多元复合函数求导的链式法则
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多元复合函数求导的链式法则
全导数
多变量函数的导数定义为所有偏导数 的线性组合，即全导数。
链式法则的推导过程
链式法则推导
链式法则是基于复合函数的求导 法则和单变量、多变量函数的导 数定义推导出来的。
链式法则公式
如果$u = g(x)$是一个单变量函 数，$f(u)$是一个多变量函数，则 $f(g(x))$的导数为$f'(u) cdot g'(x)$。
链式法则在数学分析、微积分、偏微分方程等领域中都有重要的应用，是解决复杂数学问题的关键技术 之一。
多元复合函数求导的链式法则的未来发展方向
01
随着数学理论和计算机技术的不断发展，链式法则的应用前景将更加广阔。未 来可以进一步探索链式法则在机器学习、数据科学、数值分析等领域中的应用 ，以解决更为复杂的实际问题。
02
随着高维数据的不断涌现，如何高效地处理高维数据成为一个重要的研究方向 。链式法则在高维数据处理和分析中具有潜在的应用价值，未来可以进一步挖 掘其应用潜力。
03
链式法则的证明和推导过程可以进一步优化和简化，以提高其在数学教育和实 际应用中的可操作性。同时，可以探索更加直观和易于理解的方法来解释链式 法则的原理和证明过程，以促进其在数学领域中的普及和应用。
实际问题的链式求导
总结词
实际问题的链式求导需要将数学模型与实际问题相结 合，通过建立数学模型并应用链式法则来求解实际问 题。
详细描述
在解决实际问题时，如物理、工程和经济等领域的问 题，我们常常需要建立数学模型来描述问题。在这些 模型中，变量之间通常存在复杂的依赖关系，需要利 用链式法则对模型进行求导，以分析模型的性质和求 解相关问题。例如，在经济学中，对需求函数进行求 导可以分析价格变动对需求量的影响；在物理学中， 对弹性势能函数进行求导可以分析弹性体的位移和应 力分布。
多变量函数的导数定义为所有偏导数 的线性组合，即全导数。
链式法则的推导过程
链式法则推导
链式法则是基于复合函数的求导 法则和单变量、多变量函数的导 数定义推导出来的。
链式法则公式
如果$u = g(x)$是一个单变量函 数，$f(u)$是一个多变量函数，则 $f(g(x))$的导数为$f'(u) cdot g'(x)$。
链式法则在数学分析、微积分、偏微分方程等领域中都有重要的应用，是解决复杂数学问题的关键技术 之一。
多元复合函数求导的链式法则的未来发展方向
01
随着数学理论和计算机技术的不断发展，链式法则的应用前景将更加广阔。未 来可以进一步探索链式法则在机器学习、数据科学、数值分析等领域中的应用 ，以解决更为复杂的实际问题。
02
随着高维数据的不断涌现，如何高效地处理高维数据成为一个重要的研究方向 。链式法则在高维数据处理和分析中具有潜在的应用价值，未来可以进一步挖 掘其应用潜力。
03
链式法则的证明和推导过程可以进一步优化和简化，以提高其在数学教育和实 际应用中的可操作性。同时，可以探索更加直观和易于理解的方法来解释链式 法则的原理和证明过程，以促进其在数学领域中的普及和应用。
实际问题的链式求导
总结词
实际问题的链式求导需要将数学模型与实际问题相结 合，通过建立数学模型并应用链式法则来求解实际问 题。
详细描述
在解决实际问题时，如物理、工程和经济等领域的问 题，我们常常需要建立数学模型来描述问题。在这些 模型中，变量之间通常存在复杂的依赖关系，需要利 用链式法则对模型进行求导，以分析模型的性质和求 解相关问题。例如，在经济学中，对需求函数进行求 导可以分析价格变动对需求量的影响；在物理学中， 对弹性势能函数进行求导可以分析弹性体的位移和应 力分布。
多元多重复合函数的求导法则
多元多重复合函数的求导法则多元多重复合函数是多元函数中重要的一类函数，常用来描述多元关系，其中常用求导法则如下： 1. 链式法则：链式法则是求导最基本的法则，其定义为：若函数y=f(x)是关于变量x的函数，而z=F(y)是关于y的函数，则关于x的F(y)的导数由z的导数乘以y的导数的乘积来决定，即：∂z/∂x = (∂z/∂y) *(∂y/∂x) 2. 偏导数法则：偏导数法则认为多元函数是关于各独立变量变化而变化，即每个变量是由与它独立变量组成的函数组合而成。
这时，只要将函数分解为每个独立变量的函数，分别求出偏导数后，组合即可得到多元函数的极限导数。
3. 偏导数链式法则：偏导数链式法则是将链式法则与偏导数法则相结合而推出的求多元复合函数极限的法则，其定义为：若函数u=f(x,y,z)是三元函数，而v=F(u,z)是关于u，z的多元函数，则u的偏导数即得到v的偏导数，即：∂v ∂x = (∂v/∂u)(∂u/∂x) + (∂v/∂z)(∂z/∂x) 4.Derivative of a composite function：This rule states that for a function y = f(x) composed of two functions u = g(x) and v = h(x), then the derivative of y with respect to x is equal to the product of the derivatives of u and v with respect to x. This can be written as y'(x) = u'(x)·v'(x) 以上是多元多重复合函数常用的求到法则，而求多元复合函数极限的步骤可由偏导数链式法则推导而得。
