衍射公式总结
3第二章 衍射理论(4)菲涅耳和夫琅和费衍射
结论：可以把光波在衍射孔径后的传播现象 看作是线性不变系统。
2.衍射的角谱理论
A
cos
,
cos
A0
cos
,
cos
exp(
jkz
1 cos 2 cos 2 )
衍射公式的频谱表示： A( f x , f y ) A0( f x , f y )H ( f x , f y )
H( fx ,
复习： 1.近轴条件下的基尔霍夫衍射公式
U(P)
1
j
U(P0 )cos(n, r)
cos(n, r0 )
2
e jkr r
ds
1
e jkr cos 1
U(P) j U0(P0 ) r
dS 2
1 e jkr
h(P, P0 ) j z
U( x, y) U( x0 , y0 )h( x x0 , y y0 )dx0dy0
m [ (
4
fx
f0 ,) (
fx
f0 ,)]
F[t( x0 ,
y0 )]
F
1 2
m 2
cos(2f0 x0 )
Frect
x0 l
rect
y0 l
l2 2
s
in
c(lf
y
)s
in
c(lf
x
)
m 2
sinc[l(
fx
f0
)]
m 2
sinc[l(
fx
f
0
)]
将
fx
x
z
,
fy
y
z
代入上式, 并将上式代入U(x,y), 得
U(x, y)
声学衍射和光学衍射的特性和公式有哪些
声学衍射和光学衍射的特性和公式有哪些知识点：声学衍射和光学衍射的特性和公式1. 声学衍射是指声波遇到障碍物时，波前发生弯曲现象。
2. 声学衍射分为两种类型：外部衍射和内部衍射。
3. 外部衍射是指声波从障碍物外部通过时发生的衍射现象。
4. 内部衍射是指声波从障碍物内部通过时发生的衍射现象。
5. 声学衍射的特性与声波的波长、障碍物的尺寸和声波的入射角度有关。
6.声学衍射的公式有： – 菲涅尔衍射公式：I(x,y)=I 0⋅(sin(β)β)2–衍射积分公式：I(x,y)=∫∫u(x′,y′)|r⃗−r ⃗′|d 2r′其中，I(x,y) 为衍射强度，I 0 为入射强度，β 为相位因子，r ⃗ 和 r ⃗′ 分别为衍射点和入射点的位置向量。
7. 光学衍射是指光波遇到障碍物时，波前发生弯曲现象。
8. 光学衍射分为两种类型：夫琅禾费衍射和菲涅尔衍射。
9.夫琅禾费衍射是指光波从无限远处入射到障碍物上时发生的衍射现象。
10. 菲涅尔衍射是指光波从有限距离处入射到障碍物上时发生的衍射现象。
11. 光学衍射的特性与光波的波长、障碍物的尺寸和光波的入射角度有关。
12. 光学衍射的公式有：– 夫琅禾费衍射公式：I(x,y)=0(√2λL)2⋅(sin(β)β)2–菲涅尔衍射公式：I(x,y)=I 0(2λL)2⋅(sin(β)β)2其中，I(x,y) 为衍射强度，I 0 为入射强度，λ 为光波波长，L 为光波到衍射孔的距离，β 为相位因子。
以上是声学衍射和光学衍射的特性和公式的概述，希望对您有所帮助。
习题及方法：1.习题：一个声源位于一个半径为1米的圆形障碍物内部，距离障碍物中心2米。
求在距离障碍物边缘1米处的点上的声压级。
解题思路：本题考查声学衍射中的内部衍射。
根据衍射积分公式，计算衍射强度，然后根据声压级的计算公式求解。
(1)计算相位因子β：β=k⋅|r⃗−r⃗′|，其中k=2πλ，r⃗为声源位置，r⃗′为观测点位置。
11-3光的衍射汇总
d sin m
d mn a n 1
m d 6m sin
（2）
m4
amin
d 1.5m 4
20
（3）由光栅方程，理论上能看到的最高级谱线的极限， 对应衍射角θ=π/2
sin 1，m mmax
6m m max 10 0.6m d
在-900< θ <900范围内可观察到的明纹级数为 m=0,1, 2, 3, 5, 6, 7, 9,共15条明纹
