多元复合函数的求导法则
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§8.4 多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式
M
26
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定理2 若函数 F (x, y, z) 满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F (x0 , y0, z0) 0 ③ Fz (x0 , y0, z0) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
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导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x) 两边对 x 求导
两边再对 x 求导
y x0
ex y cos y x (0,0)
sin y ( y)2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
8
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例3 设 z uv sin t , u et , v cos t , 求全导数 dz .
dt
解 dz z du
z
dt u dt
t
z
vet
cos t
e t (cost sin t) cos t
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
x y
解 z
z v
x
v x
eu sin v eu cos v 1
z
z
z v
y
v y
eu sin v eu cos v 1
uv x yx y
7
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例2 u f (x, y, z) ex2 y2 z2 , z x2sin y, 求 u , u x y
多元复合函数的求导法则
分线相加
同理可得
z z u z v y u y v y
返回
一、多元复合函数求导法则 —链锁规则
设下列各公式中所出现的函数均满足所需条件， 且有相应的导数或偏导数。 1、全导数 情形1 链锁规则公式
u z x
全导数
v
dz z du z dv dx u dx v dx
dh h dV w dr dt V dt r dt 3 6V r 2 4 3 e r r
返回
dh 6 V r 2 (2 e ) dt r r
设t0时刻沙丘体积为60立方米、底面半径为6米，则
dh 6 60 6 2 (2 e ) dt t t0 6 6
3
dz ,求 . dt
〖解〗由多元复合函数求导法则得全导数为：
x z y
2
t
dz z dx z dy dt x dt y dt 2 cos t f x 3t f y
部分抽象函数
□
设f具有二阶连续偏导数，如何求二阶导数？
d z d dz 2 dt dt dt d 2 (cos t f x 3t f y ) dt
返回
视y为常数
视u,v为常数
【例8】设 u f ( x, y, z ), z g ( x, y), y h( x, t ), t ( x),
du 求 . dx
〖解〗方法1(链锁规则公式)
x u y z
x y
x
x
du f dx x
f h h d y x t dx
情形5
x z u v
x y
z f f u f v x x u x v x z f u y u y
多元函数的求导法则-精选
z z u z v y u y v y
x yx y
eusinvx eucovs1
e x y [x six n y ) (co x y s )( ]
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高等数学
主讲人： 苏本堂
例2. u f(x ,y ,z ) e x 2 y 2 z 2 ,z x 2 sy i,求nu , u x y
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推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, zf(u,v,w ),
u ( t ) ,v ( t ) ,w ( t )
z
d z z du z dv z dw d t u d t v dt w dt
在点 t 可导, 且有链式法则 dzzduzdv dt u dt v dt
z
uv
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 t t
有增量△u ,△v ,
zzuzvo() (( u)2( v)2)
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zzuzv o ( ) (( u)2( v)2)
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第四节多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
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一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数 u (t),v (t)在 t可 点 ,z导 f(u,v) 在点 (u,v)处偏导连续, 则复合函数 zf((t) ,(t))
e xy[x six ny ) (co x y s )]d(y 所以 zexy[ysixn y()co x sy)(]
多元复合函数的求导法则
多元复合函数的求导法则为了简化讲解，假设我们有一个复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个一元函数，f(y)是一个多元函数。
我们希望计算该函数的导数。
下面是多元复合函数求导的三种基本法则。
法则一：链式法则链式法则是求导复合函数最常用的法则。
它可以帮助我们计算f(g(x))的导数。
根据链式法则，导数可以通过链式相乘的方式进行计算。
链式法则的公式为：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)其中f'(y)是f(y)对变量y的导数，g'(x)是g(x)对变量x的导数。
