D8_3链式法则隐函数求导
链式求导法则公式
链式求导法则公式
链式求导法则也称为链式法则，它是微积分中求复合函数导数的基本方法。
在应用链式法则时，需要遵循以下步骤：
1. 确定复合函数的中间变量，并表示出复合函数的表达式。
2. 对复合函数的中间变量进行求导，得到导数表达式。
3. 将导数表达式代入复合函数的原始表达式中，并对复合函数的原始表达式进行求导。
4. 在求导过程中，需要将复合函数的中间变量替换为其导数表达式，并进行相应的运算。
5. 最后，得到复合函数的导数。
一元函数的链式法则可以用以下公式表示：
(uv)' = u'v + uv'
其中，u 和 u' 分别表示函数 u 和其导数，v 和 v' 分别表示函数 v 和其导数。
对于多元函数的链式法则，可以类似地表示为：
(u/v)' = (u'/v) + (u/v')
其中，u 和 u' 分别表示函数 u 和其偏导数，v 和 v' 分别表示函数 v 和其偏导数。
链式法则在求复合函数的导数时非常有用，它可以大大简化计算过程。
3.3 链法则与隐函数的导数
机动
f (u ) g ( x)
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推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.
例如,
y
d y d y d u dv d x d u dv d x
f (u ) (v) ( x)
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例2. 设 解:
求
1 x x ( sin( e )) e cos(e x )
e x tan(e x )
思考: 若
x
存在 , 如何求 f (ln cos(e x )) 的导数?
x x f ( ln cos( e ) ) (ln cos( e )) [ f (ln cos(e ))]
按指数函数求导公式
按幂函数求导公式
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dy 例6.方程y x 确定y是x的函数，求 dx 解 在方程两边同时取对数
x y
x ln y y ln x 在上式两边同时对 x求导，得 1 y ln y x y y ln x y x 2 y xy ln y 解出y，得 y 2 x xy ln x
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说明:
1) 对幂指函数 y u v 可用对数求导法求导 :
ln y v ln u 1 u v y v ln u y u u v v y u ( v ln u ) u
注意:
v v 1 y u ln u v vu u
§3.3 链法则与隐函数的导数 一、复合函数的求导法则 二、隐函数求导法 三、对数求导法
隐函数的求导法则
Fu Fy 1 (F ,G ) v = = Gu G y J ( u, y ) y
例 5
Fu Fv . Gu Gv
设xu yv = 0,yu + xv = 1,
u u v v 求 , , 和 . x y x y
直接代入公式; ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ接代入公式;
解1
运用公式推导的方法, 解2 运用公式推导的方法, 将所给方程的两边对 x 求导并移项
1 = 3 [FxxFz2 2FxzFxFz + FzzFx2 ] Fz
( Fx )Fz Fx ( Fz ) 2 z x = x 2 Fz2
Fx z = , Fz x
2z 2z 类似地可求得 , 2 x y y ②直接法 方程两边连续求导两次
z Fx + Fz = 0 x
z z 2 2z Fxx + 2 Fxz + Fzz ( ) + Fz 2 = 0 x x x
dy dz F ( x , y , z ) = 0 两边对 x 求导 怎样求 , dx dx
注意左边是复合函数(三个中间变量), 注意左边是复合函数(三个中间变量),
dy dz Fx + Fy + Fz = 0 dx dx
同理
dy dz Φ x + Φ y + Φz = 0 dx dx Fy Fz 若 则 J= ≠0 Φy Φz
练习题
一,填空题: 填空题:
y 1 ,设 ln x 2 + y 2 = arctan ,则 x dy = ___________________________. dx 2, 2,设 z x = y z ,则 z = ___________________________, x z = ___________________________. y 二,设 2 sin( x + 2 y 3 z ) = x + 2 y 3 z , z z 证明: + 证明: = 1. x y
隐函数求导
隐函数求导1、隐函数求导隐函数求导是指求解含有未知变量的函数的导数。
主要分为四类：隐函数求导的定义、隐函数求导的基本方法、隐函数求导的解法、隐函数求导的应用。
隐函数求导的定义就是求解含有未知变量的函数的导数的过程，比如函数的一阶导数、二阶导数，以及更高位的导数等。
与函数的求导不同的是，隐函数求导指的是对含有未知变量的函数求导，包括一阶导数、未定系数型函数和未知数函数等。
隐函数求导的基本方法主要有三种，分别是链式法则、暂称法则和零点法则。
1、链式法则：链式法则是指针对含有未知变量的函数进行求导，要先求出未知变量对各变量的偏导，然后明确影响的变量的表达式，接着再由链式法则求出函数的导数。
2、暂称法则：暂称法则是指用若干变量暂称其余变量，变化时有一个变量保持恒定，当变化后，仍在某一点上有极值时，其中含有的暂称变量就可以用来求导了。
3、零点法则：零点法则是指用若干变量的零点可以计算链式法则和暂称法则的结果，可以用求零点的方法来求函数的导数和偏导数。
隐函数求导的解法包括有直接解法和逆函数求导法两部分。
