复合函数的中间变量为多元函数的求导法则
多元复合函数的求导法则
z = f (u, v), u = ϕ(x, y), v =ψ (y)
z = f (u, v, t), u = ϕ(t),
v =ψ (t)
z = f (u, x, y), u = ϕ(x, y)
解 (1)
z = f (u, v), u = ϕ(x, y), v =ψ (y)
+
∂z ∂z ∂u = ∂x ∂u ∂x ∂z = ∂u ∂z = ∂u ∂z ∂z = ∂y ∂u
2 2 x2 + y2 +x4 sin2 y
x2 + y2 +z2
∂f ∂u ∂f ∂f ∂z ∂f ∂f ∂z = = + ⋅1 + ⋅0 + ∂y ∂y ∂x ∂z ∂y ∂y ∂z ∂y
= 2ye
x2 + y2 +z2
4
x2 + y2 +z2 x2 cos y ⋅ + 2ze
x2 + y2 + x4 sin2 y
y
∂z ∂u ∂z ∂v ∂z + = ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
注
设 u = ϕ( x, y)、 =ψ( x, y)及w = ω( x, y) 都在点 v
(x,y) 具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v,w)在对应点 (u,v,w)有连续偏导数，则复合函数
z = f [ϕ(x, y),ψ (x, y),ω(x, y)]
= eu (sin v + y cos v) = ex+ y[sin( xy) + y cos(xy)]
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
= eu sin v ⋅1 + eu cos v ⋅ x
高数第四节-多元复合函数的求导法则
u
x
F (x , y)
z
v
y
定理 2 ：设 u = ( x , y ), v = ( x , y ) 在点 ( x , y ) 偏
导数存在，z = f ( u , v ) 在对应的点 ( u , v ) 处具有连续
偏导数，则复合函数 z = f [ ( x , y ) , ( x , y ) ] 在点
zx , zxx , z xy.
解：令 v = x y , 则 z u v , u (x , y) , v x y
u
y
z
v
x
z z u z v u y
x u x v x x
2z xy
{
u x
y
}
' y
1
2u , xy
2z x2
2u x2
例6：设 z y 2 ( x y) , 为可微函数，求证
连续偏导数，求w 和 2w . x xz
解 令 u x y z, v xyz , 则 w f (u,v),
2w xz
f1 z
( yf2
yz f2), z
u
x
f1 f1(u, v), f2 f2(u, v), w
v
y z
f1 z
f1 u f1 v u z v z
f11 xyf12;
第四节：多元复合函数的求导法则
设 y f (u) , u (x) , 则 y f [ ( x) ] ,
d y d y du dx du dx
dy
du
du
y
u dx
x
dy
dx
设 z f ( u, v ) , u (x , y) , v (x , y) ,
复合函数求导法则
导数存在，且可用下列公式计算
z
z
u
z
v
，
x u x v x
z y
z u
u y
z v
v y
.
链式法则如图示
u
x
z
v
y
z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
例 1 设 z eu sin v ，而u xy，v x y ， 求 z 和z . x y
即 z f[(x ,y )x ,y ],令 vx, wy,
v 1, w 0,
x
x
zf uf, x u x x
v 0, w 1.
y
y
区
z f uf . y u y y
别 类 似
两者的区别
把 z f (u, x, y)
把复合函数zf[(x,y),x,y]中 的 u 及 y 看 作 不
中 的y看 作 不 变 而 对 x的 偏 导 数 变 而 对 x 的 偏 导 数
同理有 f2, f11, f22.
