数学八年级上册十字相乘法
数学人教版八年级上册十字相乘法分解因式
什么是因式分解？ 把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做 把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解 因式.
前面我们都学习了哪些分解因式的方法？ 提取公因式法、公式法
公式法中常用的乘法公式
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2
(1)X2-7x+12 (4)x2-11x-12 (2)x2-4x-12 (5)x2+13x+12 (3)x2+8x+12 (6)x2-x-12
对于x2+px+q （1）当q＞0时，a、b﹍﹍，且a、b的符号与p的符号﹍﹍。
异号 a、b中绝对值较大的因数 （2）当q＜0时，a、b﹍﹍，且﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍与 p的符号相同。 同号 相同
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一:分解因式
( x 7 )( x 1 )步骤： x 6 x 7
2
7 x 1 x 7 x 6 x
x
①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式
顺口溜：
竖分常数交叉验，
横写因式不能乱。
将下列各式用十字相乘法进行因式分解
1、口答计算结果
(x+3)(x+4)= (x+3)(x- 4)= (x- 3)(x+4)= (x- 3)(x- 4)= x2+7x+12 x2-x-12 x2+x-12 x2-7x+12
2、提问：你有什么快速计算类似以 上多项式的方法吗？
两个一次二项式相乘的积
整式的乘法
一个二次三项式
人教版八年级数学上册《十字相乘法分解因式》课件
即：x 2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
实际在使用此公式时，需要把 一次项系数和常数项进行分拆，在 试算时，会带来一些困难。
下面介绍的方法，正好解决了 这个困难。
即：x 2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
=(2x ＋y)(x－2y)＋3x＋4y－2
=(2x ＋y－1)(x－2y＋2)
2
1
(2x＋y)
－1
1
－2 (x－2y)
2
－4＋1=－3
2(2x＋y) － (x－ 2 y)=3x＋4y
x
p
x
q
x2 px＋qx=(p＋q)x pq
十字相乘法：
对于二次三项式的分解因式，
借用一个十字叉帮助我们分解因式， 这种方法叫做十字相乘法。
例1 分解因式 x2－6x＋8
解：x 2－6x＋8
x
－2
=：分解因式 (x－y)2＋(x－y) －6
对于一般地二次三项式ax＋2 bx＋c (a≠0) 此法依然好用。
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练习：将下列各式分解因式 1、 7x 2－13x＋6 答案(7x＋6)(x＋1)
2、 －y 2－4y＋12 答案－ (y＋6)(y－2)
例2 分解因式 3x2－10x＋3
解：3x 2－10x＋3
x
－3
=(x－3)(3x－1) 3x
－1
－9x－x=－10x
例3 分解因式 5x2－17x－12
十字相乘法(八年级数学精品课件)
例2、把 y4-7y2-18 分 解因式
例3、把 x2-9xy+14y2 分解因式
用十字相乘法分解下列因式
1、x4-13x2+36 2、x2+3xy-4y2 3、x2y2+16xy+48 4、(2+a)2+5(2+a)-36
5、x4-2x3-48x2
例4、把 6x2-23x+10 分解因式 十字相乘法的要领是：“头尾
十字相乘法
“十字相乘法”是乘法公式： (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的反 向运算，它适用于分解二次三 项式。
例1、把 x2＋6x－7分解因式
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
x2 6x 7 (x 7)(x 1)
x
7
x 1
x7x 6x
因式分解：
(1) x2 14x 45= (x 5)(x 9) (2) x2 7 x 60= (x 12)(x 5)
(3) x2 29x 138= (x 23)(x 6)
(4) x2 14x 72= (x 4)(x 18) x2 (a b)x ab = (x a)(x b)
