多元复合函数的求导法则
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多元复合函数的求导法则
z = f (u, v), u = ϕ(x, y), v =ψ (y)
z = f (u, v, t), u = ϕ(t),
v =ψ (t)
z = f (u, x, y), u = ϕ(x, y)
解 (1)
z = f (u, v), u = ϕ(x, y), v =ψ (y)
+
∂z ∂z ∂u = ∂x ∂u ∂x ∂z = ∂u ∂z = ∂u ∂z ∂z = ∂y ∂u
2 2 x2 + y2 +x4 sin2 y
x2 + y2 +z2
∂f ∂u ∂f ∂f ∂z ∂f ∂f ∂z = = + ⋅1 + ⋅0 + ∂y ∂y ∂x ∂z ∂y ∂y ∂z ∂y
= 2ye
x2 + y2 +z2
4
x2 + y2 +z2 x2 cos y ⋅ + 2ze
x2 + y2 + x4 sin2 y
y
∂z ∂u ∂z ∂v ∂z + = ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
注
设 u = ϕ( x, y)、 =ψ( x, y)及w = ω( x, y) 都在点 v
(x,y) 具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v,w)在对应点 (u,v,w)有连续偏导数，则复合函数
z = f [ϕ(x, y),ψ (x, y),ω(x, y)]
= eu (sin v + y cos v) = ex+ y[sin( xy) + y cos(xy)]
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
= eu sin v ⋅1 + eu cos v ⋅ x
多元复合函数的求导法则
分线相加
同理可得
z z u z v y u y v y
返回
一、多元复合函数求导法则 —链锁规则
设下列各公式中所出现的函数均满足所需条件， 且有相应的导数或偏导数。 1、全导数 情形1 链锁规则公式
u z x
全导数
v
dz z du z dv dx u dx v dx
dh h dV w dr dt V dt r dt 3 6V r 2 4 3 e r r
返回
dh 6 V r 2 (2 e ) dt r r
设t0时刻沙丘体积为60立方米、底面半径为6米，则
dh 6 60 6 2 (2 e ) dt t t0 6 6
3
dz ,求 . dt
〖解〗由多元复合函数求导法则得全导数为：
x z y
2
t
dz z dx z dy dt x dt y dt 2 cos t f x 3t f y
部分抽象函数
□
设f具有二阶连续偏导数，如何求二阶导数？
d z d dz 2 dt dt dt d 2 (cos t f x 3t f y ) dt
返回
视y为常数
视u,v为常数
【例8】设 u f ( x, y, z ), z g ( x, y), y h( x, t ), t ( x),
du 求 . dx
〖解〗方法1(链锁规则公式)
x u y z
x y
x
x
du f dx x
f h h d y x t dx
情形5
x z u v
x y
z f f u f v x x u x v x z f u y u y
[理学]9-4多元复合函数求导法则
![[理学]9-4多元复合函数求导法则](https://img.taocdn.com/s3/m/f654544ac381e53a580216fc700abb68a982ad0c.png)
f2(u, v)
f2,
表示 f 对第二个变量的偏导数.
等等.
其他情况
“连线相乘，分线相加”
u (x, y) z f (u,v, w) v (x, y)
三元套两元
w (x, y)
z f ((x, y), (x, y),(x, y)) z(x, y)
z z u z v z w x u x v x w x z z u z v z w y u y v y w y
z f (u) u (x, y) 一元套多元 z f ((x, y)) z(x, y)
z ? x z ? y
一、链式法则 定理（多元函数与一元函数的复合）
如果函数u (t) 及v (t)都在点 t 可导，
函数 z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，
则复合函数z f [(t), (t)] 在对应点 t 可导，
t
例2 设
而 x sint, y (t)
其中 (t)可导，求 dz .
dt
解 dz z dx z dy z
dt x dt y dt
x
y
t
z dx z dy x dt y dt
推广
1.上定理的结论可推广到
中间变量多于两个的情况: z f ((t), (t),(t))
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
x y
解: 此例与上两例有区别. 这里函数 f 的表达
式未给出, 只能用链式法则求偏导.