w x
f u f v
u x v x
f1yfz2 ;
2w xz
( z
f1
yzf2)
fz1yf2yzfz2;
f 1 z
fu1uzfv1vz f1 1xf1 y ;2
f 2 z
f2uf2v u z v z
f2 1xf2 y ;2
于是
2w xz
f11xfy12 yf2 y(f z 2 1xf2 y )2
连续偏导数，求 w 和 2w . x xz
（3）求抽象函数的二阶偏导数时要注意，对一 切一阶偏导数来说其结构图仍与原来函数的结 构图相同。
多元复合函数的求导法则
多元复合函数的求导法则为了简化讲解，假设我们有一个复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个一元函数，f(y)是一个多元函数。
我们希望计算该函数的导数。
下面是多元复合函数求导的三种基本法则。
法则一：链式法则链式法则是求导复合函数最常用的法则。
它可以帮助我们计算f(g(x))的导数。
根据链式法则，导数可以通过链式相乘的方式进行计算。
链式法则的公式为：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)其中f'(y)是f(y)对变量y的导数，g'(x)是g(x)对变量x的导数。
通过链式法则，我们可以将f(g(x))的导数转化为f'(g(x))和g'(x)的乘积。
法则二：导数反函数法则导数反函数法则是求导复合函数的另一种常用法则。
它适用于求导符合函数的反函数的导数。
设y=g(x)是一个可逆函数，且g'(x)≠0，则它的反函数x=g⁻¹(y)的导数可以通过导数的反函数进行计算。
导数反函数法则的公式为：(g⁻¹(y))'=1/(g'(x))其中g'(x)是g(x)对变量x的导数。
通过导数反函数法则，我们可以计算得到反函数的导数。
法则三：隐函数法则隐函数法则适用于求导复合函数中的隐式函数。
隐式函数是一种表示函数关系的方程，它的导数可以通过隐函数法则进行计算。
假设我们有一个隐函数F(x,y)=0，其中y=g(x)是一个表示x与y的关系的函数。
我们可以使用隐函数法则计算y的导数。
隐函数法则的公式为：(dy/dx) = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)其中(∂F/∂x)和(∂F/∂y)分别表示F(x,y)对变量x和y的偏导数。
通过隐函数法则，我们可以计算得到复合函数的导数。
综上所述，链式法则、导数反函数法则和隐函数法则是求导复合函数的三种基本法则。
这些法则能够帮助我们解决复杂的多元函数求导问题，提高计算效率。
多元复合函数的求导法则
多元复合函数的求导法则对于多元函数的复合函数，我们可以通过链式法则来求导。
设$z=f(u,v)$为一个二元函数，其中$u=u(x,y)$和$v=v(x,y)$。
我们希望求得 $z$ 对于 $x$ 和 $y$ 的偏导数 $\frac{\partialz}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。
首先，我们可以使用全微分的概念来表示函数 $z$ 的微分 $dz$，即$dz = \frac{\partial z}{\partial u} du + \frac{\partialz}{\partial v} dv$。
然后，我们可以使用 $x$ 和 $y$ 对于 $u$ 和 $v$ 的偏导数来表示$du$ 和 $dv$，即 $du = \frac{\partial u}{\partial x} dx +\frac{\partial u}{\partial y} dy$ 和 $dv = \frac{\partialv}{\partial x} dx + \frac{\partial v}{\partial y} dy$。
将 $du$ 和 $dv$ 的表达式代入 $dz$ 的式子中，我们可以得到$$dz = \frac{\partial z}{\partial u} \left(\frac{\partialu}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy\right) +\frac{\partial z}{\partial v} \left(\frac{\partial v}{\partial x} dx + \frac{\partial v}{\partial y} dy\right)$$然后，我们可以根据函数 $z = f(u, v)$ 对于 $u$ 和 $v$ 的偏导数来化简上面的表达式。
假设 $\frac{\partial z}{\partial u}$ 和$\frac{\partial z}{\partial v}$ 都存在，我们可以得到$$dz = \left(\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partialu}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partialv}{\partial x}\right) dx + \left(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}\right) dy$$从上面的式子中我们可以看出 $\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}$ 和$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$。
多元复合函数求导法则
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
u
z
v
t
w
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
dt
2.上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况：
如果 u (x, y) 及 v ( x, y) 都在点( x, y) 具有对 x和y 的偏导数，且函数 z f (u,v) 在对应点 (u,v) 具有连续偏导数，
zv x x
dz 试问 dx 与
f x
是否相同？为什么？
z f (u,v, x), u (x), v ( x)
u
dz f du f dv f
zv x
dx u dx v dx x
不相同.