通过链式法则，我们可以将f(g(x))的导数转化为f'(g(x))和g'(x)的乘积。
法则二：导数反函数法则导数反函数法则是求导复合函数的另一种常用法则。
它适用于求导符合函数的反函数的导数。
设y=g(x)是一个可逆函数，且g'(x)≠0，则它的反函数x=g⁻¹(y)的导数可以通过导数的反函数进行计算。
导数反函数法则的公式为：(g⁻¹(y))'=1/(g'(x))其中g'(x)是g(x)对变量x的导数。
通过导数反函数法则，我们可以计算得到反函数的导数。
法则三：隐函数法则隐函数法则适用于求导复合函数中的隐式函数。
隐式函数是一种表示函数关系的方程，它的导数可以通过隐函数法则进行计算。
假设我们有一个隐函数F(x,y)=0，其中y=g(x)是一个表示x与y的关系的函数。
我们可以使用隐函数法则计算y的导数。
隐函数法则的公式为：(dy/dx) = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)其中(∂F/∂x)和(∂F/∂y)分别表示F(x,y)对变量x和y的偏导数。
通过隐函数法则，我们可以计算得到复合函数的导数。
综上所述，链式法则、导数反函数法则和隐函数法则是求导复合函数的三种基本法则。
这些法则能够帮助我们解决复杂的多元函数求导问题，提高计算效率。
第四节多元复合函数的求导法则
第四节多元复合函数的求导法则多元函数是指含有多个自变量的函数，多元复合函数则是由多个函数相互组合而成的复合函数。
在求多元复合函数的导数时，我们需要运用多元复合函数的求导法则。
多元复合函数的求导法则有以下几种情况：1.复合函数的链式法则：设有两个变量x和y，其中y=f(u)是自变量u的函数，u=g(x)是自变量x的函数，则函数y=f(g(x))就是一个多元复合函数。
根据链式法则，该函数的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx2.高阶多元复合函数的求导：对于高阶多元复合函数，我们需要运用多次链式法则来求导。
例如，考虑一个三元复合函数z=f(y),y=g(x),x=h(t)，其中t是自变量。
根据链式法则，可以得到如下公式：dz/dt = dz/dy * dy/dx * dx/dt这里 dz/dy 表示 z 关于 y 的导数，dy/dx 表示 y 关于 x 的导数，dx/dt 表示 x 关于 t 的导数。
3.多元复合函数中的偏导数：对于多元复合函数中的偏导数求导，我们需要运用偏导数的链式法则。
偏导数的链式法则可以表示为：∂z/∂x=(∂z/∂y)*(∂y/∂x)其中∂z/∂y表示z关于y的偏导数，∂y/∂x表示y关于x的偏导数。
同样地，对于高阶多元复合函数中的偏导数求导，我们需要运用多次链式法则来求解。
总结起来，多元复合函数的求导法则主要有链式法则和偏导数的链式法则。
通过这些法则，我们可以方便地求解多元复合函数的导数。
在实际应用中，求多元复合函数的导数常常用于最优化问题、概率统计、机器学习等领域。
这些领域中的问题往往涉及多个变量，而多元复合函数的导数可以帮助我们了解函数随变量的变化趋势，从而得出一些有用的结论。
9-4-多元复合函数求导法则
一、多元复合函数概念 二、多元复合函数求导法则 三、多元复合函数的高阶偏导数
元
x x(s,t)
复 合
u f (x, y)
y
y(s, t )
u f (x(s,t), y(s,t)) F(s,t)
函
数
一、多元复合函数概念
类型一
➢复合关系图
类型二
➢复合关系图
类型三
➢复合关系图
s ux
t x uy t
xs u
yt
一、多元复合函数概念
类型
u f (x) x (s,t)
多
u f (x, y)
x x(t)
y
y(t)
u f (x(t), y(t)) F(t)
元 复 合
u f (x, y)
x x(s,t)
y
y(s, t )
u f (x(s,t), y(s,t)) F(s,t)
函 数
x (t)
u f (x, y,t)
y
(t)
u f ((t), (t), t) F(t)
u f (x, y,(x, y)) F(x, y)
一、多元复合函数概念
类型一
➢复合关系图
类型二
➢复合关系图
类型三
➢复合关系图
类型四
➢复合关系图
类型五
➢复合关系图
s ux
t x uy t
xs u
yt
x
u
y t
t
xx
u
y z
y
二、多元复合函数求导法则
类型
u f (x) x (s,t)
u f ((s,t))
u f (x(t), y(t)) F(t)
元
x x(s,t)
复 合
u f (x, y)
y
y(s, t )
u f (x(s,t), y(s,t)) F(s,t)
函
数
一、多元复合函数概念
类型一
➢复合关系图
类型二
➢复合关系图
类型三
➢复合关系图
s ux
t x uy t
xs u
yt
一、多元复合函数概念
类型
u f (x) x (s,t)
多
u f (x, y)
x x(t)
y
y(t)
u f (x(t), y(t)) F(t)
元 复 合
u f (x, y)
x x(s,t)
y
y(s, t )
u f (x(s,t), y(s,t)) F(s,t)
函 数
x (t)
u f (x, y,t)
y
(t)
u f ((t), (t), t) F(t)
u f (x, y,(x, y)) F(x, y)
一、多元复合函数概念
类型一
➢复合关系图
类型二
➢复合关系图
类型三
➢复合关系图
类型四
➢复合关系图
类型五
➢复合关系图
s ux
t x uy t
xs u
yt
x
u
y t
t
xx
u
y z
y
二、多元复合函数求导法则
类型
u f (x) x (s,t)
u f ((s,t))
u f (x(t), y(t)) F(t)
9.4 多元复合函数求导法则(新)
x
∂z 2 x = e cos y + ∂x x
∂z 1 x = −e sin y + ∂y y
18
z = f (u, v) =
u2v 2 2 , u +v ≠ 0 2 2 u +v
u =t , v =t
t 但，z = f (t, t ) = 2
dz 1 = dt 2
0,
u2 +v2 = 0
∂z du ∂z dv ≠ ∂u ⋅ dt + ∂v ⋅ dt = 0⋅1+ 0⋅1 = 0
2
常用导数符号
∂z = fv (u, v) = fv = f2′ ∂v ∂2 z ′′ = fvv (u, v) = fvv = f22 2 ∂v
称为混合偏导数
′′ ′′ ′′ ′′ 当 f12 和 f21 均连续时有 f12 = f21
3
推广: 推广 设下面所涉及的函数都可微 . 1、中间变量多于两个的情形 、中间变量多于两个的情形.