引进中间变量( 引进几个中间变量? ) 记 u = x2 – y2, v = xy. 从而 z = f (u, v), 由链式法则, 得
z = f (u, v), u = x2 – y2, v = xy.
多元多重复合函数的求导法则
多元多重复合函数的求导法则多元多重复合函数是多元函数中重要的一类函数，常用来描述多元关系，其中常用求导法则如下： 1. 链式法则：链式法则是求导最基本的法则，其定义为：若函数y=f(x)是关于变量x的函数，而z=F(y)是关于y的函数，则关于x的F(y)的导数由z的导数乘以y的导数的乘积来决定，即：∂z/∂x = (∂z/∂y) *(∂y/∂x) 2. 偏导数法则：偏导数法则认为多元函数是关于各独立变量变化而变化，即每个变量是由与它独立变量组成的函数组合而成。
这时，只要将函数分解为每个独立变量的函数，分别求出偏导数后，组合即可得到多元函数的极限导数。
3. 偏导数链式法则：偏导数链式法则是将链式法则与偏导数法则相结合而推出的求多元复合函数极限的法则，其定义为：若函数u=f(x,y,z)是三元函数，而v=F(u,z)是关于u，z的多元函数，则u的偏导数即得到v的偏导数，即：∂v ∂x = (∂v/∂u)(∂u/∂x) + (∂v/∂z)(∂z/∂x) 4.Derivative of a composite function：This rule states that for a function y = f(x) composed of two functions u = g(x) and v = h(x), then the derivative of y with respect to x is equal to the product of the derivatives of u and v with respect to x. This can be written as y'(x) = u'(x)·v'(x) 以上是多元多重复合函数常用的求到法则，而求多元复合函数极限的步骤可由偏导数链式法则推导而得。
首先，求出函数中每个变量的偏导数，然后分别乘以各自的函数值，最后将结果进行相乘组合计算即可得到多元复合函数的极限值。
多元复合函数的求导法则
多元复合函数的求导法则为了简化讲解，假设我们有一个复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个一元函数，f(y)是一个多元函数。
我们希望计算该函数的导数。
下面是多元复合函数求导的三种基本法则。
法则一：链式法则链式法则是求导复合函数最常用的法则。
它可以帮助我们计算f(g(x))的导数。
根据链式法则，导数可以通过链式相乘的方式进行计算。
链式法则的公式为：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)其中f'(y)是f(y)对变量y的导数，g'(x)是g(x)对变量x的导数。
通过链式法则，我们可以将f(g(x))的导数转化为f'(g(x))和g'(x)的乘积。
法则二：导数反函数法则导数反函数法则是求导复合函数的另一种常用法则。
它适用于求导符合函数的反函数的导数。
设y=g(x)是一个可逆函数，且g'(x)≠0，则它的反函数x=g⁻¹(y)的导数可以通过导数的反函数进行计算。
导数反函数法则的公式为：(g⁻¹(y))'=1/(g'(x))其中g'(x)是g(x)对变量x的导数。
通过导数反函数法则，我们可以计算得到反函数的导数。
法则三：隐函数法则隐函数法则适用于求导复合函数中的隐式函数。
隐式函数是一种表示函数关系的方程，它的导数可以通过隐函数法则进行计算。
假设我们有一个隐函数F(x,y)=0，其中y=g(x)是一个表示x与y的关系的函数。
我们可以使用隐函数法则计算y的导数。
隐函数法则的公式为：(dy/dx) = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)其中(∂F/∂x)和(∂F/∂y)分别表示F(x,y)对变量x和y的偏导数。
通过隐函数法则，我们可以计算得到复合函数的导数。
综上所述，链式法则、导数反函数法则和隐函数法则是求导复合函数的三种基本法则。
这些法则能够帮助我们解决复杂的多元函数求导问题，提高计算效率。
多元复合函数的求导法则
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设zf(u v) u(t) v(t) 则 dz z du z dv
dt u dt v dt
设zf(u v) u(x y) v(x y) 则
z z u z v z z u z v x u x v x y u y v y
