§8.5复合函数微分法
第四节 复合函数微分法
z z 例1 设 z e sin v, u xy, v x y, 求 , . x y
u
解法1 由复合函数的结构图，可得
z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cos v 1
e xy [ y sin( x y) cos( x y)]，
例3 设 w f ( x 2 , xy, xyz) ，其中f(u,v,w)为可微函数，
w w w 求 , , . x y z
解 令 u x 2 , v xy, t xyz.由函数的结构图，可得
w w du w v w t x u dx v x t x
z z u z v z w . y u y v y w y
(3)
2.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而
u ( x, y, z ),
v ( x, y, z ) 都有偏导数，求复合函数
w f [ ( x, y, z ), ( x, y, z )]
第四节 复合函数微分法
一、复合函数的链式法则 二、全微分形式不变性
一、复合函数的链式法则
设z=f(u,v)是变量u，v的函数，而u，v又是x，y的 函数，即 u ( x, y ), v ( x, y ) ，如果能构成z是x ,y的 二元复合函数
z f [ ( x, y ), ( x, y )],
如果u，v是中间变量，即 u ( x, y ), v ( x, y ) ， 且这两个函数具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x, y ), ( x, y )]
的全微分为
z z dz dx dy, x y
z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
复合函数微分法
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注 上面第一个等式中，左边的 d z 是作为一元函数 dt
的复合函数对 t 求导数 (这种导数又称为“全导数”);
右边的
z t
是外函数
(作为
u,
v,
t
的三元函数)
对
t
求偏导数．二者所用的符号必须有所区别．
例4 用多元复合微分法计算下列一元函数的导数:
(1)
y
x
x
x
;
(1 x2 )ln x
(2) y
.
sin x cos x
解 (1) 令 y u v , v w x , u x, w x, 从而有
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dy dx
y u
du dx
y v
v
w
dw dx
v x
v uv1 uv ln u [ x w x1 w x ln w ]
(1
x2 )ln x
(
sin
x
cos
x
)(
2
x
ln
x
1
x x
2
)
.
由此可见，以前用 “对数求导法” 求一元函数导数
的问题, 如今可用多元复合函数的链式法则来计算.
例 5 设 f ( x, y) 为可微函数, f (1,1) 1, fx (1,1) a,
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f y (1,1) b, ( x) f ( x, f ( x, f ( x, x))), 试求 (1). 解 令 ( x) f ( x, y), y f ( x, z), z f ( x,u), u x,
复合函数微分证明
复合函数微分证明复合函数微分证明是微积分学中的基础内容之一，也是无数学生最头疼的考试内容之一。
下面，我将分步骤阐述如何进行复合函数微分证明。
第一步：理解复合函数复合函数是由两个或两个以上的函数组成的函数，其中一个函数需要求导，另一个函数需要进行代入。
例如：f(x)=cos(x^3)，则g(x)=cos(u)的函数u=x^3，那么f(x)可以表示为f(g(x))=cos(x^3)。
第二步：推导复合函数微分公式对于复合函数f(g(x))，它的导数可以表示为：df/dx = df/du*du/dx其中，df/du是外函数f(g(x))的导数，du/dx是内函数g(x)的导数。
由此可得：df/dx = df/dg * dg/dx这就是复合函数微分公式。
其中，df/dg是外函数f(g(x))对内函数g(x)的导数，dg/dx是内函数g(x)的导数。
第三步：进行复合函数微分证明以f(x)=cos(x^3)为例进行证明：设g(x)=x^3，则f(x)可以表示为f(g(x))=cos(g(x))。
对g(x)求导得到g’(x)=3x^2。
对f(g(x))进行求导，根据复合函数微分公式，得到：df/dx = df/dg * dg/dx对f(g(x))求导，外函数f(g(x))的导数df/dg可以表示为：df/dg = -sin(g(x))内函数g(x)的导数dg/dx为：dg/dx = 3x^2将df/dg和dg/dx代入复合函数微分公式中可得：df/dx = -sin(g(x)) * 3x^2将g(x)=x^3代入得到：df/dx = -3x^2 * sin(x^3)因此，f(x)=cos(x^3)的导数为-df/dx=3x^2*sin(x^3)。
以上就是复合函数微分证明的步骤。
需要注意的是，复合函数微分证明在考试中通常需要进行详细的计算过程，所以掌握复合函数微分公式的同时，也需要培养自己的计算技能。
高等数学：第八讲 复合函数微分法 二
u
x
zv
w
y
复合函数中全是中间变量，且中间变量中有多个自变量
如果 u f (v, w), v v(x, y, z)，w w(x, y, z)
且上述函数满足定理的相应条件，则
u u v u w x v x w x u u v u w y v y w y u u v u w z v z w z
x u x v x
变量是非常重要
z z u z v 8yvuv1 8yuv ln u y u y v y
的，往往关系到 运算的难易程度.