分解，交叉相乘，求和凑中，观 察试验”。
1、8x2-22x+15
2、14a2-29a-15 3、4m2+7mn-36n2
4、10(y+1)2-29(y+1)+10
例5、把(x2+5x)2-2(x2+5x)-24 分解因式
例6、把 (x2+2x+3)(x2+2x-2)-6 分解因式
数学人教版八年级上册十字相乘法
（4）横写结论：x2+bx+c=(x+c1)(x+c2)
将下列多项式分解因式
（1）x2+7x+10 （2）x2-x-6 =(x+2)(x+5) =(x+2)(x-3)
（3）x2-7x+12 （4）x2-12x+20
=(x-3)(x-4) =(x-2)(x-10)
（5）x3+6x2-27x =x(x+9)(x-3)
则a+b=-5,ab=p
因为，满足a+！
将下列多项式分解因式
（1）x2-20xy+64y2 =(x-4y)(x-16y)
（2）5x2+6xy-8y2 =(x+2y)(5x-4y) =(2x-y)(3x-2y)
（3）6x2-7xy+2y2
拓展提高
1.要使二次三项式x2+px+5在整数范围内能进行因 6，-6 。 式分解，那么P的取值是______
2
3x 2 ( x 1)( x 2) 5 x 6 ( x 2)( x 3) 3x 4 ( x 1)( x 4) 5 x 6 ( x 2)( x 3)
归纳：x2+(p+q)x+pq= (x+p)(x+q)
• （2）x
2 2 2
2.用十字相乘法因式分解ax2+bx+c
例2：分解因式：12x2-5x-2
解： 12x2-5x-2
3x 4x
-2
+1
3x*1+4x*(-2)=-5x
12x2-5x-2=(3x-2)(4x+1)
人教版八年级数学上册 《十字相乘法》整式的乘法与因式分解PPT
归纳
用十字相乘法分解因式的步骤：
１
-2
１
-6
-2 + -6
1．分解首尾系数
2．交叉相乘
= -8
3．相加验证 4．横向写出因式
第十三页，共四十四页。
首一的十字相乘法
什么是十字相乘法？
如何用十字相乘法分解二次系数为1的二次三项式？
第十四页，共四十四页。
练习
用十字相乘法分解因式：
第十五页，共四十四页。
第八页，共四十四页。
12=1×12
归纳
试着把常数项分成两个整数的积
然后看这两个数之和是否等于一次项系数
是否
否
相等
是
写出分解结果
第九页，共四十四页。
思考 不难发现，如果常数项的因数比较多， 可能需要多次试数才能成功．
那有没有什么方法能让试数过程更直观呢？
十字相乘法就可以做到，下面我们来学习一下．
第十页，共四十四页。
其中p，q是不相等的正数. 三种方案哪种提价最多？
第四十四页，共四十四页。
练习
用十字相乘法分解因式：
第十六页，共四十四页。
练习
用十字相乘法分解因式：
第十七页，共四十四页。
练习
用十字相乘法分解因式：
第十八页，共四十四页。
思考
刚才我们分解的都是二次项系数为1的情况， 如果二次项系数不是1，也能用这个方法分解吗？
用十字相乘法分解因式：
1．分解首尾系数
3
2．交叉相乘
1
3．相加验证
人教版八年级数学上册 《十字相乘法》整式的乘法与因式分解PPT
科 目：数学 适用版本：人教版 适用范围：【教师教学】Fra bibliotek十字相乘法
十字相乘法 人教版八年级数学上册
解:(1) x4 - y4=(x2+y2)(x2-y2) = (x2+y2)(x+y)(x-y)
(2) (y2 + x2 )2 - 4x2y2 =(y2 + x2 +2xy) (y2 + x2 -2xy) =(x+y)2(x-y)2
(3) x4-8x2+16=(x2-4)2
=(x+2)2(x-2)2
=x2-3x+2
= x2+5x+6 = x2-x-6 = x2+x-6
= x2-5x+6
整式的乘法
两个一次二项式相乘的积
一个二次三项式
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
反过来，得
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
一个二次三项式
两个一次二项式相乘的积
因式分解
如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数q能 分解成两个因数a、b的积，即q=ab而且一次 项系数p又恰好是a、b的和，即p=a+b，那么 x2+px+q就可以进行如上的因式分解。
对于x2+px+q
（1）当q＞0时，a、b﹍同﹍号，且a、b的符号与p的符号﹍相同﹍。 （2）当q＜0时，a、b﹍异﹍号 ，且a、﹍b﹍中﹍绝对﹍值﹍较﹍大﹍的﹍因数﹍与p的符号相同。
例２：试将 x2 6x 16 分解因式
