多元复合函数求导法则的教学探究
多元复合函数求导法则的解题思路及方法
实例二：乘积法则的应用
总结词
乘积法则是求多元复合函数导数的常用方法之一，适 用于多个因子的乘积形式。
详细描述
乘积法则指出，若$z = uv$，则$frac{dz}{dx} = u cdot frac{du}{dx} + v cdot frac{dv}{dx}$。在解题过程中， 将复合函数表示为乘积形式，然后分别对各个因子求导， 最后将求得的导数相乘。
理解题目要求
在解题前，需要仔细阅读题目， 理解题目的要求和条件，明确解 题的目标。
分析函数结构
在解题过程中，需要仔细分析复 合函数的构成，明确内层函数和 外层函数，以便正确应用求导法 则。
逐步求导
在求导过程中，需要按照求导法 则逐步对复合函数进行求导，注 意每一步的运算和符号。
对实际解题方法的思考
详细描述
根据多元函数的对称性质，如轮换对称、反对称等，可以 简化求导过程，避免重复计算。
参数法
总结词
将多元复合函数中的参数视为自变量，对参数求导后再 与原函数求导数。
详细描述
首先将多元复合函数中的参数视为自变量，然后对参数 进行求导，得到参数的导数，最后将参数的导数与原函 数进行链式求导，得到多元复合函数的导数。
06 总结与思考
求导法则的总结
链式法则
对于复合函数，求导时需要将外层函数的导 数乘以内层函数的导数。
商的导数法则
对于两个函数的商，其导数为商的分子与分 母的导数的商。
乘积法则
对于两个函数的乘积，其导数为两个函数的 导数的乘积。
幂函数导数法则
对于幂函数，其导数为幂函数与指数的乘积。
对解题思路的反思
。
04 实际解题方法
Байду номын сангаас
多元复合函数的求导法则
第四节 多元复合函数的求导法则教学目的：使学生熟练掌握多元复合函数的求导法则；了解函数全微分形式不变性:。
教学重点：复合函数的中间变量均为多元函数的求导法则教学过程：一、 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1 如果函数u =ϕ(t )及v =ψ(t )都在点t 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(t ), ψ(t )]在点t 可导, 且有dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=. 简要证明1: 因为z =f (u , v )具有连续的偏导数, 所以它是可微的, 即有 dv vz du u z dz ∂∂+∂∂=. 又因为u =ϕ(t )及v =ψ(t )都可导, 因而可微, 即有d t d t d u d u =, dt dtdv dv =, 代入上式得dt dt dv v z dt dt du u z dz ⋅∂∂+⋅∂∂=dt dtdv v z dt du u z )(⋅∂∂+⋅∂∂=, 从而 dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=. 简要证明2: 当t 取得增量∆t 时, u 、v 及z 相应地也取得增量∆u 、∆v 及∆z . 由z =f (u , v )、u =ϕ(t )及v =ψ(t )的可微性, 有)(ρo v v z u u z z +∆∂∂+∆∂∂=∆)()]([)]([ρo t o t dtdv v z t o t dt du u z +∆+∆∂∂+∆+∆∂∂= )()()()(ρo t o vz u z t dt dv v z dt du u z +∆∂∂+∂∂+∆⋅∂∂+⋅∂∂=, to t t o v z u z d t d v v z d t d u u z t z ∆+∆∆∂∂+∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=∆∆)()()(ρ, 令∆t →0, 上式两边取极限, 即得dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=. 注:0)()(0)()()(lim )(lim 222200=+⋅=∆∆+∆⋅=∆→∆→∆dt dv dt du t v u o t o t t ρρρ. 推广: 设z =f (u , v , w ), u =ϕ(t), v =ψ(t ), w =ω(t ), 则z =f [ϕ(t), ψ(t ), ω(t )]对t 的导数为:dtdw w z dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂+∂∂=. 上述dtdz 称为全导数.二、 复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2 如果函数u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y )都在点(x , y )具有对x 及y 的偏导数, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(x , y ), ψ(x , y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. 推广: 设z =f (u , v , w ), u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y ), w =ω(x , y ), 则x w w z x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, yw w z y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. 