第五节 隐函数的求导公式
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5 第五节 隐函数的求导公式 (定理 两个方程确定两个一元隐函数 定理 两个方程确定两个二元隐函数
x 2 y 2 z 2 1, z xy
确定了
1 x2 1 x2 和 , 它们是连续函数, 且有连续 z x 1 x2 1 x2 2x
1 x
3 2 2
1 x
2
, z x
x4 2x2 1
1 x
3 2 2
, 满足
2
1 x
4
解
x
47 6 7 47 5, y 2 . 3 4 3 4 7 6 7 6
例 (补) (1) (2)
x 2 y 2 z 2 1, 设 求 z xy.
y x 和 zx ; x 2 y 2 z 2 1, 在点 0, 1, 0 附近所确定的隐 z xy
x 2 y 2 z 2 1, z xy
在点 P x0 , y0 , z0 的某一邻域
内能够唯一确定一对连续且有连续导数的函数 y y x 和
z z x , 它们满足 y0 y x0 , z0 z x0 . 在 x 2 y 2 z 2 1 的两边对 x 求导, 则 x yy x zz x 0 , 从而 yy x zz x x . 在 z xy 的两边对 x 求导, 则 z x y xy x , 从而 xy x z x y .
x0 , y0 , z0
2 y 2z x 1 x , y
0 0 , z0
2 y0 2 x0 z0 0
(这等价于 x0 , y0 , z0 1, 0, 0 , 1, 0, 0 . 理由是: 因
x0 y0 z0 0 , 故 2 y0 2 x0 z0 2 2
大学高数课件 6.5第五节 隐函数的求导公式
x y Fx e y y x y , Fy e x dz sec2 ( x y )(1 y ) dx e x y y (1 x y ) sec2 ( x y ). e x
xy y . 说明: 此题中的y还可表示为：y xy x
定理可推广到三元及三元以上方程的情形.
2. F (x, y, z) = 0
隐函数存在定理2 设C(1)类函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)
的某一邻域内满足: ① F(x0, y0, z0)=0, ② Fz(x0, y0,z0)0,
则方程F(x, y, z) =0在点P(x0, y0, z0 )的某一邻域内能唯一
( F , G ) Fy 由 F、G 的偏导数组成的行列式 J ( y, z ) G y 称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
Fz Gz
(1) 隐函数存在定理3 设C(1)类函数F(x,y,z) 、G(x,y,z)
在点P (x0,y0,z0)的某一邻域内满足: ① F(x0,y0,z0)=0, G(x0, y0,z0)=0,
隐函数的求导公式
设 y=y(x) 为F (x,y) =0所确定的隐函数, 则有 F (x, y(x)) 0,
F
x y
dy 上式两边对 x 求导, 得 Fx Fy 0, dx dy Fx 在 (x0 , y0 ) 的某邻域内 Fy 0 , . dx Fy
x
例 1 验证sin y e x y 1 0 在点(0,0)某邻域可唯一确
F ( x, y, z ) 0 则方程组 在点(x0,y0,z0)的某一邻域内唯一 G ( x , y , z ) 0 y0 y( x0 ) y y ( x ) , 且满足 , 确定一对C(1)类一元函数 z z( x ) z 0 z ( x0 ) 并有: Fy Fx Fx Fz (F ,G ) (F ,G )
xy y . 说明: 此题中的y还可表示为：y xy x
定理可推广到三元及三元以上方程的情形.
