，同理，设直线BN的解析式为：y＝﹣x+n，将B（2，2）代入得：2＝﹣×2+n，∴n＝2+，∴直线BN的解析式为：y＝﹣x+2+，设N（m，﹣m+2+），∵BN＝OB，∴＝，∴4﹣4m+m2+﹣+＝8∴m2﹣4m+2＝0，∴m＝2﹣（舍）或m＝2+，∴﹣m+2+＝﹣（2+）+2+＝2﹣，∴N（2+，2﹣），∴将N（2+，2﹣）代入y＝x+b得：2﹣＝（2+）+b，解得：b＝，∴存在正方形OABC的F点控制圆与直线l有两个交点，此时b的取值范围为：＜b＜．9．（1）证明：如图1中，∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，∴∠ODB＝∠ABC，∵OF⊥BC，∴∠BFD＝90°，∴∠ODB+∠DBF＝90°，∴∠ABC+∠DBF＝90°，即∠OBD＝90°，∴BD⊥OB，∴BD是⊙O的切线；（2）证明：连接AC，如图2所示：∵OF⊥BC，∴＝，∴∠CAE＝∠ECB，∵∠CEA＝∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴＝，∴CE2＝EH•EA；（3）解：连接BE，如图3所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵⊙O的半径为，sin∠BAE＝，∴AB＝5，BE＝AB•sin∠BAE＝5×＝3，∴EA＝＝4，∵＝，∴BE＝CE＝3，∵CE2＝EH•EA，∴EH＝，∴在Rt△BEH中，BH＝＝＝．10．解：（1）连接OE，则∠OCE＝∠OEC＝α，∵FE＝FG，∴∠FGE＝∠FEG＝β，∵H是AB的中点，∴CH⊥AB，∴∠GCH+∠CGH＝α+β＝90°，∴∠FEO＝∠FEG+∠CEO＝α+β＝90°，∴EF是⊙O的切线；（2）∵CH⊥AB，∴＝∴∠CBA＝∠CEB，∵EF∥BC，∴∠CBA＝∠F，故∠F＝∠CEB，∴∠FBE＝∠GBE，∴△FEB∽△EGB，∴BE2＝BG•BF；（3）如图2，过点F作FR⊥CE于点R，设∠CBA＝∠CEB＝∠GFE＝γ，则tanγ＝，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠BCG＝β，故△BCG为等腰三角形，则BG＝BC＝5，在Rt△BCH中，BC＝5，tan∠CBH＝tanγ＝，则sinγ＝，cosγ＝，CH＝BC sinγ＝5×＝3，同理HB＝4；设圆的半径为r，则OB2＝OH2+BH2，即r2＝（r﹣3）2+（4）2，解得：r＝；GH＝BG﹣BH＝5﹣4＝，tan∠GCH＝＝＝，则cos∠GCH＝，则tan∠CGH＝3＝tanβ，则cosβ＝，连接DE，则∠CED＝90°，在Rt△CDE中cos∠GCH＝＝＝，解得：CE＝，则GE＝CE﹣CG＝﹣＝﹣（）＝，在△FEG中，cosβ＝＝＝，解得：FG＝；∵FH＝FG+GH＝，∴HM＝FH tan∠F＝×＝；∵CM＝HM+CH＝，∴MD＝CM﹣CD＝CM﹣2r＝．。
初三数学圆测试题及答案
初三数学圆测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列说法正确的是（）。
A. 圆的直径是半径的2倍B. 圆的周长是直径的π倍C. 圆的面积是半径的平方乘以πD. 圆的周长是半径的2π倍答案：D2. 圆的面积公式为（）。
A. S = πrB. S = πr²C. S = πdD. S = πd²答案：B3. 圆的周长公式为（）。
A. C = 2πrB. C = 2πdC. C = πrD. C = πd答案：A4. 圆心角为60°的扇形面积是（）。
A. πr²/6B. πr²/3C. πr²/2D. πr²答案：A5. 一个圆的半径为3cm，其面积为（）。
A. 9π cm²B. 18π cm²C. 27π cm²D. 36π cm²答案：C6. 圆的直径增加1倍，其面积增加（）。
A. 1倍B. 2倍C. 4倍D. 8倍答案：C7. 圆的半径增加1倍，其周长增加（）。
A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍答案：B8. 一个圆的周长为12.56cm，其直径为（）。
A. 2cmB. 4cmC. 6cmD. 8cm答案：B9. 圆的半径为4cm，其直径为（）。
A. 2cmB. 4cmC. 8cmD. 16cm答案：C10. 圆的半径为2cm，其周长为（）。
A. 4π cmB. 8π cmC. 12π cmD. 16π cm答案：B二、填空题（每题3分，共30分）1. 圆的周长公式为______。
答案：C = 2πr2. 圆的面积公式为______。
答案：S = πr²3. 圆的直径是半径的______倍。
答案：24. 圆的周长是直径的______倍。
答案：π5. 圆的面积是半径的平方乘以______。
答案：π6. 圆心角为90°的扇形面积是圆面积的______。
答案：1/47. 圆心角为180°的扇形面积是圆面积的______。
初三数学圆测试题及答案
初三数学圆测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知圆的半径为2，圆心在原点，下列哪个点在圆上？A. (3, 0)B. (2, 2)C. (2, 0)D. (0, 2)2. 圆的标准方程是 (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中a和b是圆心的坐标，r是半径。
