垂径定理 (2)
24.1.2垂径定理 (二)
D
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
根据垂径定理及推论思考
对于一个圆和一条直线来说，如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
C
A
B
E
●O
D
①平分弧的直径平分弧所对的弦
两个量，如图有：
a
h
2
⑴d + h = r
d
⑵ r2 d 2 (a)2
O
2
即
18.72+（R－7.2）2 = R2
解得：R≈27．9（m）
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
垂径定理的应用
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截 面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深 度.
O
A
┌E
B
D
600
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截 面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深 度.
A
60D0
B
O ø 650
C
挑战自我
圆的两条平行弦所夹的弧相等
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相 等吗?
提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况: 1.两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
C
D
A C
B ●O
D
测试
1.如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，DC＝2㎝， 直径CE⊥AB于D，求半径OC的长。
A
E
B
C
·
垂径定理(2)
1、已知，若⊙O中有两条平行的弦分别分8cm和6cm，且圆的半径为5cm，求两条弦之间的距离。
2、如图，弦 ，直径 于 ，且 ，求⊙ 的半径。
三、练习
1、如图，已知在⊙O中，
（1）弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径
（2）弦AB的长为6厘米，⊙O的半径为5厘米，求圆心O到AB的距离
情感态度价值观
学生在探索的过程中，体会学习的快乐，进一步体会数学的应用性，培养学生的创新意识。
教学重点
垂径定理的推论
教学难点
垂径定理及推论的应用
教具
教学过程
(一)复习
1．垂径定理及其推论1：对于一条直线和一个圆来说，具备下列五个条件中的任何个，那么也具有其他三个：⑴直线过圆心；⑵垂直于弦；⑶平分弦；⑷平分弦所对的优弧；⑸平分弦所对的劣弧.可简记为：“知2推3”
（3）⊙O的半径为10厘米，圆心O到AB的距离为6厘米，求弦AB的长
2.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点， ，求AC的长？
3.如图， 是⊙ 的直径， 是弦， ， 于 .求证： .
4、P82练习第2题
四、小结1、这节课我们学习了哪些主要内容？
2、应用垂径定理要注意那些问题？
2．应用垂径定理及其推论计算
涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系：r = h+d ; r2= d2+ (a/2)2
3．常添加的辅助线：（学生归纳）
⑴作弦心距；⑵作半径.------构造直角三角形
4．可用于证明：线段相等、弧相等、角相等、垂直关系；同时为圆中的计算、作图提供依据.
24.1.2垂直于弦的直径(第2课时)
垂径定理(2)
疑难解析1.如图，直角扇形MON中，∠MON=90°，过线段MN中点A作AB∥ON交 MN于点B，则∠BON=2.如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E，则线段DE的长为，1cm，1.如图，过A、C、D三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，如果∠A=57°，那么∠θ的度数为2．⊙O内有一定点M，OM=5cm，⊙O的半径为13cm，则过M点的所有弦中长度为整数的弦共有（）条．A．2 B．3 C．4 D．无数3.如图，A、B、C是⊙O上的三个点，且BC=2AB=2，圆心角∠AOC=120°，则⊙O的半径是1.如图，半径为1的半圆O上有两个动点A，B，若AB=1，则四边形ABCD的面积的最大值是3.如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，PM=l，则l的最大值是2.