讨论:(1)设z =f (u , v ), u =ϕ(x , y ), v =ψ(y ), 则=∂∂xz ？=∂∂y z ？ 提示: x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂, dydv v z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. (2)设z =f (u , x , y ), 且u =ϕ(x , y ), 则=∂∂xz ？=∂∂y z ？ 提示: x f x u u f x z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂, yf y u u f y z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂. 这里x z ∂∂与x f ∂∂是不同的, xz ∂∂是把复合函数z =f [ϕ(x , y ), x , y ]中的y 看作不变而对x 的偏导数, xf ∂∂是把f (u , x , y )中的u 及y 看作不变而 对x 的偏导数. y z ∂∂与y f ∂∂也朋类似的区别.三、复合函数的中间变量既有一元函数, 又有多元函数的情形定理3 如果函数u =ϕ(x , y )在点(x , y )具有对x 及对y 的偏导数, 函数v =ψ(y )在点y 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(x , y ), ψ(y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂, dydv v z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.例1 设z =e u sin v , u =xy , v =x +y , 求x z ∂∂和yz ∂∂. 解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ =e u sin v ⋅y +e u cos v ⋅1=e x y [y sin(x +y )+cos(x +y )],yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ =e u sin v ⋅x +e u cos v ⋅1=e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )].例2 设222),,(z y x e z y x f u ++==, 而y x z sin 2=. 求xu ∂∂和y u ∂∂. 解 xz z f x f x u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂ y x ze xe z y x z y x sin 222222222⋅+=++++y x y x e y x x 2422s i n 22)s i n 21(2++++=.yz z f y f y u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂ y x ze ye z y x z y x cos 222222222⋅+=++++y x y x e y y x y 2422s i n 4)c o s s i n (2+++=.例3 设z =uv +sin t , 而u =e t , v =cos t . 求全导数dtdz . 解 tz dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂= =v ⋅e t +u ⋅(-sin t )+cos t=e t cos t -e t sin t +cos t=e t (cos t -sin t )+cos t .例4 设w =f (x +y +z , xyz ), f 具有二阶连续偏导数, 求xw ∂∂及z x w ∂∂∂2. 解 令u =x +y +z , v =xyz , 则w =f (u , v ).引入记号: u v u f f ∂∂='),(1, vu v u f f ∂∂∂='),(12; 同理有2f ',11f '',22f ''等. zf yz f y z f f yz f z z x w ∂'∂+'+∂'∂='+'∂∂=∂∂∂221212)( 2222121211f z xy f yz f y f xy f ''+''+'+''+''= 22221211)(f z xy f y f z x y f ''+'+''++''=. 注: 1211111f xy f z v v f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂, 2221222f xy f zv v f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂. 例5 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 把下列表达式转换成极坐标系中的形式:(1)22)()(y u x u ∂∂+∂∂; (2)2222y u x u ∂∂+∂∂. 