x
等式左端的z是作为一个自变量x的函数，
而等式右端最后一项 f 是作为u, v, x的三元函数，
一、链式法则
一元复合函数
定理
求导法则
如果函数u (t) 及v (t)都在点 t 可导，
函数 z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，
则复合函数z f [(t), (t)] 在对应点 t 可导，
且其导数可用下列公式计算
dz z du z dv z
dt u dt v dt
u vt
证 设 t 有增量 t，则 u (t t) (t), v (t t) (t); 由于函数z f (u,v) 在点
(u,v) 有连续偏导数，故可微，即
z z u z v o( ), ( (u)2 (v)2 )
复合结构如图示
u
x
z z u z v , z
D6.2.3多元复合函数求导的链式法则
z z 例1. 设 z e sin v , u x y , v x y , 求 , . x y z z v 解: x v x
u
eu sin v
z y
eu cos v 1
z
u v yx y
z
u v
x
y x
y
又如, z f ( x, v) , v ( x, y )
当它们都具有可微条件时, 有
z f
z f x x z y
1 f1 f 2 2 f2
x
v
x y
z f 不同, 注意: 这里 与 x x z f 表示固定 y 对 x 求导, 表示固定 v 对 x 求导 x x
t
ve
t
t
cos t
u v t
e (cos t sin t ) cos t
t
t
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
例4. 设
f 具有二阶连续偏导数,
w 2 w w , f1 , f 2 求 , . x x z u v 解: 令 u x y z , v x y z , 则 w f (u, v) x y zx y z w yz f2 x ( x y z, x y z ) y z f2 2w x y x y f12 f 22 x z 2 2 f f f y ( x z ) f x y z f y f 2 11 , 引入记号 12 f1 ,22f12 , 为简便起见 u u v
多元复合函数的求导法则
第四节 多元复合函数的求导法则教学目的：使学生熟练掌握多元复合函数的求导法则；了解函数全微分形式不变性:。
教学重点：复合函数的中间变量均为多元函数的求导法则教学过程：一、 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理 1 如果函数 u=j(t)及 v=y(t)都在点 t 可导, 函数 z=f(u, v)在对应点(uv)具有连续偏导数, 则复合函数 z=f[j(t), y(t)]在点 t 可导, 且有dz z du z dv . dt u dt v dt 简要证明 1: 因为 z=f(u, v)具有连续的偏导数, 所以它是可微的, 即有dz z du z dv . u v又因为 u=j(t)及 v=y(t)都可导, 因而可微, 即有du du dt , dv dv dt ,dtdt代入上式得dz z du dt z dv dt (z du z dv)dt , u dt v dt u dt v dt从而 dz z du z dv . dt u dt v dt简要证明 2: 当 t 取得增量 Dt 时, u、v 及 z 相应地也取得增量 Du、Dv 及 Dz . 由z=f(u, v)、u=j(t)及 v=y(t)的可微性, 有z z u z vo() z [du t o(t)] z [dv t o(t)]o()u vu dtv dt(z du z dv)t (z z)o(t)o() , u dt v dt u vz z du z dv (z z) o(t) o() , t u dt v dt u v t t 令 Dt®0, 上式两边取极限, 即得dz z du z dv . dt u dt v dt注:limt 0o() tlimt 0o() (u)2 (v)2 0t(du)2 (dv)2 0 . dt dt推广: 设 z=f (u, v, w), u=j(t), v=y(t), w=w(t), 则 z=f[j(t), y(t), w(t)]对1/1t 1/1的导数为:dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt上述 dz 称为全导数. dt 二、 复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理 2 如果函数 u (x y) v (x y)都在点(x y)具有对 x 及 y 的偏导数 函数 z f(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数 z=f[j(x, y), y(x, y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有z z u z v , x u x v xz z u z v . y u y v y推广: 设 z=f(u, v, w ), u=j(x, y), v=y(x, y), w=w(x, y), 则z z u z v z w , x u x v x w xz z u z v z w . y u y v y w y讨论(1)设 z f(u v) u(x y) v(y)则z x？z y？