2009年中国大学生数学竞赛试题
2009年全国大学生数学竞赛预赛
20052009年度全国大学生数学建模竞赛试题
2002年全国大学生数学建模竞赛题目A 题 车灯线光源的优化设计安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径36毫米，深度21.6毫米。
经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。
要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。
该设计规范在简化后可描述如下。
在焦点F 正前方25米处的A 点放置一测试屏，屏与FA 垂直，用以测试车灯的反射光。
在屏上过A 点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A 点的同侧取B 点和C 点，使AC=2AB=2.6米。
要求C 点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B 点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。
请解决下列问题：（1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。
（2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。
（3）讨论该设计规范的合理性。
B 题 彩票中的数学近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。
“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组9~0号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从4~0号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。
投注者从9~0十个号码中任选6个基本号码（可重复），从4~0中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。
以中奖号码“abcdef+g ”为例说明中奖等级，如表一（X 表示未选中的号码）。
个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。
投注者从33~01个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。
又如“36选6+1”的方案，先从36~01个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。
历年全国大学生数学建模竞赛-题目(1994-2009)
我国淡水资源有限，节约用水人人有责。洗衣机在家庭用水中占有相当大的 份额，目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要。假设在放入衣物和洗 涤剂后洗衣机的运行过程为：加水-漂水-脱水-加水-漂水-脱水-…-加水-漂水脱水（称“加水-漂水-脱水”为运行一轮）。请为洗衣机设计一种程序（包括运 行多少轮、每轮加多少水等），使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最 少。选用合理的数据进行计算。对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型 和结果作出评价。
１）建立数学模型分析如何可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组 鱼群不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。
２）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务５年，合同要求鱼群的生产能力不能 受到太大的破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为： 122,29.7,10.1,3.29(×109 条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采取 怎样的策略才能使总收获量最高。
1996 年全国大学生数学建模竞赛
A 题:最优捕鱼策略
为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开 发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大 产量或最佳效益。
考虑对某种鱼（鲳鱼）的最优捕捞策略：
假设这种鱼分４个年龄组：称１龄鱼，……，４龄鱼。各年龄组每条鱼的平 均重量分别为 5.07,11.55,17.86,22.99（克）；各年龄组鱼的自然死亡率均为 0.8（１/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条４龄鱼的产卵量为 1.109 ×105(个）；３龄鱼的产卵量为这个数的一半，２龄鱼和１龄鱼不产卵，产卵和 孵化期为每年的最后４个月；卵孵化并成活为１龄鱼，成活率（１龄鱼条数与产 卵总是 n 之比）为 1.22×1011/(1.22×1011+n).
宁夏大学2009年大学数学竞赛试题
宁夏大学2009年大学数学竞赛试题(乙组)学院____________班级___________姓名__________学号_____________时间：150分钟总分：100分得分：一、填空(每小题3分，共15分)1．设极限20)sin 1(lim e x xk x =+→，则=k __________.2．设x e dt t f x x +=⎰0)(，则=⎰dx x f xe)(ln 11________.3．已知()xy e x z +=，则=∂∂)0,1(xz ___________.4．将二次积分⎰⎰---=11122),(y y dx y x f dy I 化为极坐标形式的二次积分，则I =______.5．设2ln cos x x x ++是)(x f 的一个原函数，则=')(x f _____________.二、单项选择题(请将正确答案前的字母填在括号内，每小题3分，共15分)1．设当∞→x 时，函数)(x f 与21x是等价无穷小，则)(3lim 2x f x x ∞→＝（）（A ）0(B)1(C)3(D)∞2．设⎩⎨⎧≥<+=001)(x e x x x f x ，则⎰=-31)2(dx x f ()(A)1-e （B ）3-e （C ）15--e （D ）13--e 3．设⎰-=xdt t y 0)1(，则y 有（）（A ）极大值1（B ）极小值1（C ）极大值1-（D ）极小值1-4．若C x dx x f +=⎰2)(,则=-⎰dx x xf )1(2（）（A ）Cx +--22)1(21(B)C x +-22)1(21(C)C x +-22)1(2(D)Cx +--22)1(25．设由方程0=-xyz e z 确定的隐函数),(y x z z =，则xz∂∂＝（）（A ）zz +1（B ）)1(-z x z （C ）)1(z x y +（D ）)1(z x y -三、计算题（每小题6分，共30分）1．求极限3022021)sin (lim xx x dt t e x t x ⎰---→.2．设函数)(x y y =由方程1tan =-xy y 确定，又函数)(t x x =由方程0cos =+x x t 确定，求复合函数)]([t x y y =的导数=t dtdy .3．求积分dxxx ⎰--24914．计算二重积分σd x y D⎰⎰-||2，其中区域}1||,20),{(≤≤≤=x y y x D .5．