如果圆心在(1, 1)，半径为3，那么圆的方程是什么？A. (x-1)^2 + (y-1)^2 = 9B. (x+1)^2 + (y+1)^2 = 9C. (x-1)^2 + (y+1)^2 = 9D. (x+1)^2 + (y-1)^2 = 93. 已知圆的直径为6，那么圆的半径是多少？A. 3B. 6C. 9D. 124. 如果一个圆的半径为5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π5. 圆的切线垂直于经过切点的半径，那么切线与半径的夹角是多少？A. 0°B. 90°C. 180°D. 360°6. 如果两个圆的半径分别为3和5，且它们外切，那么两圆心之间的距离是多少？A. 2B. 8C. 10D. 127. 圆的周长公式是C = 2πr，如果一个圆的周长为12π，那么它的半径是多少？A. 3B. 4C. 6D. 128. 已知圆的半径为4，圆心在点(2, 3)，那么圆上一点(5, 7)到圆心的距离是多少？A. 3B. 4C. 5D. 69. 圆的面积公式是A = πr^2，如果一个圆的面积为16π，那么它的半径是多少？A. 2B. 3C. 4D. 510. 如果一个圆的半径为2，那么它的直径是多少？A. 4B. 6C. 8D. 10二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知圆的半径为r，那么它的直径是________。
2. 圆的周长公式为C = 2πr，如果一个圆的半径为4，那么它的周长是________。
3. 圆的面积公式为A = πr^2，如果一个圆的半径为5，那么它的面积是________。
2021年九年级数学初中几何圆、扇形、弓形的面积及阴影部分面积专项
初中几何圆、扇形、弓形的面积及阴影部分面积专项一、圆的面积计算公式：S=R 2，圆心角是1°的扇形面积等于圆面积的1360，圆心角是n 度的扇形面积等于圆的面积的360n ，扇形的弧长等于l=180n R ,⇒S 扇=12lR 。
二、运用公式法、割补法、拼凑法、等积变化法、平移法、旋转法、构造方程法等方法求组合图形的面积。
三、运用割补法、平移法、旋转法、等积变换法、容斥原理求阴影部分面积。
1、弓形面积弓形的面积可以转化为扇形的面积与三角形的面积之差，如下图所示，弓形AmB 的面积S弓形=S 扇性AOB -S △AOB弓形的面积可以转化为：扇形的面积与三角形的面积之和，如下图所示弓形AmB 的面积S 弓形= S 扇性AOB +S △AOB注：①当弓形所含的弧是劣弧时如甲图所示，弓形AmB 的面积S 弓形=S 扇性AOB -S △AOB②当弓形所含的弧是优弧时，如图乙所示，AnB 的面积S 弓形= S 扇性AOB +S △AOB③当弓形所含的弧是半圆时，弓形的面积S 弓形=12S 圆 如图：半径OA=6cm,C 为OB 的中点，∠AOB=120°，求阴影部分面积S 。
（右：乙图）解：由图形可知，S 阴影ABC =S 扇性ABO -S △ACO ，而S 扇形ABO =21206360⋅=12，S △ACO =12×6×3×sin60°=932，所以S 阴影ABC =(93122-)cm 2。
2、割补法凡求与圆有关的不规则图形面积问题，一般都要把它转化为三角形、扇形、弓形的面积来求解，在进行复杂的图形的面积计算时，时常通过添加辅助线，把图形分割成若干个基本图形求解，这种求解的方法是经常用到的。
如图：⊙O 中的弦AC=2cm ，圆周角∠ABC=45°,求图中阴影部分的面积。
（部分与整体）解：做⊙O 的直径AB 1，则连结OC 、B 1C ，∠ACB=90°，∠B=∠B 1，AB 1=22，∵OA=2,∴S △AOC=1,S 扇形AOC =12,∴S 阴影=S 扇形AOC -S △AOC =12-1 例二：如图在两个半圆中大圆的弦MN 与小圆相切,D 为切点，且MN ∥AB ，MN=a ，ON ，CD 分别为两圆的半径，求阴影部分的面积。
九年级数学几何模型压轴题专题练习(解析版)
九年级数学几何模型压轴题专题练习（解析版）一、初三数学旋转易错题压轴题（难）1.如图 1,在 Rt∆ΛSC 中，Z4 = 90o, AB=AC f点 D, E 分别在边 AB, AC 上，AD=AE f连接DC,点M, P, N分别为DE, DC, BC的中点.（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是_,位置关系是_；（2〉探究证明：把AADF绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接BD, CE,判断APMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把AADF绕点A在平面内自由旋转，若AD=4, AB=IO f请直接写出APMN面积的最人值.【答案】（I）PM=PΛ∕, PM丄PN；（2） APMN是等腰直角三角形.理由见解析；（3）49 S A.PMN⅜⅛大=.【解析】【分析】（1）由已知易得加=C利用三角形的中位线得出PM = ；CE , PN = ；BD,即可2 2得出数量关系，再利用三角形的中位线得出PM//CE得出ZDPM = ZDc4,最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出MBQ三AACE,得出皮） = CE,同（1）的方法得出PM=-BD i2PN = LBD t即可得出PM = PN,同（1）的方法由2ZMPN = ZDCE+ ZDCB+ ZDBC= ZACB+ ZABC ,即可得出结论；（3〉方法1：先判断出MN最人时，APMN的面积最大，进而求出AN, AM,即可得出MN最）＜=AM + AN,最后用面积公式即可得出结论.方法2：先判断出BD最大时，WMN的面积最大，而Br）最人是AB + AD = 14,即可得出结论.【详解】解：（1）•••点P, N是BC, CD的中点，.∙.PN□BD, PN = -BD,2•••点P, M是CD，DE的中点，..PM//CE9 PM=丄CE ,2∙.∙AB=AC, AD=AE^:.BD = CE ,:.PM = PN,-PN//BD f.∙. ZDPN = ZADC,'：PMIlCE.:.ZDPM = ZDCA,∙.∙ ZfiAC = 90。
