华师版九年级下册27章圆27.1.2垂径定理
华师版九年级下册数学 第27章 27.1.2.2目标一 垂径定理 习题课件
第27章 圆
27.1.2.2
垂径定理及其推论
目标一 垂径定理
习题链接
温馨提示：点击 进入讲评
1C
6
2D
7
3B
8
4C
5A
答案呈现
认知基础练
1 如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点F，则下列结 论不一定正确的是( C ) ︵︵ A．AD＝BD B．AF＝BF C．OF＝CF ︵︵ D．AC＝BC
认知基础练
【点拨】 ∵DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD，∴点D是优弧
AB的中点，点C是劣弧AB的中点，且AF＝BF，故 选项A，B，D一定正确，无法证明OF＝CF.
认知基础练
2 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下 列结论不成立的是( D ) A．CM＝DM ︵︵ B．CB＝BD C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MD
思维发散练
7 【中考·湖州】如图，在以点O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于点C，D.
思维发散练
(1)求证：AC＝BD； 证明：如图，过点O作 OE⊥AB于点E，则CE ＝DE，AE＝BE. ∴AE－CE＝BE－DE， 即AC半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直 线AB的距离为6，求AC的长. 解：如图，连结OA，OC， 由(1)可知，OE⊥AB， ∵圆心O到直线AB的距离为6，
认知基础练
6 【教材P34试一试变式】如图，AB是⊙O的直径，CD 是⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，则下列结论：① ︵︵ ∠COE＝∠DOE；②CE＝DE；③BC＝BD；④OE＝ BE，其中，一定正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
认知基础练
错解：D 诊断：根据垂径定理，可知①②③一定正确；因为 CD不一定平分OB，所以④不一定正确．本题的易错 之处是对垂径定理理解不透，并且图形画得比较特 殊，因而误认为CD平分OB. 正解：C
华师大版九下数学27.第2课时垂径定理教学课件
∴ EA=EB， A⌒C=B⌒C，A⌒D=B⌒D． C E
O
D
B
例1 如图，两个圆都 以点O为圆心，小圆的 弦CD与大圆的弦AB在 同一条直线上。你认为 AC与BD的大小有什么 关系？为什么？
O
A C G DB
例2 一条排水管的截面如图所示．排水 管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面 圆心O到水面的距离OC ．
思路：由垂径定理可得M、N分别 是AB、AC的中点，所以MN= BC=2．
A
M ．N
O
B
C
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性； （2）垂径定理．
2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计 算和证明．
3．解题的主要方法：
（1）画弦心距是圆中常见的辅助线；
（2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直 角三角形是研究与圆有关问题的主要思路， 它们之间的关系：
B
理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，
根据圆的轴轴对称性，可得射线EA与EB重合，
∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重
合．
⌒⌒ ⌒⌒
∴ EA=EB， AC=BC，AD=BD．
垂径定理：垂直于弦的直径 平分这条弦，并且平分弦所 对的弧．
垂径定理的几何语言
A
∵CD为直径，CD⊥AB（OC⊥AB）
义务教育教科书（华师）九年级数学
下第册 27章 圆
27.1 圆的认识
——垂径定理
1．若将一等腰三角形沿着底 边上的高对折， 将会产生什 么结果?
