多元复合函数与隐函数微分法知识分享
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7.4多元复合函数与隐函数微分法解析
z=f(x,v),v=v(x,y),则z=f[x,v(x,y)]有链式法
z f f v x x v x
z f v y v y
(7.23)
f z 在(7.23)中我们在等式的右边记为 而不用 , x x z 这是为防止和等式左边的 混淆. x
y
2019年1月7日星期一
8
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z z u z v y u y v y
1 1 f'u xe f'v y 2 x 1 ( ) x x y xe f'u 2 f'v 2 x y
y
z x y xe f'1 2 f'2 2 y x y
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
z
u v
x y
注1 此定理也可称为求导的链式法则.记忆可用上图所示
的链子来记. 定理中的等式数为自变量的个数； 每一个等 式中的项数为中间变量的个数. z到x的路径有两条,一条
2019年1月7日星期一 19
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上式等式左端看作以 u,v 为中间变量 ,λ 为自 变量的函数,等式两端对λ求导数,得
f du f dv k k 1 f ( x, y ) u d v d
即
f f k 1 x y k f ( x, y ) u v
由链式法则有 z eu sin v 1 eu cos v 1 x x y e [sin( x y ) cos( x y )]
2019年1月7日星期一 15
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第四节 多元复合函数与 隐函数的微分法高等数学三年专科最新版精品课件
z v
z z u z v . t u t v t
t
又如 z = f (u , v ) , u ( x , y ), v ( x ) ,
u x y
z
则
v
z z u z dv , x u x v d x
z z u . y u y
根据假设，z = f (u , v) 在 (u , v) 偏导数连续，从而
知其可微，所以
z z z u v , u v
①
2 2 ( u ) ( v ) , l i m 0 , 其中 且 0
得 又因一元函数 u 与 v 可导，所以 u 与 v 均连续，
(sin2 x )
x 2 1
x ln(sin2 x ) . 2 x 1 cot 2 x 2 x 1
2
而 u ( x, y)和 设函数 z = f (u , v) 可微， v ( x, y ) 的一阶偏导数都存在， 这时，复合 函数 z = f [u(x , y), v (x , y)] 对 x 与 y 的偏导数都 存在且
z u z v lim lim lim x 0 u x x 0 v x x 0 x
z du z dv . u dx v dx
例 1 设 z u , u sin2 x , v
dz . dx
v
x 1 , 求
x
z
当 z = f (u , v , w ), u ( x , y ) , v ( x , y ) ,
( x , y ) 时 ， 其求导公式可参考关系图如下 .
多元复合函数与隐函数微分法
解 在 z f ( x x2 y2 )中, 令 u x x2 y2 ,
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
z f (u) u (1 2xy2 ) f ( x x2 y2 ),
x
x
z f (u) u 2x2 y f ( x x2 y2 ).
z f u f v x u x v x
f1( x y, xy) y f2( x y, xy), z f u f v y u y v y
f1( x y, xy) x f2( x y, xy).
例2 设 z f ( x x2 y2 ), 且 f (u) 可微, 求 z 与 z . x y
x 0 时, u 0, v 0, 从而 0.
由 7 11 可得
z z u z v ( ) x u x v x x
(7 12)
在 (7 12)中
lim u u , lim v v x0 x x x0 x x
z xz
z
u z
u
x u
z
v z
v
x v
y u y v y
(7 10)
证明 我们只证 (7 10) 中的第一个等式，第二个 等式可类似地证明.
对于任意固定的 y , 给 x 一个改变量 x , 则得到u 和 v 的改变量 u 和 v , u u( x x, y) u( x, y), v v( x x, y) v( x, y), 从而得到 z f (u,v) 的改变量
z z u z v . x u x v x
同理可证
u
x
z
z z u z v .
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
z f (u) u (1 2xy2 ) f ( x x2 y2 ),
x
x
z f (u) u 2x2 y f ( x x2 y2 ).
z f u f v x u x v x
f1( x y, xy) y f2( x y, xy), z f u f v y u y v y
f1( x y, xy) x f2( x y, xy).
