多元复合函数关系图与求导法则
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多元复合函数的求导法则
z = f (u, v), u = ϕ(x, y), v =ψ (y)
z = f (u, v, t), u = ϕ(t),
v =ψ (t)
z = f (u, x, y), u = ϕ(x, y)
解 (1)
z = f (u, v), u = ϕ(x, y), v =ψ (y)
+
∂z ∂z ∂u = ∂x ∂u ∂x ∂z = ∂u ∂z = ∂u ∂z ∂z = ∂y ∂u
2 2 x2 + y2 +x4 sin2 y
x2 + y2 +z2
∂f ∂u ∂f ∂f ∂z ∂f ∂f ∂z = = + ⋅1 + ⋅0 + ∂y ∂y ∂x ∂z ∂y ∂y ∂z ∂y
= 2ye
x2 + y2 +z2
4
x2 + y2 +z2 x2 cos y ⋅ + 2ze
x2 + y2 + x4 sin2 y
y
∂z ∂u ∂z ∂v ∂z + = ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
注
设 u = ϕ( x, y)、 =ψ( x, y)及w = ω( x, y) 都在点 v
(x,y) 具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v,w)在对应点 (u,v,w)有连续偏导数，则复合函数
z = f [ϕ(x, y),ψ (x, y),ω(x, y)]
= eu (sin v + y cos v) = ex+ y[sin( xy) + y cos(xy)]
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
= eu sin v ⋅1 + eu cos v ⋅ x
§8.4 多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式
M
26
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定理2 若函数 F (x, y, z) 满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F (x0 , y0, z0) 0 ③ Fz (x0 , y0, z0) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
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导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x) 两边对 x 求导
两边再对 x 求导
y x0
ex y cos y x (0,0)
sin y ( y)2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
8
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例3 设 z uv sin t , u et , v cos t , 求全导数 dz .
dt
解 dz z du
z
dt u dt
t
z
vet
cos t
e t (cost sin t) cos t
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
x y
解 z
z v
x
v x
eu sin v eu cos v 1
z
z
z v
y
v y
eu sin v eu cos v 1
uv x yx y
7
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例2 u f (x, y, z) ex2 y2 z2 , z x2sin y, 求 u , u x y
多元多重复合函数的求导法则
多元多重复合函数的求导法则多元多重复合函数是多元函数中重要的一类函数，常用来描述多元关系，其中常用求导法则如下： 1. 链式法则：链式法则是求导最基本的法则，其定义为：若函数y=f(x)是关于变量x的函数，而z=F(y)是关于y的函数，则关于x的F(y)的导数由z的导数乘以y的导数的乘积来决定，即：∂z/∂x = (∂z/∂y) *(∂y/∂x) 2. 偏导数法则：偏导数法则认为多元函数是关于各独立变量变化而变化，即每个变量是由与它独立变量组成的函数组合而成。
这时，只要将函数分解为每个独立变量的函数，分别求出偏导数后，组合即可得到多元函数的极限导数。
3. 偏导数链式法则：偏导数链式法则是将链式法则与偏导数法则相结合而推出的求多元复合函数极限的法则，其定义为：若函数u=f(x,y,z)是三元函数，而v=F(u,z)是关于u，z的多元函数，则u的偏导数即得到v的偏导数，即：∂v ∂x = (∂v/∂u)(∂u/∂x) + (∂v/∂z)(∂z/∂x) 4.Derivative of a composite function：This rule states that for a function y = f(x) composed of two functions u = g(x) and v = h(x), then the derivative of y with respect to x is equal to the product of the derivatives of u and v with respect to x. This can be written as y'(x) = u'(x)·v'(x) 以上是多元多重复合函数常用的求到法则，而求多元复合函数极限的步骤可由偏导数链式法则推导而得。
首先，求出函数中每个变量的偏导数，然后分别乘以各自的函数值，最后将结果进行相乘组合计算即可得到多元复合函数的极限值。
高等数学第八章多元微分第四节多元复合函数求导
x yx y
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上述求导规则称为多元复合函数的链式法则. 具有 如下特点:
1. 复合后的函数有几个自变量，对应地就有几个 偏导数;
2. 有几个中间变量，就有几项相加;
3. 相加的每一项都是复合函数对某一中间变量的
偏导数和该中间变量对特定自变量的偏导数的乘积;
4. 中间变量或自变量只有一个时，公式中的求导
记号用 d ，不止一个时用偏导数记号
dx
x
5
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特例1. z f( u ,v ) ,u ( x ,y ) ,v ( y )
z z u z 0 z u x u x v u x
z z u z dv y u y v d y
特例2. z f( x ,v ) ,v ( x ,y )
2001考研
解 由题设 ( 1 ) f(1 ,f(1 ,1 ))f(1,1)1
d 3(x)
dx
x
132(x)ddx
x1
3 f1(x,f(x,x))
f 2 ( x , f ( x , x ) )
32 3(23)51
x 1
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个人观点供参考，欢迎讨论！
续的偏导数, 则复合函数
的导数为
dzzduzdv dt u dt v dt
全导数 证略（利用全增量公式）
z
uv tt
注 求多元复合函数的偏导数，只要对每一个中间
变量施行一元函数的链式法则，再相加即可. 重要的是
搞清楚函数的复合关系.