8
例 3.
u = f (x, y, z) = e
x2 + y2 +z2
, z = x sin y, 已知
2
∂u ∂u , . 可微，求 ∂x ∂ y
u
x y z
∂u ∂ f = 解: ∂x ∂x
x y
2 2 x2 + y2 +x4 sin 2 y
= 2 x (1+ 2 x sin y) e
∂u ∂ f ∂ f ∂z = + ⋅ ∂y ∂y ∂z ∂y
x
y x
y
5
z = eu sin v, u = xy , v = x + y , 求 例2. 设
∂z 2 x = e cos y + ∂x x
∂z 1 x = −e sin y + ∂y y
18
z = f (u, v) =
u2v 2 2 , u +v ≠ 0 2 2 u +v
u =t , v =t
t 但，z = f (t, t ) = 2
dz 1 = dt 2
0,
u2 +v2 = 0
∂z du ∂z dv ≠ ∂u ⋅ dt + ∂v ⋅ dt = 0⋅1+ 0⋅1 = 0
2
常用导数符号
∂z = fv (u, v) = fv = f2′ ∂v ∂2 z ′′ = fvv (u, v) = fvv = f22 2 ∂v
称为混合偏导数
′′ ′′ ′′ ′′ 当 f12 和 f21 均连续时有 f12 = f21
3
推广: 推广 设下面所涉及的函数都可微 . 1、中间变量多于两个的情形 、中间变量多于两个的情形.
8
例 3.
u = f (x, y, z) = e
x2 + y2 +z2
, z = x sin y, 已知
2
∂u ∂u , . 可微，求 ∂x ∂ y
u
x y z
∂u ∂ f = 解: ∂x ∂x
x y
2 2 x2 + y2 +x4 sin 2 y
= 2 x (1+ 2 x sin y) e
∂u ∂ f ∂ f ∂z = + ⋅ ∂y ∂y ∂z ∂y
x
y x
y
5
z = eu sin v, u = xy , v = x + y , 求 例2. 设
多元复合函数求导法则和隐函数求导公式
z
= e [ y ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
xy
u x yx
v y
∂ z ∂ z ∂u ∂ z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂ y ∂u ∂ y ∂v ∂ y = e u sin v ⋅ x + e u cos v ⋅1 = e [ x ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
4
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
dz . 例3. 设 z = u v + sin t , u = e , v = cos t , 求全导数 dt d z ∂ z du ∂ z dv ∂ z + = ⋅ + ⋅ 解: z d t ∂u d t ∂v dt ∂t
t
= v e t− u sin t + cos t = e t (cos t − sin t ) + cos t
u
x y z
= 2 x (1 + 2 x sin y ) e
2
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
∂u ∂ f ∂ f ∂ z + ⋅ = ∂ y ∂ y ∂z ∂ y
x
cos y
y
= 2 ye
x2 + y2 + z 2
+2 z e
x2 + y2 + z 2⋅ x 2
= 2 ( y + x sin y cos y ) e
多元复合函数的求导法则
一元复合函数
y = f (u ), u = ϕ ( x)
dy dy d u 求导法则 = ⋅ dx du dx 微分法则 d y = f ′(u ) d u= f ′(u ) ϕ ′ ( x) d x
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u v
上式两端同时除以△t ，得到
.
3
z f u f v o( ) ( (u)2 (v)2 )
t u t v t t 令 t 0, 则有u 0, v 0,
z
u du , v dv
uv
t dt t dt
o ( ) o( ) (u)2 ( v)2 0 t t
t
t
u xyz xt
u f f f
z
dt u dt v dt t
v e t u sin t cos t
uvt
e t (cost sin t) cos t
tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列几个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
求导口诀 : 分段用乘, 分叉用加.