解 由直角坐标与极坐标间的关系式得u =f (x , y )=f (ρcos θ, ρsin θ)=F (ρ, θ),其中x =ρcos θ, y =ρsin θ, 22y x +=ρ, xy arctan =θ. 应用复合函数求导法则, 得x u x u x u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρy u x u ∂∂-∂∂=ρθθθρs i n c o s y u u ∂∂-∂∂=, y u y u y u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρx u y u ∂∂+∂∂=ρθθθρc o s s i n ∂∂+∂∂=u u . 两式平方后相加, 得22222)(1)()()(θρρ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂u u y u x u . 再求二阶偏导数, 得xx u x x u x u∂∂⋅∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂=∂∂θθρρ)()(22 θρθθθρρc o s )s i n c o s (⋅∂∂-∂∂∂∂=u u ρθρθθθρθs i n )s i nc o s (⋅∂∂-∂∂∂∂-u u 22222222s i n c o s s i n 2c o s ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂-∂∂=u u u ρθρρθθθ22s i n c o s s i n 2∂∂+∂∂+u u . 同理可得2222222222c o s c o s s i n 2s i n ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂u u u y u ρθρρθθθ22c o s c o s s i n 2∂∂+∂∂-u u . 两式相加, 得22222222211θρρρρ∂∂++∂∂=∂∂+∂∂u u y u x u])([1222θρρρρρ∂∂+∂∂∂∂=uu .全微分形式不变性: 设z =f (u , v )具有连续偏导数, 则有全微分dv vz du u z dz ∂∂+∂∂=. 如果z =f (u , v )具有连续偏导数, 而u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y )也具有连续偏导数, 则dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂= d y yv v z y u u z d x x v v z x u u z )()(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂= )()(dy yv dx x v v z dy y u dx x u u z ∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂= dv vz du u z ∂∂+∂∂=. 由此可见, 无论z 是自变量u 、v 的函数或中间变量u 、v 的函数, 它的全微分形式是一样的. 这个性质叫做全微分形式不变性.例6 设z =e u sin v , u =x y , v =x +y , 利用全微分形式不变性求全微分.解 dv vz du u z dz ∂∂+∂∂== e u sin vdu + e u cos v dv = e u sin v (y dx +x dy )+ e u cos v (dx +dy )=( ye u sin v + e u cos v )dx +(xe u sin v + e u cos v )dy=e xy [y sin(x +y )+cos(x +y )]dx + e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )]dy .。
形象理解多元复合函数求导法则
形象理解多元复合函数求导法则计算机科学领域若要实现某些多元函数的求导，就必须熟练运用求导的规律。
求导法则本身就是一个难点，而多元复合函数求导法则更是一道难题。
为了更好的理解这些法则，我们需要用形象的方式来理解它们。
首先，让我们以一维函数为例来说明求导的过程。
这里假定函数为f(x)=x^2+3x+4, 也就是X的平方加3X再加4。
求导就是求出关于X的导数，也就是求出这个函数的斜率。
很显然，这个斜率的表达式是2X+3。
那么，在此基础上，多元复合函数求导法则就是把一维函数的求导过程投影到多元函数的求导法则上来。
把求导过程投影到多元函数上，我们将需要用到一个新的概念：偏导数。
偏导数就是一个函数中某个变量的导数。
比如对于一个二元函数f(x,y)=x^2+3xy+y^2，求x的偏导数就是求函数f(x,y)关于x 的导数。
从一维函数到多元函数，求导的过程就是把所有变量从一维投影到多维，并求出各个偏导数。
假设现在我们有一个三元函数f(x,y,z)=x^2+5xy+z^3，如何计算该函数的x的偏导数？我们可以把它的求导看作是一个活动流程：首先，把函数f(x,y,z)拆分成f(x)=x^2 +5xy和z^3两部分；然后，你只需要考虑第一部分的求导，也就是求f(x)的偏导数，即2x+5y；最后，将求出的f(x)和z^3两部分的偏导结果相加，就得到了f(x,y,z)关于x的偏导数2x+5y。