如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧 AC沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．如果∠BAC=20°，则∠BDC=3.已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为1.如图，两圆同心，半径分别为6与8，又矩形ABCD 的边AB 和CD 分别为小大两圆的弦．则当矩形ABCD 面积最大时，求此矩形的周长2.在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点A （13，0），直线y=kx-3k+4与⊙O 交于B 、C 两点，则弦BC 的长的最小值为3.如图，在平面直角坐标系中A （6，0），B （5，3），C （0，3），D （1，3），点P 为线段OA 上一点且∠BPD=45°，则点P 坐标为。
垂径定理(2)
的同旁， （1）AC、AD在AB的同旁，如右图所示 ） 、 在 的同旁 如右图所示: 作OE⊥AC,OF⊥AD ⊥ ⊥ C E A F ∵AB=16，AC=8，AD=8 3 ， ， ∴AE=CE=4,AF=FD=4 3 ,OA=8 1 O 在Rt△AOE中，AE= OA △ 中
，
的直径， 、 是 例3.AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两 是 的直径 的两 已知AB=16，AC=8，AD=8 3 ， 弦，已知 ， ， 求∠DAC的度数 的度数
A O
C
B
解： 设OA=R，在Rt△AOC中， ， △ 中 M AC=30，CD=18 ， R2=302+（R-18)2 （
D E C（m） （ ） O 解得 连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16 连接 ， ， △ 中 342=162+（34-x)2 （ 162+342-68x+x2=342 x2-68x+256=0 解得x ， 解得 1=4，x2=64（不合题意舍去） （不合题意舍去） 不需采取紧急措施． ∴DE=4 ∴不需采取紧急措施．
如果一条直线来满足: 如果一条直线来满足 （1）过圆心 （2）垂直于弦 ） ） （3）平分弦（4）平分弦所对的优弧 ）平分弦（ ） （5）平分弦所对的劣弧 ） 上述五个条件中的任何两个条 件都可以推出其他三个结论
一、判断是非： 判断是非： （1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。 ）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。 r （2）平分弦的直线，必定过圆心。 ）平分弦的直线，必定过圆心。 r （3）一条直线平分弦（这条弦不是直 ）一条直线平分弦（ ），那么这 条直线垂直这条弦。 径），那么这 条直线垂直这条弦。 r A C O (1)B D A C •O (2)D B A C •O (3)D B
9下-§3.3 垂径定理(2)
3. 垂径定理逆定理的三种语言：
文字语言
图形语言
几何语言
2
深度学习离不开归纳，没有归纳的学习一定是低效的，甚者是无效的。
1.回顾（补充）学习： 轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，两部分能够完全重合.
2. 垂径定理逆定理证明方法:构造等腰三角形,由平分弦得出垂 直于弦;由圆心角相等得出弧相等.
3.有关圆的常用辅助线: 连接圆心与弦一端点(半径),过圆心作 弦的垂线段(弦心距),再由半径、弦心距、半弦构造直角三角形， 利用勾股定理解答.
长，与条件有关的半径为 OP,OQ ,所以
若 MP NQ 14 ， AC BC 18 ，
连接 OP,OQ ,由垂径定理及有关知识说
则直径 AB 的长.
明 OPM,OQN 三点共线，再由条件中的
HK
两个与线段有关的等式求出 OP,OQ 长.
6
学习抓关键，思维抓核心，学必须学的。
答案：连接OP 交 AC 于 H ，连接OQ 交 BC 于 K
在正方形 ACDE 中， AC// DE，AC DE
,BC ，的中点分别是 M，N，P，Q .若
在正方形 BCFG中， BC// FG，BC FG OP DE,OP 平分 DE ，OQ FG,OQ平分 FG
MP NQ 14 AC BC 18，则直径 AB 的长.
M，N 是 DE ， FG 的中点， OPM,OQN 三点共线.
二 平分弦（非直径） 联 的直径垂直于弦.
重要方法：
三 渗垂透用径代定数理方逆法定理 解 （应列方用程，法构）造解直决角
三角形.进而用勾
几股何问解题决的问思题想..