在对应点（u, v）可微, 则复合函数 z f ( (t), (t))
在点 t 可导, 且有链法则（见右边的树图）
dz f du f dv dt u dt v dt 证: 设 △t 为t 的增量, 则相应中间变量
z
uv
有增量△u ,△v , 由于 f 可微，所以
tt
z f u f v o ( ) ( (u)2 (v)2 )
d t 2 u dt v dt
.
5
定理2. 设 z f (u,v) 在对应点可微
u(x,y)， v(x,y)偏导数都存在，
则
z z u z v
x u x v x
z
uv x yx y
z z u z v y u y v y 推广: 设下面所涉及的函数都可微 . 1) 中间变量多于两个的情形. 例如,
注意防止记号的混淆.
.
11
如, z f (x, y), y (x,t)
当它们都具有可微条件时, 有
z f
z f x x
f y y x
z f y t y txy xt注意 这里 z 与 f 不同, x x
z 表示 复合函数f ( x, ( x, t ) )固定 t 对 x 求导 x
.
10
例5. 设 zfx,y，x(s,t)，y (t) 都具备可微
条件，求复合函数 zf((s,t),(t))的偏导数.
解: 如左图，有 z z x , z z x z d y s x s t x t y d t
z
xy
st t
注：在应用链法则时，有时会出现复合函数的某些 中间变量本身又是复合函数的自变量的情况，这时要
.
7
例2. 设 z eu sin v , u xy , v x y , 求 z , z . x y
解 z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cos v 1
z
exy[ y sin(x y) cos(x y)] u v
z z u z v y u y v y
t
(△t＜0 时,根式前加“–”号)
dz f du f dv dt u dt v dt
为了与偏导数区别, 称为全 导数，全导数还可以写成:
dz z du z dv dt u dt v dt
.
4
注: 若定理中f (u,v) 在点(u, v) 可微减弱为偏导数存在,
则定理结论不一定成立.
f 表示f ( x, y )固定 y 对 x 求导 x
.
12
例6. 设u f ( x , y , z ) , y ( x , t ) , t ( x , z ) ,都有一阶
连续偏导数，求 u 和 u . x z
解: 代入中间变量，得到复合函数
u f( x ,( x ,( x ,z ) ) ,z )
第四节
第八章
多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
.
1
一元复合函数 y f (u), u (x)
求导法则
dy dy du dx du dx
微分法则 d y f (u) d u f (u)(x) d x
.
2
一、多元复合函数求导的链式法则
定理1. 若函数 u (t), v (t) 在点t 可导, z f (u,v)
如:
z f (u, v)
u
u2v 2 v
2
,
0,
ut, vt
u2 v2 0 u2 v2 0
易知:
z u
(0,0)
fu (0,0) 0 ,
z v
(0,0)
fv (0,0) 0
但不可微（验证），此时复合函数 z f (t, t ) t 2
d z 1 z du z dv 0 1 0 1 0
x yx y
eu sin v x eu cos v 1
exy[x sin(x y) cos(x y)]
.
8
例3. 求 z(x2y2)xy 的偏导数.
解: 这是一个幂指函数，有了多元函数的链法则，
就不需要用对数求导法了. Qz(x2y2)xy 由 z u v，ux2y2和vxy
复合而成， 于是 zzuzvvuv12xuv lnu y x ux vx
同理可得
(x2y2)xy x
2x2y 2 y2
yln(x2y2)
zvuv12yuvlnux
y
(x2y2)x2 2x yy 22xln(x2y2)
.
9
例4. 设 z uv sin t , u et , v cos t , 求全导数 dz .
dt
解: dz z du z dv z
z
uvw t tt
z f (u,v, w) , u (t), v (t), w (t)
dz z du z dv z dw d t u d t v dt w dt
.
6
例1. 设 zx2y3xy4， 其中 xet,ysint， 求 d z .
dt
解: 解法一，dz z dx z d y
代入
dt x dt y d t
(2xy3y4)et (x212xy3)cost
(2 etsint 3 sin4t)et (e2 t 1 2 etsin 3t)c o st 解法二，先代入，变成一元函数的求导. 因为 z e 2 ts in t 3 e ts in 4 t， 所以
d z 2 e 2 ts in t e 2 tc o s t 3 e ts i n 4 t 1 2 e ts i n t c o s t dt
上式两端同时除以△t ，得到
.