2. F (x, y, z) = 0
隐函数存在定理2 设C(1)类函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)
的某一邻域内满足: ① F(x0, y0, z0)=0, ② Fz(x0, y0,z0)0,
则方程F(x, y, z) =0在点P(x0, y0, z0 )的某一邻域内能唯一
( F , G ) Fy 由 F、G 的偏导数组成的行列式 J ( y, z ) G y 称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
Fz Gz
(1) 隐函数存在定理3 设C(1)类函数F(x,y,z) 、G(x,y,z)
在点P (x0,y0,z0)的某一邻域内满足: ① F(x0,y0,z0)=0, G(x0, y0,z0)=0,
隐函数的求导公式
设 y=y(x) 为F (x,y) =0所确定的隐函数, 则有 F (x, y(x)) 0,
F
x y
dy 上式两边对 x 求导, 得 Fx Fy 0, dx dy Fx 在 (x0 , y0 ) 的某邻域内 Fy 0 , . dx Fy
x
例 1 验证sin y e x y 1 0 在点(0,0)某邻域可唯一确
F ( x, y, z ) 0 则方程组 在点(x0,y0,z0)的某一邻域内唯一 G ( x , y , z ) 0 y0 y( x0 ) y y ( x ) , 且满足 , 确定一对C(1)类一元函数 z z( x ) z 0 z ( x0 ) 并有: Fy Fx Fx Fz (F ,G ) (F ,G )
《高等数学》课件5第五节 隐函数的求导公式 ppt
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数,
② F( x0 , y0 , z0 ) 0,
③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
则方程 F( x, y, z) 0在点
某一邻域内可唯一确定
一个连续且具有连续偏导数的函数 z = f (x , y) ,
满足
并有
z Fx , x Fz
定理证明从略.
它满足条件 y(0) 1, 且
dy Fx x .
dx Fy y y = y (x)
d2 y dx 2
d dx
(
x) y
y
x
y2
y
y
x( y2
x) y
1 y3
,
dy 0,
dx x0
y1
d2 y dx2 x0 1.
y1
II. F( x, y, z) 0
定理2. 若函数 F ( x, y, z) 满足:
zz
zz
fu du fv dv 0
x fu d( z )
fv
d( y ) z
0
f1
(
z
d
x z2
x
dz
)
f2
(
zd
y
z2
y
dz
)
0
x f1 y f2 z2
dz
f1d x f2 d y z
dz z f1 d x z f2 d y
x f1 y f2
x f1 y f
z z F1 , x x F1 y F2
F ( x, G( x,
y, u, v) y, u, v)
0 0
有隐函数组
则
GF
对 x 求导
Fx
9-5 隐函数的求导公式
返回
v v ( x , y ) ，它们满足条件 u0 u( x0 , y0 ) , v0 v ( x0 , y0 ),
并有
Fx Fv
u 1 ( F , G ) G x Gv , x J ( x, v ) Fu Fv G u Gv
v 1 ( F , G ) Fu Fx x J ( u, x ) Gu G x
一个具有连续导数的y f ( x ), 满足y0 f ( x0 )
且
dy Fx dx Fy
返回
y dy 例 2 已知 ln x y arctan , 求 x dx 解 令 F ( x , y ) 1 ln( x 2 y 2 ) arctan y 2 x y 2 1 2x x x y Fx ( x , y ) 2 2 x2 y2 x2 y2 y 1 2 x 1 1 2y y x x Fy ( x , y ) 2 2 2 2 2x y x y2 y 1 2 x dy Fx x y y x dx Fy
u ? x
u ? y
v ? x
v ? y
返回
隐函数存在定理 3 设 F ( x , y , u, v ) 、G ( x , y , u, v ) 在点 P ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 的某 一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且 F ( x0 , y0 ,
例5
u v u x x y x 0 解 方程两侧同时关于x 求导得 , y u v x v 0 v u x x x y u x x 即 , y u x v v x x
xu yv 0 yu xv 1
v v ( x , y ) ，它们满足条件 u0 u( x0 , y0 ) , v0 v ( x0 , y0 ),
并有
Fx Fv
u 1 ( F , G ) G x Gv , x J ( x, v ) Fu Fv G u Gv
v 1 ( F , G ) Fu Fx x J ( u, x ) Gu G x
一个具有连续导数的y f ( x ), 满足y0 f ( x0 )
且
dy Fx dx Fy
返回
y dy 例 2 已知 ln x y arctan , 求 x dx 解 令 F ( x , y ) 1 ln( x 2 y 2 ) arctan y 2 x y 2 1 2x x x y Fx ( x , y ) 2 2 x2 y2 x2 y2 y 1 2 x 1 1 2y y x x Fy ( x , y ) 2 2 2 2 2x y x y2 y 1 2 x dy Fx x y y x dx Fy
u ? x
u ? y
v ? x
v ? y
返回