衍射光栅的应用： 精确地测量光的波长；是重要的光学元件，广泛应 用于物理，化学，天文，地质等基础学科和近代生
产技术的许多部门。
衍射光栅的分类： 1、对光波的调制分式：振幅型和相位型 2、工作方式：透射型和反射型 3、光栅工作表面的形状：平面光栅和凹面光栅 4、对入射波调制的空间：二维平面光栅和三维体积光栅 5、光栅制作方式：机刻光栅、复制光栅、全息光栅
27
光栅的分光性能
（一） 光栅方程 决定各级主极大位臵的式子称为光栅方程。 正入射时设计和使用光栅的基本方程。 dsin=m m= 0, ± 1, ± 2, ± 3 · · ·
衍射光与入射光在光栅法线同侧取正号； 衍射光与入射光在光栅法线异侧取负号。
28
以反射光栅为例，导出斜入射情形的光栅方程。 d(sini± sin)=m m= 0, ± 1, ± 2, ± 3 · · ·
P点的光强为
N sin sin 2 2 )2 I ( P) I 0 ( ) ( sin 2
I 0 A 是单缝在P0点产生的光强。
2
3
N sin sin 2 2 )2 I ( P) I 0 ( ) ( sin 2
单缝衍射因子 ( sin ) 2
光的衍射与衍射条纹
光的衍射与衍射条纹在物理学中，光的衍射是指光线通过狭缝或物体缘边时，发生弯曲或扩散的现象。
与光的传播路径相比，衍射现象使光束产生了明暗相间的条纹，我们称之为衍射条纹。
本文将介绍光的衍射的基本原理、衍射公式的推导以及一些实际应用。
第一部分：光的衍射原理光的衍射现象可以用波动理论来解释。
根据赫歇尔-菲涅尔原理，当光线通过一个孔径或物体缘边时，每个点都可以被看做是一个次级波的源，这些次级波相干地相互叠加，形成了衍射条纹。
衍射条纹的形成离不开衍射公式。
一维情况下，我们可以用单缝衍射公式来描述：sinθ = mλ/d其中，θ表示衍射角，m为衍射级数（0、±1、±2...），λ为光的波长，d为缝宽或物体缘边宽度。
第二部分：衍射公式的推导对于单缝衍射，我们可以假设光线垂直入射，入射光波与缝口平行。
根据菲涅尔的半波片理论，波前将被看做是一系列的半波源。
在缝口边缘的每个点上，我们可以把它看做是一个次级波的源，该源辐射的波面通过缝口后会扩散并覆盖整个观察屏幕。
在某个观察点上，假设距离缝口的距离为L，并与缝口的距离为x。
根据菲涅尔原理，该观察点上的所有次级波都以相同的相位到达。
现在考虑到光的传播距离差，我们可以得到相位差的表达式：Δφ = (2π/λ)(L1 - L2) = (2π/λ)xsinθ其中，θ为衍射角，通过几何运算我们可以发现sinθ≈θ。
因此：Δφ ≈ (2π/λ)xθ根据斯涅尔定律，相位差相应地导致光强的变化。
当相位差为奇数倍的π时，光强达到最小值；当相位差为偶数倍的π时，光强达到最大值。
由此推论可得到单缝衍射公式：sinθ = mλ/d第三部分：光的衍射条纹的应用光的衍射是一种重要的光学现象，不仅有理论研究的价值，也有广泛的实际应用。
衍射光栅是光的衍射的重要应用之一。
光栅是一种具有一系列平行排列的透镜或反射光栅线的光学元件。
当光通过光栅时，会产生一系列周期性的衍射条纹，这些条纹可以被利用来进行光谱分析、光学测量等。
高中物理光的衍射公式
高中物理光的衍射公式
光的衍射是光通过一个孔或者物体的边缘时发生的现象。
衍射现象可以解释一系列光的行为，包括光通过狭缝时的弯曲和色散。
高中物理中，我们学习了光的衍射公式，它用于计算光线通过狭缝时的衍射角度和衍射图样的特征。
高中物理光的衍射公式是基于惠更斯-菲涅尔原理推导出来的。
根据这个原理，当光线通过一个孔或物体的边缘时，每个点上的波前会成为新的次波源，次波源的干涉和叠加形成了衍射图样。