1、直接解法：直接解法是指直接用链式法则、暂称法则和零点法则求解含有未知变量的函数的导数，以及求解未知变量时，以及求解未知变量的偏导数等。
2、逆函数求导法：逆函数求导法是指用逆函数求导来求函数的导数，也就是用逆函数将函数映射到原始空间，然后再求原始函数的导数。
（四）隐函数求导的应用隐函数求导技术的应用非常广泛，主要用在未知参数系统中，如未知函数的拟合、控制问题等，未知函数的求导是解决这些问题所必需的。
另外，隐函数求导的应用还包括在机器学习、深度学习等技术方面，用于有效的模型学习和参数求解，解决复杂的未知参数问题。
隐函数的求导法则
隐函数的求导法则在高等数学中，人们经常要研究使用函数表示不明确的关系的问题。
具有x和y两个自变量的方程通常也称为隐函数。
在这种情况下，求导的方法与单变量函数的情况有所不同。
假设我们有一个方程f(x,y)=0代表一个隐函数。
如果我们将y表示为x的函数，那么我们可以使用求导规则计算dy/dx。
我们用y=f(x)来代表意味着y是x的函数，在这种情况下，我们可以将原始方程看成f(x,f(x))=0。
现在我们需要将它们进行求导：通过链式法则，我们得到：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx = 0解决方程，我们可以得到dy/dx：dy/dx = -(∂f/∂x)/(∂f/∂y)这就是隐函数的求导法则。
现在我们来看几个例子。
例子1：考虑方程x^2+y^2 = 1，代表一个圆形。
假设我们需要求通过点(0.5,0.866)的圆的斜率。
我们可以通过对方程隐式地求导来解决这个问题。
从方程中得到：2x + 2y * dy/dx = 0这个时候，我们用点(0.5,0.866)代入求导公式：dy/dx = -(∂f/∂x)/(∂f/∂y) = -x/y = -0.577例子2：考虑方程x^2+y^2+z^2 = 1，代表一个球。
假设要求通过点(0.5, 0.866, 0)的球的切平面。
我们如何确定这个平面的法向量？这里我们可以思考什么会构成法向量：从点(0.5, 0.866, 0)向球的中心(0,0,0)所成的向量，然后我们将这个向量投影在切平面上。
我们可以通过隐函数求导的方法来找到它的方向。
从方程中得到：2x + 2y * dy/dx + 2z * dz/dx = 0我们需要知道dz/dx的值，但只有两个自变量，我们该怎么办？我们可以再次隐式地求导。
我们有这样的等式：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx + ∂f/∂z * dz/dx = 0将方程放入这个等式，我们得到：(1) + y * dy/dx + z * dz/dx = 0然后再用我们之前求出的dy/dx代替，得到：(1) + y * (-x/y) + z * dz/dx = 0然后代入我们想要的点，我们得到：dz/dx = -x * z/y = (-0.5) * 0/0.866 = 0现在我们知道了dz/dx = 0。
隐函数求导法则
隐函数求导法则隐函数求导法则和复合函数求导相同。
由xy²-e^xy+2=0，y²+2xyy′-e^xy(y+xy′)=0，y²+2xyy′-ye^xy-xy′e^xy=0，(2xy-xe^xy)y′=ye^xy-y²，所以y′=dy/dx=y（e^xy-y0/x(2y-e^xy)。
求导法则对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。
在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。
隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：方法①：先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导；方法②：隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）；方法③：利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值；方法④：把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。
举个例子，若欲求z=f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z)=0的形式，然后通过（式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数）来求解。
显函数与隐函数显函数解析式中明显地用一个变量的代数式表示另一个变量时，称为显函数。
显函数可以用y=f(x)来表示。
隐函数如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。
隐函数与显函数的区别1.隐函数不一定能写为y=f(x)的形式，如x²+y²=0。
2.显函数是用y=f(x)表示的函数，左边是一个y，右边是x的表达式。
比如：y=2x+1。
隐函数是x和y都混在一起的，比如2x-y+1=0。
3.有些隐函数可以表示成显函数，叫做隐函数显化，但也有些隐函数是不能显化的，比如e^y+xy=1。
9.3链式法则和隐式求导
整理得
y 1 f u xyf v . f u xzf v z
作业
• 习题9.3（A)3、5、8、11。 (B):4
• 习题9.2三个班10-20号交作业
且有
Fy z Fx z z z2 , x Fz x z y Fz y( x z )
z x y 练习 设 z f ( x y z , xyz ) ，求 ， ， . x y z
思路：
z 把 z 看成 x, y 的函数对x 求偏导数得 ， x
证 设 t 获得增量 t，
则 u ( t t ) ( t ), v ( t t ) ( t );
由于函数 z f ( u , v ) 在点( u, v ) 有连续偏导数
z z z u v 1u 2 v , u v
2.