例题2：
设
z
e3x2 4 y2
ln(2x
y2 ),
求
z , z . x y
u
x
z
v
y
解 设 u 3x2 4 y2 , v 2x y2 , z eu ln v, 则
复合函数微分法（二）
复合函数中全是中间变量，且中间变量中有多个自变量
对于有两个以上的中间变量和两个以上的自变量的形式，有相类似
的链导法则.
如果 z f (u, v, w), u u(x, y)，v v(x, y)，w w(x, y)
且上述函数满足定理的相应条件，则
z z u z v z w x u x v x w x z z u z v z w y u y v y w y
v
x
u
y
w
z
复合函数中既有中间变量，又有自变量
如果 z f (u, v, x, y), u u(x, y)，v v(x, y)，
且上述函数满足定理的相应条件，则
z f u f v f x u x v x x z f u f v f y u y v y y
复合函数求微分公式
复合函数求微分公式复合函数求微分公式是微积分中的重要内容之一。
在实际问题中，往往需要考虑多个函数的复合，然后求出其导数。
复合函数的求导公式是通过链式法则推导出来的，它能够帮助我们计算复杂函数的导数，从而解决实际问题。
我们来看一下复合函数的定义。
给定两个函数f(x)和g(x)，我们可以构造一个新的函数h(x)=f(g(x))，其中g(x)作为f(x)的自变量。
这样的函数h(x)就是一个复合函数。
要求复合函数的导数，我们需要使用链式法则。
链式法则是求导复合函数的基本方法。
它的基本思想是将复合函数的导数分解为两个函数的导数的乘积。
具体来说，假设y=f(u)和u=g(x)，那么复合函数y=f(g(x))就可以表示为y=f(u)和u=g(x)的复合。
根据链式法则，复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx其中，dy/du表示f(u)对u的导数，du/dx表示g(x)对x的导数。
根据链式法则，我们可以得到一些常见的复合函数求导公式。
下面我们来看几个例子。
1. 复合函数中的常数倍数：假设y=k*f(x)，其中k是常数。
根据链式法则，我们有dy/dx = k * df/dx。
2. 复合函数中的和差：假设y=f(x)±g(x)。
根据链式法则，我们有dy/dx = df/dx ± dg/dx。
3. 复合函数中的积：假设y=f(x) * g(x)。
根据链式法则，我们有dy/dx = f(x) * dg/dx + g(x) * df/dx。
4. 复合函数中的商：假设y=f(x) / g(x)。
根据链式法则，我们有dy/dx = (f(x) * dg/dx - g(x) * df/dx) / g^2(x)。
5. 复合函数中的幂：假设y=f(g(x))^n。
根据链式法则，我们有dy/dx = n * f(g(x))^(n-1) * df/dx。
通过这些公式，我们可以求解各种复合函数的导数。
复合函数的微分法
ux z
vy
求偏导数
z z u z v x u x v x
两条路径： zz
u v
x x
z z u z v y u y v y
两条路径： zz
u v
y y
口诀: 并联相加，串联相乘；一元全导，多元偏导.
一、复合函数的微分法
情形3：复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数
类比：二元复合函数求偏导
z f x, y, x, y
复合关系
z f u,v,u x, y,v x, y
结构图
ux
z vy
微分法
? ? z
z
x
y
一、复合函数的微分法
情形1：复合函数的中间变量为一元函数
z f x, x
复合关系 z f u,v,u x,v x
结构图 求全导数
z
复合函数微分法的步骤：
第一步：根据复合函数拆解复合关系；
第二步：结合结构图分析路径；
第三步：根据路径求全导数或者偏导数.
