第二章连续系统的时域分析

解得系数为 代入得
A1 2 A2 4
rzi (t) 2e2t 4et ,t 0
（3）零状态响应rzs(t) 满足 r”(t) + 3r’(t) + 2r(t) = 2δ(t) + 6u(t) 利用系数匹配法解得：
r'zs (0) r'zs (0) 2 2 rzs (0) rzs (0) 0 0
利用初始值解得： A1 1 A2 0
全响应为：
r(t)

e2t
3
t0
（2）零输入响应rzi(t), 激励为0 ， rzi (0+)= rzi (0-)= rzi (0-)=2 rzi’(0+)= rzi’(0-)= rzi’(0-)=0
根据特征根求得通解为：
rzi (t) A1e2t A2et
四．系统响应划分
自由响应＋强迫响应 (Natural+forced)
暂态响应+稳态响应 (Transient+Steady-state)
零输入响应＋零状态响应 (Zero-input+Zero-state)
①自由响应：也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励 形式无关。对应于齐次解。 强迫响应：形式取决于外加激励。对应于特解。
解得 A1 + B0 = 2 A2= –1
最后得微分方程的全解为
r(t) 2e2t e3t te2t
上式第一项的系数A1+B0= 2，不能区分A1和B0，因而也不能 区分自由响应和强迫响应。
二、关于 0- 和 0+ 初始值 1、0－ 状态和 0＋ 状态 0－ 状态称为零输入时的初始状态。即初始值是由系统的储 能产生的； 0＋ 状态称为加入输入后的初始状态。即初始值不仅有系统 的储能，还受激励的影响。 从 0－ 状态到 0＋ 状态的跃变 当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从0－ 状态到 0＋ 状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含(t)及 其各阶导数。
①求系统的特征根，写出的通解表达式rzsh(t)。 ②根据e(t)的形式，确定特解形式，代入方程解得特解rzsp(t)
③求全解，若方程右边有冲激函数（及其各阶导数）时，
根据冲激函数匹配法求得
r (i) zs
(0)
，确定积分常数A1，
A2， …，An
④将确定出的积分常数A1，A2， …，An代入全解表达式，即得
rh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。
特征方程为：C 0 n C1 n1 ...... C n1 C n 0
①特征方程的根为n个单根 当特征方程的根(特征根)为n个单根(不论实根、虚
根、复数根)α1， α 2， …， α n时，则r (t)的通解表 达式为
r(t) A1e1t A2e2t ... Anent
故系统的冲激响应为 h(t) ( A1e2t A2e3t )u(t)
代入初始条件求得A1=1,A2=-1, 所以
h(t) (e2t e3t )u(t)
[例2.2.2] 描述某系统的微分方程为r”(t)+5r’(t)+6r(t)= e”(t) + 2e’(t) + 3e(t)，求其冲激响应h(t)。 解：根据h(t)的定义有 h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) (1) h’(0-) = h(0-) = 0 先求h’(0+)和h’(0-)，根据冲激函数匹配法得：
E1
d m1 dt m1
e(t)
Em1
d dt
e(t) Eme(t)
微分方程的经典解： r(t)(完全解) = rh(t)(齐次解) + rp(t)(特解）
(1)齐次解是齐次微分方程的解
dn
d n1
d
C0 dtn r(t) C1 dtn1 r(t) Cn1 dt r(t) Cnr(t) 0
其特征根α1= – 2， α 2= – 3。
齐次解为
rh (t) A1e2t A2e2t
由表2-2可知，当e(t) = 2 et 时，其特解可设为
rp (t) Bet
将其代入微分方程得 解得 B=1
Bet 5(Bet ) 6Bet 2et
于是特解为 全解为：
rp (t) et
r(t) rh (t) rp (t) A1e2t A2e3t et
零状态是指 0－ 状态为零。
2、冲激函数匹配法 目的： 用来求解初始值，求（0＋）和（0－）时刻值 的关系。 应用条件：如果微分方程右边包含δ（t）及其各阶导 数，那么（0＋）时刻的值不一定等于（0－） 时刻的值。 原理： 利用t＝0时刻方程两边的δ（t）及各阶导数 应该平衡的原理来求解（0＋）