eusin v x eucos v 1exy[x sin(xy)cos(xy)]
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设zf(u v) u(t) v(t) 则 dz z du z dv
dt u dt v dt
设zf(u v) u(x y) v(x y) 则
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uv
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例5 设uf(x y)具有连续的偏导数 把 ( u )2 ( u )2转换成
x y
极坐标系中的形式 解 uf(x y)f(cos sin)F( )
其中 xcosθ ysinθ x2 y 2 arctan y x
v et u (sin t) cos t etcos tetsin tcos t et(cos tsin t)cos t
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例4 设wf(xyz xyz) f具有二阶连续偏导数
2w w 求 及 x xz
解 令uxyz vxyz 则wf(u v)
而 zx sin y 求
2ze x
2
2
2
u u 和 x y
解 u f f z 2xex 解
2
y2 z2
y2 z2
2x sin y
大学数学_8_4 复合函数的求导法则
z dz ( u 2 v 2 )
( u 2 v 2 ) 高阶的无穷小，得 z z u z v ( u 2 v 2 )
t 0
lim
u t v t t z du z dv ( u 2 v 2 ) u 2 v 2 lim . 2 2 u dt v dt t 0 t u v z du z dv u dt v dt 所以复合函数 z f [ (t ), (t )] 可导，具有求导公式：
设 u (t ) v (t ) .w (t ) 均 在 点 t 处 可 导 ， z f (u , v, w) 在对应点(u , v, w) 处有连续的偏导数， 写出复合 函数 z f [ (t ), (t ), (t )] 的全导数公式. u t 函数的结构图是 z w t v t 由 z 经u , v, w 到 t 有三条途径，故和式中应有三项，所以全 导数为 dz z du z dv z dw . dt u dt v dt w dt dz 例 1 设 z uv ， u sin t ，v cos t ，求全导数 . dt dz z du z dv 解 dt u dt v dt v cos t u ( sin t ) cos 2 t sin 2 t cos 2t
例 5 设 z arcsin u, u x 2 y 2 ，求
z z , . x y
解 函数的结构如下： x z u y 所以 z z u 1 2x 2x x u x 1 u2 1 ( x 2 y 2 )2 z dz u 1 2y 2y 2 y du y 1 u 1 ( x 2 y 2 )2
t 0
t
lim(
( u 2 v 2 ) 高阶的无穷小，得 z z u z v ( u 2 v 2 )
t 0
lim
u t v t t z du z dv ( u 2 v 2 ) u 2 v 2 lim . 2 2 u dt v dt t 0 t u v z du z dv u dt v dt 所以复合函数 z f [ (t ), (t )] 可导，具有求导公式：
设 u (t ) v (t ) .w (t ) 均 在 点 t 处 可 导 ， z f (u , v, w) 在对应点(u , v, w) 处有连续的偏导数， 写出复合 函数 z f [ (t ), (t ), (t )] 的全导数公式. u t 函数的结构图是 z w t v t 由 z 经u , v, w 到 t 有三条途径，故和式中应有三项，所以全 导数为 dz z du z dv z dw . dt u dt v dt w dt dz 例 1 设 z uv ， u sin t ，v cos t ，求全导数 . dt dz z du z dv 解 dt u dt v dt v cos t u ( sin t ) cos 2 t sin 2 t cos 2t
例 5 设 z arcsin u, u x 2 y 2 ，求
z z , . x y
解 函数的结构如下： x z u y 所以 z z u 1 2x 2x x u x 1 u2 1 ( x 2 y 2 )2 z dz u 1 2y 2y 2 y du y 1 u 1 ( x 2 y 2 )2
t 0
t
lim(
多元复合函数的求导法则
u v
上式两端同时除以△t ，得到
.