【初中数学】人教版九年级上册第3课时 几何图形问题(练习题)
人教版九年级上册第3课时几何图形问题(2912)A 知识要点分类练夯实基础1.如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去的小正方形的边长为xcm，则可列方程为（）A.(30−2x)(40−x)=600B.(30−x)(40−x)=600C.(30−x)(40−2x)=600D.(30−2x)(40−2x)=6002.为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米．设绿地宽为x米，根据题意，可列方程为．3.一条长为12cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形.若两个正方形的面积和等于5cm2，则这两个正方形的边长分别为.4.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m).试设计一种砌法，使所砌三面墙的总长度为50m，且矩形花园的面积为300m2.5.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图所示)，原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为x m，则可列方程为（）A.(x+1)(x+2)=18B.x2−3x+16=0C.(x−1)(x−2)=18D.x2+3x+16=06.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长(AB)35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，若设小道的宽为x米，则种植面积(单位：平方米)为（）A.35×20−35x−20x+2x2B.35×20−35x−2×20xC.(35−2x)(20−x)D.(35−x)(20−2x)7.如图，小明家有一块长1.5m、宽1m的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍，则花色地毯的宽为m.8.在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分的面积为1.6m2，已知床单的长是2m，宽是1.4m，求花边的宽度．B 规律方法综合练训练思维9.如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为68cm2，则矩形ABCD的面积是（）A.24cm2B.21cm2C.16cm2D.9cm210.如图，有一块长5米、宽4米的地毯，为了美观，设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分)，已知配色条纹的宽度相同，其所占面积是整个地毯面.积的1780(1)求配色条纹的宽度；(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价.C 拓广探究创新练提升素养11.已知：如图，在△ABC中，∠B=90∘，AB=5cm，BC=7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度匀速运动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度匀速运动.当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为xs(x>0).(1) s后，△PBQ的面积为4cm2；(2)几秒后，PQ的长度为5cm？(3)△PBQ的面积能否为7cm2？请说明理由参考答案1.【答案】:D【解析】:设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为(40−2x)cm，宽为(30−2x)cm，根据题意得：(40−2x)(30−2x)=600．故选：D．2.【答案】:x(x+40)=12005.【答案】:C3.【答案】:1cm，2cm4.【答案】:解：设AB的长为xm，则BC的长为(50−2x)m.根据题意，得x(50−2x)=300，2x2−50x+300=0，解得x1=10，x2=15.当x=10时，50−2x=30>25(不合题意，舍去)；当x=15时，50−2x=20<25(符合题意).答：当AB的长为15m，BC的长为20m时，可使矩形花园的面积为300m2.6.【答案】:C【解析】:依题意，得：(35−2x)(20−x)，故选：C．7.【答案】:0.25【解析】:设花色地毯的宽为xm，那么地毯的面积=(1.5+2x)(1+2x)m2.因为镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍，所以(1.5+2x)(1+2x)=2×1.5×1，即8x2+10x−3=0.解得x1=0.25，x2=−1.5(不合题意，舍去).故花色地毯的宽为0.25m.8.【答案】:设花边的宽度为xm．依题意，得 (2−2x)(1.4−2x)=1.6，解得x 1=1.5(舍去)，x 2=0.2.答：花边的宽度为0.2m【解析】:设花边的宽度为xm ．