F ( x, y, z ) 0
隐函数存在定理 2 设函数 F ( x , y , z ) 在点P ( x 0 , y0 , z 0 ) 的某一邻域内有连续的偏导数，且 F ( x 0 , y 0 , z 0 ) 0 ， Fz ( x 0 , y 0 , z 0 ) 0 ，则方程F ( x , y , z ) 0 在点 P ( x 0 , y 0 , z 0 ) 的某一邻域内恒能唯一确 定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z f ( x , y ) ，它满足条件 z 0 f ( x 0 , y 0 ) ， 并有
即第1，2，7，8卦限之并，并且有
1 1 x 1 xz F x , F y , Fz 2 2 z y z z z
所以，在 D 内使 x z 0 的点即第Ⅰ，Ⅶ卦限 内的点及第Ⅱ，Ⅷ卦限内不在平面 x z 0上的
隐函数求导法则
则 Fx 2x, Fz 2z 4,
z x
Fx Fz
x 2
z
,
2z x 2
dz dx
x 2
z
(2 z) x (2 z)2
z x
(2
z)
x
2
x
(2 z)2
z
(2 z)2 x2 (2 z)3
.
二、方程组的情形
v v( x, y)，它们满足条件u0 u( x0 , y0 ), v0 v ( x0 , y0 ), 并有
u 1 (F,G) Fx Fv Fu Fv , x J (x, v) Gx Gv Gu Gv
v 1 (F,G) Fu Fx Fu Fv x J (u, x) Gu Gx Gu Gv
解: 1) F(x, y,u,v) x x (u,v) 0
令
G(x, y,u,v) y y (u,v) 0
则有 J (F,G) ( x, y ) 0, (u,v ) (u,v )
由定理 3 可知结论 1) 成立. 2) 求反函数的偏导数.
①
①式两边对 x 求导, 得
dy Fx . dx Fy
隐函数的求导公式
仅就公式推导如下
则
两边对 x 求导 记作
在
dy Fx dx Fy
的某邻域内 Fy 0
若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,则还有 Fx
二阶导数 :
Fy
d2y dx2
( Fx ) x Fy
( Fx ) d y y Fy dx
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三、全微分：
z
o()
(x)2 (y)2
d z f x (x, y)dx f y (x, y)dy
四、重要关系:
偏导数连续
函数可微
函数连续 偏导存在
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课堂练习
习题8-2. （P83） 1 求偏导数
(5) z ln tan x
y
(8) uarctan(xy)z
当它们都具有可微条件时, 有
z f
z f x x z y
f1 f21
xv
f2 2
口诀 :
xy
注意: 这里 z 与 f 不同, x x
分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
z 表示 f ( x, ( x, y ) )固定 y 对 x 求导 x
f 表示f ( x, v )固定 v 对 x 求导 x
并有连续偏导数
z Fx , x Fz
z Fy y Fz
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
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F (x, y , f (x, y ) ) 0
两边对 x 求偏导
Fx Fz
z x
0
同样可得
z Fx x Fz z Fy y Fz
则
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例2. u f (x, y, z) e x2 y2 z2 , z x2sin y, 求 u , u x y
解: u f x x
2 xe x2
y2
z2
2ze
x2
y2
z
2
2
x
sin
y
u
2 x (1 2 x2 sin 2 y) e x2 y2 x4 sin 2 y
xyz
u y
f y
f1xy
2zf u
f,22f12yf2u2fv
,
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第五节
第九章
隐函数的求导公式
1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
例如, 方程
C < 0 时, 能确定隐函数 C > 0 时, 不能确定隐函数
2) 方程能确定隐函数时, 研究其连续性,可微性及求导方法问题.
