多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式
§8.4 多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式
M
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定理2 若函数 F (x, y, z) 满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F (x0 , y0, z0) 0 ③ Fz (x0 , y0, z0) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
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导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x) 两边对 x 求导
两边再对 x 求导
y x0
ex y cos y x (0,0)
sin y ( y)2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
8
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例3 设 z uv sin t , u et , v cos t , 求全导数 dz .
dt
解 dz z du
z
dt u dt
t
z
vet
cos t
e t (cost sin t) cos t
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
x y
解 z
z v
x
v x
eu sin v eu cos v 1
z
z
z v
y
v y
eu sin v eu cos v 1
uv x yx y
7
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例2 u f (x, y, z) ex2 y2 z2 , z x2sin y, 求 u , u x y
讲义-9.3-多元复合函数与隐函数求导
9.3 .
多元复合函数与隐函数的偏导数 1. 一个方程所确定的隐函数可能是
13
F (x, y, z ) = 0 2. 方程组所确定的隐函数可能是
F (x, y, z ) = 0
G(x, y, z ) = 0
以下分别针对不同的隐函数方程形式讨论其中的求导问题： 隐函数存在定理 I：若函数 F (x, y ) 满足： (1) F (x0 , y0 ) = 0
′ 2. 设 f (x, y ) 一阶偏导连续，f (1, 1) = 1, f ′ x (1, 1) = 2，f y (1, 1) = 3，又 ϕ(x) = 3 dϕ (x) f (x, f (x, x))，求 。 dx x=1
NUDT-2017-S3
F (x, y, z ) = 0 G(x, y, z ) = 0 , ,
′ 例：设由 ln(xz ) + arctan(yz ) = 0 可确定隐函数 z = z (x, y )，求 zx 。
f (x, f (x, f (x, x)))，求 ϕ(1) 与 ϕ′ (1)。 例：设 u = u(x) 由 u = f (x, y ), g (x, y, z ) = 0, h(x, z ) = 0
.
注：以上的求法法则可以形象地解释为： “嵌套”→ 乘积， “并列”→ 相加 ∂z ∂z 例：对下列函数分别求 和 ∂x ∂y (1) z = eu cos v, u = 2x − y, v = xy (2) z = f (3x + 2y, x2 + y 2 )
∂z ∂z 和 ∂x ∂y ∂z ∂z 例：设 z = f (x/y )，其中 f 可微，证明：x +y =0 ∂x ∂y 例：设 z = xy + xf (x/y )，其中 f 可微，证明： 例：设 z = f (x, x + y, x/y )，其中 f 可微，求 x ∂z ∂z +y = xy + z ∂x ∂y dz dt
多元复合函数的求导法则
多元复合函数的求导法则为了简化讲解，假设我们有一个复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个一元函数，f(y)是一个多元函数。
我们希望计算该函数的导数。
下面是多元复合函数求导的三种基本法则。
法则一：链式法则链式法则是求导复合函数最常用的法则。
它可以帮助我们计算f(g(x))的导数。
根据链式法则，导数可以通过链式相乘的方式进行计算。
链式法则的公式为：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)其中f'(y)是f(y)对变量y的导数，g'(x)是g(x)对变量x的导数。
通过链式法则，我们可以将f(g(x))的导数转化为f'(g(x))和g'(x)的乘积。
法则二：导数反函数法则导数反函数法则是求导复合函数的另一种常用法则。
它适用于求导符合函数的反函数的导数。
设y=g(x)是一个可逆函数，且g'(x)≠0，则它的反函数x=g⁻¹(y)的导数可以通过导数的反函数进行计算。
导数反函数法则的公式为：(g⁻¹(y))'=1/(g'(x))其中g'(x)是g(x)对变量x的导数。
通过导数反函数法则，我们可以计算得到反函数的导数。
法则三：隐函数法则隐函数法则适用于求导复合函数中的隐式函数。