表示出剩下部分的长与宽，以“剩下部分的面积为1.6m 2”为等量关系列方程求解9.【答案】:C【解析】:设正方形ABEF 的边长为xcm ，正方形ADGH 的边长为ycm ， 依题意得x 2+y 2=68,①又2x +2y =20,②因为x 2+y 2=(x +y)2−2xy ，将①②代入得xy =16，即矩形ABCD 的面积是16cm 210(1)【答案】解：设配色条纹的宽度为x 米. 依题意，得2x ×5+2x ×4−4x 2=1780×5×4， 解得x 1=174(不符合题意，舍去），x 2=14. 答：配色条纹的宽度为14米.(2)【答案】配色条纹部分的造价为1780×5×4×200=850(元)， 其余部分的造价为(1−1780)×5×4×100=1575(元)， 所以总造价为850+1575=2425(元).答：地毯的总造价是2425元11(1)【答案】1【解析】:由S △PBQ =12BP ·BQ ，得12(5−x)·2x =4， 整理，得x 2−5x +4=0，解得x 1=1，x 2=4.当x =4时，2x =8>7,说明此时点Q越过点C，不符合要求，舍去.所以1s后△PBQ的面积为4cm2.故答案为1.(2)【答案】解：由BP2+BQ2=PQ2，得(5−x)2+(2x)2=52，整理,得x2−2x=0，解得x1=0(不合题意，舍去），x2=2.答：2s后，PQ的长度为5cm.(3)【答案】不能.理由：假设△PBQ的面积为7cm2,则(5−x)·2x=7，由题意，得12整理，得x2−5x+7=0.因为Δ=b2−4ac=(−5)2−4×1×7=25−28=−3<0,所以此方程无实数根,所以△PBQ的面积不能为7cm2.。
2021年九年级中考复习数学考点提分专练——几何专题：《圆的提高题》(二)
九年级中考复习数学考点提分专练——几何专题《圆的提高题》（二）1．如图，⊙O是直角三角形ABC的外接圆，直径AC＝4，过C点作⊙O的切线，与AB延长线交于点D，M为CD的中点，连接BM，OM，且BC与OM相交于点N．（1）求证：BM与⊙O相切；（2）当∠A＝60°时，求弦AB和弧AB所夹图形的面积；（3）在（2）的条件下，在⊙O的圆上取点F，使∠ABF＝15°，求点F到直线AB的距离．2．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD于E，＝．（1）求证：∠BDC＝2∠ADB；（2）若直径BM交AC于点N，AD﹣BN＝2，BC＝8，求⊙O的半径．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，过⊙T外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若60°≤∠MPN＜180°，则称P为⊙T的环绕点．（1）当⊙O半径为1时，①在P1（1，0），P2（1，1），P3（0，2）中，⊙O的环绕点是；②直线y＝x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，若线段AB上存在⊙O的环绕点，求b的取值范围；（2）⊙T的半径为1，圆心为（0，t），以为圆心，为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在⊙T的环绕点，直接写出t的取值范围．4．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD．（1）求证：P是线段AQ的中点；（2）若⊙O的半径为5，D是的中点，求弦CE的长．5．如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在弧MB，弧MD上，且AB＝CD，点M是弧AC的中点．（1）求证：MB＝MD；（2）过O作OE⊥MB于E，OE＝1，⊙O的半径是2，求MD的长．6．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC＝6，CB＝8，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，过点E作MN∥AB分别交CA、CB延长线于M，N．（1）补全图形，并证明MN是⊙O的切线．（2）分别求MN、CD的长．7．如图，AB为⊙O的直径，AC，BE为⊙O上位于AB异侧的两条弦，连接BC，CE，延长AB到点D，使得∠BCD＝∠A．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）当AC＝CE时，①求证：BC2＝BEBD；②若BD＝3BE，AC＝2，求⊙O的半径r．8．如图，⊙O与△ABC的AB边相切于点B，与AC、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，BE是⊙O的直径．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠C＝30°，AB＝3，求DE的长．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径，AC平分∠BAD，过点C作CG∥BD交AD的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若AB＝3，AD＝5，求AC的长．10．在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC，点P在BC边的垂直平分线上，若以点P为圆心，PB为半径的⨀P与△ABC三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P为△ABC关于边BC的“Math点”．