２．如果以这个等腰三角形的顶 点为圆心，腰长为半径作圆，得 到的圆是否是轴对称图形呢？
1．结论： 圆是轴对称图形，每一条直径所在 的直线都是对称轴．
2023九年级数学下册第27章圆27.1圆的认识2圆的对称性第2课时垂径定理教案(新版)华东师大版
教师备课：
深入研究教材，明确圆的认识和垂径定理教学目标和重难点。
准备教学用具和多媒体资源，确保圆的认识和垂径定理教学过程的顺利进行。
设计课堂互动环节，提高学生学习圆的认识和垂径定理的积极性。
（二）课堂导入（预计用时：3分钟）
激发兴趣：
3. 给定一个圆，请写出至少三种方法来确定该圆的半径长度。
4. 假设一个圆的直径为14cm，求该圆的半径长度。
5. 在一个圆形草坪上，有一棵大树，树的根部到草坪中心的距离为7m。求大树的树干截面圆的半径长度。
答案：
1. 圆的认识是指理解和描述圆的基本属性和特点，如圆的形状、直径和半径等。垂径定理是指圆的直径垂直于通过圆心的任意直线。
提出问题或设置悬念，引发学生的好奇心和求知欲，引导学生进入圆的认识和垂径定理学习状态。
回顾旧知：
简要回顾上节课学习的圆的基本概念，帮助学生建立知识之间的联系。
提出问题，检查学生对圆的基本概念的掌握情况，为圆的认识和垂径定理新课学习打下基础。
（三）新课呈现（预计用时：25分钟）
知识讲解：
清晰、准确地讲解圆的认识和垂径定理知识点，结合实例帮助学生理解。
举例：讲解垂径定理时，可以以一个圆为例，引导学生观察并发现圆中垂直直径的性质，进而得出垂径定理。然后，给出一些实际问题，如圆的半径长度计算、圆的直径长度计算等，让学生运用垂径定理解决问题。
（2）圆的对称性质的掌握：学生需要了解圆的对称性质，并能够应用于实际问题中。教师在教学过程中应重点讲解圆的对称性质，并通过实例让学生学会运用这些性质解决问题。
在学生的学习效果方面，我看到大多数学生能够理解和运用圆的认识和垂径定理，但也有少数学生对这些概念的理解还不是很清晰。我会在今后的教学中，更加关注这部分学生，帮助他们克服学习困难，提高他们的学习效果。
华师版九年级下册数学 第27章 27.1.2.2目标二 垂径定理的推论 习题课件
∴C0，2
3
3.∴OC＝2
3
3 .
在 y＝ 33x＋233中，令 y＝0 得 33x＋233＝0，
解得 x＝－2.∴A(－2，0)．∴OA＝2.
认知基础练
23
在 Rt△AOC 中，tan∠CAO＝OOCA＝
3 2
＝ 33，
∴∠CAO＝30°.
在 Rt△AOD 中，AD＝OA·cos 30°＝2× 23＝ 3. ∵OD⊥AB，∴AD＝BD＝ 3.∴AB＝2 3.
认知基础练
3 如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆 心、AB为半径作⊙A，延长BC交⊙A于点D，则CD的 长为( C ) A．5 B．4 C．92 D．2 5
认知基础练
【点拨】 如图，取BD的中点E，连结AD，AE. 易知AD＝AB＝5，DE＝BE.
认知基础练
∴AE⊥BD，CE＝BE－BC＝DE－2. 根据勾股定理，得 AD2－DE2＝AC2－CE2， 即 52－DE2＝42－(DE－2)2， 解得 DE＝143， ∴CD＝DE＋CE＝2DE－2＝92.故选 C.
6.52－5.92＝ 7.44(m)， ∴MN＝2EN＝2× 7.44≈5.5(m)． ∵5.5＞5，∴此货船能顺利从这座圆弧形拱桥下通过．
认知基础练
4 【教材P40练习T1变︵式】【2021·南京】如图，AB 是⊙O的弦，C是AB的中点，OC交AB于点D.若 AB＝8 cm，CD＝2 cm，则⊙O的半径为 ____5____cm.
认知基础练
【点拨】 如图，连接OA. ︵ ∵C是AB的中点，∴D是弦AB的中点． ∴OC⊥AB，AD＝BD＝4 cm. ∵OA＝OC，CD＝2 cm， ∴OD＝OC－CD＝OA－CD. 在Rt△OAD中，OA2＝AD2＋OD2， 即OA2＝16＋(OA－2)2，解得OA＝5.
华师版九年级数学下册习题课件：27.1.2.2 垂径定理
1 在 Rt△ODP 中，sin∠ODP＝OODP＝2OODD＝12，∴∠ODP＝30° ∴OD＝cosD3P0°＝2 3(cm)，∴AB＝2OD＝4 3(cm)
①CE＝DE；②BE＝OE；③C︵B＝B︵D；④∠CAB＝∠DAB；⑤AC ＝AD.