首先，求出函数中每个变量的偏导数，然后分别乘以各自的函数值，最后将结果进行相乘组合计算即可得到多元复合函数的极限值。
多元函数的求导法则-精选
z z u z v y u y v y
x yx y
eusinvx eucovs1
e x y [x six n y ) (co x y s )( ]
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主讲人： 苏本堂
例2. u f(x ,y ,z ) e x 2 y 2 z 2 ,z x 2 sy i,求nu , u x y
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推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, zf(u,v,w ),
u ( t ) ,v ( t ) ,w ( t )
z
d z z du z dv z dw d t u d t v dt w dt
在点 t 可导, 且有链式法则 dzzduzdv dt u dt v dt
z
uv
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 t t
有增量△u ,△v ,
zzuzvo() (( u)2( v)2)
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zzuzv o ( ) (( u)2( v)2)
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第四节多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
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一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数 u (t),v (t)在 t可 点 ,z导 f(u,v) 在点 (u,v)处偏导连续, 则复合函数 zf((t) ,(t))
e xy[x six ny ) (co x y s )]d(y 所以 zexy[ysixn y()co x sy)(]
多元复合函数的求导法则
多元复合函数的求导法则为了简化讲解，假设我们有一个复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个一元函数，f(y)是一个多元函数。
我们希望计算该函数的导数。
下面是多元复合函数求导的三种基本法则。
法则一：链式法则链式法则是求导复合函数最常用的法则。
它可以帮助我们计算f(g(x))的导数。
根据链式法则，导数可以通过链式相乘的方式进行计算。
链式法则的公式为：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)其中f'(y)是f(y)对变量y的导数，g'(x)是g(x)对变量x的导数。
通过链式法则，我们可以将f(g(x))的导数转化为f'(g(x))和g'(x)的乘积。
法则二：导数反函数法则导数反函数法则是求导复合函数的另一种常用法则。
它适用于求导符合函数的反函数的导数。
设y=g(x)是一个可逆函数，且g'(x)≠0，则它的反函数x=g⁻¹(y)的导数可以通过导数的反函数进行计算。
导数反函数法则的公式为：(g⁻¹(y))'=1/(g'(x))其中g'(x)是g(x)对变量x的导数。
通过导数反函数法则，我们可以计算得到反函数的导数。
法则三：隐函数法则隐函数法则适用于求导复合函数中的隐式函数。
隐式函数是一种表示函数关系的方程，它的导数可以通过隐函数法则进行计算。
假设我们有一个隐函数F(x,y)=0，其中y=g(x)是一个表示x与y的关系的函数。
我们可以使用隐函数法则计算y的导数。
隐函数法则的公式为：(dy/dx) = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)其中(∂F/∂x)和(∂F/∂y)分别表示F(x,y)对变量x和y的偏导数。
通过隐函数法则，我们可以计算得到复合函数的导数。
综上所述，链式法则、导数反函数法则和隐函数法则是求导复合函数的三种基本法则。
这些法则能够帮助我们解决复杂的多元函数求导问题，提高计算效率。
6-4复合函数的求导法则
第四节 复合函数的求导法则
------链式法则 链式法则
一、多元复合函数求导的链式法则
情形一:中间变量为一元函数 情形一 中间变量为一元函数
定理 定理 如果函数 u = φ (t ) 及 v = ψ (t ) 都在点t 可 导，函数 z = f (u, v ) 在对应点(u, v ) 具有连续偏 导数， 导数，则复合函数 z = f [φ (t ),ψ (t )]在对应点t 可 且其导数可用下列公式计算： 导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． = + dt u dt v dt
证 设 t 获得增量 t，
则 u = φ ( t + t ) φ ( t ), v = ψ ( t + t ) ψ ( t );