隐式函数是一种表示函数关系的方程，它的导数可以通过隐函数法则进行计算。
假设我们有一个隐函数F(x,y)=0，其中y=g(x)是一个表示x与y的关系的函数。
我们可以使用隐函数法则计算y的导数。
隐函数法则的公式为：(dy/dx) = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)其中(∂F/∂x)和(∂F/∂y)分别表示F(x,y)对变量x和y的偏导数。
通过隐函数法则，我们可以计算得到复合函数的导数。
综上所述，链式法则、导数反函数法则和隐函数法则是求导复合函数的三种基本法则。
这些法则能够帮助我们解决复杂的多元函数求导问题，提高计算效率。
多元复合函数求导和隐函数求导
多元复合函数求导和隐函数求导这节内容比较难，听课要认真。
要搞清我们学什么，要弄清复合函数、隐函数、显函数等基本概念。
一.显函数及复合函数1.显函数：)(x f y =（显现出来y ） ),(y x f z =（显现出z ）2，二元显函数求偏导：将一个固定，对另一变量求导。
3，复合函数：（复合函数是显函数） 一元：))(()()(x f y x u u f y ϕϕ=→== 作图：x u y -- ))(),(()()(),(x x f y x v x u v u f y φϕφϕ=→=== 作图： 二元： )],(),,([y x v y x u f z = （如),(),(y x v y x u z =） 作图：三元：如),,()(z y x u u f w ϕ== 作图：4，链式：x u y 环环 → 一条链两条链二、复合函数的求导： 链式法则： 一元：))(()()(x f y x u u f y ϕϕ=→==dxdudu dy dx dy =))(),(()()(),(x x f y x v x u v u f y φϕφϕ=→===“一条链”＋“另一条链”dx dv dv dy dx du du dy dx dy ＋=同理写出下列链式公式：x v v z x u u z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂＋yv v z y u u z y z ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂＋ u —— xyv —— xu —— x zv —— yx w ——u —— y zu —— x yv —— x u —— x yv —— xu —— x zv —— yxuu w x w ∂∂∂∂=∂∂ yuu w yw ∂∂∂∂=∂∂zuu w z w ∂∂∂∂=∂∂ 例1 yz x z y x v y x u v u z ∂∂∂∂-===,,23,.ln 2求 解：方法一： 把v u ,代入直接求； 方法二：用链式法则31ln 22⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂vu y v u x v v z x u u z x z ＝＋)2()(ln 222-⋅+-⋅=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂v u yx v u y v v z y u u z y z ＋ 例2 对抽象函数),,(xyz xy x f u =，求zuy u x u ∂∂∂∂∂∂,, 解：令xyz xy x ===3,2,1')('')(''321x x xyz f xy f f xu⋅+⋅+∂∂＝ ')('')('32y y xyz f xy f yu⋅+⋅∂∂＝ ')('3z xyz f zu⋅∂∂＝ x w ——u —— y zu —— xzv —— y1——xu —— 2——y3——z隐函数的求导上节我们学了复合函数的求导法则：链式法则。
多元复合函数与隐函数的求导
2ulnv
x y2
u2 v
2
2x2 y3
ln 3x
2y
y2
2x2
3x
2y
当然，例1.1也可以用直接求导法，但是用链式法则求 导具有思路清晰、计算简便、不易出错等优点。但是对于下 例，就只能用链式法则来求导了。
例1.2 设 z f x 2y ，ysinx， f 具有一阶连续的偏导数，求
图8-5
注意
在复合函数求导的过程中，如果其中出现某一个中间变量 是一元函数，则涉及它的偏导数记号应改为一元函数的导数记 号。
例1.3 设 z 2yຫໍສະໝຸດ x yx，y 求 。zy
解
设 u x y ，v x y，则 z 2yuv ，其函数结构图为
所以 z z dy z u z v 。 y y dy u y v y
例如 z eu sinv ，而 u 2xy，v x2 y ，如何求 z ? x
1.1 复合函数的求导法则
1. 二元复合函数求导法则
分析
方法一（直接求导法）
z e2xy sin x2 y ，利用求导的乘法公式可得： z 2 ye2xysin x2 y 2xe2xycos x2 y
高等数学
多元复合函数与隐函数的求导
【本节导引】
在一元 函 数 微 分 学 中，我 们 学 习 过 一 元 复 合 函 数
的 求 导 法 则，对 一 元 复 合 函 数 y f g x，如果函数 y f u 对u可导、u g x对x可导，则 dy dy du f ' u g' x
dx du dx ，即函数 y 对自变量 x 的导数等于函数y 对中间变量 u 的导数与中 间变量 u 对自变量 x 的导数的乘积。此一元复合函数的求导思想 能不能应用到多元复合函数的求导上? 若能，如何推广?