口 诀:
并联相加，串联相乘； 一元全导，多元偏导.
二、典型例题
例1
设 z uv,u et , v cos t ，求 dz .
dt
解： dz z du z dv
dt u dt v dt
z z u z dv y u y v dy
2ueu2v2 x2 cos y 2veu2v2 sin y
ex4 sin2 ycos2 y x4 1 sin 2 y
小结
复合函数 的微分法
复合关系 结构图 求偏(全)导
y
二、典型例题
例3
设 z eu2v2 ,u x2 sin y,v cos y , 求 z , z .
8.5多元复合函数的微分法
H.W 习题8 33 (1)(2)(3)(4) 34 (1)(3) 35 (1) 36 (2) 37 (1)(2) 39 (1)(3)
乐经良
x2 y2 uv 0 xy u2 v2 0
确定，求 u , v , u 及 v
x x y y
例 函数 y=y(x),z=z(x)由方程组
z x (x y)
F(x, y, z) 0
其中 , F 均可微，Fy Fz 0, 求 y，z
乐经良
8.5.3 一阶全微分形式的不变性
函数 z= f(u,v)的全微分
Chap8 ― 5
多元复合函数的微分法
上海交大乐经良
8.5.1 复合函数的偏导数
链法则
函数 u u(x, y), v v(x, y) 在(x,y)存在偏导数 ， z= f (u,v) 在相应的(u,v)处可微，则复合函数
z f (u(x, y), v(x, y)) 存在偏导数
z f u f v x u x v x
乐经良
二. 隐函数组及其偏导数
若函数 F (x, y,u,v),G(x, y,u,v) 在点 P0(x0, y0,u0,v0)
某一邻域内有连续的偏导数；且 F(x0, y0,u0,v0) 0,
G(x0 , y0 , u0 , v0 ) 0,行列式
F F
J (F,G) u v (u, v) G G
u v
在点P0不等于0,则
F(x, y,u, v) G(x, y,u, v)
0 0
可唯一确定函数
u u(x, y),v v(x, y) 满足此方程组及
uv00
u(x0, v0 ) v(x0, v0 )
乐经良
且有连续偏导数
复合函数微分
复合函数微分什么是复合函数微分？在数学中，一种被广泛应用的工具就是函数。
如果两个（或更多）函数相互作用，形成了新的函数，那么这种构成新函数的方式就被称为“复合函数”，也被称作“组合函数”。
复合函数的微分，也被称为复合函数的导数，指的是在函数中进行微分时，相继执行的一系列函数的导数相乘的结果。
关于复合函数微分，也就是求 $y = f(g(x))$ 的导数，我们已有一个方法：链规则。
假设我们有两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，那么它们的复合函数$h(x) = f(g(x))$。
那么复合函数的导数就可以表示为：$$\frac{dh}{dx} = \frac{df}{dg} \times \frac{dg}{dx}$$这种方法就是链规则，它是一种用于计算复合函数导数的方法。
需要注意的是，由于两个函数组成了复合函数，所以在微分的时候，要先求出里面最先执行的函数的导数，再求下一个，一直到最后一个函数。
举个例子，假设我们有一个函数 $h(x) = (x^2 + 3)^3$，我们现在要求它的导数，也就是 $h'(x)$。
那么我们可以使用链规则来求解。
我们可以将 $h(x)$ 分开成两个函数：$$f(x) = x^3$$$$g(x) = x^2 + 3$$相应地，可以写出它们的导数：$$f'(x) = 3x^2$$$$g'(x) = 2x$$将它们代入链规则的公式中，就可以求出 $h'(x)$：$$(x^2 + 3)^3)' = 3(x^2 + 3)^2 \times (x^2 + 3)'$$$$= 3(x^2 + 3)^2 \times 2x$$$$= 6x(x^2 + 3)^2$$总结一下，复合函数微分是一种计算复合函数导数的方法。
其核心就是链规则，在求解中，我们需要分别求出每个函数的导数，并进行相应的处理。
除了求导数之外，复合函数还可以应用在微积分、概率论等数学领域，成为一个非常重要的概念。
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§8.5多元复合函数微分法复习：一元复合函数的求导法则设)]([x f y ϕ=是由)(u f y =和)(x u ϕ=复合而成，则)()(x u f dxdudu dy dx dy ϕ'⋅'=⋅=。
8.5.1全导数定理1 若函数)(x u ϕ=及)(x v ψ=都在点x 可导，函数)v ,u (f z =在对应点)v ,u ( 处可微，则复合函数)](),([x x f z ψϕ=在点x 可导，且xd vd v z x d u d u z dx z d ⋅∂∂+⋅∂∂=（全导数公式）。
① 证明：给x 以增量x ∆，则u 、v 得相应的增量u ∆、v ∆， 从而)v ,u (f z =有全增量) ,() ,(v u f v v u u f z -∆+∆+=∆， ∵)v ,u (f z =在)v ,u (处可微，∴)(ρ+∆∂∂+∆∂∂=∆o v vz u u z z ，其中22)()(v u ∆+∆=ρ。
∵)(x u ϕ=、)(x v ψ=都在点x 可导， ∴)(x u ϕ=、)(x v ψ=都在点x 必连续，即当0→∆x 时，0→∆u ，0→∆v ，从而0lim 0=ρ→∆x 。