例2 设 z f ( x x2 y2 ), 且 f (u) 可微, 求 z 与 z . x y
x 0 时, u 0, v 0, 从而 0.
由 7 11 可得
z z u z v ( ) x u x v x x
(7 12)
在 (7 12)中
lim u u , lim v v x0 x x x0 x x
z xz
z
u z
u
x u
z
v z
v
x v
y u y v y
(7 10)
证明 我们只证 (7 10) 中的第一个等式，第二个 等式可类似地证明.
对于任意固定的 y , 给 x 一个改变量 x , 则得到u 和 v 的改变量 u 和 v , u u( x x, y) u( x, y), v v( x x, y) v( x, y), 从而得到 z f (u,v) 的改变量
z z u z v . x u x v x
同理可证
u
x
z
z z u z v .
复合函数微分法与隐函数微分法
第九讲 复合函数微分法在一元函数的复合求导中，有所谓的“链式法则”，这一法则可以推广到多元复合函数的情形. 下面分几种情况来讨论.一、 多元复合函数微分法1、复合函数的中间变量为多元函数的情形设),,(v u f z =),,(y x u u =),(y x v v =构成复合函数)],,(),,([y x v y x u f z =则,x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ ,yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 2、复合函数的中间变量为一元函数的情形设函数),(v u f z =,)(t u u =,)(t v v =构成复合函数)](),([t v t u f z =.dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂= 导数dtdz 称为全导数.3、复合函数的中间变量既有一元也有为多元函数的情形定理3 如果函数),(y x u u =在点),(y x 具有对x 及对y 的偏导数, 函数)(y v v =在点y 可导，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数, 则复合函数)](),,([y v y x u f z =在对应点),(y x 的两个偏导数存在, 且有,x u u z x z ∂∂∂∂=∂∂ .dydv v z y u u z y z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 在多元函数的复合求导中，为了简便起见，常采用以下记号:,),(1u v u f f ∂∂=' ,),(2v v u f f ∂∂='vu v u f f ∂∂∂=''),(212 , 这里下标1表示对第一个变量u 求偏导数，下标2表示对第二个变量v 求偏导数，同理有2211,f f '''' , 等等. 例1设,sin v e z u =而,,y x v xy u +== 求x z ∂∂和.yz ∂∂ 例2设,sin t uv z +=而,cos ,t v e u t == 求导数.dtdz第十讲 隐函数微分法二、 隐函数微分法在一元微分学中，我们曾引入了隐函数的概念，并介绍了不经过显化而直接由方程0),(=y x F来求它所确定的隐函数的导数的方法. 这里将进一步从理论上阐明隐函数的存在性，并通过多元复合函数求导的链式法则建立隐函数的求导公式，给出一套所谓的“隐式”求导法.定理4 设函数),(y x F 在点),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数, 且,0),(00≠y x F y ,0),(00=y x F 则方程0),(=y x F 在点),(00y x P 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数),(x f y = 它满足),(00x f y = 并有.yx F F dx dy -= 定理5 设函数),,(z y x F 在点),,(000z y x P 的某一邻域内有连续的偏导数, 且,0),,(,0),,(000000≠=z y x F z y x F z则方程0),,(=z y x F 在点),,(000z y x P 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数),(y x f z =, 它满足条件),(000y x f z =,并有.,zy z x F F y z F F x z -=∂∂-=∂∂ 例3 求由方程0=+-y x e e xy 所确定的隐函数y 的导数.,0=x dx dy dx dy 例4求由方程y z z x ln =所确定的隐函数),(y x f z =的偏导数.,yz x z ∂∂∂∂ 例5求由方程a a xyz z (333=-是常数)所确定的隐函数),(y x f z =的偏导数x z ∂∂和.y z ∂∂ 例6设,04222=-++z z y x 求 .22x z ∂∂。
7.4多元复合函数与隐函数微分法
ve u sin t cos t
t
e cos t e sin t cos t
t t
e t (cos t sin t ) cos t .