本节讨论:
一个方程所确定的隐函数 及其导数
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多元复合函数求导的链式法则：
定理. 若函数 处偏导连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
d z z d u z dv d t u d t v d t
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 有增量△u ,△v ,
z z u z v o ( )
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推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z f (u, v, w) ,
u (t), v (t), w (t)
dz z du z dv z dw d t u d t v dt w dt
z
uvw
f1 f2 f3
t tt
2) 中间变量是多元函数的情形. 例如,
z f (u, v) , u (x, y), v (x, y)
z x
z u z v u x v x
f11
f 2 1
z
uv
z z u z v y u y v y
f12 f2 2
x yx y
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又如, z f (x, v) , v (x, y)
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
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则 两边对 x 求导
在
d y Fx dx Fy
的某邻域内 Fy 0
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若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还可求隐函数的 二阶导数 :
d y Fx d x Fy
d2y dx2
( Fx ) ( Fx ) dy x Fy y Fy dx
z Fx x x x Fz z 2 2 z
两边对 x 求偏导
2z x2
x
( 2
x
) z
(2
z)2 (2 z)3
x
2
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作业
P96：1，2，4，7. P100：2，5，7.
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
u v
z f (u, v)
z
uv tt
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z z u z v o( ) ( (u)2 (v)2 )
t u t v t t
则有 u 0 , v 0 ,
z
u du , v dv t dt t dt
uv
o( )
tt
(△t＜0 时,根式前加“–”号)
d z z d u z dv ( 全导数公式 ) d t u d t v d t
曲线
z
x2
4
y2
在点(2 4 5)处切线与正向x轴
y 4
所成的倾角是多少？
解：因为 z 2x x
x 4 2
故
4
z x
(2,4,5)
1 tan
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习题8-3. 1 求全微分
(3)
z
y x2 y2
解：因为
z
1
y(x2
y
2
)
3 2
xy
x 2
(x2 y2 )3/2
① Fx e x y, Fy cos y x 连续 ; ② F (0,0) 0;
③ Fy (0,0) 1 0 ,
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可
导的隐函数
且
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dy dx
Fx x 0 Fy
x
0
ex
cos y
y
x
d2y dx2 x 0
x 0 3
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定理2 . 若函数 F (x, y, z)满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ;
② F (x0 , y0, z0 ) 0 ; ③ Fz (x0 , y0 , z0 ) 0 ,
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
yy y y
y
z y
1 tan
x
sec2
x y
x y2
2x y2
csc 2x y
y
(8) uarctan(xy)z
解
u x
z(x y)z1 1 (x y)2z
u y
z( 1
x y)z1 (x y)2z
u z
(x y)z ln(x 1 (x y)2z
y)
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5
xy x
Fxx
Fy Fyx Fy2
Fx
Fx y
Fy Fy Fy2
y Fx
(
Fx Fy
)
Fxx Fy 2
2Fxy Fx Fy Fy3
Fy y Fx 2
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例1. 验证方程 可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域 并求
dy dx
x0
,
d2y dx2
x0
解: 令 F (x, y) sin y e x x y 1, 则
z y
x2 y2 y y
x2 y2 x2 y2
(x2
x2 y2 )3/2
xy
x2
dz (x2 y2 )3/2 dx (x2 y2 )3/2 dy
(x2
x y2 )3/2
(
ydx
xdy)
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第四节
第九章
多元复合函数的求导法则
一元复合函数
求导法则
本节内容: 多元复合函数求导的链式法则
f z
z y
xy
2yex2
y2
z
2
2
zex2
y2
z2
x2
cos
y
2 ( y x4 sin y cos y ) e x2 y2 x4 sin 2 y
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例3. 设 z uv sin t , u et , v cos t , 求全导数 dz .
dt
解: dz z du
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一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数
在点
① 具有连续的偏导数;
的某一邻域内满足
则方程
② F (x0 , y0 ) 0; ③ Fy (x0 , y0 ) 0
的某邻域内可唯一确定一个
单值连续函数 y = f (x) , 满足条件
并有连续
导数
d y Fx (隐函数求导公式) dx Fy
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导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x)
两边对 x 求导
两边再对 x 求导
y x 0
ex cos
y
y
x
(0,0)
sin y ( y)2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
d2y dx2
d ( ex y ) dx cos y x
x 0, y 0
( e x y)(cos y x) (ex y) ( sin y y 1)
( cos y x )2
F (x, y) sin y ex xy 1 0
3
Fx e x y, Fy cos y x
x0