由于函数 z = f ( u , v ) 在点 ( u , v ) 有连续偏导数
z z z = u + v + ε 1 u + ε 2 v , u v
w = 1. y
区 别 类 似
z f u f = + , x u x x
z f u f = + . y u y y
z = f ( u, x , y )
z = f [φ ( x , y ), x , y ] 中
中
u x
y
y
x
z = f (u, x, y ) = ue xy , u = x 2 y
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况 如
z
dz z du z dv z dw = + + dt u dt v dt w dt
dz 称为全导数 全导数. 以上公式中的导数 称为全导数. dt
------链式法则 链式法则
一、多元复合函数求导的链式法则
情形一:中间变量为一元函数 情形一 中间变量为一元函数
定理 定理 如果函数 u = φ (t ) 及 v = ψ (t ) 都在点t 可 导，函数 z = f (u, v ) 在对应点(u, v ) 具有连续偏 导数， 导数，则复合函数 z = f [φ (t ),ψ (t )]在对应点t 可 且其导数可用下列公式计算： 导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． = + dt u dt v dt
证 设 t 获得增量 t，
则 u = φ ( t + t ) φ ( t ), v = ψ ( t + t ) ψ ( t );
由于函数 z = f ( u , v ) 在点 ( u , v ) 有连续偏导数
z z z = u + v + ε 1 u + ε 2 v , u v
w = 1. y
区 别 类 似
z f u f = + , x u x x
z f u f = + . y u y y
z = f ( u, x , y )
z = f [φ ( x , y ), x , y ] 中
中
u x
y
y
x
z = f (u, x, y ) = ue xy , u = x 2 y
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况 如
z
dz z du z dv z dw = + + dt u dt v dt w dt
dz 称为全导数 全导数. 以上公式中的导数 称为全导数. dt
多元复合函数的求导法则
u v
上式两端同时除以△t ，得到
.
3
z f u f v o( ) ( (u)2 (v)2 )
t u t v t t 令 t 0, 则有u 0, v 0,
z
u du , v dv
uv
t dt t dt
o ( ) o( ) (u)2 ( v)2 0 t t
t
t
u xyz xt
u f f f
z
dt u dt v dt t
v e t u sin t cos t
uvt
e t (cost sin t) cos t
tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列几个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
求导口诀 : 分段用乘, 分叉用加.
在对应点（u, v）可微, 则复合函数 z f ( (t), (t))
在点 t 可导, 且有链法则（见右边的树图）
dz f du f dv dt u dt v dt 证: 设 △t 为t 的增量, 则相应中间变量
z
uv
有增量△u ,△v , 由于 f 可微，所以
tt
z f u f v o ( ) ( (u)2 (v)2 )
d t 2 u dt v dt
.
5
定理2. 设 z f (u,v) 在对应点可微
u(x,y)， v(x,y)偏导数都存在，
则
z z u z v
x u x v x
z
uv x yx y
z z u z v y u y v y 推广: 设下面所涉及的函数都可微 . 1) 中间变量多于两个的情形. 例如,
注意防止记号的混淆.
.
上式两端同时除以△t ，得到
.
3
z f u f v o( ) ( (u)2 (v)2 )
t u t v t t 令 t 0, 则有u 0, v 0,
z
u du , v dv
uv
t dt t dt
o ( ) o( ) (u)2 ( v)2 0 t t
t
t
u xyz xt
u f f f
z
dt u dt v dt t
v e t u sin t cos t
uvt
e t (cost sin t) cos t
tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列几个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
求导口诀 : 分段用乘, 分叉用加.
在对应点（u, v）可微, 则复合函数 z f ( (t), (t))
在点 t 可导, 且有链法则（见右边的树图）
dz f du f dv dt u dt v dt 证: 设 △t 为t 的增量, 则相应中间变量
z
uv
有增量△u ,△v , 由于 f 可微，所以
tt
z f u f v o ( ) ( (u)2 (v)2 )
d t 2 u dt v dt
.