通过以上方法，就可以把多元复合函数求导问题转换为求一个一元函数的偏导数，从而降低复杂度。
掌握了多元复合函数求导法则，就可以快捷地求出多元函数的偏导数，从而便于分析函数的特征。
当然，每次求导都需要具体根据不同的函数来进行具体的求导操作，但是通过对求导的过程进行可视化的形象性认识，可以有效地帮助我们掌握多元复合函数求导法则，从而更好地理解多元函数的求导过程。
总而言之，多元复合函数求导法则是一个复杂的概念，但是通过形象的方式来理解它，我们就可以更好地把握它的求导过程，从而更好地分析和理解真实世界中的多元函数，从而更好地实现计算机科学领域的研究目标。
浅析多元复合函数求导法则
鱼 ：笪 ． ＋
．
ａ＇， ａ ｄ’， ａｙ
对于此种情形 ，一种最常见 的情 况是 ：复合 函数 的中间 变量 和 Ｙ本身又是 复合 函数 的 自变量．
例 ３ 设 “＝ ，Ｙ， ）＝ｅ ” ，ｚ＝ ｓｉ ．求 和 ．
解 （１）正确 画出复合 函数 关 系图．“是 和 ，Ｙ和 ｚ的 函数 ，所 以从 ｕ出发分 出三条线 ， 是 和 Ｙ的函数 ，所 以分 出两 条线．画 出如下 图所示 的复合 函数关 系图 ：
例 ４ （综合 应 用 ）若 ＝ ， ，Ｙ）和 “＝ （ ，ｙ）都 有 连
续 偏 导 数 ，求 ， ．
解 复合 函数 ＝，（“（ ，，，）， ，Ｙ）可 以看作是 ＝／（“， ，Ｗ）中 ＝ ，Ｗ＝Ｙ的特殊情形 ，这 时 ｚ＝，（“， ，Ｙ）的 ，Ｙ既 是 自变量 ，又是 中间变量 ，要特别注意 区分．
解 （１）正确画 出复 合函数关 系图． 是 “和 的函数 ， 所 以从 出发分 出两 条线 ， 和 分别是 和 Ｙ的函数 ，所 以 各分 出两条线．画出如下图所示 的复合 函数 关系图 ：
＜ ＼＼ ：
（２）一 （４）看 图写法 则 ，一元 求 导用 “ｄ”，多 元 求 导用 “ａ”， 最终 将中间变量 的表达式代入 求导结果表达式 中．
【关键词 】多元复合 函数 求导；复合 函数关 系 图
复合 函数 求 导 法 则 ：（１）正 确 画 出 复合 函 数关 系 图 ； （２）看 图写 法则 ，因变量到 某个 自变量 有几 条道 路 ，对该 自 变量 的（偏 ）导数就是几个 部分之和 ，每个部分 （对应一 条道 路 ）用 一元 链式法则求 出因变量对 该 自变量 的导数 ；（３）一 元求导用 …ｄ’，多元求 导用 “ａ”；（４）将 中间变量 的表达式 代 人求导结果表达式 中．
多元复合函数的求导解析(修改)
闽江学院数学小论文题目：多元复合函数的求导解析学生姓名：学号：系别：：化学与化学工程系年级： 2010级专业：高分子材料与工程完成日期：2010.04.30多元闽江学院化工系高分班 郭培芬 120101206113摘要 在一元函数中，复合函数的求导公式在求导时起着重要的作用，对于多元函数情形也是如此。
由于多元复合函数的中间变量和自变量往往不只一个，且复合关系也远比一元函数复杂，所以要掌握变量之间的复合关系。
关键词 复合函数求导 中间变量 自变量 复合关系由一元函数微分学得知，若函数x=g(t)在点t 可导，函数g=f(x)在其对应点x 可导,则复合函数y=f(g(t))在点t 可导，且有dy dy dx dt dx dt=⋅，现在我们把这一复合函数的求导法推广到多远函数。
我们都知道，一般刚接触到复合函数，我们都会弄不清它们的关系，而多元复合函数又比一元复合函数来得复杂。
为了直观地反映变量之间的关系，可以画出它们的复合关系图，即链式法则。
设z=f(u,v)是自变量u 、v 二元函数，而u=u(x,y),v=v(x,y)是自变量x 、y 的二元函数，则z=f(u(x,y),v(x,y))是x 、y 的复合函数，u 、v 称为中间变量。
它的复合关系图如图z u xv y从一元复合函数的求导法则推广到多元复合函数，但是多元的复合比一元复合情形复杂的多，为此我将其中间变量归结为以下几种情形：中间变量都为一元函数的情形、中间变量都为多元函数的情形、中间变量既有一元函数也有多元函数的情形、某变量既是中间变量又是自变量的情形。
1、 中间变量都为一元函数的情形1⋅定理1 如果函数()(),,,u x y v x y ϕψ==都在点x 可导，函熟(),z f u v =在对应点(),u v 有连续的偏导数，则复合函数()(),z f x x ϕψ=⎡⎤⎣⎦在点x 可导，且有dz z du z dvdx u dx x dx∂∂=⋅+⋅∂∂也称为全导数⋅⋅⋅⋅（1·1·1）证明：设当自变量x 的改变量为x ∆时，中间变量()()u x x ϕψ=和v=的改变量分别为u v ∆∆和，函数的改变了为z ∆,依条件，函数(),z f u v =可微，于是有()f fz u v u vορ∂∂∆=⋅∆+⋅∆+∂∂其中ρ其中x ∆得()z f u f v x u x v x xορ∆∂∆∂∆=⋅+⋅+∆∂∆∂∆∆()f u f v u x v x ορρ∂∆∂∆=⋅+⋅+∂∆∂∆∆ z u x()f u f v u x v x ορρ∂∆∂∆=⋅+⋅+∂∆∂∆∆ v y 因为函数()()0u x v x x ϕψ==∆→和可导，所以时 图1-1-10,0,,u du v dv u v x dx x dx ∆∆∆→∆→→→∆∆有 0dz f du f dv x dx u dx v dx∂∂∆→=⋅+⋅∂∂令得如图1-1-1反映了公式（1·1·1）中的变量关系，称为复合函数的结构图。
多元复合函数的求导法则详解
多元复合函数的求导法则详解具体来说，有两种常见的多元复合函数情况，即链式法则和求导法则。