3
z f u f v o( ) ( (u)2 (v)2 )
t u t v t t 令 t 0, 则有u 0, v 0,
z
u du , v dv
uv
t dt t dt
o ( ) o( ) (u)2 ( v)2 0 t t
t
t
u xyz xt
u f f f
z
dt u dt v dt t
v e t u sin t cos t
uvt
e t (cost sin t) cos t
tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列几个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
求导口诀 : 分段用乘, 分叉用加.
在对应点（u, v）可微, 则复合函数 z f ( (t), (t))
在点 t 可导, 且有链法则（见右边的树图）
dz f du f dv dt u dt v dt 证: 设 △t 为t 的增量, 则相应中间变量
z
uv
有增量△u ,△v , 由于 f 可微，所以
tt
z f u f v o ( ) ( (u)2 (v)2 )
d t 2 u dt v dt
.
5
定理2. 设 z f (u,v) 在对应点可微
u(x,y)， v(x,y)偏导数都存在，
则
z z u z v
x u x v x
z
uv x yx y
z z u z v y u y v y 推广: 设下面所涉及的函数都可微 . 1) 中间变量多于两个的情形. 例如,
注意防止记号的混淆.
.
11
如, z f (x, y), y (x,t)
当它们都具有可微条件时, 有
z f
z f x x
f y y x
z f y t y txy xt注意 这里 z 与 f 不同, x x
z 表示 复合函数f ( x, ( x, t ) )固定 t 对 x 求导 x
.
10
例5. 设 zfx,y，x(s,t)，y (t) 都具备可微
条件，求复合函数 zf((s,t),(t))的偏导数.
解: 如左图，有 z z x , z z x z d y s x s t x t y d t
z
xy
st t
注：在应用链法则时，有时会出现复合函数的某些 中间变量本身又是复合函数的自变量的情况，这时要
.
7
例2. 设 z eu sin v , u xy , v x y , 求 z , z . x y
解 z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cos v 1
z
exy[ y sin(x y) cos(x y)] u v
z z u z v y u y v y
t
(△t＜0 时,根式前加“–”号)
dz f du f dv dt u dt v dt
为了与偏导数区别, 称为全 导数，全导数还可以写成:
dz z du z dv dt u dt v dt
.
4
注: 若定理中f (u,v) 在点(u, v) 可微减弱为偏导数存在,
则定理结论不一定成立.
f 表示f ( x, y )固定 y 对 x 求导 x
.
12
例6. 设u f ( x , y , z ) , y ( x , t ) , t ( x , z ) ,都有一阶
连续偏导数，求 u 和 u . x z
解: 代入中间变量，得到复合函数
u f( x ,( x ,( x ,z ) ) ,z )
第四节
第八章
多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
.
1
一元复合函数 y f (u), u (x)
求导法则
dy dy du dx du dx
微分法则 d y f (u) d u f (u)(x) d x
.
2
一、多元复合函数求导的链式法则
定理1. 若函数 u (t), v (t) 在点t 可导, z f (u,v)
如:
z f (u, v)
u
u2v 2 v
2
,
0,
ut, vt
u2 v2 0 u2 v2 0
易知:
z u
(0,0)
fu (0,0) 0 ,
z v
(0,0)
fv (0,0) 0
但不可微（验证），此时复合函数 z f (t, t ) t 2
d z 1 z du z dv 0 1 0 1 0
x yx y
eu sin v x eu cos v 1
exy[x sin(x y) cos(x y)]
.
8
例3. 求 z(x2y2)xy 的偏导数.
解: 这是一个幂指函数，有了多元函数的链法则，
就不需要用对数求导法了. Qz(x2y2)xy 由 z u v，ux2y2和vxy
复合而成， 于是 zzuzvvuv12xuv lnu y x ux vx
同理可得
(x2y2)xy x
2x2y 2 y2
yln(x2y2)
zvuv12yuvlnux
y
(x2y2)x2 2x yy 22xln(x2y2)
.
9
例4. 设 z uv sin t , u et , v cos t , 求全导数 dz .
dt
解: dz z du z dv z
z
uvw t tt
z f (u,v, w) , u (t), v (t), w (t)
dz z du z dv z dw d t u d t v dt w dt
.
6
例1. 设 zx2y3xy4， 其中 xet,ysint， 求 d z .
dt
解: 解法一，dz z dx z d y
代入
dt x dt y d t
(2xy3y4)et (x212xy3)cost
(2 etsint 3 sin4t)et (e2 t 1 2 etsin 3t)c o st 解法二，先代入，变成一元函数的求导. 因为 z e 2 ts in t 3 e ts in 4 t， 所以
d z 2 e 2 ts in t e 2 tc o s t 3 e ts i n 4 t 1 2 e ts i n t c o s t dt