高等数学偏导数第五节隐函数求导题库.
5 第五节 隐函数的求导公式 (定理 两个方程确定两个一元隐函数 定理 两个方程确定两个二元隐函数
x 2 y 2 z 2 1, z xy
确定了
1 x2 1 x2 和 , 它们是连续函数, 且有连续 z x 1 x2 1 x2 2x
1 x
3 2 2
1 x
2
, z x
x4 2x2 1
1 x
3 2 2
, 满足
2
1 x
4
解
x
47 6 7 47 5, y 2 . 3 4 3 4 7 6 7 6
例 (补) (1) (2)
x 2 y 2 z 2 1, 设 求 z xy.
y x 和 zx ; x 2 y 2 z 2 1, 在点 0, 1, 0 附近所确定的隐 z xy
x 2 y 2 z 2 1, z xy
在点 P x0 , y0 , z0 的某一邻域
内能够唯一确定一对连续且有连续导数的函数 y y x 和
z z x , 它们满足 y0 y x0 , z0 z x0 . 在 x 2 y 2 z 2 1 的两边对 x 求导, 则 x yy x zz x 0 , 从而 yy x zz x x . 在 z xy 的两边对 x 求导, 则 z x y xy x , 从而 xy x z x y .
x0 , y0 , z0
2 y 2z x 1 x , y
0 0 , z0
2 y0 2 x0 z0 0
(这等价于 x0 , y0 , z0 1, 0, 0 , 1, 0, 0 . 理由是: 因
x0 y0 z0 0 , 故 2 y0 2 x0 z0 2 2
第7-5节(隐函数的求导法则、偏导数的几
切线方程为
x − x 0 y − y0 z − z 0 = = , 1 φ ′ ( x 0 ) ψ ′( x 0 )
法平面方程为
( x − x0 ) + φ ′( x0 )( y − y0 ) + ψ ′( x0 )( z − z0 ) = 0.
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将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得
∂u xv − yu = 2 , 2 ∂y x + y ∂v xu + yv =− 2 . 2 x +y ∂y
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三、偏导数的几何应用之 空间曲线的切线与法平面
⎧ x = φ (t ) ⎪ 设空间曲线的方程 ⎨ y = ψ ( t ) ⎪ z = ω (t ) ⎩ (1)
例6
求曲线 Γ : x = ∫0 e cos udu ， y = 2 sin t
u
3t
t
+ cos t , z = 1 + e 在 t = 0处的切线和法平面方程.
解 当 t = 0时， x = 0, y = 1, z = 2,
′ = e t cos t , y′ = 2 cos t − sin t , z′ = 3e 3t , x
⇒ x′(0) = 1,
y ′ ( 0 ) = 2, z ′ ( 0 ) = 3,
x −0 y −1 z − 2 切线方程 = = , 1 2 3 法平面方程 x + 2( y − 1) + 3( z − 2) = 0,
即 x + 2 y + 3 z − 8 = 0.
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特殊地：
⎧ y = φ ( x) , 1.空间曲线方程为 ⎨ ⎩z = ψ ( x)
9-5 隐函数的求导公式
v v ( x , y ) ，它们满足条件 u0 u( x0 , y0 ) , v0 v ( x0 , y0 ),
并有
Fx Fv
u 1 ( F , G ) G x Gv , x J ( x, v ) Fu Fv G u Gv
v 1 ( F , G ) Fu Fx x J ( u, x ) Gu G x
一个具有连续导数的y f ( x ), 满足y0 f ( x0 )
且
dy Fx dx Fy
返回
y dy 例 2 已知 ln x y arctan , 求 x dx 解 令 F ( x , y ) 1 ln( x 2 y 2 ) arctan y 2 x y 2 1 2x x x y Fx ( x , y ) 2 2 x2 y2 x2 y2 y 1 2 x 1 1 2y y x x Fy ( x , y ) 2 2 2 2 2x y x y2 y 1 2 x dy Fx x y y x dx Fy
u ? x
u ? y
v ? x
v ? y
返回
隐函数存在定理 3 设 F ( x , y , u, v ) 、G ( x , y , u, v ) 在点 P ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 的某 一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且 F ( x0 , y0 ,
例5
u v u x x y x 0 解 方程两侧同时关于x 求导得 , y u v x v 0 v u x x x y u x x 即 , y u x v v x x
xu yv 0 yu xv 1
高等数学@9.5隐函数的求导法则
x x
x 2 z
2z x 2
(2 z) x z x
(2 z)2
(2 z) x x
2 z (2 z)2
(2 z)2 x2 (2 z)3 .