∵xo x v v z x u u z x z ∆ρ+∆∆∂∂+∆∆∂∂=∆∆)(， 而x o o x x ∆ρ⋅ρρ=ρρ→∆→∆)(lim )(lim00])()([lim )(lim 2200x vx u o x x ∆∆+∆∆±⋅ρρ=→∆→∆0])()([022=+±⋅=dxdvdx du ， ∴ x o x v v z x u u z x z x x x x ∆ρ+∆∆∂∂+∆∆∂∂=∆∆→∆→∆→∆→∆)(lim )(lim )(lim lim 0000，即xd vd v z x d u d u z dx z d ⋅∂∂+⋅∂∂=。
全导数公式可形象地表示为 ，“按线相乘，分线相加”。
可把定理1推广到复合函数的中间变量多于两个的情形。
例如：),,(w v u f z =，而)( ,)( ),(x w w x v v x u u ===，则 )](),(),([x w x v x u f z =， dxdww z dx dv v z dx du u z dx dz ∂∂+∂∂+∂∂=。
例1．已知x uv z arctan +=，而x e u =，x v cos =，求dxdz 。
解法1：x zdx dv v z dx du u z dx dz ∂∂+∂∂+∂∂=211)sin (xx u ve x ++-+= 211)sin (cos xx x e x ++-=。
解法2： x x e z x arctan cos +=，211)sin (cos xx x e dx dz x ++-=。
定理1还可以推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况。
8.5.2复合函数的微分法 一、复合函数的微分法定理2 设)v ,u (f z =，而),( ),,(y x v y x u ψ=ϕ=。
若),( ),,(y x v y x u ψ=ϕ=在点),(y x 处偏导数都存在，而)v ,u (f z =在相应点),(v u 可微，则复合函数)],(,),([y x y x f z ψϕ=在点),(y x 处存在偏导数，且 xvv z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂，yvv z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂。
uvzxy x yu vz xx类似地，)w ,v ,u (f z =，而),(),,(),,(y x t t y x v v y x u u ===， 则)],(,),(,),([y x t y x v y x u f z =，x t t z x vv z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂，yt t z y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂。
在复合函数的求导过程中，如果出现某一函数的中间变量是一元函数，则涉及它的偏导数的记号应改为一元函数的导数记号。
例如：设)v ,u (f z =，)(),(x v y x u ψ=ϕ=和，则)](),,([x y x f z ψϕ=，x d vd v z x u u z x z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂，yuu z y z ∂∂⋅∂∂=∂∂。
如果),,, (y x u f z =，),(y x u ϕ=，则],,, ),([y x y x f z ϕ=xfx u u f x z ∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ yfy u u f y z ∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂注意：这里x z ∂∂与x f ∂∂是不同的，xz ∂∂是把复合函数],,, ),([y x y x f z ϕ=中的y 看作 不变而对x 的偏导数，xf∂∂是把),,(y x u f 中的y u ,看作不变而对x 的偏导数。
yz ∂∂与y f∂∂也有类似的区别。
例2．设v e z usin =，而xy u 2=，y x v +=2，uvtzxy xy y x uvx xzyuvzxy x ux xzyy求xz ∂∂，y z ∂∂。
解：xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ )cos sin (22cos 2sin v x v y e x v e y v e u u u +=⋅+⋅= )]cos()sin([2222y x x y x y e xy +++=；yvv z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ )cos sin 2(cos 2sin v v x e v e x v e u u u +=+⋅= )]cos()sin(2[222y x y x x e xy +++=。
例3.设)(u xF xy z +=，而xyu =，)(u F 为可导函数，证明：xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂。