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
11．如图，⊙O 的直径 AB＝12，CD 是⊙O 的弦，CD⊥AB，垂 足为 P，且 BP∶AP＝1∶5，则 CD 的长为( D )
A．4 2 B．8 2 C．2 5 D．4 5
解：过 O 作 OE⊥AB 于 E，连接 OC，
OA，易求 OE＝ 5，AE＝2 5，则
AB＝2AE＝4 5，∴AC＋DB＝AB－CD ＝4 5－4＝4( 5－1)(千米)
一、选择题(每小题 4 分，共 8 分)
10．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于ห้องสมุดไป่ตู้ E，则下列结论 一定正确的个数是( A )
下列结论错误的是( B )
A．CE＝DE B．AE＝OE
C.B︵C＝B︵D
D．△OCE≌△ODE
2．(4分)(2015·遂宁)如图，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm
，OC⊥AB于点C，则OC＝( B )
A．3 cm
B．4 cm C．5 cm
D．6 cm
3．(4分)如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝6，M是AB上任意一
于点 M，则 CM＝DM.∵直径 AB＝16 cm，
P 为 OB 的中点，∴OP＝4 cm.在
Rt△OPM 中，∵∠APD＝30°， ∴OM＝12OP＝2 cm.在 Rt△DOM 中， DM＝ DO2－OM2＝ 82－22＝2 15(cm)， ∴CD＝2DM＝4 15 cm
27-1-2圆的对称性垂径定理(课件)华东师大版数学九年级下册
5.如图是水平放置的水管截面示意图，已知水管的半径为
50cm，水面宽AB＝80cm，则水深CD约为 20 cm．
18
例题讲解
例3.如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接 CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD． （1）求证：E是OB的中点； （2）若AB＝16，求CD的长．
——垂径定理及其推论
垂径定理及其推论
东坡区实验中学 周成文
1
【教学目标】
1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性； ②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的
证明与计算问题； ③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线
段。 2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑 思维和归纳概括能力；
【解答】解：连接OC
∵M是⊙O弦CD的中点，
根据垂径定理：EM⊥CD，
又CD＝4，则有：CM 1 CD 2, 2
设圆的半径是x米，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝22+(6﹣x)2，
解得：X 10
3
所以圆的半径是10
．
3
14
例题讲解
例2．⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm， EB＝5cm，且∠DEB＝60°，求CD的长．
O
AB，则AE=BE，弧AD=弧BD， A 弧AC=弧BC
• 注意:过圆心和垂直于弦两个条
E
B
D
件缺一不可。
9
画图叙述垂径定理，并说出
定理的题设和结论。
题设
①直线CD经过圆心O
结论
③直线CD平分弦AB
华东版九年级数学下册第27章 27.1.2第2课时 垂径定理及其推论的应用
6. 如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点， 点 P 在第一象限，⊙P 与 x 轴交于 O、A 两点，点 A 的 坐标为(6，0)，⊙P 的半径为 13，则点 P 的坐标为
(3，2) ．
7. (2018· 安顺)已知⊙O 的直径 CD＝10 cm，AB 是 ⊙O 的弦，AB⊥CD，垂足为 M，且 AB＝8 cm，则 AC 的长为( C ) A．2 C．2 5 cm 5 cm 或 4 5cm B．4 D ．2 5 cm 3或 4 3 cm
10. (2018· 烟台)如图， 方格纸上每个小正方形的边长 均为 1 个单位长度，点 O、A、B、C 在格点(两条网格线 的交点叫格点)上，以点 O 为原点建立直角坐标系，则过 A、B、C 三点的圆的圆心坐标为 (－1，－2) ．
【解析】连结 CB，作 CB 的垂直平分线，如图所示， 在 CB 的垂直平分线上找到一点 D ，CD ＝DB＝DA＝ 32＋12＝ 10，所以 D 是过 A、B、C 三点的圆的圆心， 即 D 的坐标为(－1，－2)．
11. 如图，点 A、B 是⊙O 上两点，AB＝10，点 P 是⊙O 上的动点(P 与 A、B 不重合)，连结 AP、PB，过 点 O 分别作 OE⊥AP 于点 E，OF⊥PB 于点 F，则 EF＝
5
．
12. 如图所示，图中弯道是驾照考试科目二 S 弯道 ︵ ︵ 考试的一段弯道， 点 O 是AB所在圆的圆心， 点 C 是AB的 中点，OC 与 AB 相交于点 D．已知 AB＝11 m，CD＝2.5 m，求弯道的半径．
︵ 解：∵点 C 是AB的中点，DC 与 AB 相交于点 D， ∴OC⊥AB，在 Rt△AOD 中，设 OA＝r，则 OD＝r －2.5，OA2＝AD2＋OD2，即 r2＝30.25＋(r－2.5)2，解得 r＝7.3(m)．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；