例 8 设 z e u sin v ，而 u xy ， v x y ，
z z 求 和 . x y
解
z z u z v x u x v x
f1( x y , xy) y f 2( x y , xy) ,
z f u f v y u y v y
f1( x y , xy) x f 2 ( x y , xy) .
z z 例１０ 设 z f ( x x y ) , 且 f ( u) 可微 , 求 与 . x y 解 在 z f ( x x 2 y 2 ) 中, 令 u x x 2 y 2 ,
则 Fx 2 x, Fy 2 y ,
F (0,1) 0,
Fy (0,1) 2 0,
2 2 x y 1 0 在点(0,1) 的某邻域 依定理知方程 内能唯一确定一个单值可导、且 x 0 时 y 1 的 函数 y f ( x ) ．
z
u v
x
y x
y
又如, z f ( x, v) , v ( x, y )
当它们都具有可微条件时, 有
z f
z f x x z y
1 f1 f 2 2 f2
x
v
x y
z f 不同, 注意: 这里 与 x x z f 表示固定 y 对 x 求导, 表示固定 v 对 x 求导 x x
推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
u (t ) , v (t ) , w (t ) z dv z dw d z z du v d t w d t d t u d t f1 f 2 f 3
多元复合函数与隐函数微分法
Fx 2xy,zFysin zx2z, F zcoz sx2y,
所以z Fx x Fzc来自2xyz ， ozsx2y
zyF Fzy cozxs 2zx2y.
24
例11 设 隐 函 数 z z ( x ,y ) 由 方 程 sz ix 2 n y 确 定 z ， 求 z , z . x y
解法2 方程两边关于x求偏导数,
所以
zexy(xyy21), zexy(x2xy1) .
x
y
15
例8 求下列函数的偏导数和全微分.
(2)zxlnx2(2y)
解 dzd[xlnx2(2y)]
ln x 2 ( 2 y )d x x d [lx 2 n 2 y ()]
lnx2 (2y)dxxd(xx2222yy)
[lx n 22 (y)x2 2 x2 2y]d xx22 x 2yd y,
求
z x
z (0,0) , y
. ( 0 , 0 )
解 视 z 为 x ,y 的 二 元 函 数 z z ( x ,y ),
方程两边关于x 求偏导数,
y3z2zz4x4z3z5z4z0，
x
x x
当 xy 0时 , z 1， 代入上式得
1 5 z 0， z 1 ;
x
x (0,0) 5
27
例12 由 方 程 y 3 z x 4 z z 5 1 确 定 隐 函 数 z z ( x ,y ) ，
解得 y y2 ex . cosy2xy
21
二元隐函数存在定理 设 函 数 F (x,y,z)满 足 :
1 )F (x 0,y 0,z0) 0； 2) 在点 P( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内 F 具有连续偏导数
7.4 多元复合函数与隐函数微分法(gai)
z f [u(x, y), v(x, y)]
结论：无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达形式都一样,
这性质叫做全微分形式不变性.
例4 求下列函数的偏导数和全微分： （1）z x ln( x 2 y); （2）z x arctan y . x
解 (1) 由微分运算法则可得
dz ln( x 2 y)dx xdln( x 2 y) ln( x 2 y)dx x d( x 2 y) x 2y
f2(tx, ty) y
另外 z tk f ( x, y), 则 dz k t k1 f ( x, y) dt
因此, 对任何 t 有 f1(tx, ty) x f2(tx, ty) y k t k1 f ( x, y)
令 t 1即得 x fx( x, y) y f y( x, y) k f ( x, y).
§ 7.4 多元复合函数与隐函数微 分法
一、多元复合函数微分法 二、一阶全微分的形式不变性 三、隐函数微分法
一、多元复合函数微分法
定理7.3 设 z f (u, v) 在 (u, v) 处可微, 函数 u u( x, y), v v( x, y), 在 ( x, y) 处的偏导数都存在, 则 复合函数 z f [ u( x, y), v( x, y)] 在 ( x, y) 处的偏导 数都存在, 且有如下的链式法则
(7 15)
公式的推导 设方程F(x, y) 0 在点(x0 , y0 )的某个邻域内确 定了一个具有连续导数的隐函数 y y( x),则对 y( x) 定义域中的所有x,有 F[x, y( x)] 0,
根据链式法则, 在方程两边对 x 求导, 可得
F F dy 0, x y dx
x
多元复合函数与隐函数的微分法
uz du
z v
dv
.