如图所示，点P即为△ABC关于边BC的“Math点”．已知点P （0，4），Q（a，0）．（1）如图1，a＝4，在点A（1，0）、B（2，2）、C（，）、D（5，5）中，△POQ关于边PQ的“Math点”为．（2）如图2，，①已知D（0，8），点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，请直接写出线段DE的长度的取值范围；②将△POQ绕原点O旋转一周，直线交x轴、y轴于点M、N，若线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，求b的取值范围．参考答案1．解：∵∠A＝600，OA＝OB，∴△ABO为等边三角形，∴∠AOB＝60，∵AC＝4，∴OA＝2，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣×22＝﹣；（3）①如图1：∠ABF＝15°时，∠AOF＝30°，过点O作OH⊥AB，过F作FP⊥OH，FG⊥BA，由（2）知∠AOB＝60°，∴∠AOH＝30°，∴∠FOP＝60°．Rt△FPO中，∠FOP＝60°，OF＝2，∴OP＝1．Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，∴OH＝，∴FG＝HP＝﹣1．②如图2：∠ABF＝15°时，∠AOF＝30°，等边△ABO中，OF平分∠AOB，∴OF⊥AB．Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，∴OH＝，∴FH＝2﹣．综上所述，点F到直线AB的距离是﹣1或2﹣．2．（1）证明：如图1，作直径DG，交AC于F，交BC于P，交⊙O于G，连接CG，∵＝．∴DG⊥BC，BD＝CD，∴∠CBD＝∠BCD，∵AC⊥BD，∴∠DEF＝90°，∵∠CPF＝90°，∴∠DEF＝∠CPF，∵∠DFE＝∠CFP，∴∠EDF＝∠ACB＝∠ADB＝∠CDG，∴∠BDC＝2∠ADB；（2）解：如图2，作直径DG，交AC于F，交BC于P，交⊙O于G，连接CG，BG，由（1）知：∠ADB＝∠BDG＝∠CDG，∴＝，∴∠CBG＝∠BCA，∴BG∥AC，∴∠ONF＝∠OBG，∠OFN＝∠OGB，∵OB＝OG，∴∠OBG＝∠OGB，∴∠ONF＝∠OFN，∴OF＝ON，∵AC⊥BD，∠ADB＝∠FDB，∴∠DAE＝∠AFD，∴AB＝DF，同理得：CF＝CG，∴AD﹣BN，＝DF﹣BN＝OD+OF﹣（OB﹣ON）＝OF+ON＝2，∴OF＝ON＝1，∵CF＝CG，CP⊥FG，∴FP＝PG，设FP＝a，则OB＝OG＝2a+1，FP＝a+1，∵DG⊥BC，且BC＝8，∴BP＝BC＝4，Rt△OBP中，OB2＝OP2+BP2，∴（2a+1）2＝（a+1）2+42，3a2+2a﹣16＝0，（a﹣2）（3a+8）＝0，∴a1＝2，a2＝﹣（舍），∴⊙O的半径OG＝2a+1＝5．3．解：（1）①如图，PM，PN是⊙T的两条切线，M，N为切点，连接TM，TN．当∠MPN＝60°时，∵PT平分∠MPN，∵∠TPM＝∠TPN＝30°，∵TM⊥PM，TN⊥PN，∴∠PMT＝∠PNT＝90°，∴TP＝2TM，以T为圆心，TP为半径作⊙T，观察图象可知：当60°≤∠MPN＜180°时，⊙T的环绕点在图中的圆环内部（包括大圆上的点不包括小圆上的点）．如图1中，以O为圆心2为半径作⊙O，观察图象可知，P2，P3是⊙O的环绕点，故答案为：P2，P3．②如图2中，设小圆交y轴的正半轴与于E．当直线y＝x+b经过点E时，b＝1．当直线y＝x+b与大圆相切于K（在第二象限）时，连接OK，由题意B（0，b），A（﹣b，0），∴OB＝b，OA＝b，AB＝＝b，∵OK＝2，ABOK＝OAOB，∴b×2＝bb，解得b＝2，观察图象可知，当1＜b≤2时，线段AB上存在⊙O的环绕点，根据对称性可知：当﹣2≤b＜﹣1时，线段AB上存在⊙O的环绕点，综上所述，满足条件的b的取值范围为1＜b≤2或﹣2≤b＜﹣1．（2）如图3中，不妨设E（m，m），则点E在直线y＝x时，∵m＞0，∴点E在射线OE上运动，作EM⊥x轴，∵E（m，m），∴OM＝m，EM＝，∴以E（m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的⊙E与x轴相切，作⊙E的切线ON，观察图象可知，以E（m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的所有圆构成图形H，图形H即为∠MON的内部，包括射线OM，ON上．当⊙T的圆心在y轴的正半轴上时，假设以T为圆心，2为半径的圆与射线ON相切于D，连接TD．∵tan∠EOM＝＝，∴∠EOM＝30°，∵ON，OM是⊙E的切线，∴∠EON＝∠EOM＝30°，∴∠TOD＝30°，∴OT＝2DT＝4，∴T（0，4），当⊙T的圆心在y轴的负半轴上时，且经过点O（0，0）时，T（0，﹣2），观察图象可知，当﹣2＜t≤4时，在图形H上存在⊙T的环绕点．4．（1）证明：∵CE⊥AB，AB是直径，∴，又∵∴，∴∠CAD＝∠ACE，∴AP＝CP，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90˚，∴∠ACE+∠BCP＝90°，∠CAD+∠CQA＝90°，∴∠BCP＝∠CQA，∴CP＝PQ，∴AP＝PQ，即P是线段AQ的中点；（2）解：∵，AB是直径，∴∠ACB＝90˚，∠ABC＝30˚，又∵AB＝5×2＝10，∴AC＝5，BC＝5，∴CH＝BC＝，又∵CE⊥AB，∴CH＝EH，∴CE＝2CH＝2×＝5．5．