多元复合函数与隐函数求导
一、多元复合函数的求导法则
二、隐函数的微分法
一、多元复合函数的求导法则
以二元函数为例，讨论复合函数的求导方法。
设函数 z = f (u,v )，而u，v又都是x，y的函数
u = ( x, y ),v = ( x, y ), 于是
z = f [( x, y ), ( x, y )]
两边对x求导得
∂F ∂x
+
∂F ∂y
dy dx
= 0,即Fx′+ Fy′ddyx
=0
再由已知条件有
dy dx
=
-
Fx′ Fy′
例9 求由方程 e y - xy = 0所确定的隐函数y=f(x)
的导数。
解： 设 F( x, y ) = ey - xy, 则 Fx′= - y, Fy′= ey - x,
= 2 xfu′+ ye xy fv′+ f w′cos( x + y )
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w ∂y = ∂u ∂y + ∂v ∂y + ∂w ∂y
= fu′• ( - 2 y ) + fv′• x • exy + fw′• cos( x + y )
= - 2 yfu′+ xe xy fv′+ f w′cos( x + y )
（2）z = f ( u,v ),其中u = ( x ),v = ( x, y ),则
∂z ∂z du ∂z ∂v ∂x = ∂u • dx + ∂v • ∂x ∂z ∂z ∂v ∂y = ∂v • ∂y
例4
设函数
z
=
ln(tan
多元复合函数求导法则和隐函数求导公式
z
= e [ y ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
xy
u x yx
v y
∂ z ∂ z ∂u ∂ z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂ y ∂u ∂ y ∂v ∂ y = e u sin v ⋅ x + e u cos v ⋅1 = e [ x ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
4
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
dz . 例3. 设 z = u v + sin t , u = e , v = cos t , 求全导数 dt d z ∂ z du ∂ z dv ∂ z + = ⋅ + ⋅ 解: z d t ∂u d t ∂v dt ∂t
t
= v e t− u sin t + cos t = e t (cos t − sin t ) + cos t
u
x y z
= 2 x (1 + 2 x sin y ) e
2
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
∂u ∂ f ∂ f ∂ z + ⋅ = ∂ y ∂ y ∂z ∂ y
x
cos y
y
= 2 ye
x2 + y2 + z 2
+2 z e
x2 + y2 + z 2⋅ x 2
= 2 ( y + x sin y cos y ) e
多元复合函数的求导法则
一元复合函数
y = f (u ), u = ϕ ( x)
dy dy d u 求导法则 = ⋅ dx du dx 微分法则 d y = f ′(u ) d u= f ′(u ) ϕ ′ ( x) d x
3多元复合函数与隐函数的求导法则
求 m , m , m
x y z
z z u z v x u x v x
解
m x
m u m v m v u x v x v x
f1 1
f2
y
f3
yz
m m u m v m v
f1 2x
f2 ye xy
z y
f1 2 y
f2 xe xy
例7
设w
f(
x,y yz
)，而 u
x ,v y
y z
，求
w x
, w y
, w z
.
z z u z v x u x v x
解
w w u w v x u x v x
于是
2w xz
f11
xyf12
yf2
yz(
f21
xyf22 )
f11 y( x z) f12 xy2zf22 yf2.
例11 设z y F ( x2 y2 ), 验证 y z x z x.