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由此可见，无论z是自变量u,v的函数或中间变量u,v的 函数，它的全微分形式是一样的.这个性质叫做全微 分形式不变性.
例7 利用全微分形式不变性解本节的例3.即：设
z eu sinv, 而u=xy,v=x+y,求
z x
和
z y
.
解 d z d e u s in v e u s in v d u e u c o s v d v .
因 d u d x y y d x x d y , d v d x y d x d y ,
代入后归并含dx及dy的项,得
d z ( e u s i n v y e u c o s v ) d x ( e u s i n v x e u c o s v ) d y ,
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(lnv)cost usint v
c o s tln c o s t ta n ts i n t
例2
设z
u2vsint,
而uet,vcost,求导数
d d
z t
.
解
dz dt
uzddut vzddvt zt
2 u v s in te t u 2 s in t( s in t) u 2 v c o s t
和 z y
.
解
z x
z uz veusinvyeucosv1
u x v x
eu(ysinvcosv) exy[ysin (xy) co s(xy)],
z z u z v eusinvxeucosv1
y u y v y eu(xsinvcosv)exy[xsin(xy)co s(xy)].
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du z dv,
u
v
dzzdxzdy x y
zduzdv. u v
z f [ u ( x ,y ) ,v ( x ,y ) ] zf(u ,v)
结论：无论 u , v 是自变量还是中间变量,
其全微分表达形式都一样,
这性质叫做全微分形式不变性.
例4 求下列函数的偏导数和全微分： （ 1 ） zxln x (2y);（2）zxarctayn. x
xfx(x,y)yfy(x,y)kf(x,y). 证明 在 zf(t,x t)y中 ,令 u tx ,vt,y
其x 中 ,y相对 t是 于常 , 数
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
d dzt u fd du t fvd dvt f 1 ( t, t x ) x y f 2 ( t, t x ) y y
§ 7.4 多元复合函数与隐函数微 分法
一、多元复合函数微分法 二、一阶全微分的形式不变性 三、隐函数微分法
一、多元复合函数微分法
定理7.3 设z f(u,v)在(u,v)处可,微 函数u u(x, y),vv(x, y),在(x, y)处的偏导数都 ,则存 复合函z数 f[u(x, y),v(x, y)]在(x, y)处的偏导 数 都 存, 且 在有 如 下 的 链 式 法 则
解 (1)由微分运算法则可得
d z lx n 2 y ) d x ( x d lx n 2 y )(
lnx (2y)dxxd(x2y) x2y
lnx (2y)dxxdx2dy x2y
[lx n 2 (y) x]x d 2xd y x2y x2y
因此 zlnx(2y) x , z 2x .
x
二、一阶全微分的形式不变性
设函数 z f ( u , v ) , u u ( x , y ) , v v ( x , y ) 都可微, 则复合函数 zf[u (x,y),v(x,y)]的全微分为
dzzdxzdy x y
zuzvdxzuzvdy ux v x uy v y
z u
udxudy x y
zf(u)u, zf(u)u
x
x y
y
(71)3
情形2 zf(u ,v),uu (t),vv(t), 则对 zf[u (t),v(t)有 ] 链式法则
d z fd u fd v d t u d t v d t
(7 1)4
其中d的 z称为全导 . 数 dt
例1 设 z f(u ,v )可 ,求 微 z f(x y ,x)的 y 偏 . 解 在 zf(x y ,x)中 y, 令 u x y ,v x,y 则由复合函数求偏导数链式法则可得
三、隐函数微分法
定理7.4 设二元 F(x函 ,y)在 数点 P0(x0,y0)的某 一邻域内具数 有 ,且连续偏导
F(x0,y0)0, Fy(x0,y0)0. 则由方 F(x程 ,y)0在点 (x0,y0)的某一邻域内 一地确定一个 数有 的连 函 y续 数 f(导 x),它满足 件y0 f(x0),且有
zfufv x ux vx
f 1 ( x y , x ) y y f 2 ( x y , x ) , y zf uf v y uy vy
f 1 ( x y , x ) x f y 2 ( x y , x ) . y
例2 设 z f(x x 2 y 2 ),且 f( u )可 ,求 微 z与 z . x y
解 在 z f ( x x 2 y 2 ) 中 , 令 u x x 2 y 2 ,
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
z f ( u ) u (1 2 x2 )y f(x x 2 y 2 ),
x
x
z f (u)u 2 x 2 yf(x x 2 y 2 ).