例3 设 x =x(y,z)、 y =y(x,z)、 z =z(x,y) 都是由方程 F(x,y,z)=0所确定的具有连续偏导数的函数，
Fz
y) z
x z x
x
y
z y
z Fz
y ( y) zz
Fz
zFz Fz
z
练习题
1.求方程 z3 3xyz a3 确定隐函数z=z(x,y) 的偏导数
2. 设 z=z(x,y) 是由方程 f (x+y, y+z, z+x)=0
所确定的隐函数，求 z , z x y
解 设 F x y z, G x2 y2 z2 1
Fx 1, Fy 1, Fz 1, Gx 2x, Gy 2 y, Gz 2z,
J
Fx Gx
Fy Gy
1
2x
1 2y
2( y x)
dx 1 Fz dz J Gz
Fy Gy
11 J 2z
F dx F dy F dz 0, x y z
则方程F(x,y,z)=0在该邻域 内恒能唯 0,
连续且具有连续偏导数的
dz Fx dx Fy dy
函数 z = f (x, y)它满足条件
Fz
Fz
z0=f(x0, y0), 并有
1 J
x y
u v
vx x2
隐函数
两边对 x 求偏导
2z x ( ) 2 x x 2 z
D8_5隐函数求导
(2 z )2 x 2 (2 z )3
12
例3. 设F( x , y)具有连续偏导数,已知方程
解法1 利用偏导数公式.
确定的隐函数, 则
u y u xv 2 y x y2
由题设 J
x y y x
x2 y2 0
故有
u 1 u y x u yv 2 x J v x y2 x
v xu yv 2 y x y2
v 1 x J
xv yu 2 x y2
第五节 隐函数的求导方法
一、一个方程所确定的隐函数 及其导数
二、方程组所确定的隐函数组 及其导数
第八章
D8_5隐函数求导
1
本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性
及求导方法问题 .
D8_5隐函数求导
2
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数 在点 P( x0 , y0 )的某一邻域内满足 ① 具有连续的偏导数; ② F ( x 0 , y0 ) 0 ; ③ F y ( x 0 , y0 ) 0
则方程 导数
的某邻域内可唯一确定一个 并有连续
D8_5隐函数求导 19
例4. 设 x u y v 0 , y u x v
u v x y u x x u v y x v x x
u u v v 1, 求 x , y , x , y .
9-5隐函数的求导公式
F ( x , f ( x )) 0 为 x 的一元函数 F
x
说明 求一元隐函数的导数的方法有两种： 1°等式两边同时对x（y）求导； 2。利用公式求（偏）导
Fx Gx u 1 (F ,G ) Fu x J ( x, v ) Gu Fv Gv , Fv Gv
Fu Fx v 1 (F ,G ) Gu G x x J ( u, x )
Fy u 1 (F ,G ) Gy y J ( y, v ) Fv Gv
2 2
请你动手
设 xy 2 e x sin y 确定 y 与 x dy 的函数,用两种方法求 dx
令F（x，y） xy2 e x sin y
Fx y 2 e x
Fy 2 xy cos y
dy Fx y2 e x dx Fy cos y 2 xy
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 a12 D , a21 a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
b1 D1 b2 a12 , a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
隐函数存在定理 3 设 F ( x , y , u, v ) 、G ( x , y , u, v ) 在点 P ( x0 , y0 , u0 , v 0 ) 的 某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且 F ( x0 , y0 , u0 , v 0 ) 0 ,G ( x0 , y0 , u0 , v 0 ) 0 ，且偏导数 所组成的函数行列式（或称雅可比式） F F ( F , G ) u v J G G ( u, v ) u v
第五节隐函数的求导
Fx Fz 或 yx , yz Fy Fy
7
例3（1） 解 设 则
z tanx yz 2
xy z
F x, y, z z tanx yz 2 xy z
2 xy z
z z ，求 , x y
z Fx sec2 x yz 2 xy （ln 2） y
则 Fx 2 x, Fy 2 y, Fz 2 z 4 z x z y , x 2 z y 2 z
2 z x 2 3 2 z 2 z 2 2 2 z y zy 2 z y2 z y 3 2 2 y y 2 z 2 z 2 z
y x
解 设
F x, y x y
y
x
则
Fx yx y 1 y x ln y
Fy x ln x xy
y x 1
所以
Fx yx y ln y y y x 1 Fy x ln x xy
x
6
y 1
定理2 设函数F x, y, z 在点 x0 , y0 , z0 的某一邻域内具有连续 偏导数，且F x0 , y0 , z0 0, Fz x0 , y0 , z0 0, 则方程F x, y, z 0 在点 x0 , y0 , z0 的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数的函 Fy Fx z z 数z f x, y , 它满足z0 f x0 , y0 , 并且 , x Fz y Fz
z x 2 x x 2 z
2
2 z x zx
2
2
12
例6 设u f x, y, z 具有连续的一阶偏导数，又函数y y x ,
隐函数的求导公式
把 x看成z, y 的函数对y 求偏导数得
0
f
u
(
x y
1)
fv
( xz
yz x), y
整理得 x fu xzfv ,