5
定理2. 设 z f (u,v) 在对应点可微
u(x,y)， v(x,y)偏导数都存在，
则
z z u z v
x u x v x
z
uv x yx y
z z u z v y u y v y 推广: 设下面所涉及的函数都可微 . 1) 中间变量多于两个的情形. 例如,
注意防止记号的混淆.
.
多元复合函数的求导法则
= 2 ( y + x sin y cos y ) e
4
x2 + y2 +x4 sin 2 y
∂f x2 + y2 +z2 x2 + y2 +z2 ⋅ 2 xsin y = 2xe +2ze = ∂x 2 2 x2 + y2 +x4 sin 2 y = 2 x (1+ 2 x sin y) e ∂u ∂ f ∂ f ∂z x2 + y2 +z2 x2 + y2 +z2⋅ x2 cos y = + ⋅ = 2ye +2ze ∂y ∂y ∂z ∂y 4 x2 + y2 +x4 sin 2 y = 2 ( y + x sin y cos y ) e 为中间变量时, 注:变量 x, y既是中间变量最终变量,当视 x, y 的函数 x, y, z 是独立的, 当视 x, y 最终变量时, z是 x, y ∂u ∂ f x, y, z 不是独立的. 故 与 在这里含义不同. ∂x ∂x ∂ f 是视 x, y为中间变量求导,故对 u求导时 x, y, z 是独立的,故
中间变量到达它就有几项之和);每一项都是对中间变量的 偏导数与该中间变量对自变量的导数之积.
例4. 设 z = f (cos e
解: 令 u = cos e
x+2 y
)
∂z ∂z ∂2 z 求 , ∂x ∂y ∂x∂y
z
u
x+2 y
x
y
∂z dz ∂u ' x+2 y x+2 y x+2 y = = f (cos e )(−sin e )e ∂x du ∂x ∂z dz ∂u ' x+2 y (−sin ex+2 y )ex+2 y 2 = = f (cos e ) ∂y du ∂y ∂2 z ∂ ∂z ∂ ' x+2 y x+2 y x+2 y = ( − f (cos e )sin e e ) = ∂x∂y ∂y ∂x ∂y '' x+2 y x+2 y x+2 y x+2 y x+2 y = [− f (cos e )(−sin e )e 2]sin e e
高等数学 第四节 多元复合函数的求导法则
由此说明不论 u , v 是自变量还是中间变量 , 都有 ∂z ∂z dz = d u+ dv ∂u ∂v 此为全微分的形式不变 性 .
11
例 4 . 已知 e
−xy
∂z ∂z − 2z + e = 0 , 求 . 和 ∂x ∂y
z
解 . Q d (e − x y − 2 z + e z ) = 0 , ∴ e − x y d (− x y ) − 2 d z + e z d z = 0 ,
− e − xy ( x d y + y d x) = ( 2 − e z ) dz
dz=
− y e−xy (2−e )
z
dx+
− x e−xy (2−e )
z
dy
∴
∂ z y e−xy = z , ∂x e −2
∂ z x e−xy = z . ∂y e −2
12
复合函数的高阶偏导数
∂2z 2 2 2 例5 . 设 z = f ( x y , x − y ) , f ∈ C , 求 . ∂x∂y
= f x ⋅ x ′( t ) + f y ⋅ y ′( t ) + 0 ⋅ x ′ 2 + y ′ 2
即
du = f x ⋅ x′(t ) + f y ⋅ y′(t ) . dt
2
x = x (t ) 推广 . 对于 u = f ( x , y , z ) , y = y ( t ) , z = z (t ) f 可微, x(t ) , y(t ) , z(t ) 可导.
∂z ∂z 求 , . ∂x ∂y ∂z ′ 解. = f1′ ⋅ u x + f 2 ∂x
11
例 4 . 已知 e
−xy
∂z ∂z − 2z + e = 0 , 求 . 和 ∂x ∂y
z
解 . Q d (e − x y − 2 z + e z ) = 0 , ∴ e − x y d (− x y ) − 2 d z + e z d z = 0 ,
− e − xy ( x d y + y d x) = ( 2 − e z ) dz
dz=
− y e−xy (2−e )
z
dx+
− x e−xy (2−e )
z
dy
∴
∂ z y e−xy = z , ∂x e −2
∂ z x e−xy = z . ∂y e −2
12
复合函数的高阶偏导数
∂2z 2 2 2 例5 . 设 z = f ( x y , x − y ) , f ∈ C , 求 . ∂x∂y
= f x ⋅ x ′( t ) + f y ⋅ y ′( t ) + 0 ⋅ x ′ 2 + y ′ 2
即
du = f x ⋅ x′(t ) + f y ⋅ y′(t ) . dt
2
x = x (t ) 推广 . 对于 u = f ( x , y , z ) , y = y ( t ) , z = z (t ) f 可微, x(t ) , y(t ) , z(t ) 可导.