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推广 设 zf(u,v,w ),而
u ( t ) ,v ( t ) ,w ( t )
上页下页返回结束dtdzdtdzdtdudtdvcoslnsinlncosln上页下页返回结束解利用全导数求导数dxdydxdydxdudxdvcossinlnlnlnlnsin上页下页返回结束引入中间变量cossin上页下页返回结束1211上页下页返回结束xyzxyxyzxy上页下页返回结束二全微分形式的不变性是自变量还是中间变量则复合函数其全微分的表达形式都一样这一性质称为全微分形式的不变性
多元复合函数求导法则和隐函数求导公式
z
= e [ y ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
xy
u x yx
v y
∂ z ∂ z ∂u ∂ z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂ y ∂u ∂ y ∂v ∂ y = e u sin v ⋅ x + e u cos v ⋅1 = e [ x ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
4
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
dz . 例3. 设 z = u v + sin t , u = e , v = cos t , 求全导数 dt d z ∂ z du ∂ z dv ∂ z + = ⋅ + ⋅ 解: z d t ∂u d t ∂v dt ∂t
t
= v e t− u sin t + cos t = e t (cos t − sin t ) + cos t
u
x y z
= 2 x (1 + 2 x sin y ) e
2
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
∂u ∂ f ∂ f ∂ z + ⋅ = ∂ y ∂ y ∂z ∂ y
x
cos y
y
= 2 ye
x2 + y2 + z 2
+2 z e
x2 + y2 + z 2⋅ x 2
= 2 ( y + x sin y cos y ) e
多元复合函数的求导法则
一元复合函数
y = f (u ), u = ϕ ( x)
dy dy d u 求导法则 = ⋅ dx du dx 微分法则 d y = f ′(u ) d u= f ′(u ) ϕ ′ ( x) d x
9-4-多元复合函数求导法则
第四讲 多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数概念
类型
u f (x) x (s,t)
u f ((s,t))
多 元 复 合 函 数
一、多元复合函数概念
类型一
s
➢复合关系图
u
x
t
一、多元复合函数概念
类型
u f (x) x (s,t)
u f ((s,t))
多
x x(t) u f (x, y) y y(t)
一、多元复合函数概念 二、多元复合函数求导法则 三、多元复合函数的高阶偏导数
u f (x, y,(x, y)) F(x, y)
一、多元复合函数概念
类型一
➢复合关系图
类型二
➢复合关系图
类型三
➢复合关系图
类型四
➢复合关系图
类型五
➢复合关系图
s ux
t x uy t
xs u
yt
x
u
y t
t
xx
u
y z
y
二、多元复合函数求导法则
类型
u f (x) x (s,t)
u f ((s,t))
u f (x, y, z) z (x, y)
u f (x, y,(x, y)) F(x, y)
类型三
➢复合关系图 ➢求导法则
xs u
yt
定理 如果函数x=x(s,t)，y=y(s,t)在点(s,t)具有导数，则复合函数u=f(x(s,t),y(s,t))
多
u f (x, y)
x x(t)
y
y(t)
u f (x(t), y(t)) F(t)
元 复 合
u f (x, y)
x x(s,t)
一、多元复合函数概念
类型
u f (x) x (s,t)
u f ((s,t))
多 元 复 合 函 数
一、多元复合函数概念
类型一
s
➢复合关系图
u
x
t
一、多元复合函数概念
类型
u f (x) x (s,t)
u f ((s,t))
多
x x(t) u f (x, y) y y(t)
一、多元复合函数概念 二、多元复合函数求导法则 三、多元复合函数的高阶偏导数
u f (x, y,(x, y)) F(x, y)
一、多元复合函数概念
类型一
➢复合关系图
类型二
➢复合关系图
类型三
➢复合关系图
类型四
➢复合关系图