3
z f u f v o( ) ( (u)2 (v)2 )
t u t v t t 令 t 0, 则有u 0, v 0,
z
u du , v dv
uv
t dt t dt
o ( ) o( ) (u)2 ( v)2 0 t t
t
t
u xyz xt
u f f f
z
dt u dt v dt t
v e t u sin t cos t
uvt
e t (cost sin t) cos t
tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列几个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
求导口诀 : 分段用乘, 分叉用加.
在对应点（u, v）可微, 则复合函数 z f ( (t), (t))
在点 t 可导, 且有链法则（见右边的树图）
dz f du f dv dt u dt v dt 证: 设 △t 为t 的增量, 则相应中间变量
z
uv
有增量△u ,△v , 由于 f 可微，所以
tt
z f u f v o ( ) ( (u)2 (v)2 )
d t 2 u dt v dt
.
5
定理2. 设 z f (u,v) 在对应点可微
u(x,y)， v(x,y)偏导数都存在，
则
z z u z v
x u x v x
z
uv x yx y
z z u z v y u y v y 推广: 设下面所涉及的函数都可微 . 1) 中间变量多于两个的情形. 例如,
注意防止记号的混淆.
.
上式两端同时除以△t ，得到
.
3
z f u f v o( ) ( (u)2 (v)2 )
t u t v t t 令 t 0, 则有u 0, v 0,
z
u du , v dv
uv
t dt t dt
o ( ) o( ) (u)2 ( v)2 0 t t
t
t
u xyz xt
u f f f
z
dt u dt v dt t
v e t u sin t cos t
uvt
e t (cost sin t) cos t
tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列几个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
求导口诀 : 分段用乘, 分叉用加.
在对应点（u, v）可微, 则复合函数 z f ( (t), (t))
在点 t 可导, 且有链法则（见右边的树图）
dz f du f dv dt u dt v dt 证: 设 △t 为t 的增量, 则相应中间变量
z
uv
有增量△u ,△v , 由于 f 可微，所以
tt
z f u f v o ( ) ( (u)2 (v)2 )
d t 2 u dt v dt
.
5
定理2. 设 z f (u,v) 在对应点可微
u(x,y)， v(x,y)偏导数都存在，
则
z z u z v
x u x v x
z
uv x yx y
z z u z v y u y v y 推广: 设下面所涉及的函数都可微 . 1) 中间变量多于两个的情形. 例如,
注意防止记号的混淆.
.
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第四节 多元复合函数的求导法则
第八章
一、多元复合函数求导的链式法则
二、多元复合函数的全微分
科学出版社
一元复合函数 求导法则 微分法则
科学出版社
一、多元复合函数求导的链式法则
z f (u , v) 定理1. 若函数 在对应点（u, v）可微, 则复合函数 在点 t 可导, 且有链法则（见右边的树图）
f dx dt y x t x dx z dz f f dz y t z z
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例10. 已知
求
解: 由条件
两边求微分, 得
又因为 所以
(△t＜0 时,根式前加“–”号)
为了与偏导数区别, 称为全 d z f du f dv 导数， 全导数还可以写成: dt u dt v dt d z z du z dv dt u dt v dt
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注: 若定理中 则定理结论不一定成立. 如:
z z x , s x s
z
z z x z dy t x t y dt
x
s t
y
t
注：在应用链法则时， 有时会出现复合函数的某些 中间变量本身又是复合函数的自变量的情况，这时要 注意防止记号的混淆.
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如, z f ( x, y ), y ( x, t ) 当它们都具有可微条件时, 有
可微减弱为偏导数存在,
z f (u, v)
u t, vt
易知:
u 2v 2 2 , u v 0 2 2 u v 0, u 2 v2 0
但不可微（验证），此时复合函数
dz 1 dt 2
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z du z dv 0 1 0 1 0 u d t v d t
d z f du f dv dt u dt v dt 证: 设 △t 为t 的增量, 则相应中间变量 有增量△u ,△v , 由于 f 可微，所以 f f z u v o ( ) u v
上式两端同时除以△t ，得到
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z
u
t
v
t
Байду номын сангаас
z f u f v o( ) 2 2 ( (u ) (v) ) t u t v t t z 则有 u 0 , v 0 , u du v dv u v , t dt t dt t t o( )
du
dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达
形式都一样, 这性质叫做一阶全微分形式不变性.