y
y
例3 若f(x,y)满足 f(tx,ty)tkf(x,y)(k为正整 数),则称 f(x,y)是k的齐次,函 证数 明 :k次齐次函 数f(x,y)满足
xzz u zzu u x vzzvxv y uy vy
(710)
证明 我们只证 (710)中的第一个等式，第二个 等式可类似地证明.
对于任y意 ,给 x固 一定 个的 改 x, 变量 则得 u和 v的 到改 u和 变 v, 量
u u ( x x , y ) u ( x , y ) , v v ( x x , y ) v ( x , y ) ,
x2y y x2y
(2)由微分运算法则可得
dzarcytda xnxdarcytan
x
x
arcx ytdx an x11 (x y)2d(x y)
arcx yd txa xn x2x 2y2xd yx 2yd x
arc x y tx2 a x y n y 2 d xx2x 2y2d y 因此 x z arx y c x t 2 x a y 2 y n , y z x 2 x 2 y 2.
由711可得
z z u z v () x u x v x x
(7 1)2
在(71)2中
limuu, limv v x0x x x0x x
lim lim u2v2
x 0x x 0 x x
u2
v2
x x
情形1 z f( u ),u u (x ,y ),则 z f 对 [ u (x ,y )] 有链式法则
另z 外 tkf(x ,y), 则 dzktk1 f(x,y) dt
因此 ,对任t何 有 f 1 ( t,t x ) x y f 2 ( t,t x ) y y ktk1f(x,y)
令t1即得 x f x ( x , y ) y f y ( x , y ) k f ( x , y ) .
从而z得 f(u到 ,v)的改变量
z f ( u u , v v ) f ( u , v )
由f于 (u,v)可,则 微
z z u z v o () u v
其 中 ( u )2 ( v )2.
(7 1 )1
uu(x,y),vv(x,y)关x 于 的偏导 , 数
x 0 时 , u 0 , v 0 ,从 0 .而
u
v
dzzdxzdy x y
zduzdv. u v
z f [ u ( x ,y ) ,v ( x ,y ) ] zf(u ,v)
结论：无论 u , v 是自变量还是中间变量,
其全微分表达形式都一样,
这性质叫做全微分形式不变性.
例4 求下列函数的偏导数和全微分： （ 1 ） zxln x (2y);（2）zxarctayn. x
xfx(x,y)yfy(x,y)kf(x,y). 证明 在 zf(t,x t)y中 ,令 u tx ,vt,y
其x 中 ,y相对 t是 于常 , 数
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
d dzt u fd du t fvd dvt f 1 ( t, t x ) x y f 2 ( t, t x ) y y
§ 7.4 多元复合函数与隐函数微 分法
一、多元复合函数微分法 二、一阶全微分的形式不变性 三、隐函数微分法
一、多元复合函数微分法
定理7.3 设z f(u,v)在(u,v)处可,微 函数u u(x, y),vv(x, y),在(x, y)处的偏导数都 ,则存 复合函z数 f[u(x, y),v(x, y)]在(x, y)处的偏导 数 都 存, 且 在有 如 下 的 链 式 法 则
解 (1)由微分运算法则可得
d z lx n 2 y ) d x ( x d lx n 2 y )(
lnx (2y)dxxd(x2y) x2y
lnx (2y)dxxdx2dy x2y
[lx n 2 (y) x]x d 2xd y x2y x2y
因此 zlnx(2y) x , z 2x .