证明：)()()()(u F x yu F y x u u F x u F y x z '-+=∂∂'++=∂∂，)()(u F x yuu F x x y z '+=∂∂'+=∂∂， xy z u F y xy u F y u xF xy yzy x z x +='++'-+=∂∂+∂∂)()()(。
例4．设222),,(z y xe z y xf u ++==，y x z sin 2=，求x u ∂∂和yu ∂∂。
解：xz z f x f x u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂ y x ze xe zy xz y x sin 222222222⋅+=++++)sin 21(2)sin 21(222sin 2422222y x xe y z xe yx y xzy x+=+=++++.x yuzxyyzz f y f y u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂ y x ze ye z y xz y x cos 222222222⋅+=++++)cos sin (2)cos (24sin 22422222y y x y ey zx y e yx y x z y x +=+=++++.例5．设) ,(2xy y x f z -=，f 有二阶连续偏导数，求x z ∂∂，22xz ∂∂，y x z∂∂∂2。
解：设y x u -=，2xy v =，则) v ,(u f z =v u v u f y f xvf x u f x z 2+=∂∂+∂∂=∂∂， x f y x f f y f x x zv u v u ∂∂+∂∂=+∂∂=∂∂2222)()(2xvf x u f y x v f x u f vv vu uv uu ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=)(222vv vu uv uu f y f y f y f +++=vv uv uu f y f y f 422++=。
v v u v u yf y f y y f f y f y y x z 2)(222+∂∂+∂∂=+∂∂=∂∂∂ v vv vu uv uuyf yvf y u f y y v f y u f 2][2+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= v vv vu uv uu yf xy f f y xy f f 2]2)1([22+⋅+-+⋅+-= v vv uv uu yf f xy f y xy f 22)2(32++-+-=。
例6．设) ,(xyz z y x f w ++=，f 具有二阶连续偏导数，求xw∂∂及z x w ∂∂∂2。
解: 以1、2分别表示z y x ++、xyz两个中间变量，函数的复合关系图如右： x f2 y zx yz1 uvu fxyxyuvv fxyxyuvfx yxy21yzf f xw+=∂∂， zf yz yf z f yzf f z z x w ∂∂++∂∂=+∂∂=∂∂∂221212)(，1211111xyf f z vv f z u u f z f +=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂，2221222xyf f zvv f z u u f z f +=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂， 故22221212112zf xy yzf yf xyf f zx w++++=∂∂∂22221211)(yf zf xy f z x y f ++++=. 例7．设),(3x y xy f x z =，f 具有连续的二阶偏导数，求y z ∂∂，22yz ∂∂，y x z∂∂∂2。
解：2214213)1(f x f x xf x f x y z +=⋅+⋅=∂∂，221231152221212114222)1()1(xf f x f x x f x f x x f x f x y z++=⋅+⋅+⋅+⋅=∂∂，)]([4212114132xyf y f x f x y x z -⋅+⋅+=∂∂∂ )]([22222122x y f y f x xf -⋅+⋅++ 2211421324yf yf x xf f x -++=。
二、全微分形式不变性设) ,(v u f z =可微， （1）若v u ,是自变量，则dv vzdu u z dz ∂∂+∂∂=。
（2）若v u ,是中间变量，即) ,(v u f z =，),(y x u ϕ=，),(y x v ψ=， 则复合函数)] ,(), ,([y x y x f z ψϕ=的全微分为 dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=dy yvv z y u u z dx x v v z x u u z )()(∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂= x1fzxy z1 2)()(dy y v dx x v v z dy y u dx x u u z ∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂=dv vz du u z ∂∂+∂∂=。