衍射公式可以用来计算衍射角度（θ）和衍射图样的特征。
对于单缝衍射，衍射角度可以用下面的公式来计算：
sin(θ) = mλ / b
其中，θ是衍射角度，m是衍射级数（m = 0, ±1, ±2, …），λ是入射光的波长，b是狭缝的宽度。
这个公式告诉我们，当入射光波长不变时，衍射角度和狭缝宽度成反比。
也就是说，狭缝越窄，衍射角度越大，衍射现象越明显。
对于双缝衍射，衍射公式稍有不同：
sin(θ) = mλ / d
其中，θ是衍射角度，m是衍射级数（m = 0, ±1, ±2, …），λ是入射光的波长，d是双缝的间距。
双缝衍射公式告诉我们，当入射光波长不变时，衍射角度和双缝间距成正比。
也就是说，双缝间距越大，衍射角度越小，衍射图样越集中。
通过衍射公式，我们可以预测和解释各种衍射现象，例如单缝和双缝衍射的衍射角度、干涉级数和衍射图样的特征。
这些公式在高中物理教学中非常重要，它们帮助我们理解光的行为并应用于实际问题的解决。
瑞利索末菲衍射公式
瑞利索末菲衍射公式摘要：一、瑞利索末菲衍射公式简介1.衍射现象的背景及重要性2.瑞利索末菲衍射公式的发展历程二、瑞利索末菲衍射公式的推导1.瑞利公式2.索末菲公式3.瑞利索末菲衍射公式三、瑞利索末菲衍射公式的应用1.描述光通过狭缝的衍射现象2.应用于光学实验和实际问题四、瑞利索末菲衍射公式的局限性及拓展1.衍射现象的局限性2.拓展与改进正文：瑞利索末菲衍射公式是描述光通过狭缝或其他具有不均匀性的光学系统时，光强分布规律的重要公式。
它的发展历程可以追溯到英国物理学家詹姆斯·克拉克·瑞利（James Clerk Maxwell）和德国物理学家阿诺德·索末菲（Arnold Sommerfeld）的研究。
瑞利公式是描述圆盘对光束的衍射现象的公式，它是由瑞利在19 世纪末提出的。
瑞利公式表示光强I 与圆盘半径R、波长λ和观察距离x 之间的关系：I ∝ (R/x)。
索末菲公式是在瑞利公式的基础上，针对球面波和柱面波提出的。
索末菲公式表示光强I 与光源半径a、波长λ和观察距离x 之间的关系：I ∝(a/x)。
瑞利索末菲衍射公式是将瑞利公式和索末菲公式相结合得到的，它表示光强I 与光源半径a、圆盘半径R 和观察距离x 之间的关系：I ∝ (aR/x)。
该公式可以更准确地描述光通过狭缝或其他具有不均匀性的光学系统时的衍射现象。
瑞利索末菲衍射公式在光学实验和实际问题中有着广泛的应用，例如在光纤通信、光学测量和光学设计等领域。
然而，瑞利索末菲衍射公式也有其局限性，例如在描述光通过复杂光学系统时的衍射现象时，可能需要引入更复杂的衍射公式或数值模拟方法。
总之，瑞利索末菲衍射公式是光学领域中一个重要的公式，它对衍射现象的描述和应用具有深远的影响。
双缝衍射公式
双缝衍射公式## 双缝衍射现象及其应用双缝衍射是一种重要的光学现象，指的是当光通过两个非常接近的缝隙时出现干涉现象，形成一系列等间距的暗斑和亮纹。
这一现象首次由英国科学家托马斯·杨在1801年观察到，并对光的波动性提供了直接证据。
### 衍射原理双缝衍射现象可以用光的波动性和干涉原理解释。
当光通过两个非常接近的缝隙时，光波会由于时间差而形成相干波。
这些相干波会在空间中叠加，形成干涉图样。
具体来说，在缝隙后方某一位置，两束光波的路径相差恰好为光的半波长时，两个光波相长叠加，形成亮纹；而当两束光波的路径相差为光的整波长时，两个光波相消干涉，形成暗斑。
### 双缝衍射的特点双缝衍射具有许多特点，其中一些重要特点如下：1. 衍射角度：双缝衍射的亮纹间距与波长和缝隙的宽度有关，根据衍射公式，可以计算出亮纹的夹角。
2. 干涉图案：双缝衍射在屏幕上产生一系列明暗相间的亮纹，这些亮纹可以形成清晰的干涉图案，用于测量光的波长、波前反射等。
