2 复合函数偏导数的链式法则
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多元多重复合函数的求导法则
多元多重复合函数的求导法则多元多重复合函数是多元函数中重要的一类函数，常用来描述多元关系，其中常用求导法则如下： 1. 链式法则：链式法则是求导最基本的法则，其定义为：若函数y=f(x)是关于变量x的函数，而z=F(y)是关于y的函数，则关于x的F(y)的导数由z的导数乘以y的导数的乘积来决定，即：∂z/∂x = (∂z/∂y) *(∂y/∂x) 2. 偏导数法则：偏导数法则认为多元函数是关于各独立变量变化而变化，即每个变量是由与它独立变量组成的函数组合而成。
这时，只要将函数分解为每个独立变量的函数，分别求出偏导数后，组合即可得到多元函数的极限导数。
3. 偏导数链式法则：偏导数链式法则是将链式法则与偏导数法则相结合而推出的求多元复合函数极限的法则，其定义为：若函数u=f(x,y,z)是三元函数，而v=F(u,z)是关于u，z的多元函数，则u的偏导数即得到v的偏导数，即：∂v ∂x = (∂v/∂u)(∂u/∂x) + (∂v/∂z)(∂z/∂x) 4.Derivative of a composite function：This rule states that for a function y = f(x) composed of two functions u = g(x) and v = h(x), then the derivative of y with respect to x is equal to the product of the derivatives of u and v with respect to x. This can be written as y'(x) = u'(x)·v'(x) 以上是多元多重复合函数常用的求到法则，而求多元复合函数极限的步骤可由偏导数链式法则推导而得。
首先，求出函数中每个变量的偏导数，然后分别乘以各自的函数值，最后将结果进行相乘组合计算即可得到多元复合函数的极限值。
复合函数求导法则
导数存在，且可用下列公式计算
z
z
u
z
v
，
x u x v x
z y
z u
u y
z v
v y
.
链式法则如图示
u
x
z
v
y
z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
例 1 设 z eu sin v ，而u xy，v x y ， 求 z 和z . x y
即 z f[(x ,y )x ,y ],令 vx, wy,
v 1, w 0,
x
x
zf uf, x u x x
v 0, w 1.
y
y
区
z f uf . y u y y
别 类 似
两者的区别
把 z f (u, x, y)
把复合函数zf[(x,y),x,y]中 的 u 及 y 看 作 不
中 的y看 作 不 变 而 对 x的 偏 导 数 变 而 对 x 的 偏 导 数
同理有 f2, f11, f22.
w x
f u f v
u x v x
f1yfz2 ;
2w xz
( z
f1
yzf2)
fz1yf2yzfz2;
f 1 z
fu1uzfv1vz f1 1xf1 y ;2
f 2 z
f2uf2v u z v z
f2 1xf2 y ;2
于是
2w xz
f11xfy12 yf2 y(f z 2 1xf2 y )2
连续偏导数，求 w 和 2w . x xz
（3）求抽象函数的二阶偏导数时要注意，对一 切一阶偏导数来说其结构图仍与原来函数的结 构图相同。
复合函数的求导法则,反函数的求导法则
数学分析（上）
2 g ( x ) ln x ,求 f ( x ) x 例10 设 ，
f [ g( x )] f [ g( x )]
解 f ( x ) 2 x
g[ f ( x )] g[ f ( x )]
f [ g( x )] 2 ln x
2 ln x f [ g ( x )] f [ g ( x )] g ( x ) x
2
1 1 1 y 2 2x 2 x 1 3( x 2)
x 1 2 x 1 3( x 2)
数学分析（上）
例8 y x ，求 y .