x y
证
z 0 F ( x2 y2 ) ,
由链式法则,
z z u z v , x u x v x
z z u z v , y u y v y
代入,
dz
z x
dx
z y
dy中, 得
dz
z u
u x
z v
v x
dx
z y
z u
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8.3 多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式一．多元复合函数的求导法则类似于一元复合函数的定义,我们现在给出二元复合函数的定义。
定义 设函数),(v u f z =，而u 、v 均为x 、y 的函数，即),(y x u u =，),(y x v v =，则函数)],(),,([y x v y x u f z =叫做x 、y 的复合函数。
其中u 、v 叫做中间变量，x 、y 叫做自变量。
现在再将一元函数微分学中的复合函数的求导法则，推广到多元复合函数。
多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用。
定理 如果函数),(y x u u =，),(y x v v =在点（x,y ）处都具有对x 及对y 的偏导数，函数),(v u f z =在对应点（u,v ）处具有连续偏导数，则复合函数)],(),,([y x v y x u f z =在点（x,y ）处存在两个偏导数，且具有下列公式xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 定理中的公式叫做复合函数的偏导数的锁链法则，它可以推广到各种复合关系的复合函数中去。
作为初学者，我们常用图示法表示各变量之间的关系（如图所示）。
u xzv y图中的每一条线表示一个偏导数，如“z —u ”表示u z ∂∂。
现在我们利用图来求xz ∂∂，首先看z 通过中间变量到达x 有两条路径：x u z →→和x v z →→，那么结果就一定是两项之和，又在第一项中有u z →和x u →两个环节，那么这一项一定是两式相乘，即xu u z ∂∂∂∂。
同理第二项为xv v z ∂∂∂∂。
于是 xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 一般地，无论复合函数的复合关系如何，因变量到达自变量有几条路径，就有几项相加，而一条路径中有几个环节，这项就有几个偏导数相乘。
例1 设v u z ln 2=，而x y u =，y x v 32+=，求 x z ∂∂，yz ∂∂。
解 函数各变量之间的关系如上图所示，由锁链法则 2)(ln 222⋅+-⋅=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂v u xy v u x v v z x u u z x z )32(2)32ln(22232y x x y y x x y +++-= 31ln 22⋅+⋅=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂vu x v u y v v z y u u z y z )32(3)32ln(2222y x x y y x x y +++= 例2 求 )sin(222y x e z xy +=的一阶偏导数。
解 可以引入中间变量，按复合函数的求导法则计算。
设 xy u 2=，22y x v +=，则 v e z usin =。
函数各变量之间的关系如上图所示，由锁链法则x v e y v e xv v z x u u z x z u u 2cos 2sin ⋅+⋅=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ )]cos()sin([222222y x x y x y e xy +++=yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂y v e x v e u u 2cos 2sin ⋅+⋅= )]cos()sin([222222y x y y x x e xy +++=例3 设),(u x f z =的偏导数连续，且423y x u +=，求x z ∂∂，yz ∂∂。
解 函数各变量之间的关系如图所示，由锁链法则 x zu y x u x f u x f xu u f x f x z u x 6),(),(⋅'+'=∂∂∂∂+∂∂=∂∂),(6),(u x f x u x f u x '+'= ),(43u x f y yu u f y z u '=∂∂∂∂=∂∂ 练习 P 32 1（1）例4 设函数),(xy y x f z +=可导，求 x z ∂∂，yz ∂∂。
解 可以引入中间变量，按复合函数的求导法则计算。
设 y x u +=，xy v =，则 ),(v u f z =。
函数各变量之间的关系如例1图所示，由锁链法则x v v f x u u f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂==⋅∂∂+⋅∂∂y v f u f 1vf y u f ∂∂+∂∂ y z ∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=y v v f y u u f =⋅∂∂+⋅∂∂x v f uf 1v f x u f ∂∂+∂∂ 例5 设 y x z =，而t x sin =，t y cos =，求 dtdz 。