四 悟
4
学习抓关键，思维抓核心，学必须学的。
3.3 垂径定理(2)
9下-§3.3垂径定理（2）（垂径定理逆定理及推论）课题组一、不能遗忘的记忆（思维混乱源自记忆模糊，遗忘就意味着多用10倍的时间纠错.）1.垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.2. 垂径定理逆定理解读：（1）条件：“弦”不可以是直径；因为任意两直径都被圆心平分,不一定有垂直关系.（2）结论：“平分弧”既意味着平分弦所对的劣弧，也意味着平分弦所对的优弧.3. 垂径定理逆定理的三种语言：文字语言 图形语言 几何语言是直径（AB 过圆心）二、不能忽视的归纳（深度学习离不开归纳.没有归纳的学习一定是低效的，甚者是无效的.）1.回顾（补充）学习：轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，两部分能够完全重合.2. 垂径定理逆定理证明方法:构造等腰三角形,由平分弦得出垂直于弦;由圆心角相等得出弧相等.3.有关圆的常用辅助线: 连接圆心与弦一端点(半径),过圆心作弦的垂线段(弦心距),再由半径、弦心距、半弦构造直角三角形，利用勾股定理解答.4.定理推论：以下五个条件：“过圆心、垂直于弦、平分弦、平分劣弧、平分优弧”知二推三.三、必须分享的智慧（没有知识的活用，没有方法的迁移，就谈不上智慧.）;CD AB ⊥∴AB DM CM ,= ;AD AC =;BD BC =【典例】如图 ，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧CD ，点O 是弧CD 所在圆的圆心），其中m CD 600=，E 为弧CD 上一点，且OE 平分弦CD ，交CD 于F ，m EF 90=． 求这段弯路的半径．一读：关键词：点O 是圆心，OE 平分弦CD .二联：重要结论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦.重要方法：垂径定理逆定理应用，构造直角三角形.进而用勾股解决问题.三解：解：连接.OC设,R OE OC ==则有.)90(m R OF -=OE 是半径（点O 是圆心），OE 平分弦CDCD OE CD CF ⊥==∴，30021 在OCF RT ∆中，由勾股定理得222OF CF OC +=22290300）（-+=∴R R ∴解得：545=R所以这条弯路的半径为m 545四悟：渗透用代数方法（列方程法）解决几何问题的思想.四、金题核思点拨（学习抓重点，思维抓核心，学必须学的.）1. 下列命题中，假命题是（ ）（A ）平分弧的直径必平分这条弧所对的弦.（B ）圆的任意两条弦的垂直平分线的交点是该圆的圆心.（C ）平分弦的直径垂直于弦.（D ）垂直平分一条弦的直线平分弦所对的两条弧.核思点拨: 理解“①过圆心、②垂直于弦、③平分弦、④平分劣弧、⑤平分优弧”知二推三.并能灵活应用.答案：选（C ）选项（A ）是由①④(⑤)推③,正确; 选项（B ）是②③推①,正确; 选项（C ）被平分的弦没有说明不是直径,不正确; 选项（D ）②③推④⑤,正确2. 如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，连结AC ，BC ，分别以AC ，BC 为边向外作正方形ACDE ，BCFG ，DE ，FG ， , ，的中点分别是Q P N M ，，，.若14=+NQ MP ，18=+BC AC ，则直径AB 的长.核思点拨: 垂径定理与逆定理及有关推论的综合运用,求直径AB 长，即求半径长，与条件有关的半径为OQ OP ,,所以连接OQ OP ,,由垂径定理及有关知识说明OQN OPM ,三点共线，再由条件中的两个与线段有关的等式求出OQ OP ,长.答案：连接OP 交AC 于H ，连接OQ 交BC 于KOP 为半径，点P 是 的中点. 点Q 是 的中点.OP AC OP ,⊥∴平分AC ，OQ BC OQ ,⊥∴平分BC在正方形ACDE 中，DE AC DE AC =，//在正方形BCFG 中，FG BC FG BC =，//OP DE OP ,⊥∴平分DE ，OQ FG OQ ,⊥∴平分FGN M ， 是DE ，FG 的中点，OQN OPM ,∴三点共线.18=+BC AC ，92121=+∴BC AC ，18=+NK MH 9=+∴OH OK27918=+=+++OK OH NK MH14=+NQ MP131427=-=+∴OQ OP∴直径13=+=OQ OP ABAC BC AC BC H K。
27.1.4圆的轴对称性 - 垂径定理 (2)
圆的轴对称性—垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对
D
的两条弧。
垂径定理的推论：
在⊙O中， ① CD是直径，AB是弦；② CD⊥AB；
③
������������ = ������������
；
④
⌒
AD
=
⌒
������
∴ ⊙O的半径为
������������ ������
C
┐
O
M
┐
N
EA
D
圆的轴对称性—垂径定理
M
┐ ┐
A
求证：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
已知：如图，在⊙O中， 弦AB∥CD。 求证： A⌒C = ⌒BD
会C 有
O
如
证明：如图（1），过点O作OM⊥AB.