证明：（1）∵AB＝CD，∴＝，又∵点M是弧AC的中点，∴＝，∴+＝+，即：＝，∴MB＝MD；（2）过O作OE⊥MB于E，则ME＝BE，连接OM，在Rt△MOE中，OE＝1，⊙O的半径OM＝2，∴ME＝＝＝，∴MD＝MB＝2ME＝2．6．证明：（1）补全图形如图所示，连接OE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE＝∠ACB＝45°，∴∠AOE＝2∠ACE＝90°，∴OE⊥AB，又∵MN∥AB，∴OE⊥MN，∴MN是⊙O的切线；（2）过点C作CQ⊥MN，垂足为Q，交AB于点P，则CQ⊥AB，在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10∴OE＝PQ＝OA＝OB＝5，由三角形的面积公式得，ACBC＝ABCP，∴6×8＝10CP，∴CP＝4.8，∴CQ＝4.8+5＝9.8，∵AB∥MN，∴△CAB∽△CMN，∴＝，即＝，∴MN＝，连接BE，则BE＝AE，在Rt△ABE中，AE＝BE＝×AB＝5，∵EN是⊙O的切线，∴∠BEN＝∠BCE＝∠ACE，∵ACBE是⊙O的内接四边形，∴∠EBN＝∠CAB，∴△AEC∽△BNE，∴＝，即＝，∴BN＝，∵∠ACE＝∠ECN，∠CAE＝∠CEN，∴△CAE∽△CEN，∴＝，即＝，解得，CE＝7，又∵∠ACD＝∠ECB，∠CAD＝∠CEB，∴△ACD∽△ECB，∴＝，即＝，解得，CD＝，∴MN＝，CD＝．7．①∵∠BAE＝∠BCE，∴∠CAE＝∠CAB+∠BAE＝∠CAB+∠BCE，∵∠BCD＝∠CAB，∴∠CAE＝∠BCD+∠BCE＝∠DCE，∵AC＝CE，∴∠CAE＝∠AEC，∴∠AEC＝∠DCE，∴CD∥AE，∴∠BAE＝∠D，∵∠BAE＝∠BCE，∴∠BCE＝∠D，∵∠CAB和∠CEB是所对的圆周角，∴∠CEB＝∠CAB，∵∠BCD＝∠CAB，∴∠CEB＝∠BCD，∵∠BAE＝∠D，∴△BCE∽△BDC，∴，∴BC2＝BEBD；②如图2，连接OC，AE，设BE＝x（x＞0），∵BD＝3BE，∴BD＝3x，由①知，BC2＝BEB，∴BC＝x，由①知，△BCE∽△BDC，∴，∵CE＝AC＝2，∴，∴CD＝2，在Rt△OCD中，OD＝OB+BD＝r+3x，根据勾股定理得，OC2+CD2＝OD2，∴r2+（2）2＝（r+3x）2，∴3x2+2rx﹣4＝0（Ⅰ），在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，∴22+（x）2＝（2r）2，∴3x2﹣4r2+4＝0（Ⅱ），（Ⅰ）+（Ⅱ）得，6x2+2rx﹣4r2＝0，∴3x2+rx﹣2r2＝0，∴（3x﹣2r）（x+r）＝0，∵r＞0，x＞0，∴x+r＞0，∴3x﹣2r＝0，∴x＝r，将x＝r代入（Ⅱ）得，3×（r）2﹣4r2+4＝0，∴r＝（舍去负值），即⊙O的半径r为．8．证明：（1）连接OD，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°，∵DE∥OA，∴∠OED＝∠BOA，∠EDO＝∠AOD，又∵OD＝OE＝OB，∴∠OED＝∠ODE，在△ABO和△ADO中，∵OB＝OD，∠BOA＝∠DOA，AO＝AO，∴△ABO≌△ADO（SAS），∴∠ADO＝∠ABO＝90°，即OD⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）∵∠C＝30°，∠ODC＝90°，∴∠DOE＝90°﹣30°＝60°，又∵OD＝OE，∴△ODE是正三角形，∴OD＝OE＝DE＝OB，在Rt△ABO中，∠AOB＝60°，AB＝3，∴OB＝＝＝，∴DE＝．9．证明：（1）如图，连接OC，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝45°，∴∠BOC＝2∠DAC＝90°，∴OC⊥BD，又∵CG∥BD，∴OC⊥CG，∴CG是⊙O的切线；（2）∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，又∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC＝CD，在Rt△ABD中，BD＝＝＝，在Rt△BCD中，BC＝CD＝BD＝×＝，∵CG是⊙O的切线；∴∠DCG＝∠DAC＝∠BAC，∠ACG＝∠ABC，又∵∠CDG＝∠ABC，∴△ABC∽△CDG，∴＝，即＝，∴DG＝，由∠ACG＝∠ABC，∠BAC＝∠DAC可得△ABC∽△ACG，∴＝，即＝，解得，AC＝4．10．解：（1）根据“Math点”的定义，观察图象可知，△POQ关于边PQ的“Math点”为B、C．故答案为：B，C．（2）如图2中，∵P（0，4），Q（4，0），∴OP＝4，OQ＝4，∴tan∠PQO＝，∴∠PQO＝30°，①当点E与PQ的中点K重合时，点E是△POQ关于边PQ的“Math点”，此时E（2，2），∵D（0，8），∴DE＝＝4，当⊙E′与x轴相切于点Q时，E′（4，8），∴DE′＝4，观察图象可知，当点E在线段KE′上时，点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，∵E′Q⊥OQ，∴∠E′QO＝90°，∴∠E′QK＝60°，∴∠E′KQ＝90°，∴∠EE′Q＝30°，∵DE′∥OQ，∴∠DE′K＝60°，∵DE′＝DK，∴△DE′K是等边三角形，∵点D到E′K的距离的最小值为4sin60°＝6，∴．②如图3中，分别以O为圆心，2和4为半径画圆，当线段MN与图中圆环有交点时，线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，当直线MN与小圆相切时，b＝±4，当直线MN与大圆相切时，b＝±8，观察图象可知，满足条件的b的值为：或．。