设函数)(x f 满足⎰-=102)()(dx x f x x f ，求)(x f .四、（8分）设函数⎩⎨⎧>≤+=0)arcsin(0)(x ax x b e x f x ，要使函数)(x f 在0=x 处连续且可导，b a ,应取什么值？五、（8分）1）设)(x f 在),0[+∞连续，0>a .证明：⎰⎰=2023)(21)(a adx x xf dx x f x ，并计算⎰2023)sin(πdx x x .2）设函数)(x f 在[]a ,0（0>a ）上连续1．证明：dxx a f dx x f aa)()(0⎰⎰-=2．利用1的结果计算dxx⎰+-42sin 1π六、（8分）设函数dt x t t x f ⎰-=10)()()10(<<x ，求)(x f 的单调区间、极值及曲线)(x f y =的凹凸区间.七、（8分）在第一象限内求曲线12+-=x y 上的一点，使曲线在该点处的切线与所给曲线及两条坐标轴所围图形面积最小，并求出这个最小面积.八、求曲线2x y =在区间（0，1）内的一条切线，使该切线与直线1,0==x x 及曲线2x y =所围图形面积最小.九、（8分）设函数)(x f 在区间]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且121(,0)1()0(===f f f .试证：（1）存在)1,21(∈η，使ηη=)(f ；（2）存在),0(ηξ∈，使得1)(='ξf .。
2009年数学建模考题2
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目C题卫星和飞船的跟踪测控卫星和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，对它们的发射和运行过程进行测控是航天系统的一个重要组成部分，理想的状况是对卫星和飞船（特别是载人飞船）进行全程跟踪测控。
测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹角3度的范围内测控效果不好，实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域。
在一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往有多个测控站联合完成测控任务，如神州七号飞船发射和运行过程中测控站的分布如下图所示：图片来源/jrzg/2008-09/24/content_1104882.htm请利用模型分析卫星或飞船的测控情况，具体问题如下：1. 在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控？2.如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H的球面S上运行。
考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，问至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的？3. 收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，分析这些测控站点对该卫星所能测控的范围。
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题评阅要点[说明]本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
1．考虑最简单圆形轨道和一般的椭圆轨道假设卫星测控站分布在与卫星轨道共面的地球表面，且卫星的运行轨道为圆。
利用几何关系给出全部覆盖需要的测控站点数与卫星高度的关系。
如卫星高度100 200 300 343 400 500观测站数24 16 12 12 11 10当卫星的运行轨道为椭圆，卫星运行轨道的一个焦点在地球中心，利用几何关系给出每个测控站的覆盖范围。
然后利用数值方法对测控站点进行优化，给出一些具体结果（数量和位置）。
(参考资料)广东金融学院2009数学竞赛参考答案 2
-6.-4.-12。
6
所以 B 相似于 4
．
12
8.λ为何值时，线性方程组
λx1 + x2 + x3 = λ−3 x1 +λx2 + x3 = −2
3
出卷老师：骆世广
x1 + x2 +λx3 = −2 有唯一解, 无解和有无穷多解? 当方程组有无穷多解时求其通解.
1 1 3 1 1 2
解：
1
1
2
1
1
2
1 1 2 1 1 3
1 1
2 1 1
2
0
11 00源自11 0………4
0 1 1 2 3 3 0 0 (1 )( 2) 3 3
分 当 1且 2 时 ， r(A)=r(Ab)=3, 方 程 组 有 唯 一 解 ；
2时, r( A) r( Ab) 方程无解； 1时, r( A) r( Ab) 1 方程组有唯一解
有无穷多解，此时…………………………7 分
1 1 1 2
(
Ab)
0 0
0 0
0 0
0 0
方程组的等价方程组为
x1 x2 x3 2
其通解为
2 1 1
0
c1
1
c2
0
0 0 1
其
中
c1, c2
为
任
意
常
数。…………………………………………………………10 分
三、概率论与数理统计部分（共 3 小题，每小题 10 分） 9．设有随机变量U 和V ，它们都仅取1， 1两个值．已知
学 号 ：
姓 名 ：
班 级 ：
密 封 线
出卷老师：骆世广
2009年计算数学夏令营数学竞赛试题(共六道题,每题二十五分)1.(25
2009年计算数学夏令营数学竞赛试题(共六道题，每题二十五分）1． (25分) 一个平面凸集与双曲线1xy =的两支和双曲线1xy =-的两支都相交，求出这个凸集的最小可能面积。
2.（25分）设:[0,1]f R →有连续导数，并且10()0f x dx =⎰. 证明，对于每个(0,1)α∈有0011()max |()|8x f x dx f x α≤≤'≤⎰. 3．（25分）计算三重积分⎰⎰⎰++=Vdxdydz c z b y a x I )(222222，其中V 是椭球体1222222≤++c z b y a x 。
4.（25分）已知n 维向量()i w w =每个分量均为正数。
试求以下n 维方阵的特征值和特征向 量：()ij A a =, 其中 /.ij i j a w w =5．（25分）目标向量m x R ∈未知，但知它最多有k 个非零元素个数(k m )。
现有观测矩阵n m A R⨯∈, 其中2k n m ≤,并且其任意2k 列均线性无关。
你认为一定能从观测向量b Ax =反推出所需的目标向量x 吗？为什么？6．（25分） 已知A 为m n ⨯阶矩阵，A 的秩()r A n =，B 为n k ⨯阶矩阵，证明()()r AB r B =.2009年计算数学夏令营数学竞赛点评一． 本竞赛题有多种解法，大多数同学根据对称性得到了正确的答案，但49位同学中只有10位同学有完整的证明，从而得到满分。
有效的途径在将凸集的形状归约为四边形后考虑将四边形的面积通过（1）以某条对角线为底的两个三角形；（2）四个小三角形 的面积计算而得到计算公式，并求出最优解。
少量的同学用反证的方法也可以得到正确解。
以下给出的巧妙解法利用了保积变换不影响平面图形的面积，即将横轴拉长a 倍，而将纵轴缩短a 倍不改变图形的面积。
这一点也可从最优解不只是连接（1，1），（1，-1），（-1，-1），（-1，1）四点的正四边形，还包括所有连接（a,1/a ）, (a,-1/a) ,(-a,-1/a),(-a,1/a)的长方形（此处a 为任意整数，这是所有面积均为4）看出。
2009年浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛试题(经管类)
2n
2．计算不定积分 ∫
ln x 1 + x (ln x − 1) 2
2
dx .