提示 z z u x u xz z u z dv y u y v dy(2)设 z=f(u, x, y), 且 u=j(x, y), 则 z ？ z ？ x y提示z f u f , x u x xz yf uu yf y.这里 z 与 f 是不同的 z 是把复合函数 z f[ (x y) x y]中的 y 看作不x xx变而对 x 的偏导数 f 是把 f(u x y)中的 u 及 y 看作不变而 对 x 的偏导数 z 与xyf 也朋类似的区别 y三、复合函数的中间变量既有一元函数 又有多元函数的情形定理 3 如果函数 u (x y)在点(x y)具有对 x 及对 y 的偏导数 函数 v (y)在点y 可导 函数 z f(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数 z f[ (x y)(y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有z z u x u xz yz uu yz vdv dy例 1 设 z=eusin v, u=xy, v=x+y, 求 z 和 z . x y解 z z u z v x u x v x =eusin v y+eucos v 1 =ex y[y sin(x+y)+cos(x+y)], z z u z v y u y v y =eusin v x+eucos v 1 =exy[x sin(x+y)+cos(x+y)].例 2 设 u f (x, y, z) ex2 y2z2 , 而 z x2 sin y . 求 u 和 u . x y解 u f f z x x z x 2xex2 y2 z2 2zex2 y2 z2 2xsin y 2x (1 2x2 sin2 y)ex2 y2 x4 sin2 y . u f f z y y z y 2yex2 y2 z2 2zex2 y2 z2 x2 cos y 2( y x4 sin y cos y)ex2 y2 x4 sin2 y .例 3 设 z=uv+sin t , 而 u et, v=cos t. 求全导数 dz . dt解 dz z du z dv z dt u dt v dt t =v×et+u×(-sin t)+cos t =etcos t-e tsin t+cos t=et(cos t-sin t)+cos t .例 4 设 w=f(x+y+z, xyz), f 具有二阶连续偏导数, 求 w 及 2w . x xz解 令 u=x+y+z, v=xyz , 则 w=f(u, v).引入记号:f1f(u,v) u,f12f (u,v) uv;同理有f2 ,f11 ,f22 等.2w xz z(f1yzf2)f1 zyf2yzf2 z f11 xyf12 yf2 yzf21 xy2zf22 f11 y(x z) f12 yf2 xy2zf22 .注:f1 zf1 uu zf1 vv zf11xyf12,f2 zf2 uu zf2 vv zf21xyf22.例 5 设 u=f(x, y)的所有二阶偏导数连续, 把下列表达式转换成极坐标系中的形式:(1) (u)2 (u)2 ; x y(2)2u x22u y2.解 由直角坐标与极坐标间的关系式得u=f(x, y)=f( cosθ, rsinθ)=F(r, θ)其中 x=rcosθ y=rsinθ x2 y2 arctan y x应用复合函数求导法则, 得u xu xu xu x u y 2u cosu ysin ,u yu yu yu y u x 2u sinu cos .两式平方后相加, 得(u x)2(u y)2(u)21 2(u )2.再求二阶偏导数, 得2u x2 (ux ) x (ux) x (ucosu sin )cos (ucosu sin ) s in 2u cos2 2 2u sin cos 2u sin 2 2 2 2同理可得u 2sin cos 2u sin2 .2u y22u 2sin222u sin cos 2u 2cos 2 2两式相加, 得u 2sin cos 2u cos2 .2u x22u y22u 21 1 22u 21 2[ (u )2u 2].全微分形式不变性: 设 z=f(u, v)具有连续偏导数, 则有全微分dz z du z dv . u v如果 z=f(u, v)具有连续偏导数, 而 u=j(x, y), v=y(x, y)也具有连续偏导数, 则 dz z dx z dy x y (z u z v)dx(z u z v)dy u x v x u y v y z (u dx u dy) z (v dx v dy) u x y v x y z du z dv . u v由此可见, 无论 z 是自变量 u、v 的函数或中间变量 u、v 的函数, 它的全微分形式 是一样的. 这个性质叫做全微分形式不变性.例 6 设 z=e usin v, u=x y, v=x+y, 利用全微分形式不变性求全微分.解 dz z du z dv = e usin vdu+ e ucos v dv u v = e usin v(y dx+x dy )+ e ucos v(dx+dy) =( ye usin v+ e ucos v)dx+(xe usin v+ e ucos v )dy =e xy [y sin(x+y)+cos(x+y)]dx+ e xy [x sin(x+y)+cos(x+y)]dy .（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。