解： x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出负号再因式分解 。
我
行分解。
八年级数学上册分解因式之十字相乘法
1.十字相乘法分解因式的公式： x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 2.能用十字相乘法来分解因式的二次三项式的系数的 特点：常数项能分解成两个数的积，且这两个数的和 恰好等于一次项的系数。 3.在用十字相乘法分解因式时，因为常数项的 分解因数有多种情况，所以通常要经过多次的 尝试才能确定采用哪组分解来进行分解因式。 4.十字相乘法的方法简单来讲就是： 十字左边相乘等于二次项系数， 右边相乘等于常数项，交叉相乘的和等于一次项系数。 其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x² +(a+b)x+ab 的逆运算来进行因式分解。
2 x +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
因式分解
两个一次二项式相乘的积
一个二次三项式
反过来，得
一个二次三项式
如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数q能分 解成两个因数a、b的积，而且一次项系数p又恰好 是a+b，那么x2+px+q就可以进行如上的因式分解。
试一试：把x2+3x+2分解因式
将下列多项式因式分解
(1)x2+3x-4 （7）（a+b）2-4(a+b)+3
(2)x2-3x-4
(3)x2+6xy-16y2
（8） x4-3x3 -28x2
(9) (10) 2x2-7x+3 5x2+6xy-8y2
(4)x2-11xy+24y2
(5)x2y2-7xy-18
(6)x4+13x2+36
(2) 常数项是负数时，它分解成两个异号因数， 其中绝对值较大的因数和一次项系数符号相同。
(完整版)初中数学十字相乘法因式分解
初中数学十字相乘法因式分解要点：一、2()x p q x pq +++型的因式分解特点是：（1）二次项的系数是1（2）常数项是两个数之积（3）一次项系数是常数的两个因数之和。
对这个式子先去括号，得到：pq x q p x +++)(2)()(22pq qx px x pq qx px x +++=+++=))(()()(q x p x p x q p x x ++=+++=1的二次三项式分解因式。
二、一般二次三项式2ax bx c ++的分解因式大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++。
反过来，就可得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++.这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法。
【典型例题】[例1] 把下列各式分解因式。
（1）232++x x （2）672+-x x 分析：（1）232++x x 的二次项的系数是1，常数项212⨯=，一次项系数213+=，这是一个pq x q p x +++)(2型式子。
（2）672+-x x 的二次项系数是1，常数项)6()1(6-⨯-=，一次项系数=-7)1(- )6(-+，这也是一个pq x q p x +++)(2型式子，因此可用公式pq x q p x +++)(2+=x ( ))(q x p +分解以上两式。
解：（1）因为212⨯=，并且213+=，所以)2)(1(232++=++x x x x（2）因为)6()1(6-⨯-=，并且)6()1(7-+-=-，所以)6)(1(672--=+-x x x x[例2] 把下列各式因式分解。
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数学八年级上册十字相乘法1十字相乘法顺口溜
1.首尾分解，交叉相乘，求和凑中，平行书写。
竖分常数交叉验，横写因式不能乱。
2.竖分常数交叉验
（1）竖分二次项和常数项, 即把二次项和常数项的系数竖向写出来,
（2）交叉相乘, 和相加, 即斜向相乘然后相加,得出一次项系数,
（3）检验确定, 检验一次项系数是否正确。
3.横写因式不能乱，即把因式横向写,而不是交叉写, 这里不能搞乱。
2十字相乘法的注意事项
十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
（1）用来解决两者之间的比例问题。
（2）得出的比例关系是基数的比例关系。
（3）总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。