3．设 f ( x) = x sin 2 x ，求 f (2009) (0) .
x = cot t 4．设 cos 2t ， t ∈ (0,π ) ，求此曲线的拐点. y = sin t
ax 2 + bx x 2 = 1 ，求常数 a, b 的值. 5．已知极限 lim e x + x →0 1− x
?112四满分20分设曲线y?e?xsinx0?x?n?n?z?求此曲线与x轴围成的图n??形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积vn并求limvn
2009 年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题 （经管类）
一、计算题（每小题 12 分，共 60 分） 1．求极限 lim n∑
n →∞
1 . i =n i (n + i)
−x
sin x ， 0 ≤ x ≤ nπ ， n ∈ z + ，求此曲线与 x 轴围成的图
n →∞
形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积 Vn ，并求 lim Vn .
五、 （满分 15 分）设 f n ( x) = x n + x − r ，其中 r > 0 （1）证明： f n ( x) 在 (0, + ∞) 内有唯一的零点 xn ； （2）问 r 为何值时，级数 ∑ xn 收敛？发散？
1
二、 （满分 20 分）设 f (0) = 0 ， 0 < f ' ( x) < 1 ，比较 小并证明之.
(∫
1
0
f ( x)dx 与 ∫ f 3 ( x)dx 的大
0
2009年全国数学建模竞赛B题论文
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期： 2009 年 9 月 14 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：眼科病床的合理安排摘要眼科病床安排问题是一个重要的问题，如果病床安排得不合理，不仅医院资源不能得到有效利用，而且会给病人造成一定得损失，也影响医院的发展。
建立合理的病床安排模型不仅能使医院资源得到有效分配，还能为病人带来方便。
首先，为确定病床安排模型的优劣，我们要建立一个合理的评价指标体系。
从总成本和效率两方面进行综合考虑，建立模型一评价指标模型。
第一个综合指标总成本包括病人在排队系统中等待的损失和医院服务成本，即总成本；第二个综合指i i i Q ax by =+标是用“归一分析法”来分析床位利用效率，其中：=⨯期内床位实际周转次数床位效率指数床位使用率期内床位标准周转次数然后采用模型一的这些指标对该问题的病床安排模型的优劣进行综合评价，得出结论是按照FCFS （First come, First serve ）规则安排住院使总成本不断在大幅度增加，床位一直处于低效率运行状态。
2009年全国大学生数学建模大赛C题优秀论文要点
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期： 2009 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2009高教社杯全国大学生数学建模培训竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：卫星和飞船的跟踪测控摘要卫星和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，本文通过对卫星或飞船运行过程中测控站需要的数目进行求解，从而实现能够对卫星或飞船进行全程跟踪测控的目标。
对于问题一，由于测控站都与卫星运行轨道共面，且测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域，所以，我们首先考虑将卫星或者飞船的运行轨道理想化成圆形，建立其与地球共心的圆形轨道模型，此时，运用几何知识和正弦定理计算出至少应建立12个测控站。
但是，在现实中卫星或飞船的轨道为椭圆形状，接着我们又给出了质点运行轨道为椭圆时的数学模型计算得出需要建立测控站数目的区间为12至16个。
问题二，我们利用每个测控站测控的锥形区域与卫星或飞船轨道曲面相交的圆的内接多边形来覆盖整个卫星轨道曲面，就可以将需要这样内接多边形的个数近似的看作需要建立测控站的最少个数，这里我们只给出内接正四边形和正六边形两种数学模型，此时，计算出需要测控站的最少数目分别为60和67个。