解 函数各变量之间的关系如下图所示，由锁链法则xz ty)sin (ln cos 1t x x t yx dtdy y z dt dx x z dt dz y y -+=∂∂+∂∂=-t x x t yx y y sin ln cos 1-=- x t t t t t ln )(sin cos )(sin 1cos 21cos +--⋅=例6 设),,(z y x f u =，),(y x z φ=，求x u ∂∂，y u ∂∂。
解 在这个函数中，x ，y 既是中间变量又是自变量，各变量之间的关系下如图所示，由锁链法则x z z f x f x u ∂∂∂∂+∂∂=∂∂， yz z f y f y u ∂∂∂∂+∂∂=∂∂ xu zy通过上面的例题我们可以看到，在利用复合函数的求导法则对复合函数求导数时，搞清楚函数各变量之间的关系是关键。
只有搞清楚了函数各变量之间的关系，才能够正确应用复合函数的求导法则求复合函数的导数。
练习 P 32 1（6）二． 隐函数求导公式与一元函数的隐函数类似，多元函数的隐函数也是由方程式来确定的一个函数。
比如，由三元方程0),,(=z y x F 所确定的函数),(y x f z =叫做二元隐函数。
但不是所有的方程式都能确定一个函数，也不能保证这个函数是连续的和可以求导的。
例如 01222=+++z y x ，由于x ，y ，z 无论取什么实数都不满足这个方程，从而这个方程不能确定任何实函数),(y x f z =。
原来我们讲一元函数的隐函数求导，是在方程能确定一个一元函数)(x f y =，且这个函数可导的前提下进行的。
因此，现在我们需要解决在什么条件下，可以由一个三元方程式确定一个二元函数，且这个函数是连续的、可导的，以及具体的求导方法。
定理 设函数),,(z y x F 在点),,(000z y x P 的某一邻域内有连续的偏导数，且0),,(000=z y x F ，0),,(000≠'z y x F z则方程0),,(=z y x F 在),(00y x 的某邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(y x f z =，它满足方程0),,(=z y x F 及条件),(000y x f z =，其偏导数可由0=∂∂∂∂+∂∂x z z F x F 和 0=∂∂∂∂+∂∂yz z F y F 即zF x Fxz ∂∂∂∂-=∂∂ 和 z F y F y z ∂∂∂∂-=∂∂ 来确定。
这个公式可以推广到一元隐函数和三元隐函数的求导中去。
由0),(=y x F 所确定的一元隐函数)(x f y =的导数是y x F F dx dy ''-= )0(≠'y F 由0),,,(=u z y x F 所确定的三元隐函数),,(z y x f u =的偏导数是u x F F x u ''-=∂∂ u y F F y u ''-=∂∂ u z F F z u ''-=∂∂ )0(≠'u F 例7 求由方程 2222a z y x =++所确定的隐函数(,)z f x y =的偏导数x z ∂∂和yz ∂∂。
解 设=),,(z y x F 2222a z y x -++，则有 x F x 2='，y F y 2='，z F z 2='所以当0≠'z F 时，由定理得z x z x F F x z z x -=-=''-=∂∂22，zy z y F F y z z y -=-=''-=∂∂22 例8 求由方程0sin 2=-+xy e y x 所确定的隐函数的导数dxdy 。
解法1 设2sin ),(xy e y y x F x -+=，则有 2y e F x x -='，xy y F y 2cos -='y x F F dx dy ''-=xy y y e x 2cos 2---=xyy e y x2cos 2--= 解法2 用原来求一元隐函数的导数的方法求因为 ()2cos 20x y y e y xy y ''⋅+-+⋅= 所以 2cos 2xy e y y xy-'=- 很明显，用第一种解法比第二种解法要简单，它不用考虑x 、y 是自变量还是因变量。
例9 求由方程 543215432x y z u +++=所确定的隐函数(),,u f x y z =的导数x u ∂∂，y u ∂∂和zu ∂∂。
解 设=),,,(u z y x F 123452345-+++u z y x ，则有 4x F x ='，3y F y ='，2z F z ='，u F u ='u x F F x u u x 4-=''-=∂∂，u y F F y u u y 3-=''-=∂∂，uz F F z u u z 2-=''-=∂∂ 练习 P 32 3（1）例10 求由方程 0322=-++x xz e e y x z 所确定的隐函数),(y x f z =在点（0，1）处的偏导数（0z >）。
解 设=),,(z y x F x xz e e y x z 322-++，则有xy F x 2='x xz e ze 3-+，2x F y ='，xz z xe z F +='2xz x xz z x xe z e ze xy F F x z +-+-=''-=∂∂232， xz z y xez x F F y z +-=''-=∂∂22又当x=0、y=1时，z =01x y z x ==∂=∂， 010=∂∂==y x y z练习 P 32 3（3）小结 1 多元复合函数的求导法则——锁链法则：xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 2 隐函数求导公式：zF x Fxz ∂∂∂∂-=∂∂ 和 z F y F y z ∂∂∂∂-=∂∂。