a0r(t) a1r ' (t) ... anr (n) (t) b0 u b1 (t) b2 ' (t) ... bm (m) (t)
[例2.1.3]：描述某系统的微分方程为r”(t) + 3r’(t) + 2r(t) = 2e’(t) + 6e(t),已知r(0-)=2，r’(0-)=0，e(t)=u(t)。求 该系统的全响应，零输入响应和零状态响应。
解：（1）r”(t) + 3r’(t) + 2r(t) = 2δ(t) + 6u(t) 利用系数匹配法分析列式得： r’’(t)=aδ(t) +b， r’(t)=a ， r(t)=0 代入原方程得a=2，b=0
r'(0) r'(0) 2 2 r (0) r (0) 0 2
根据微分方程经典求法：
齐次解： 2 2 0
齐次解形式为： rh (t) A1e2t A2et
特解,根据特解形式得到: rp (t) B
解得 B＝3
解得全响应为：
r(t) A1e2t A2et 3 t 0
由表知：其特解为 代入微分方程可得
rp(t) = (B1t + B0) e2t
B1 e2t = e2t
所以 B1= 1 但B0不能求得。全解为
r(t) A1e2t A2e3t te2t B0e2t ( A1 B0 )e2t A2e3t te2t
将初始条件代入，得： r(0) = (A1+B0) + A2=1 ， r’(0)= –2(A1+B0) –3A2+1=0
几种典型自由项函数相应的特解
[例2.1.1]描述某系统的微分方程为r”(t) + 5r’(t) + 6r(t) =
e(t)，求（1）当e(t) = 2 et ，t≥0；r(0)=2，r’(0)= -1
时的全解；（2）当e(t) = e2t ，t≥0；r(0)= 1，
r’(0)=0时的全解。
解: (1) 特征方程为 2 5 6 0
其中待定常数A1,A2由初始条件确定。 r(0) = A1+A2+ 1 = 2， r’(0) = – 2A1 – 3A2 – 1= – 1
解得 A1 = 3 ，A2 = – 2 最后得全解
r(t) 3e2t 2e3t et
t≥0
（2）齐次解同上。
当激励e(t)= e2t 时，其指数与特征根之一相重。
第二章 连续系统的时域分析
微分方程的经典解法 0+和0-初始值 零输入响应与零状态响应 冲激响应和阶跃响应 卷积积分
2.1 LTI连续系统的响应 一、微分方程的经典解
C0
dn dt n
r(t) C1
d n1 dt n1
r(t) Cn1
d dt
r(t) Cnr(t)
E0
dm dt m
e(t)
②m≥n，则
...
r(t) Cm (mn) (t) ... Cn1 u
（2）将r(t)及其各阶导数带入原方程，求出C0….Cm ; （3）对r(t)及各阶导数求（0－，0＋）的积分.
[例2.1.2]：描述某系统的微分方程为r”(t) + 3r’(t) + 2r(t) = 2e’(t) + 6e(t)，已知r(0-)=2，r’(0-)= 0，e(t)=u(t)， 求r(0+)和r’(0+)。
r' (0) r' (0) 2 从0-到0+积分得：
r (0) r (0) 0
r'(0) r'(0) 2 2 r (0) r (0) 0 2
由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各 阶导数）时，响应r(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将发生 跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。
①求系统的特征根，写出rzi(t)的通解表达式。
②由于激励为零，所以零输入的初始值：
r (i) zi
(0)
r (i) zi
(0)
确定积分常数A1，A2， …，An
③将确定出的积分常数A1，A2， …，An代入通解表达式， 即得rzi(t) 。
3、零状态响应(0-时刻值为0) （1）即求解对应非齐次微分方程的解 （2）求rzs(t)的基本步骤
三、零输入响应和零状态响应 1、定义： （1）零输入响应：没有外加激励信号的作用，只有起始
状态所产生的响应。 （2）零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用，由
系统外加激励信号所产生的响应。
LTI的全响应：r(t) = rzi(t) + rzs(t)
2、零输入响应
即求解对应齐次微分方程的解 求rzi(t)的基本步骤
如果包含有(t)及其各阶导数，说明相应的0－状态到0＋状态 发生了跳变。
0＋ 状态的确定 已知 0－ 状态求 0＋ 状态的值，可用冲激函数匹配法。 求 0＋ 状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出。