∂z ∂z 求 , . ∂x ∂y ∂z ′ 解. = f1′ ⋅ u x + f 2 ∂x
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主讲人： 苏本堂
第四节多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
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一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数
z f (u, v)
处偏导连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
dz z d u z dv d t u d t v d t
z x
z
2
x y
f1
z x y
f 13
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二、多元复合函数的全微分
设函数 都可微, 则复合函数 z f ( ( x, y ) , ( x, y ) ) 的全微分为
dz z x dx z y dy
z u z v ( )dy u y v y u u v v ( dx dy ) ( dx dy ) x y x y
z
x y z
2
x
2 2 2
y
2 ye
x y z
2ze
x cos y
2 4 2
2
2 ( y x sin y cos y ) e
4
x y x sin
y
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例3. 设 z u v sin t , u e , v cos t , 求全导数
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练习 1. 设
u x u y u z f1 f1 1 y f1
求偏导数。
f2
y z
2
x y
2
f1
1 z
f2
f2
f2
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练习2 设
z x
2
求
f2
f 11 f 21 f 23
x
y x
y
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又如, z f ( x, v) , v ( x, y )
当它们都具有可微条件时, 有
z x z y z x f x
z f
f1 f 2 1 f2 2
x
v
x y
注意: 这里
z x
与
f2 yz y z f 2 ( x y z, x y z ) f12 x y
2
f 22 x y
2
f x y f11 y( x z ) f12 zf f,22 f yf 2 f , 为简便起见 , 引入记号 1 12 u u v
解:
dz z du dt u d t z t
t
dz dt
.
z
u v t
ve
t
t
cos t
e (cos t sin t ) cos t
t
t
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
z
u
v
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量
t
t
有增量△u ,△v ,
z z u u z v v o ( )
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z t
z u u t
z v v t
o( ) t
(
(u ) (v) )
u
e sin v
u
e cos v 1
u
z
u v yx y
z y
z v v y
x
e sin v
u
e cos v 1
u
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2
例2. u f ( x, y, z ) e
解:
u x f x
2 2 2
x y z
d ( x y) (d x d y )
e
xy
[ y sin( x y ) cos( x y)]d x
dy
所以 例1 . z eu sin v, u x y, v x y, 求 z , z .
x y
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内容小结
1. 复合函数求导的链式法则
推广: 设下面所涉及的函数都可微 . 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z f (u, v, w) ,
u (t ) , v (t ) , w (t )
dz z dv z dw z du v d t w d t dt u d t f1 f 2 f 3
z
u
t
v
t
w
t
2) 中间变量是多元函数的情形.例如,
z f (u, v) ,
z
u ( x, y ) ,
v ( x, y )
z u z v f11 f 2 1 x u x v x
z
u v
z u z v f1 2 f 2 2 y u y v y z
f x
不同,
f x
表示固定 y 对 x 求导,
表示固定 v 对 x 求导
口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
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z z 例1. 设 z e sin v , u x y , v x y , 求 , . x y z z v 解: x v x
2
2
则有 u 0 , v 0 , u du v dv , t dt t dt
o( )
z
u v
t
t
(△t＜0 时,根式前加“–”号)
dz z d u z dv d t u d t v d t
( 全导数公式 )
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“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导” 例如, u
1 ;
2
x
y v x y
2. 全微分形式不变性
不论 u , v 是自变量还是因变量,
d z f u (u , v) d u f v (u , v) d v
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作业：p-82习题9-4
2; 4; 6; 9; 10; 11;12(4)
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例4. 设
w w 求 , . x x z
2
f 具有二阶连续偏导数,
w , f1 , f 2
解: 令 u x y z , v x y z , 则
w f (u, v)
w x
w x z
2
u
v
x y z x y z
du
dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.