3. 衍射限制：双缝衍射的分辨率与光的波长和缝隙的宽度有关。
当波长或缝隙宽度过小时，衍射图案会变得模糊，无法观测到明确的亮纹。
### 双缝衍射的应用基于双缝衍射现象的干涉图样具有广泛的应用，下面介绍其中几个典型的应用领域：1. 测量波长：利用双缝衍射的干涉图样，可以测量光的波长。
通过观察干涉图样的亮纹间距，结合衍射公式，可以计算出光的波长，这在光学实验和研究中具有重要意义。
2. 波前反射：在光传播过程中，受到不同介质的影响会导致光波前的变形。
利用双缝衍射的干涉图样，可以观察到波前的反射情况，从而研究介质对光的折射、散射等现象。
3. 光学仪器校准：双缝衍射图样的特点可以用于校准光学仪器的精度。
通过与已知波长的光源进行比对，利用双缝衍射的亮纹分布和间距，可以检验和调整仪器的测量精度。
4. 衍射光栅：基于双缝衍射的原理，人们设计出衍射光栅，这是一种具有许多密集平行缝隙的光学元件。
衍射
高等光学
x,y方向单位长度内 变化的周期数
标量衍射理论
光波的表示：
2
exp[ik r ] exp[ik (cosx cos y cosz)]
d d x0 x0 2 ) rect( 2) t ( x0 ) rect( a a x0 d d rect( ) * [ x0 x0 ] a 2 2
x0 d d F[t ( x0 )] F [rect( )] F [ x0 x0 ] a 2 2 a sin c(afx )[exp( jf x d ) exp( jf x d )]
标量衍射理论
Kirchhoff衍射理论：
将光波场函数带入到标量波动方程中，即可得到如 下的Helmholtz方程：
（ k ) U ( P ) 0
2 2
U (P )是光场中任一观察点P的复振幅分布
高等光学
标量衍射理论
Kirchhoff衍射理论：
利用格林定理，在特定边界条件下导出Kirchhoff衍射公式
r0 z 0 ka 0 ka 1.22 f 爱里斑的半径：
0.61 r 0.61 r0 f 0 0' a f a
0.4
0.2
0.0 -10 -5 0 5 10
2r0
结论：衍射大小与圆孔半径成 反比，而与光波波长成正比
高等光学
L1 S
a y
0
x
0
L2
y
P d 双缝衍射实验装置 x
空间频率
衍射总结
一、菲涅尔衍射1、半波带法2、矢量图解法3、菲涅耳波带片二、单缝衍射1、基本公式2sin sin L a a πθδθλ∆=⇒= 0sin A A θαα=，20sin I I θαα⎛⎫= ⎪⎝⎭，sin 2a δπαθλ==． 2、单缝衍射因子sin αα的特点（1）主极强——零级衍射斑（2）次极强——高级衍射斑（3）暗斑位置（4）亮斑的角宽度三、光学仪器的像分辨本领1、夫琅禾费圆孔衍射·第一暗环的角半径2D a =是圆孔直径．2、望远镜的分辨本领·根据瑞利判据，对于望远镜来说，两像斑中心的角距离m δθ应等于每个斑的半角宽度θ∆，3、显微镜的分辨本领..N A 称为显微镜的数值孔径． 四、多缝（光栅）衍射1、基本公式 2sin sin L d d πθδθλ∆=⇒=，令sin 2d δπβθλ== sin 2sin 2sin 2sin sin a N A R N N a θθθβββββ===，22sin sin N I a θθββ⎛⎫= ⎪⎝⎭2、缝间干涉因子sin sin N ββ的特点 （1）主极强峰值的大小、位置和数目·m βπ=sin sin N N ββ=，为缝间干涉因子的主极大． ·凡满足该式的方向上，出现一个主极强，强度是单缝在该方向强度的N 2倍．·主极强的位置与缝数N 无关． ·主极强的最大级别d m λ＜，d λ≥时除0级外别无其它主极强． （2）零点的位置和次极强的数目·sin 0,sin 0N ββ=≠时，即()p m N βπ=+，sin ()p m N dλθ=+时，为缝间干涉因子的零点． ·上式表明，每两个主极强之间有1N -条暗线．