图
∵在⊙O中,弦AB∥CD ∴OM⊥CD.
解：过点O作OM⊥CD, ON⊥AB.连结OB.
∵CD = DE+CE=3+4=7 AB = AE+BE = 2+6 = 8
∴
CM=
DM=
������ ������
CD=
������ ������
,
BN=Biblioteka AN=������ ������
AB
=
������
又∵AB⊥CD ∴ 四边形OMEN为矩形 ∴ ON = ME
第27章 圆
27.1.4 ----圆的轴对称性（垂径定理二）
圆的轴对称性—垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对
D
的两条弧。
垂径定理的推论：
在⊙O中， ① CD是直径，AB是弦；② CD⊥AB；
垂径定理(2)教案
课题
垂径定理（2）教案
时间
教学目标
1.进一步探索和掌握垂径定理的推论,明确理解“知二得三”的意义.
2.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题
教学重点
垂径定理的推论
教学难点
垂径定理及推论的应用
教
学
设
计
︵
导读
、
导思
、导研
、Байду номын сангаас
导行
︶
一、新课引入：
请两名中等生回答定理内容，并说出这个定理的题设和结论．
（2）若AC=BC，MN为直径，AB不是直径，则______，______，______；
（3）若MN⊥AB，AC=CB，则______，______，
（4）若 = ，MN为直径，则______，______，______．
例1.平分已知弧 ．教师引导学生回答已知，求作．
已知： ．
求作： 的中点．
|
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
将①和③对调，又得新命题为：
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．以上三条是垂径定理的推论1；
练习：按图7-14填空：在⊙O中，
（1）若MN⊥AB，MN为直径，则______，______，______；
练习：
1已知：如图7-15，AB为⊙O的直径，CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，垂足分别为C，D．求证：AE=BF．
2、已知一段弧AB，请作出弧AB所在圆的圆心。
3.在圆柱形油槽内装有一些油。截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，求圆柱形油槽直径MN
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教学设计内容要求
教学案例基本信息
对应信息技术主题多媒体教学课件的制作交互多媒体环境下的学科教学开始时间1分钟结束时间45分钟学科数学学段初中年级九案例名称垂径定理
教材书名：九年级数学上册
出版社：北京出版社
出版日期：2014 年 6 月
课程说明（信息技术与学科教学内容结合方面的指导思想与理论依据）：
借助多媒体手段，进行动画演示和投影展示，把教学重点放在借助表格分析提炼数学信息，寻找相等关系。
信息技术环境软硬件要求及搭建环境情况
让课程的学习更加生动和多样，促使学生发挥学习的主动性与积极性，提高课堂效果。
教学背景分析
（一）本课时教学内容的功能和地位
本课时是学了圆的概念之后第一个重要性质。
（二）学生情况分析（所授对象接受知识情况和对本教学内容已知的可能情况）
1.学生已经系统的学习了圆的相关概念。
2.学生已经学会了有关勾股定理的计算，和用勾股定理列方程的方法。
教学目标
教学目标：
知识与能力：1.使学生理解圆的轴对称性；
2.掌握垂径定理；
3.学会运用垂径定理解决有关的证明、计算问题。
过程与方法：1.通过观察、动手操作培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力；
2.锻炼学生的逻辑思维能力,体验数学来源于生活又用于生活。
情感、态度与价值观：通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义观点及美育教育。
教学重点：垂径定理及应用
教学难点：垂径定理的理解及其应用
教学过程
教学阶段教师活动学生活动
设置意
图
技术
应用
时间
安排
引入新课1、运用教具与学具（学生自制
的圆形纸片）演示，让每个学生
都动手实验，把圆形纸片沿直径
对折，观察两部分是否重合，
2、再请同学们在自己作的圆中
作图：
(1)任意作一条弦AB；
(2)作直径CD垂直弦AB垂足为
E。
设问：垂直于弦的直径它除
了互相垂直外，是否有其他相等
的量？
学生得出结论：
(1)圆是轴对称图形
(2)经过圆心的每一条直
线都是它的对称轴
(3)圆的对称轴有无数条
(4)圆也是中心对称图形.