推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；
（2）平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦
（2）四组量关系定理：在同圆或等圆；中，如果两个圆心角；两条弧；两条
弦；两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
垂径定理一般与直角三角形结合，半径，弦心距和弦长一半构造勾股定理列方程，解线段长
圆中处理问题的思路
①找圆心，连半径，转移边；
②遇弦，作垂线，垂径定理配合勾股定理建等式； ③遇直径，找直角，由直角，找直径； ④由弧找角，由角看弧．
补充：中考数学中涉及“一半”的相关内容
①直角三角形斜边中线等于斜边的一半； ②30°所对的直角边等于斜边的一半；
③三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半； ④圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半．
➢ 精讲精练 一选择题：
1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不一定成立的
是（ ） A ．CM =DM
B ．CB ︵=BD ︵
C ．∠AC
D =∠ADC
D ．OM =MD
2、一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径AD 为10，截面圆圆心A 到水面的距离AE 为6，则水面宽CD 的长为（ ）
A ．16
B ．10
C ．8
D ．6
第2题图第3题图
3、如图，CD是⊙A的弦，AE⊥CD于点E，交⊙A于点B，则下列说法不一定正确的是（）
A．CE=DE B．∠F=∠CAE C．弧BC=弧BD D．AE=BE 4、如图，BE为⊙A的直径，CD为弦，AB⊥CD，若∠BAC=70°，则∠E的度数为（）
A．70°B．35°C．30°D．20°
二填空题
1、如图，⊙A的弦CD垂直平分半径AB，若CD=6，则⊙A的半径为_________．
2.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测
得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为__________mm．
A B
C D
R
O
第/2题图 第3题图
3. 如图，圆拱桥桥拱的跨度AB =12 m ，桥拱高CD =4 m ，则拱桥的直径为
__________．
4. 如图，在⊙O 中，直径CD 垂直于弦AB ，垂足为E ，连接OB ，CB ．已知⊙
O 的半径为2，AB
=，则∠BCD =_______．
A
D
B O E C
5. 如图，⊙O 的两条弦AB ，CD 互相垂直，垂足为E ，且AB =CD ，已知CE =1，
ED =3，则⊙O 的半径是__________．
7、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB ︵
），点O 是这段弧的圆心且∠AOB =90°，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，若AB =300 m ，CD =50 m ，则这段弯路的半径是___________m ．
B
D C O
A
8、如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，若AE =5，BE =1，CD =∠AED =___________．
E
A
C
D B O
9、某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知
AB =16 m ，半径OA =10 m ，则中间柱CD 的高度为______m ．
C
D B
O
A
D
O
E
B
C A
第/9题图 第10题图
10、如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，若CE =1寸，AB =10寸，则直径CD 的长为_________
11、如图，CD 是圆A 的弦，CD 长为8，B 是圆上任意一点，过A 作AE ⊥BD 于点E ，AF ⊥BC 于点F ，则EF=________________
11、（中位线）如图，定长弦DF 在以BC 为直径的圆A 上滑动（D,F 不与点B,C 重合）G 是弦DF 的中点，过点D 作DE ⊥AB 于点E,连接EG ,若DF=3,BC=8，则EG 的最大值是_________________
12、如图，将半径为4厘米的圆A折叠后，圆弧BC恰好经过圆心，则折痕BC 的长是__________________
三、解答题
⊙的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB=24 cm，CD=10 cm，1、（分类讨论）已知O
求AB，CD之间的距离．
2、（垂径定理+中位线）如图，BC是圆A的直径，弦BD=5,AE⊥CD于点E，求AE的长
3、（垂径定理+30°所对的直角边等于斜边的一半）如图，∠PAC=30°，在射线
AC 上顺次截取AD =3 cm ，DB =10 cm ，以DB 为直径作⊙O ，交射线AP 于E ，F 两点，求线段EF 的长
P
F
E C B O
D
A
4、（垂径定理+等积式）如图，∠A=90°，以AB 为半径的圆A 与BC 相交于点D ，若AB=3,AC=4,求CD 的长
5、如图，已知BC 为圆A 的直径，弦EF 交BC 于点D ，∠CDF=30°，AD=4，DE=35，求弦EF 及圆A 的半径长。