x
解
y x
x
e
x ln x
e
x ln x x ln x x ln x 1 x ln x 1 e
数学分析（上）
注意到:当x 0 时, 由 u ( x ) 的连续性
lim lim 0 可得 u 0, 从而 x 0 u 0
所以,令x 0 , 便有
dy du dy f ( u) ( x ) dx du dx
f [ ( x )] f [ ( x )] ( x )
第二节 §2 复合函数的求导法则 反函数的求导法则 一、复合函数的求导法则 定理1 (链式法则)如果 u ( x ) 在点 x 处可导，而函数 y f ( u) 在对应的点 u 处可 导，则复合函数 y f ( ( x )) 在点 x 处可导， 且
dy f ( u) ( x ) 或 dx
2
1 x 例5 y , 求 y . 1 x
例6 证明双曲函数的求导公式:
复合函数求偏导
w w du w v w t x u dx v x t x
2x w y w yz w, u v t
w y
w v
v y
w t
t y
x
w v
xz
w. t
w w t xy w. z t z t
3.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而 u (x), v (x)
可导，则复合函数
z f [(x), (x)]
只是自变量x的函数， 求z对x的导数 dz .
dx
可得
dz z du z dv.
(5)
dx u dx v dx
在这里，函数z是通过二元函数z=f(u,v)而成为x的
x
x
例1
设 z eu sinv,u xy,v x y, 求 z , z . x y
解法1 得
z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cos v 1
exy[ y sin(x y) cos(x y)]，
x y
自变量x到达z的路径有二条，第一路径上只有一
个函数，即z是x的函数.第二路径上有两个函数z和v.自 变量y到达z的路径只有一条，于是 z , z 的偏导数
x y 公式应是：
z f f v，
x x v x z f v .
(6)
y v y
一元复合函数.因此，z对x的导数 dz 又称为z对x的全 dx
导数.对公式(5)应注意，由于z，u，v这三个函数都是x
的一元函数，故对x的导数应写成 dz , du , dv ，而不能
复合函数的求导法则
导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v z z u z v ， . y u y v y x u x v x
链式法则如图示
u
z
x
y
v
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
y , 其中为可导函数, 七、设 z 2 2 f (x y ) 1 z 1 z z 2. 验证: x x y y y 八、设 z [ x ( x y ), y ], 其中 , 具有二阶导数,求 2z 2z , 2. 2 x yLeabharlann 练习题答案一、1、
du f ( u ,v , x ) x dx v
dv f ( u ,v , x ) x dx x
( u ,v , x )
.
练习题
一、填空题: x cos y z 1、设 z ,则 ________________； y cos x x z ________________. y x 2 ln( 3 x 2 y ) z z 2 、设 ,则 _______________； 2 x y z ________________. y sin t 2 t 3 dz z e 3、设 ,则 ________________. dt v z z 2 2 u 二、设 z ue ,而u x y , v xy ，求 , . x y
例：z = (1+ x )
2 sin3x
dz 求 dx
例：z = (x y )
2
2 2 x 3 y
z z 求 x y
2、复合函数求导注意事项：
z z u z v z z u z v ， . y u y v y x u x v x
链式法则如图示
u
z
x
y
v
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
y , 其中为可导函数, 七、设 z 2 2 f (x y ) 1 z 1 z z 2. 验证: x x y y y 八、设 z [ x ( x y ), y ], 其中 , 具有二阶导数,求 2z 2z , 2. 2 x yLeabharlann 练习题答案一、1、
du f ( u ,v , x ) x dx v
dv f ( u ,v , x ) x dx x
( u ,v , x )
.
练习题
一、填空题: x cos y z 1、设 z ,则 ________________； y cos x x z ________________. y x 2 ln( 3 x 2 y ) z z 2 、设 ,则 _______________； 2 x y z ________________. y sin t 2 t 3 dz z e 3、设 ,则 ________________. dt v z z 2 2 u 二、设 z ue ,而u x y , v xy ，求 , . x y
例：z = (1+ x )
2 sin3x
dz 求 dx
例：z = (x y )
2
2 2 x 3 y
z z 求 x y
2、复合函数求导注意事项：
复合函数的求导法则
证 设 t 获得增量 t，
则 u (t t) (t), v (t t) (t);
由于函数z f (u, v)在点(u, v)有连续偏导数
z
z u
u
z v
v
1u
2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
z t
z u
u t
z v
v t
1
u t
2
v t
当t 0时， u 0，v 0
例 3 设w f ( x y z, xyz)，f 具有二阶 连续偏导数，求w 和 2w . x xz
解 令 u x y z, v xyz;
记
f1
f
(u,v) , u
f12
2 f (u,v) , uv
同理有 f2, f11, f22 .