隐函数存在定理 3 设 F ( x , y , u, v ) 、G ( x , y , u, v ) 在点 P ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 的某 一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且 F ( x0 , y0 ,
例5
u v u x x y x 0 解 方程两侧同时关于x 求导得 , y u v x v 0 v u x x x y u x x 即 , y u x v v x x
xu yv 0 yu xv 1
隐函数的求导公式
第五节 隐函数的求导公式在一元函数中，我们已经提出了隐函数的概念，并且提出了不经过显化真接由方程()0,=y x F （1）求它所确定的隐函数的导数的方法。
现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法则导出多元隐函数的导数公式。
隐函数存在定理 1 设函数()y x F ,在点()00,y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,00=y x F , ()0,00'≠y x F y 。
则方程()0,=y x F 在点()00,y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()x f y =，它满足条件()00x f y =， 并有''yx F F dx dy-= (2)公式(2)就是隐含数的求导公式这个定理我们不证，现仅就公式)2(作如下推导。
将方程(1)所确定的函数()x f y =代入(1)，得恒等式 ()()0,≡x f x F其左边可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，即有0=⋅∂∂+∂∂dxdy y F x F 由于'y F 连续，且 ()0,00'≠y x F y ,所以存在()00,y x 的一个邻域，在这个邻域内0'≠y F于是得''yx F F dx dy-=隐函数存在定理可以推广到多元函数，既然一个二元方程（1）可以确定一个一元隐函数，那么一个三元方程()0,,=z y x F 就有可能确定一个二元隐函数。
与定理1相仿，我们同样可以由三元函数()z y x F ,,的性质来断定由方程()0,,=z y x F 所确定的二元函数()y x f z ,=的存在性及这个函数的性质，这就是下面的定理。
隐函数存在定理2 设函数()0,,=z y x F 在点()000,,z y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,,000=z y x F ，()0,,000'≠z y x F z 。
高等数学隐函数的求导公式
3
隐函数的求导公式
隐函数存在定理1 设二元函数 F ( x, y)在点 P( x0 , y0 )的某一邻域内满足:
(1) 具有连续偏导数;
(2) F ( x0 , y0 ) 0; (3)Fy ( x0, y0 ) 0, 则方程 F ( x, y) 0在点 P( x0 , y0 )的某一邻域内 恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数
9
隐函数的求导公式
z Fx , x Fz
z Fy y Fz
例
已知 x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
求 z , z 及 2z . x y xy
解
令 F(x,
y, z)
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
则
Fx
2x a2
,
2y Fy b2 ,
2z Fz c2
z2
c2[
x ( a2z2
c2 y b2z
)]
c4 xy a2b2z3
注 对复合函数求高阶偏导数时, 需注意:
导函数仍是复合函数. 故对导函数再求偏导数时,
仍需用复合函数求导的方法.
11
隐函数的求导公式
例
设有隐函数
F(
x z
,
y z
)
0
,其中F的偏导数连续,
求 z , z . x y
u y u v
22
隐函数的求导公式
特别
如果方程组
F ( x, G( x,
y, u, v ) y, u, v )
0 0
为
F ( x,u,v) G( x,u,v)
第五节 隐函数求导公式
请看课本第86页, 隐函数存在定理3.
24
隐函数的求导公式
u u v v F ( x , y , u, v ) 0 求 , , , . x y x y G ( x , y , u, v ) 0 F ( x, y, u( x, y ), v( x, y )) 0 将恒等式 G( x, y, u( x, y ), v( x, y )) 0
两边关于x求偏导, 由链导法则得:
F F u F v x u x v x 0
G G u G v 0 x u x v x
u v 解这个以 为未知量的线性方程组. , x x
dy Fx ( x , y ) 隐函数的求导公式 dx Fy ( x , y ) (证明从略)仅推导公式. 将恒等式 F ( x , f ( x )) 0
两边关于x求导, 由全导数公式,得
4
隐函数的求导公式
F ( x , f ( x )) 0
dy Fx ( x , y ) Fy ( x, y ) 0 dx 所以存在 且Fy ( x0 , y0 ) 0， 由于Fy ( x, y)连续，
dz (1, 0, 1) dx 2dy
17
隐函数的求导公式
xyz x 2 y 2 z 2 2
法二 用全微分
yzdx xzdy xydz 2 xdx 2 ydy 2 zdz 0 2 x2 y2 z2 将点(1,0,1)代入上式, 得
dz (1, 0 , 1) dx 2dy
并有
Fy z Fx z . , Fz x Fz y
8
隐函数的求导公式
(证明从略)仅推导公式.