类型五
➢复合关系图
s ux
t x uy t
xs u
yt
x
u
y t
t
xx
u
y z
y
二、多元复合函数求导法则
类型
u f (x) x (s,t)
u f ((s,t))
u f (x, y, z) z (x, y)
u f (x, y,(x, y)) F(x, y)
类型三
➢复合关系图 ➢求导法则
xs u
yt
定理 如果函数x=x(s,t)，y=y(s,t)在点(s,t)具有导数，则复合函数u=f(x(s,t),y(s,t))
多
u f (x, y)
x x(t)
y
y(t)
u f (x(t), y(t)) F(t)
元 复 合
u f (x, y)
x x(s,t)
7(4)多元复合函数的求导法则
f u
u t
f v
v t
f w w t
kt k1
f
( x,
y, z)
tx
f u
t
y
f v
t
z
f w
tkt k1
f
(
x,
y,
z)
k tk f ( x, y, z) kf (u,v, w)
uxf ux
yv
f
vy
wz
f
wz
kf (xu,yv, wz )
(C ) x f y f z f kf ( x, y, z); x y z
求fxy (0, 0)和f yx (0, 0)
解 当( x, y) (0,0)时, 有
f x ( x,
y)
3x2 y( x2 (x2
y2) x3 y y2 )2
2x
3x2 y x2 y2
2x4 y ( x2 y2 )2
,
fy(x, y)
x3 x2 y2
(
2 x2
x3
y2 y2
)2
.
19
设多元f 复( x合,函y)数的求x导2x法3则yy2 0
当( x, y) (0,0),
当(
x,
y
)
求f (0,0).
xy
(0,0)和f
xy
(0,0).
当( x, y) (0,0)时, 按定义得
f x (0,0)
lim x0
f
(0
x,0) x
f
(0,0)
lim 0 x0 x
0
f
y
4
多元复合函数的求导法则
分量原则
问: 函数对某自变量的偏导数之结构
9(4)多元复合函数的求导法则
2 2
∂u ∂u ∂u sinθ = cosθ − ∂x ∂ r ∂θ r
∂ u ∂ u = ∂u + 1 ∂u 得 + ∂ y ∂r r 2 ∂ θ ∂x
2 2
2 2
多元复合函数的求导法则
∂u ∂u ∂u sin θ cos θ − = ∂x ∂r ∂θ r
x2 + y2 +z2
∂u ∂u 求 , ∂x ∂y
u
+2ze
x2 + y2 +z2
2 2
⋅ 2 xsin y
4 2
= 2 x (1+ 2 x2 sin2 y) ex
∂u ∂ f ∂ f ∂z + ⋅ = ∂y ∂y ∂z ∂y
+ y +x sin y
x y z
x y
= 2ye
x2 + y2 +z2
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w = + + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w = + + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y
u
z
x
v w
y
多元复合函数的求导法则
例2 设z = e u sin v , u = xy , v = x + y , 求 ∂z 和 ∂z . ∂x ∂y ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v 解 = ⋅ + ⋅
r θ
x y
多元复合函数的求导法则
y u = F(r,θ ), r = x + y , θ = arctan x ∂ u ∂ u ∂ r ∂u ∂ θ ∂ u y ∂ u x = + = + ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ ∂ y ∂r r ∂ θ r 2 r x ∂u ∂u cos θ sin θ + u = ∂r ∂θ r y θ
∂u ∂u ∂u sinθ = cosθ − ∂x ∂ r ∂θ r
∂ u ∂ u = ∂u + 1 ∂u 得 + ∂ y ∂r r 2 ∂ θ ∂x
2 2
2 2
多元复合函数的求导法则
∂u ∂u ∂u sin θ cos θ − = ∂x ∂r ∂θ r
x2 + y2 +z2
∂u ∂u 求 , ∂x ∂y
u
+2ze
x2 + y2 +z2
2 2
⋅ 2 xsin y
4 2
= 2 x (1+ 2 x2 sin2 y) ex
∂u ∂ f ∂ f ∂z + ⋅ = ∂y ∂y ∂z ∂y
+ y +x sin y
x y z
x y
= 2ye
x2 + y2 +z2