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r O学习必备 欢迎下载圆练习题姓名：一、精心选一选(本大题共 10 小题，每小题 3 分，共计 30 分)1、下列命题：①长度相等的弧是等弧 ②任意三点确定一个圆 ③相等的圆心角所对的弦 相等 ④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题共有（ ）A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个2、同一平面内两圆的半径是 R 和 r ，圆心距是 d ，若以 R 、 、d 为边长，能围成一个三角形， 则这两个圆的位置关系是（ ）A ．外离B ．相切C ．相交D ．内含3、如图 1，四边形 ABCD 内接于⊙O ，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=( )A ．35° B.70° C ．110° D .140°4、如图 2，⊙O 的直径为 10，弦 AB 的长为 8，M 是弦 AB 上的动点，则 OM 的长的取值 范围（ ）A ．3≤OM ≤5B ．4≤OM ≤5C ．3＜OM ＜5D ．4＜OM ＜55、如图 3，⊙O 的直径 AB 与弦 CD 的延长线交于点 E ，若 DE=OB, ∠AOC=84°,则∠E 等 于（ ）A ．42 °B ．28°C ．21°D ．20°·AB CDAM B图 1图 2图 3E 图 46、如图 △4， ABC 内接于⊙O ，AD ⊥BC 于点 D ，AD=2cm ，AB=4cm ，AC=3cm ，则⊙O 的直径是（ ） A 、2cm B 、4cm C 、6cm D 、8cm7、如图 5，圆心角都是 90°的扇形 OAB 与扇形 OCD 叠放在一起，OA ＝3，OC ＝1，分别连 结 AC 、BD ，则图中阴影部分的面积为（ ）1 πA. 2B. πC. 2πD. 4π8、已知⊙O 1 与⊙O 2 外切于点 A ，⊙O 1 的半径 R ＝2，⊙O 2 的半径 r ＝1，若半径为 4 的⊙C 与⊙O 1、⊙O 2 都相切，则满足条件的⊙C 有（ ）A 、2 个B 、4 个C 、5 个D 、6 个图 59、设⊙ O 的半径为 2，圆心 O 到直线 l 的距离 OP ＝m ，且 m 使得关于 x 的方程2 x 2 - 2 2 x + m - 1 = 0 有实数根，则直线 l 与⊙O 的位置关系为（）A 、相离或相切B 、相切或相交C 、相离或相交D 、无法确定10、如图 △6把直角ABC 的斜边 AC 放在定直线 l 上，按顺时针的A 方向在直线 l 上转动两次，使它转到△A 2B 2C 2 的位置，设 AB= 3 ，BC=1，B C 则顶点 A 运动到点 A 2 的位置时，点 A 所经过的路线为() AC B图 6A l24则需________________ cm 的包装膜（不计接缝，π 取 3）． 学习必备 欢迎下载25 33A 、（ 12 + 2 ）π B 、（ 3 + 2 ）πC 、2πD 、 3 π二、细心填一填(本大题共 6 小题，每小 4 分，共计 24 分)． 11、（2006 山西）某圆柱形网球筒，其底面直径是 100cm ， 长为 80cm ，将七个这样的网球筒如图所示放置并包装侧面，212、（2006 山西）如图 7，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门 PQ 进攻，当他带球冲到 A 点时，同样乙已经助攻冲到 B 点。
有两种射门 方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门。
仅从射门角度考虑，应选择________种射门方式.13、如果圆的内接正六边形的边长为 6cm ，则其外接圆的半径为 . 14、如图 8，已知：在⊙O 中弦 AB 、CD 交于点 M 、AC 、DB 的延长线 交于点 N ，则图中相似三角形有______． 15、（20XX 年北京）如图 9，直角坐标系中一条圆弧经过网格点 A 、B 、C ，其中，B 点坐标 为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 . 16、（原创）如图 10,两条互相垂直的弦将⊙O 分成四部分,相对的两部分面积之和分别记为S 1 、S 2 ,若圆心到两弦的距离分别为 2 和 3,则︱S 1 -S 2 ︱=.DOMBACN图 8 图 9 图 10三、认真算一算、答一答(１７～２3 题，每题８分，２４题 10 分，共计 66 分). 17、（20XX 年丽水）为了探究三角形的内切圆半径 r 与周长 L 、面积 S 之间的关系,在数学 实验活动中,选取等边三角形(图甲)和直角三角形(图乙)进行研究.⊙O 是△ABC 的内切圆,切 点分别为点 D 、E 、F.(1)用刻度尺分别量出表中未度量的△ABC 的长,填入空格处,并计算出 周长 L 和面积 S.(结果精确到 0.1 厘米)(2)观察图形,利用上表实验数据分析.猜测特殊三角形的 r 与 L 、S 之间关系,并证明这种关系 对任意三角形(图丙)是否也成立? AC BC AB r L S图甲图乙0.61.0图甲 图乙 图丙（A18、（20XX年成都）如图，以等腰三角形ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点G，连结AD，并过点D作DE⊥AC，O GE垂足为E．根据以上条件写出三个正确结论（除B DC AB=AC，AO=BO，∠ABC=∠ACB外）是：（1）；（2）；（3）．19、20XX年黄冈）如图，要在直径为50厘米的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面。