w f u f v
x
u x v x
f1 yzf2;
x
y
情形三:中间变量既有一元函数,又有多元函数 z=f(x,y), x=u(s,t) ,y=v(t) ,则
z f x s x s z f x f dy t x t y dt
特殊地 z f (u, x, y) 其中 u ( x, y)
即 z f [( x, y), x, y], 令 v x, w y,
四、设 z f ( x 2 y 2 , e xy ),(其中f具 有一阶连续偏导
数),求z , z . x y
五、设u f ( x xy xyz) ,(其中f具 有一阶连续偏导 数),求u , u , u . x y z
第四节 复合函数的求导法则
------链式法则
情形一:中间变量为一元函数
定理 如果函数u (t) 及v (t) 都在t点 可
则 u (t t) (t), v (t t) (t);
由于函数z f (u, v)在点(u, v)有连续偏导数
z
z u
u
z v
v
1u
2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
z t
z u
u t
z v
v t
1
u t
2
v t
当t 0时， u 0，v 0
例 3 设w f ( x y z, xyz)，f 具有二阶 连续偏导数，求w 和 2w . x xz
解 令 u x y z, v xyz;
记
f1
f
(u,v) , u
f12
2 f (u,v) , uv
同理有 f2, f11, f22 .
w f u f v
x
u x v x
f1 yzf2;
x
y
情形三:中间变量既有一元函数,又有多元函数 z=f(x,y), x=u(s,t) ,y=v(t) ,则
z f x s x s z f x f dy t x t y dt
特殊地 z f (u, x, y) 其中 u ( x, y)
即 z f [( x, y), x, y], 令 v x, w y,
四、设 z f ( x 2 y 2 , e xy ),(其中f具 有一阶连续偏导
数),求z , z . x y
五、设u f ( x xy xyz) ,(其中f具 有一阶连续偏导 数),求u , u , u . x y z
第四节 复合函数的求导法则
------链式法则
情形一:中间变量为一元函数
定理 如果函数u (t) 及v (t) 都在t点 可
求复合函数偏导数的链式法则解
z x
Yunnan University
e [ y sin( x y ) cos( x y )]dx
xy
z y
e xy [ x sin( x y ) cos( x y )]dy .
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
例 9 已知 e
解
xy
d e
2 z e 0 ，求 z 和 z .
Yunnan University
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
u u 证明： ' ', a ' a ', x t 2u 2u 2 2 '' '', a '' a '', 2 2 x t 所以
2 2u u 2 a . 2 2 t x
将 x0 , y0 换成D内任一点 x , y , 有 xf yf nf x , y ,
' 1 ' 2
即 f f x y nf . x y
Yunnan University
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
对z f x , y
x 2 y 2 , 它满足
Yunnan University
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
二、复合函数的全微分
设函数 z f ( u, v ) 具有连续偏导数，则 u，v 不论是 自变量还是中间变量，总有全微分
dz z du z d，结论显然。
（2）如果 u，v 是中间变量， u ( x , y ), v ( x , y ). 有全微分：
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
Yunnan University
e [ y sin( x y ) cos( x y )]dx
xy
z y
e xy [ x sin( x y ) cos( x y )]dy .
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
例 9 已知 e
解
xy
d e
2 z e 0 ，求 z 和 z .
Yunnan University
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
u u 证明： ' ', a ' a ', x t 2u 2u 2 2 '' '', a '' a '', 2 2 x t 所以
2 2u u 2 a . 2 2 t x
将 x0 , y0 换成D内任一点 x , y , 有 xf yf nf x , y ,
' 1 ' 2
即 f f x y nf . x y
Yunnan University
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
对z f x , y
x 2 y 2 , 它满足
Yunnan University
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
二、复合函数的全微分
设函数 z f ( u, v ) 具有连续偏导数，则 u，v 不论是 自变量还是中间变量，总有全微分
dz z du z d，结论显然。
（2）如果 u，v 是中间变量， u ( x , y ), v ( x , y ). 有全微分：
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
一链式法则
的函数，它的全微分形式是一样的.