x
二、一阶全微分的形式不变性
设函数 z f ( u , v ) , u u ( x , y ) , v v ( x , y ) 都可微, 则复合函数 zf[u (x,y),v(x,y)]的全微分为
dzzdxzdy x y
zuzvdxzuzvdy ux v x uy v y
z u
udxudy x y
zf(u)u, zf(u)u
x
x y
y
(71)3
情形2 zf(u ,v),uu (t),vv(t), 则对 zf[u (t),v(t)有 ] 链式法则
d z fd u fd v d t u d t v d t
(7 1)4
其中d的 z称为全导 . 数 dt
例1 设 z f(u ,v )可 ,求 微 z f(x y ,x)的 y 偏 . 解 在 zf(x y ,x)中 y, 令 u x y ,v x,y 则由复合函数求偏导数链式法则可得
三、隐函数微分法
定理7.4 设二元 F(x函 ,y)在 数点 P0(x0,y0)的某 一邻域内具数 有 ,且连续偏导
F(x0,y0)0, Fy(x0,y0)0. 则由方 F(x程 ,y)0在点 (x0,y0)的某一邻域内 一地确定一个 数有 的连 函 y续 数 f(导 x),它满足 件y0 f(x0),且有
zfufv x ux vx
f 1 ( x y , x ) y y f 2 ( x y , x ) , y zf uf v y uy vy
f 1 ( x y , x ) x f y 2 ( x y , x ) . y
例2 设 z f(x x 2 y 2 ),且 f( u )可 ,求 微 z与 z . x y
解 在 z f ( x x 2 y 2 ) 中 , 令 u x x 2 y 2 ,
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
z f ( u ) u (1 2 x2 )y f(x x 2 y 2 ),
x
x
z f (u)u 2 x 2 yf(x x 2 y 2 ).
y
y
例3 若f(x,y)满足 f(tx,ty)tkf(x,y)(k为正整 数),则称 f(x,y)是k的齐次,函 证数 明 :k次齐次函 数f(x,y)满足
xzz u zzu u x vzzvxv y uy vy
(710)
证明 我们只证 (710)中的第一个等式，第二个 等式可类似地证明.
对于任y意 ,给 x固 一定 个的 改 x, 变量 则得 u和 v的 到改 u和 变 v, 量
u u ( x x , y ) u ( x , y ) , v v ( x x , y ) v ( x , y ) ,
x2y y x2y
(2)由微分运算法则可得
dzarcytda xnxdarcytan
x
x
arcx ytdx an x11 (x y)2d(x y)
arcx yd txa xn x2x 2y2xd yx 2yd x
arc x y tx2 a x y n y 2 d xx2x 2y2d y 因此 x z arx y c x t 2 x a y 2 y n , y z x 2 x 2 y 2.
由711可得
z z u z v () x u x v x x
(7 1)2
在(71)2中
limuu, limv v x0x x x0x x
lim lim u2v2
x 0x x 0 x x
u2
v2
x x
情形1 z f( u ),u u (x ,y ),则 z f 对 [ u (x ,y )] 有链式法则
另z 外 tkf(x ,y), 则 dzktk1 f(x,y) dt
因此 ,对任t何 有 f 1 ( t,t x ) x y f 2 ( t,t x ) y y ktk1f(x,y)
令t1即得 x f x ( x , y ) y f y ( x , y ) k f ( x , y ) .
从而z得 f(u到 ,v)的改变量
z f ( u u , v v ) f ( u , v )
由f于 (u,v)可,则 微
z z u z v o () u v
其 中 ( u )2 ( v )2.
(7 1 )1
uu(x,y),vv(x,y)关x 于 的偏导 , 数
x 0 时 , u 0 , v 0 ,从 0 .而