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利用这个性质，容易证明，无论 u, v 是自变量还是 中间变量，都有下面的微分法则： d(uv) v d u u d v
d(u v) d u d v
u vdu u dv d 2 v v
t z f ( t, t ) 2
定理2. 设 z f (u, v) 在对应点可微 u ( x, y )， v ( x, y ) 偏导数都存在，
则
z
u v
z z u z v x u x v x z z u z v y u y v y
x
y x
y
z
u v w
t t t
推广: 设下面所涉及的函数都可微 . 1) 中间变量多于两个的情形. 例如,
z f (u, v, w) , u (t ) , v (t ) , w (t ) z dv z dw d z z du v d t w d t d t u d t
( x2 y 2 ) xy ln( x2 y 2 ) ( ydx xdy ) y ln( x2 y 2 )
所以
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例 9. .设 u f ( x, y , z ), y ( x, t ), t ( x, z ) 都可微, 求d z. 解: 利用一阶全微分形式不变性，有
f 22 xy 2 f 2 f f11 y( x z ) f12 xy z f y f , 22 , f12 2 为简便起见 , 引入记号 f1 u u v
f12 xy
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二、一阶全微分形式不变性
设函数 都可微, 则复合函数 z f ( ( x, y ) , ( x, y ) ) 的全微分为 z z dz dx d y x y z u z v ( )dy u y v y u u v v ( dx d y ) ( dx d y ) x y x y
用链法则求复合函数偏导数时，首先要分清自变量 和中间变量. 有了一阶全微分形式不变性， 可以不再 考虑这种区别，使计算变得方便。
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例 8. 求 z ( x y ) 的全微分和偏导数. v 2 2 v xy z u 则 解: 设 u ( x y )
2 2 xy
(2 xdx 2 ydy )
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u 设 z e sin v , u x y , v x y , 求 例2.
解
z x
e sin v
u
z v v x
z z , . x y
e cos v 1
u
z
u v
z y
z v v y
x y x y
eu sin v
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例7. 设
f 具有二阶连续偏导数,
w 2 w w , f1 , f 2 求 , . x x z u v 解: 令 u x y z , v x y z , 则 w f (u , v) x y zx y z w f 2 yz x yz f 2 ( x y z , xyz ) 2w x z
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dz . 例4. 设 z u v sin t , u e , v cos t , 求全导数 dt d z z du z z 解: d t u d t t u v t t ve cos t t t t e (cos t sin t ) cos t
t
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列几个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号. 求导口诀 : 分段用乘, 分叉用加.