注意，在复合函数情形下，du, dv也是u, v的函数，
因而高阶全微分不具有形式不变性。
Yunnan University
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
例 8 设 z eu sin v，而 u xy，v x y，
求全微分 dz .
解：
dz
z u
du
z v
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
二、复合函数的全微分
设函数z f (u,v)具有连续偏导数，则 u，v 不论是
自变量还是中间变量，总有全微分
dz
z u
du
z v
dv 。
事实上，
（1）如果 u，v 是自变量，结论显然。
（2）如果 u，v 是中间变量，u ( x, y), v ( x, y).
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
等式两边求导，得
x0 f1' y0 f2' nt n1 f x0 , y0 .
当t 1时，有
x0 f1' y0 f2' n f x0 , y0 .
将 x0 , y0 换成D内任一点 x, y ,有
xf1'
yf
' 2
nf
x,
y,
即
f x
f y
nf .
任意的二次可微函数，求证： 2 u t 2
a2
2u x 2
.
Yunnan University
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
证明： u ' ', u a ' a ',
x
t
2u x 2
''
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存在,求 z = f ( x,ϕ ( x)) 关于 x 的一阶与二阶导数. 例3
例4 变换下,证明
1 ∂u ∂u ∂u ∂u + 2 = + . ∂r r ∂θ ∂x ∂y
2 2 2
Байду номын сангаас
2
∂u ∂u ∂x ∂u ∂y = ⋅ + ⋅ ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t
∂u ∂u ∂x ∂u ∂y = ⋅ + ⋅ , ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s
及
这个公式称为求复合函数偏导数的链式法则. 下面讲几个特殊情形. 若 u = f ( x, y ) ,而 x, y 依赖于一个变量 t ,即
x = ϕ (t ), y = ψ (t ),
那么,就有
等式右边的最后一项,我们有意识地把它写成 .为的 ∂u 是免得它与等式左边的 ∂t 混淆起来.右端的 是表示 在函数u = f ( x, y, t )中把 x, y 看做常数,对 t 求偏导数,而左 ∂u 端的 ∂t 是表示在 u = f (ϕ ( s, t ),ψ ( s, t ), t ) 中把 s 视为常数, 对 t 求偏导数,二者切不可混淆.
则有 再有,若
du ∂u dx ∂u dy = ⋅ + ⋅ . dt ∂x dt ∂y dt x, y 是自变量 s, t 的函数,而函数 u
除随
x, y 而变化外还依赖于 t ,即 u = f ( x, y, t ); x = ϕ ( s, t ), y = ψ ( s, t ), ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u = ⋅ + ⋅ + ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ∂t
2 复合函数偏导数的链式法则
我们来讨论多元复合函数的求导公式，对二元函 数可导出如下的公式. 设 u = f ( x, y ) ,而 x, y 又是自变量 s, t 的函数
x = ϕ ( s, t ), y = ψ ( s, t ),
∂x ∂y , ∂t ∂t ∂x ∂y , ∂s ∂s
此时,若 及 在某点 ( s, t ) 都存在,而 f ( x, y )在相 应于 ( s, t ) 的点 ( x, y ) 可微,则成立公式
∂u ∂t ∂u ∂t
例1 例2
设 u = e x sin y, x = 2st , y = t + s 2 ,求 u s , ut . 设 z = f ( x, y ) 可微, y = ϕ (x)的导数 ϕ ' ( x),ϕ " ( x)
∂u ∂ 2u ∂ 2u y , 2, . u = f ( x 2 y, ) ,求 设 ∂x ∂x ∂x∂y x 已知 u = u ( x, y ) ,在极坐标 x = r cosθ , y = r sin θ