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例 5. 利用全微分形式不变性再解例1. 解: d z d( eu sin v )
e cos v dv
u
d (x y)
( yd x xd y)
2
2
u u , , z x sin y, 求 x y
2
2 xe
x y z
2z e
2
x sin y
4 2
u
x y z
2 x (1 2 x sin y ) e
u y f y
2
2
x y x sin
y
2
f
2
z y
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主讲人： 苏本堂
第四节多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
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一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数
z f (u, v)
处偏导连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
dz z d u z dv d t u d t v d t
z x
z
2
x y
f1
z x y
f 13
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二、多元复合函数的全微分
设函数 都可微, 则复合函数 z f ( ( x, y ) , ( x, y ) ) 的全微分为
dz z x dx z y dy
z u z v ( )dy u y v y u u v v ( dx dy ) ( dx dy ) x y x y
z
x y z
2
x
2 2 2
y
2 ye
x y z
2ze
x cos y
2 4 2
2
2 ( y x sin y cos y ) e
4
x y x sin
y
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例3. 设 z u v sin t , u e , v cos t , 求全导数
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练习 1. 设
u x u y u z f1 f1 1 y f1
求偏导数。
f2
y z
2
x y
2
f1
1 z
f2
f2
f2
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练习2 设
z x
2
求
f2
f 11 f 21 f 23
x
y x
y
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又如, z f ( x, v) , v ( x, y )
当它们都具有可微条件时, 有
z x z y z x f x
z f
f1 f 2 1 f2 2
x
v
x y
注意: 这里
z x
与
f2 yz y z f 2 ( x y z, x y z ) f12 x y
2
f 22 x y
2
f x y f11 y( x z ) f12 zf f,22 f yf 2 f , 为简便起见 , 引入记号 1 12 u u v
解:
dz z du dt u d t z t
t
dz dt
.
z
u v t
ve
t
t
cos t
e (cos t sin t ) cos t
t
t
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
z
u
v
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量
t
t
有增量△u ,△v ,
z z u u z v v o ( )
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z t
z u u t
z v v t
o( ) t
(
(u ) (v) )
u
e sin v
u
e cos v 1
u
z
u v yx y
z y
z v v y
x
e sin v
u
e cos v 1
u
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2
例2. u f ( x, y, z ) e
解:
u x f x
2 2 2
x y z
d ( x y) (d x d y )
e
xy
[ y sin( x y ) cos( x y)]d x
dy
所以 例1 . z eu sin v, u x y, v x y, 求 z , z .
x y
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内容小结
1. 复合函数求导的链式法则
推广: 设下面所涉及的函数都可微 . 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z f (u, v, w) ,
u (t ) , v (t ) , w (t )
dz z dv z dw z du v d t w d t dt u d t f1 f 2 f 3
z
u
t
v
t
w
t
2) 中间变量是多元函数的情形.例如,
z f (u, v) ,
z
u ( x, y ) ,
v ( x, y )
z u z v f11 f 2 1 x u x v x
z
u v
z u z v f1 2 f 2 2 y u y v y z
f x
不同,
f x
表示固定 y 对 x 求导,
表示固定 v 对 x 求导
口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
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z z 例1. 设 z e sin v , u x y , v x y , 求 , . x y z z v 解: x v x
2
2
则有 u 0 , v 0 , u du v dv , t dt t dt
o( )
z
u v
t
t
(△t＜0 时,根式前加“–”号)
dz z d u z dv d t u d t v d t
( 全导数公式 )
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“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导” 例如, u
1 ;
2
x
y v x y
2. 全微分形式不变性
不论 u , v 是自变量还是因变量,
d z f u (u , v) d u f v (u , v) d v
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作业：p-82习题9-4
2; 4; 6; 9; 10; 11;12(4)
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例4. 设
w w 求 , . x x z
2
f 具有二阶连续偏导数,
w , f1 , f 2
解: 令 u x y z , v x y z , 则
w f (u, v)
w x
w x z
2
u
v
x y z x y z
du
dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.
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例 5. 利用全微分形式不变性再解例1. 解: d z d( eu sin v )
e cos v dv
u
d (x y)
( yd x xd y)
2
2
u u , , z x sin y, 求 x y
2
2 xe
x y z
2z e
2
x sin y
4 2
u
x y z
2 x (1 2 x sin y ) e
u y f y
2
2
x y x sin
y
2
f
2
z y