y
fu yzfv
把 y 看成 x, z的函数对z 求偏导数得
1
f
u
(
y z
1)
fv ( xy
xz y), z
整理得
y 1 fu xyfv . z fu xzfv
Gu Gv
v 1 (F ,G) Fu Fx Fu Fv x J (u, x) Gu Gx Gu Gv u 1 (F ,G) Fy Fv Fu Fv , y J ( y,v) Gy Gv Gu Gv v 1 (F ,G) Fu Fy Fu Fv . y J (u, y) Gu Gy Gu Gv
点 P( x0 , y0 , u0 ,v0 )的某一邻域内有对各个变量的连 续偏导数，且F ( x0 , y0 , u0 ,v0 ) 0,G( x0 , y0 , u0 ,v0 )
0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比
式）
F F
J
(F ,G) (u, v )
u G
v G
u v
在点P( x0 , y0 , u0 ,v0 )不等于零，则方程组 F ( x, y,u,v) 0、 G( x, y,u,v) 0
u f (x, y)
六、设函数u( x)由方程组 g( x, y, z) 0所确定,
h( x, z) 0
且g 0, h 0,求 du .( f , g, h均可微)
y z
dx
七、设 y f ( x, t), 而t 是由方程 F ( x, y, t) 0 所确定的
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【090501】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由z x e t t xy+=-⎰2d 所确定，试求∂∂∂∂z x z y,。
【试题答案及评分标准】解：原式两边分别对x y ,求偏导得∂∂∂∂zx ye zxye xy xy +==---1122()()。
（6分）∂∂zyxe xy =-()2 （10分）【090502】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，试求∂∂∂∂z x zy,（其中x y +≠0）。
【试题答案及评分标准】 解：原式两边对x 求导得yz x x zxz y ∂∂∂∂+++=0 则∂∂z x z y y x=-++（6分）同理可得：∂∂z y z xy x=-++ （10分）也可：∂∂∂∂z x F F z y y x z y F F z x y xx y y x =-=-++=-=-++【090503】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由sin()y z e x z-+=-2所确定，试求∂∂∂∂z x zy,。
【试题答案及评分标准】解：原式sin()y z e x y-+=-2两边求微分得cos()(d d )(d d )y z y z e x z x z --+--= 0d d cos()d cos()z e x y z ye y z x z x z=+-+--- （6分）则∂∂z x e e y z x zx z=+---cos()（8分）∂∂z y y z e y z x z =-+--cos()cos()（10分）【090504】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设y y x z =(,)由方程e e e xyz xyz++=3所确定，试求∂∂∂∂y x yz,。
【试题答案及评分标准】∂∂y x e yz e xz x y =---33 （5分）∂∂y z e xy e xzz y =---33 （10分）【090505】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由方程x y z xy z ++-=232所确定，试求∂∂∂∂z x zy,。
【试题答案及评分标准】∂∂z x y z y z =---=--13213222（5分） ∂∂z y y x z x y z =---=--23223222 （10分）【090506】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由2220z y t t z y x+=+-⎰cos d 所确定，试求∂∂zx。
【试题答案及评分标准】解：212∂∂∂∂z xz y x z x =+--⎛⎝ ⎫⎭⎪cos()（4分）则 ∂∂z x z y x z y x =+-+--cos()cos()222（10分）【090507】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由方程e xy z z-=231所确定，试求z z x y(,,)(,,),110110。
【试题答案及评分标准】解：方程两边求微分得e z y z x xyz y xy z z z d d d d ---=23322230（6分）将x =1，y z ==10,代入上式得d z =0（8分）故z z xy(,,)(,,),11011000==（10分）【090508】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由x e z yz =+2所确定，试求d z 。
【试题答案及评分标准】解：原式两边求微分得d (d d )d xe y z z y z z yz =++2（6分）d d d z x ze yz yeyz yz=-+2 （10分）【090509】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由xy x z y z +++-=cos()sin()1所确定，求∂∂∂∂z x zy,。
【试题答案及评分标准】∂∂z x y x z x z y z =-+++-sin()sin()cos() （5分）∂∂z y x y z x z y z =+-++-cos()sin()cos()（10分）【090510】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】【试题内容】设函数z z x y =(,)由x z y z y z 321+++++=sin()ln()所确定，求∂∂zx。