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w = + + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w = + + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y
u
z
x
v w
y
多元复合函数的求导法则
例2 设z = e u sin v , u = xy , v = x + y , 求 ∂z 和 ∂z . ∂x ∂y ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v 解 = ⋅ + ⋅
r θ
x y
多元复合函数的求导法则
y u = F(r,θ ), r = x + y , θ = arctan x ∂ u ∂ u ∂ r ∂u ∂ θ ∂ u y ∂ u x = + = + ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ ∂ y ∂r r ∂ θ r 2 r x ∂u ∂u cos θ sin θ + u = ∂r ∂θ r y θ
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z
exy [ y sin(x y) cos(x y)]
v
y
z z u z v y u y v y
eu sin v x eu cos v 1
exy [x sin(x y) cos(x y)]
多元复合函数的求导法 则
思考题. 设 u f x , y , 求 u , u , u .
一个自变量的情形
因变量z到自变量x的路径有：
z z
u.
x
z du u dx
v. x z dv v dx
du
相加得 dz dx
z u dx
u
z
dv
z
dx
v
v
x x
注 (1) “连线相乘，分线相加” (2) 外层函数可微，内层函数可导.
多元复合函数的求导法则
多个自变量的情形（两个为例）
定理2 设函数 u u x, y ，v v x, y 在点 x, y D 处可微
• 一个自变量的情 形
• 多个自变量的情 形
多元复合函数的求导法则
一个自变量的情形
定理1.若函数u x ,v x 在点 x 可导，z f u,v
在点 u,v 处可微，则复合函数z f x,x在点x可导
且有
dz z du z dv dx u dx v dx
( 全导数公式 )
多元复合函数的求导法 则
z z u z v z w x u x v x w x z z u z v z w y u y v y w y
ux zvy
w
多元复合函数的求导法 则
例1.设 z uv sin t , u et , v cost , 求全导数 dz .
dt
解: dz z du z dv z
y z x y z
dt u dt v dt t
u
v et u sin t cost
zv
t
t
e t (cost sin t) cost
多元复合函数的求导法
则
例2.
设
z
eu
sin v , u
xy , v
x
y,
求
z
,
z
.
x y
解:
z z u z v x u x v x
u
x
eu sin v y eu cosv 1
第九章 多元函数微分学
多元复合函数关系图 与求导法则
多元复合函数关系图与求导法 则
一元复合函数的求导法则
设 y f u ，u x， y f x
则 dy dy du =f ux
dx du dx
dy
du
因变量 y du
dx u
x 自变量
中间变量
一元复合函数的求导的链式法则
多元复合函数的求导法则
函数 z f u,v 在对应的点 u,v=x,y ,x,y 处可微
则复合函数 z f ux, y ,v x, y 在点 x, y 处可微,且有
z z u z v ， x u x v x z z u z v . y u y v y
“连线相乘，分线相加”
多元复合函数的求导法 则
1) z f u,v,w,u x,v x ,w x
求全导数
dz z du z dv z dw dx u dx v dx w dx
=f1 f2 f3
u
zv
x
w
多元复合函数的求导法 则
2) z f u,v, w u (x, y) 、v (x, y) 、w (x, y)
求z关于x,y的偏导数.
多个自变量的情形（两个为例）
因变量z到自变量x的路径有：
z
u
x z u
u x 相加得 z
z
v
x z v
x
v x
u
z
u u
x
x
z
z v
v
y
v x
z z u z v ， x u x v x z z u z v . y u y v y
“连线相乘，分线相加”
多元复合函数的求导法 则
推广: 设下面所涉及的函数都可微.