学生得出结论：
（1）直径CD垂直AB
（2）AE=BE
（3）平分AB所分的两
条弧。
培养学
生观察
归纳能
力
几何
画板
演示
翻折
过程
6分
讲解新课一、引导学生得出猜想；
二、证明猜想的正确性
1、已知：如图CD⊥AB
求证：AE=BE，
弧AD=弧BD
弧AC=弧BC
D
E
C
O
B
A
证明：连接OA，OB
∵OA=OB，OE⊥AB
∴AE=BE，∠AOD=∠BOD
∠AOC=∠BOC
∴弧AD=弧BD，弧AC=弧BC
得出垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并
且平分弦所对的两条弧。
学生提出猜想：
1、垂直于弦的直径平分
弦，并且平分弦所对的
两条弧。
2、平分弦（不是直径）
的直径垂直于弦，并且
平分弦所对的两条弧。
学生仿照第1个的
证明自己证明第2个。
让学生
会仿照
例题证
明定理
的正确
性，学
会迁移
能力。
几何
画板
演示
辅助
线的
添加
25
分
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
定理应用例：如图，在圆O中，直径CD
⊥弦AB
（1）若半径为5，AB为8，求
OE；
（2）若半径为10，DE为4，求
AB；
（3）若AB=24，DE为7，求半
径。
D
E
C
O
B
A
学生完成例题的证明
（1）3
（2）16
（3）13
掌握连
半径，
用勾股
定理解
决问题
的方
法。
展台
展示
学生
的讲
解过
程。
10
分
小结反思小结：
1、你学习了哪些内容？
2、你有哪些收获？
3、你掌握了哪些思想方法？
4、你还有什么问题？
学生通过问题谈本
节课的收获。
4分
作业教科书第118页练习1、2、3
学习效果评价
评价方式：课上教师及时对学生的表现进行评价
课后小题对知识内容进行评价：
题目：
1、AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=1,则弦AB 的长是___________
2、在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E.则四边形ADOE是__________.
本教学设计与以往未使用信息技术教学设计相比的特点(300-500字数) 本节课第一个环节通过几何画板的翻折演示，可以吸引学生的注意力，直观的展示了图中线段、弧的等量关系，从而提出猜想，与传统教学比是一个突破。
在讲解例题时通过展台展示学生的做法，可以提醒学生在书写上要注意，能增强学生的自信心，有条理的进行展示；比传统的学生说教师写更能调动学生的积极性，满足学生的成就感。
数学教学；信息技术；多媒体课件；我们正在经历一个科学技术高速发展的时代，只有
我们的教育要先于时代的发展社会才能进步。
随着新一轮课程改革的实施，信息技术已频频走入课堂，并以其直观、生动、形象等特征服务与数学教学，为数学教育的发展创造了无可比拟的教学效益。
这种技术将我们难以呈现的教学情境、抽象的概念、枯燥的练习等，用声音或静态、动态的图像任意地结合在一起，让数学课堂变得生动、活跃了起来。
我在使用过程中亲身感受到了它的优势。
教学反思
“垂直于弦的直径”是圆的重要性质之一，也是全章的基础之一，在整章中占有举足轻重的地位是今后研究圆与其他图形位置关系和数量关系的基础，这些知识在日常生活和生产中有广泛的应用，由于垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，因此，它是整节书的重点，由于垂径定理的题设和结论都较复杂，因此，理解和证明定理是本节课的难点。
运用多媒体课件引入新课比较直观，学生很自然而然的就接受了新的知识，不感觉突然，且很快的进入了学习情境，这样也便于学生对新知识内容的接受。