24
隐函数的求导公式
u u v v F ( x , y , u, v ) 0 求 , , , . x y x y G ( x , y , u, v ) 0 F ( x, y, u( x, y ), v( x, y )) 0 将恒等式 G( x, y, u( x, y ), v( x, y )) 0
两边关于x求偏导, 由链导法则得:
F F u F v x u x v x 0
G G u G v 0 x u x v x
u v 解这个以 为未知量的线性方程组. , x x
dy Fx ( x , y ) 隐函数的求导公式 dx Fy ( x , y ) (证明从略)仅推导公式. 将恒等式 F ( x , f ( x )) 0
两边关于x求导, 由全导数公式,得
4
隐函数的求导公式
F ( x , f ( x )) 0
dy Fx ( x , y ) Fy ( x, y ) 0 dx 所以存在 且Fy ( x0 , y0 ) 0， 由于Fy ( x, y)连续，
dz (1, 0, 1) dx 2dy
17
隐函数的求导公式
xyz x 2 y 2 z 2 2
法二 用全微分
yzdx xzdy xydz 2 xdx 2 ydy 2 zdz 0 2 x2 y2 z2 将点(1,0,1)代入上式, 得
dz (1, 0 , 1) dx 2dy
并有
Fy z Fx z . , Fz x Fz y
8
隐函数的求导公式
(证明从略)仅推导公式.
隐函数的求导公式63412精品
u y u v
22
隐函数的求导公式
特别
如果方程组
F ( x, G( x,
y, u, v ) y, u, v )
0 0
为
F ( x,u,v) G( x,u,v)
00时, 它可能确定两个 一元函数,
现假定它确定 u u( x),v v( x),且两个函数都
F ( x, f ( x)) 0
Fx
(
x
,
y
)
Fy
(
x,
y
)
dy dx
0
由于Fy ( x, y)连续，且Fy ( x0 , y0 ) 0，所以存在
( x0 , y0 )的一个邻域, 在这个邻域内Fy ( x, y) 0,
于是得
dy Fx ( x, y) 或简写: dy Fx .
F( x, y, u( x, y),v( x, y)) 0 G( x, y, u( x, y),v( x, y)) 0
求 u , u , v , v . x y x y
同理,
两边关于y求偏导,得
F y G y
F u G u
u y u y
请看课本第34页, 隐函数存在定理3.
19
隐函数的求导公式
F ( x, y,u,v) 0 G( x, y,u,v) 0
求 u , u , v , v . x y x y
将恒等式
F ( x, G( x,
y, u( x, y, u( x,
y),v( x, y),v( x,
fv ( xy
xz y), z
整理得
y
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等式两端同时对 x 求导, 得
在Fy 0的条件下,解得
Fx
1+Fy
dy dx
=0
dy Fx dx Fy
(2) F ( x, y, z) 0
设该方程确定了函数:z z( x, y)即
F[x, y, z( x, y)] 0
等式两端同时对 x 求偏导, 得
Fx 1
+Fy
0
+ Fz
z x
=0
在Fz 0的条件下,解得
u0 u(x0, y0), v0 v(x0, y0), 并有
Fx Fv u 1 (F ,G) Gx Gv x J ( x, v) Fu Fv
Gu Gv
Fu Fx v 1 (F ,G) Gu Gx x J (u, x) Fu Fv
Gu Gv
Fy Fv
u 1 (F ,G) G y Gv
方程组两端同时对 x 求偏导，得
Fx 1 +
Gx 1+
Fy 0
+
Fu
u x
+
Fv
v x
Gy
0
+
Gu
u x
+ Gv
v x
0 0
即
Fu
u x
Gu
u x
+
Fv
v x
+ Gv
v x
Fx Gx
在 Fu Fv 0的条件下, 解得
Gu Gv
Fx Fv
u Gx Gv x Fu Fv
Gu Gv
在点 (x0, y0) 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续
且具有连续导数的函数y=f(x)，它满足条件 y0 f (x0) ，
并有
dy Fx （1） dx Fy
隐函数存在定理2 设函数 F(x, y, z)在点P(x0, y0, z0)
的某一邻域内具有连续偏导数，且 F (x0, y0, z0) 0,
= Gx Gz