【试题答案及评分标准】∂∂z xx z y z y z =-++++3121222cos() （8分）=-++++++32122x y z y z z y z y z ()()cos() （10分）【090511】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由方程x xy z z 2222+-=所确定，求∂∂∂∂z x zy,。
【试题答案及评分标准】2222x x x y y x z z z d (d d )d d ++-= 2122()d d (d d )z z x x x y y x +=++（6分）∂∂z x x yz =++1（8分） ∂∂z y x z =+1（10分）【090512】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】【试题内容】设函数z z x y =(,)由z x y e z=++-1ln()所确定，求z z x y (,),(,)1010。
【试题答案及评分标准】当x y ==10,时，z e z =-1，则z =0（2分）z x ye z z x z xx =+-=11012(,)（6分）z x ye z z y z yy =+-=11012(,)（10分） 【090513】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设u xyz =，其中z z x y =(,)由方程ze e zx y=+所确定，求∂∂ux。
【试题答案及评分标准】∂∂∂∂u x yz xy zx =+（4分）e z x ze z xe z z x y ∂∂∂∂+=+ ∂∂z x e e z x y z =++()1（8分）∂∂u x yz xye e z x yz =+++()1 （10分）【090514】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由方程z e x yz=+所确定，求∂∂z x。
【试题答案及评分标准】ln z x yz=+z z x y ln =+（3分） []∂∂zx z ln +=11 （8分） ∂∂z x z=+11ln （10分）【090515】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】【试题内容】设z z x y =(,)由方程sin()ln()xz z x y x +-=+2所确定，求z y (,)00。
【试题答案及评分标准】由原方程得：当x y ==00,时，z =1将x =0代入原方程得：ln z y =（4分） z y zy (,)011⋅=（8分）z y (,)001=（10分）【090516】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由方程e y x yz xz2+=ln cos()所确定，求z x (,)10。
【试题答案及评分标准】当x y ==10,时，z =0（2分） 22e z xz yxyz yz xz x x ()sin()++=- （8分）2100z x (,)=z x (,)100=（10分）【090517】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设y y x =()由方程xy x y ++=ln()1所确定，求 xyd d 。
【试题答案及评分标准】d d ()()y x y x yx x yy x y x x y =-++++=-++++1111（10分）【090518】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由方程x y z e z++=所确定，求全微分d z 。
【试题答案及评分标准】【090519】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】【试题答案及评分标准】d d d d x y ze z z ++=（8分） d d d z e x e y z z=-+-1111（10分）【090520】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由方程xy z z sin =2所确定，求全微分d z 。
【试题答案及评分标准】y z x x z y xy z z z sin d sin d cos d d ++=2 （7分）d sin d sin d cos z y z x x z yxy z=+-2（10分）【090521】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由方程z z xy 222+=ln 所确定，求∂∂∂∂z x zy,。
【试题答案及评分标准】2222z z zz y x xy y d d d d +=+21222()d d d z z z y x xy y +=+（6分）∂∂z x zy z =+2221()（8分）∂∂z y xyz z=+12 （10分）【090522】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由方程xz xyz -=ln()1所确定，求∂∂∂∂z x zy,。
【试题答案及评分标准】x z z x xy z xz y yz xxyzd d d d d +-++=0d ()d d z x z x y y x z=-+-111（8分）∂∂z x z x=- （9分）∂∂z y z y zx =-()1 （10分）【090523】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设z z x y =(,)由方程y z zx=ln 所确定，求 y x z z ,。