下面将结合具体例子详细解释这两种求导法则。
链式法则：链式法则适用于一个函数内部嵌套一个函数的情况。
我们用一个简单的例子来说明。
假设有一个函数f(x)=x²+1，另一个函数g(y)=y³。
现在我们要求复合函数h(x)=g(f(x))的导数。
首先，我们可以计算出 f(x) 的导数 df/dx = 2x。
然后我们计算g(y) 的导数dg/dy = 3y²。
接下来，我们利用链式法则来求解 h(x) 的导数。
根据链式法则，h(x) 的导数可以表示为 h'(x) = (dg/df) *(df/dx)。
在这个例子中，(dg/df) 表示 g'(f(x))。
我们可以通过将 f(x) 的结果代入到 g(y) 中来计算 (dg/df)。
即将 f(x) 的结果代入到 g(y)中得到h(x) = g(f(x)) = (f(x))³ = (x²+1)³。
然后我们计算 g'(f(x))，也就是求 g(f(x)) 的导数。
根据前面的计算， g(y) 的导数dg/dy = 3y²。
将 f(x) 的结果代入 dg/dy 中，即f(x) = x²+1，我们得到dg/df = 3(x²+1)²。
接下来，我们将 (dg/df) 和 df/dx 代入链式法则的公式中，即h'(x) = (dg/df) * (df/dx) = 3(x²+1)² * 2x = 6x(x²+1)²。
因此，我们得出 h(x) 的导数为h'(x) = 6x(x²+1)²。
这个例子说明了链式法则的使用方法，即先计算每个嵌套函数的导数，然后将这些导数代入到链式法则的公式中，得到最终的复合函数的导数。
多元复合函数求导的图示教学法探讨
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导数公式 ，最后代入公式就可以求 出偏导数。
［ ］刘玉琏、傅沛仁．数学分析讲义 ［ ．北京：人民教育 出版社 ，１８ ． １ Ｍ］ ９２
［ ］ 同济 大学． 高等数 学 ［ ． 北京 ： 高等教 育 出版社 ，２０ ． ２ Ｍ］ ０２ ［ ］王 景克 ． 高等数 学解题 方 法与技 巧 ［ ． 北 京 ： 中国林 业 出版社 ，１９ ． ３ Ｍ］ ９９
最终 为 的函数 ， ： 而 到 有两 条路径 ， 每条路 径有 两个箭 头 ， 一 １ 即 ２ ， 一 和 ｚ 一 ，
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多元复合函数求导法则的教学探究
按 照 “ 串 乘 并 加 ’ 口 诀 得 妻 ： 嘉 罢，
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一 一 一
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Ｏ ｖ ｄｙ 。
ｕ 和Ｖ 关于 ｔ 都 是导 数 ， 而 最终 Ｚ 是ｔ 的 一元 函
特 别的 ， 若 函数
之一 ， 由 于中 间变量 和 自变 量 多数 情况 下 不 数 ， 所 以是 导 数 ． 综上所述 ， 学 生 便 可 很 容
的ｘ是 中间变 量 ， 这个 区 别在 结 构 图中一 目
２ 中间变 量为 多元 函数 的情 形
设 函 数 ｚ＝ｆ（ ｕ ， Ｖ ） ， “＝“ （ ， ） ， Ｖ＝ｖ （ ｘ ， Ｙ ） 均 满足 相关 条 件 ， 变 量 间关系有 结 构 图：
了然 。
其 它 各 种 复 杂 情 形 只 需 画 出 变 量 关 系结构图， 按照 “ 串乘 并 加 ”的 １ ： ３ 诀 类 推 即
中图分类号： ０ １ ３
文献标 识码 ： Ａ
文章编号 ： １ ６ ７ ４ — ０ ９ ８ Ｘ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ７ （ ｂ ） 一 ０ １ ４ ６ — ０ ２
高 等 数 学 下册 主 要 以研 究 多元 函数 为
记为 “ 串乘 并 加 ” ． 在 结 构 图中还 可 以 注 意
有 区别 的 ，
Ｏ ｆ Ｏ ｕ
Ｏ ｕ ＋
按照 “ 串乘 并加 ”口诀可得
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的 几种 不 同复合情 况 ， 具 体 介 绍结 构 图和 四
字 口诀 的用法 。
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多元复合函数求导法则的教学探究
摘要:多元复合函数求导法则是多元函数微分学中的重点内容，很多学生在学习该知识点时感觉抽象和困难.本文利用图示的方法将多元复合函数的求导法则形象具体化，用“串乘并加”四字口诀归纳了求导过程，降低了学生学习的难度.
关键词:多元复合函数；求导法则；偏导数；串乘并加
高等数学下册主要以研究多元函数为主，相比一元函数而言，多元函数部分的很多理论和计算更为抽象和困难.多元复合函数求导法则是多元函数部分的重点和难点之一，由于中间变量和自变量多数情况下不止一个，教材上给出的求导公式在形式上也比较复杂，如果仅靠死记硬背几个公式，而不去搞清楚变量之间关系的内在规律，学生在做具体题目时往往会觉得很困难且容易出错.图示法在多数情况下是将抽象问题形象具体化的不错工具，笔者在讲授多元函数求导法则时就是先画出变量之间的关系结构图，然后利用“串乘并加”四字口诀来记忆求导公式和过程，在实际教学过程中取得不错的教学效果.下面根据多元复合函数的几种不同复合情况，具体介绍结构图和四字口诀的用法.。