问怎样才能截出直径最大的凳面，最大直径是多少厘米？20、（20XX年山西）如图是一纸杯,它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥,该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB.经测量,纸杯上开口圆的直径是6cm,下底面直径为4cm,母线长为EF=8cm.求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积(面积计算结果用π表示)．△21、如图，在ABC中，∠BCA=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点P，Q是AC的中点．判断直线PQ与⊙O的位置关系，并说明理由．22、（20XX年黄冈）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线P交ED的延长线于点P．C D （1）若PC=PF，求证：AB⊥ED；F （2）点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2=DE·DF，为什么？B AO HEP A PARCB23、（改编 20XX 年武汉）有这样一道习题：如图 1，已知 OA 和 OB 是⊙O 的半径，并且 OA ⊥OB ，P 是 OA 上任一点(不与 O 、A 重合)，BP 的延长线交⊙O 于 Q ，过 Q 点作⊙O 的 切线交 OA 的延长线于 R.说明：RP ＝RQ . 请探究下列变化：变化一：交换题设与结论.已知：如图 1，OA 和 OB 是⊙O 的半径，并且 OA ⊥OB ， 是 OA 上任一点(不与 O 、 重合)， BP 的延长线交⊙O 于 Q ，R 是 OA 的延长线上一点，且 RP ＝RQ . ．说明：RQ 为⊙O 的切线. ．BORBOP A变化二：运动探求. 1．如图 2，若 OA 向上平图 1 Q图 2Q BQ移，变化一中的结论还成立吗？(只需交待判断) 答：．2．如图 3，如果 P 在 OA 的延长线上时，BP 交⊙O 于 Q ， 过点 Q 作⊙O 的切线交 OA 的延长线于 R ，原题中的结论 还成立吗？为什么？O图 3AR PA3．若 OA 所在的直线向上平移且与⊙O 无公共点，请你根 据原题中的条件完成图 4，并判断结论是否还成立？ (只需交待判断)• O图 424、（20XX 年深圳南山区）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCO 的面积为 15，边 OA 比 OC 大 2．E 为 BC 的中点，以 OE 为直径的⊙O ′交 x 轴于 D 点，过点 D 作 DF ⊥AE 于 点 F ．（1）求 OA 、OC 的长；（2）求证：DF 为⊙O ′的切线； （△3）小明在解答本题时，发现 AOE 是等腰三角形．由此，他断定：“直线BC 上一定存在除点 E 以外的点 P ，使△AOP 也是等腰三角形，且点 P 一定在⊙O ′外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由．yE·Ｏ′FODAx（（（[参考答案]一、选择题1．B2．C3．D4．A5．B6．C7．C8．D9．B10．B二、填空题11．1200012．第二种13．6cm14．415．(2,0)16．24(提示:如图1,由圆的对称性可知,︱S1-S2︱等于e的面积,即为2×3×4=24)三、解答题117．(1)略(2)由图表信息猜测,得S=2Lr,并且对一般三角形都成立.连接OA、OB、OC,运用面积法证明．18．1）BD=DC，2）Rt△DEC∽Rt△ADC，3）DE是O的切线（以及∠BAD=∠BAD，AD⊥BC，弧BD=弧DG等）．19．设计方案如图2所示，在图3中，易证四边形OAO/C为正方形，OO/+O/B=25，所以圆形凳面的最大直径为25（2-1）厘米图1图2图3 20．扇形OAB的圆心角为45°,纸杯的表面积为44π.21．连接OP、CP，则∠OPC=∠OCP.由题意知△ACP是直角三角形,又Q是AC的中点,因此QP=QC,∠QPC=∠QCP.而∠OCP+∠QCP=900,所以∠OPC+∠QPC=900即OP⊥PQ,PQ 与⊙O相切.22．（1）略（2）当点D在劣弧AC的中点时，才能使AD2=DE·DF．23．变化一、连接OQ，证明OQ⊥QR；变化二（1）、结论成立（2）结论成立，连接OQ，证明∠B=∠OQB，则∠P=∠PQR，所以RQ=PR（3）结论仍然成立24．（1）在矩形OABC中，设OC=x则OA=x+2，依题意得x(x+2)=15解得：x1=3,x2=-5x=-52（不合题意，舍去）∴OC=3，OA=55（2）连结O′D在矩形OABC中，OC=AB，∠OCB=∠ABC=900，CE=BE=2∴△OCE≌△ABE∴EA=EO∴∠1=∠2在⊙O′中，∵O′O=O′D∴∠1=∠3∴∠3=∠2∴O′D∥AE，∵DF⊥AE∴DF⊥O′D又∵点D在⊙O′上，O′D为⊙O′的半径，∴DF为⊙O′切线．(3)不同意.理由如下:①当AO=AP时，以点A为圆心，以AO为半径画弧交BC于P1和P4两点过P1点作P1H⊥OA于点H，P1H=OC=3，∵A P1=OA=5∴A H=4，∴OH=1求得点P1（1，3）同理可得：P4（9，3）②当OA=OP时，同上可求得:：P2（4，3），P3（4，3）因此，在直线BC上，除了E点外，既存在⊙O′内的点P1，又存在⊙O′外的点P2、P3、P，它们分别使AOP为等腰三角形．△4。