·相邻暗线间会有一个次极强，故共有2N -个次极强．（3）主极强的半角宽度·认为主极强的宽度以它两侧的暗线为界，其中心到邻近暗线之间的角距离即为半角宽度θ∆． ·对于偏离幕中央不远的主极强，m 级主极强的角位置为k m d λθ=，相邻暗线的位置为1()k m N d λθθ+∆=+·上式表明，主极强的半角宽度θ∆与Nd 成反比，Nd 越大，θ∆越小，主极强的“锐度”越大，主极强亮纹越细．（4）补充说明·对于光栅，总缝数N 达105的数量级，因此次极强很弱，完全观察不到．·因此，上述结论中最重要的是主极强的位置和半角宽度．3、单缝衍射因子sin αα的作用·给定了缝的间隔d 之后，主极强的位置就确定了．单缝衍射因子并不改变主极强的位置和半角宽度，只改变各级主极强的强度．·即，单缝衍射因子的作用在于影响强度在各级主极强间的分配．五、光栅光谱仪1、光栅的分光原理·光栅光谱一般有许多级，每级是一套光谱，而棱镜光谱只有一套．2、色散本领（1·sin cos m d m d m θλθδθδλ=⇒=·上式表明，光栅的角色散本领与光栅常数d 成反比，与级数m 成正比，与光栅中衍射单元的总数N 无关．因而近代光栅的缝很密，231010mm d --—．（2·cos l mfm D fD d θθ==． ·为了增大线色散本领，聚焦物镜的焦距f 常达数米．3·色散本领只反映谱线（主极强）中心分离的程度，不能说明两条谱线是否重叠．要分辨波长很接近的谱线，仍需每条谱线都很细．·谱线的半角宽度为cos mNd λθθ∆=，色散角cos m m D d θδθδλδλθ==． ·根据瑞利判据，应令色散角δθθ=∆，即cos cos m m m d Nd λδλθθ=，有Nmλδλ=，为能够分4、量程与自由光谱范围·最大待测波长M λ不能超过光栅常数d ，即M d λ＜．·入射光中最短波长的1m +级光程差大于等于最长波长的m 级光程差，得m 级得自由光谱范围mλλ∆=． 六、三维光栅——X 射线在晶体上的衍射1、面间干涉的布喇格公式·考虑晶面I 和II 上对应点的反射线，两个光线的光程差为2sin L d θ∆=，d 为晶面间隔，θ为掠射角．要使各晶面的反射线叠加起来产生主极强，光程差必须是波长的整数倍．即面间2、布喇格条件与一维光栅的主极强条件（光栅公式）的区别：·一块晶体内部有许多晶面族，对于给定的入射方向来说，有不同的掠射角，对应于每个晶面族有一个布喇格条件；而一维光栅对于给定的入射方向只有一个光栅公式．·一维光栅公式中θ是衍射角，对于一定的波长λ总有一些衍射角满足光栅公式．而在三维晶体光栅的情形里，θ是掠射角．当入射方向和晶体取向给定之后，所有晶面族的布喇格条件中d 和θ都已限定，对于随便的一个波长λ来说，它有可能刚好满足一个或几个晶面族的布喇格条件，更一般的情形是一个也不满足——即一般情况下很可能根本就没有主极强．。
衍射——精选推荐
衍射1、 一衍射光栅，狭缝宽度为b ，周期d=2b 。
试证明：全部偶数的极大都消失了。
设光栅宽度L>>d 。
证：利用衍射光栅的光强分布来证明。
光栅衍射的主极大()2202202/2/s i n s i n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=b mb b mb N I N u u I I m ππ当m=2n(n=0,1,2,3,……)时，I m =0当m=(2n+1)时， 202⎪⎭⎫ ⎝⎛=πm I I m可见，全部偶数级次的极大值都消失了。
2、（1）讨论由宽度不等的两狭缝所产生的夫琅禾非衍射图样。