Fy Fz
Gy Gz
Gy Gz
Fy Fx
dz G y Gx dx Fy Fz
Gy Gz
Fy Fx
= Gy Gx
Fy Fz Gy Gz
F ( x, y, u, v) 0 (2) G( x, y, u, v) 0
设该方程组确定了:
u u( x, y), v v( x, y)
第五节 隐函数的求导公式
一、一个方程的情形 二、方程组的情形
一、隐函数存在定理简介
隐函数:由方程所确定的函数
1.一个方程的情形
隐函数存在定理1
设函数F(x,y)在点 P(x0, y0 ) 的某一邻域内具有连续
偏导数,且 F (x0, y0) 0, Fy (x0, y0) 0, 则方程 F (x, y) 0
Fx Fv
= Gx Gv
Fu Fv Gu Gv
Fu Fx
v Gu Gx x Fu Fv
Gu Gv
Fu Fx
= Gu Gx
Fu Fv Gu Gv
同理, 方程组两边同时对 y 求偏导,可得
Fx 0 Gx 0
+ +
Fy 1 + Fu Gy 1 + Gu
u y u y
+ Fv + Gv
方程组两端同时对 x 求导，得
Fx
1
+
Fy
dy dx
G
x
1
+G
y
dy dx
+
Fz
dz dx
+
Gz
dz dx
0 0
即
F
y
dy dx
G
y
dy dx
+
Fz
dz dx
+Gz
dz dx
Fx Gx
在 Fy Fz 0的条件下,解得
Gy Gz
Fx Fz
dy Gx Gz dx Fy Fz
Fx Fz
Fu Fy
= Gu G y
Fu Fv Gu Gv
作业:习题 8-5A/1(2); 2(3);8(3)
例题:见课本例5 练习:习题8-5A/8(1)
(3)
y J ( y, v) Fu Fv
Gu Gv
Fu Fy v 1 (F ,G) Gu G y y J (u, y) Fu Fv
Gu Gv
二、隐函数的求导法
下面，总假设隐函数存在且可导，在此前提下来讨论 求隐函数的导数或偏导数的方法。
1、一个方程的情形
(1) F ( x, y) 0
设该方程确定了函数: y y( x)即 F[x, y( x)] 0
Fx1 +Fy
0 +Fz
0 +Fu
u x
=
0在Fu 0的条ຫໍສະໝຸດ 下,解得u Fx x Fu
类似可得
u y
Fy Fu
u Fz z Fu
例题:见课本例2-5 练习:习题8-5A/1(1);2(1)
2.方程组的情形
F(x, y, z) 0 (1) G(x, y, z) 0
设该方程组确定了
y y(x) z z(x)
v y v y
0 0
即
Fu
u y
+
Fv
v y
Gu
u y
+ Gv
v y
Fy Gy
在 Fu Fv 0的条件下,解得
Gu Gv
Fy Fv
u G y Gv y Fu Fv
Gu Gv
Fy Fv
= G y Gv
Fu Fv Gu Gv
Fu Fx
v Gu Gx y Fu Fv
Gu Gv
Fz (x0 , y0 , z0 ) 0 ，则方程F(x,y,z)=0在点 (x0, y0, z0) 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏
导数的函数 z=f(x,y)，它满足条件 z0 f (x0, y0),并有
z Fx z Fy x Fz y Fz
(2)
2、方程组的情形
隐函数存在定理3 设F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v) 在 点 P(x0, y0,u0,v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏 导数，又F (x0, y0,u0,v0) 0, G(x0, y0,u0,v0) 0, 且偏 导数所组成的函数行列式[或称雅可比(Jacobi)式]：
J (F,G) Fu Fv (u, v) Gu Gv
在点 P(x0, y0,u0,v0) 不等于零，则
方程组
F(x, y,u, v) 0 G(x, y,u, v) 0
在点(x0, y0,u0, v0)
的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏
导数的函数 u=u(x,y)，v=v(x,y)，它们满足条件
z Fx
x
Fz
等式两端同时对 y 求偏导, 得
Fx 0
+Fy
1
+Fz
z y
=0
在Fz 0的条件下,解得 z Fy
y
Fz
(3) F( x, y, z, u) 0
设该方程确定了函数: u u( x, y, z) 即
F[x, y, z, u( x, y, z)] 0
等式两端同时对 x 求偏导, 得