若a ，b 分别为两狭缝的宽度，c 为两狭缝的中心距。
导出对于任意的衍射角θ的光强表达式。
设平面波波长为λ，垂直照射于狭缝上；（2）应用由（1）中得出的公式，推导以下特殊情况时衍射光强的表达式，并绘出草图。
I)a=b ；ii)a=0。
wππ2-π-0π2实线：a=b ，u=v.双缝干涉强度受单缝衍射包络调制虚线：a=0，单缝衍射强度分布解：（1）单缝a 、b 的衍射光振幅分别为λθπθλθπθs i n s i n 21,s i n s i n s i n 21,s i n b kb v u u b A a ka u u u aA b a ======由此可得出两狭缝干涉图样的光强为()ωθc o s 2222b a b a ba A A A A A A I ++=+=其中ω为两狭缝中心之间引入的相位差 λθπωs i n 2c =即()ωθc o s s i n s i n 2s i n s i n 222222v v u u ab vv b u u a I ++=（2）i ）当a=b 时，u=v 。
则()()2c o s s i n 4c o s 1s i n 22222222ωωθvv a v v a I =+=ii)当a=0时，()222s i n v vb I =θ3、 考虑一单色光入射到一狭缝。
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衍射公式总结
概述
衍射是一种波动现象，当波通过一个障碍物或通过边缘时，会发生传播方向改变和波面扩散的现象。
衍射现象对于光学、声学和无线电波传播等领域具有重要意义。
衍射公式是描述衍射现象的数学表达式，通过衍射公式可以计算衍射光的强度分布和外形。
本文将总结常见的衍射公式及其应用。
1. 单缝衍射公式
单缝衍射是最简单的衍射现象之一，当光通过一个狭缝时，会发生衍射现象。
单缝衍射公式描述了衍射光的强度分布。
衍射角的正弦值和缝宽之比称为缝宽角（通常用小写字母a表示），缝宽角为零表示光束正好通过缝，缝宽角越大，则衍射效应越明显。
单缝衍射公式为：
sin(θ) = m * λ / a
其中，θ为衍射角，m为衍射级次（m = 0, 1, 2, …），λ为光波长，a为缝宽。
2. 双缝干涉公式
双缝干涉是由两个平行狭缝引起的干涉现象。
光通过两个狭缝后，形成干涉图样。
双缝干涉公式描述了干涉图样的间距和衍射角之间的关系。
双缝干涉公式为：
λ = d * sin(θ)
其中，λ为光波长，d为双缝间距，θ为衍射角。
3. 圆孔衍射公式
除了通过狭缝，光也可以通过圆孔发生衍射现象。
圆孔衍射公式描述了衍射光强度分布和圆孔直径之间的关系。
圆孔衍射公式为：
sin(θ) = 1.22 * λ / D
其中，θ为衍射角，λ为光波长，D为圆孔直径。
4. 矩形孔衍射公式
矩形孔衍射是一种常见的衍射现象，例如，光通过窗户的缝隙时就会发生矩形孔衍射。
矩形孔衍射公式描述了矩形孔的衍射光强度分布。
矩形孔衍射公式为：
sin(θ) = (m * λ) / a
其中，θ为衍射角，m为衍射级次（m = 0, 1, 2, …），λ为光波长，a为矩形孔的宽度。
5. 例子应用
衍射公式在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在天文学中，衍射公式用于研究望远镜的分辨率限制。
在光学显微镜中，衍射公式用于计算显微镜的分辨率。
在无线电通信中，衍射公式则用于分析信号的传播和接收。
结论
衍射公式是描述衍射现象的数学表达式，通过衍射公式可以计算衍射光的强度分布和外形。
本文总结了常见的单缝衍射公式、双缝干涉公式、圆孔衍射公式和矩形孔衍射公式，并介绍了衍射公式的应用。