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例5. 设 z f x, y ，x ( s, t )， y (t ) 都具备可微 条件， 求复合函数 z f ( ( s, t ), (t )) 的偏导数. 解: 如左图，有
z f
x
y
z f x x z t
x t
z f 不同, 注意: 这里 与 x x z 表示 复合函数f ( x, ( x, t ) )固定 t 对 x 求导 x f 表示f ( x, y )固定 y 对 x 求导 x
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例6. 设 u f ( x, y, z ), y ( x, t ), t ( x, z ), 都有一阶 u u u 连续偏导数，求 和 . x z 解: 代入中间变量，得到复合函数 x y z u f ( x, ( x, ( x, z )), z ) t x u f f f z x x x y x y t x u f f z z y t z
eu cos v 1
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2 2 xy z ( x y ) 的偏导数. 例3. 求
解: 这是一个幂指函数， 有了多元函数的链法则， 就不需要用对数求导法了. u x2 y 2和 v xy z ( x2 y 2 ) xy 由 z u v， 复合而成，于是 z z u z v v vu v 1 2 x u ln u y x u x v x 2 2 x y 2 2 xy 2 2 (x y ) 2 y ln( x y ) 2 x y 同理可得 z vu v1 2 y u v ln u x y 2 2 xy 2 2 2 2 (x y ) 2 x ln( x y ) 2 x y
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dz . 例1. 设 z x y 3xy ， 其中 x e , y sin t， 求 dt dz z dx z dy 代入 解: 解法一， dt x dt y dt (2 xy 3 y 4 )et ( x2 12 xy3 )cos t
2 4 t
(2et sin t 3sin 4 t )et (e2t 12et sin 3 t )cos t
解法二， 先代入，变成一元函数的求导. 因为 z e2t sin t 3et sin 4 t， 所以
dz 2e 2t sin t e 2t cos t 3et sin 4 t 12et sin t cos t dt
第八章
一、多元复合函数求导的链式法则
二、多元复合函数的全微分
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一元复合函数 求导法则 微分法则
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一、多元复合函数求导的链式法则
z f (u , v) 定理1. 若函数 在对应点（u, v）可微, 则复合函数 在点 t 可导, 且有链法则（见右边的树图）
f dx dt y x t x dx z dz f f dz y t z z
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例10. 已知
求
解: 由条件
两边求微分, 得
又因为 所以
(△t＜0 时,根式前加“–”号)
为了与偏导数区别, 称为全 d z f du f dv 导数， 全导数还可以写成: dt u dt v dt d z z du z dv dt u dt v dt
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注: 若定理中 则定理结论不一定成立. 如:
z z x , s x s
z
z z x z dy t x t y dt
x
s t
y
t
注：在应用链法则时， 有时会出现复合函数的某些 中间变量本身又是复合函数的自变量的情况，这时要 注意防止记号的混淆.
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如, z f ( x, y ), y ( x, t ) 当它们都具有可微条件时, 有
可微减弱为偏导数存在,
z f (u, v)
u t, vt
易知:
u 2v 2 2 , u v 0 2 2 u v 0, u 2 v2 0
但不可微（验证），此时复合函数
dz 1 dt 2
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z du z dv 0 1 0 1 0 u d t v d t
d z f du f dv dt u dt v dt 证: 设 △t 为t 的增量, 则相应中间变量 有增量△u ,△v , 由于 f 可微，所以 f f z u v o ( ) u v
上式两端同时除以△t ，得到
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z
u
t
v
t
Байду номын сангаас
z f u f v o( ) 2 2 ( (u ) (v) ) t u t v t t z 则有 u 0 , v 0 , u du v dv u v , t dt t dt t t o( )
du
dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达
形式都一样, 这性质叫做一阶全微分形式不变性.
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利用这个性质，容易证明，无论 u, v 是自变量还是 中间变量，都有下面的微分法则： d(uv) v d u u d v
d(u v) d u d v
u vdu u dv d 2 v v
t z f ( t, t ) 2
定理2. 设 z f (u, v) 在对应点可微 u ( x, y )， v ( x, y ) 偏导数都存在，
则
z
u v
z z u z v x u x v x z z u z v y u y v y
x
y x
y
z
u v w
t t t
推广: 设下面所涉及的函数都可微 . 1) 中间变量多于两个的情形. 例如,
z f (u, v, w) , u (t ) , v (t ) , w (t ) z dv z dw d z z du v d t w d t d t u d t
( x2 y 2 ) xy ln( x2 y 2 ) ( ydx xdy ) y ln( x2 y 2 )
所以
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例 9. .设 u f ( x, y , z ), y ( x, t ), t ( x, z ) 都可微, 求d z. 解: 利用一阶全微分形式不变性，有
f 22 xy 2 f 2 f f11 y( x z ) f12 xy z f y f , 22 , f12 2 为简便起见 , 引入记号 f1 u u v
f12 xy
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二、一阶全微分形式不变性
设函数 都可微, 则复合函数 z f ( ( x, y ) , ( x, y ) ) 的全微分为 z z dz dx d y x y z u z v ( )dy u y v y u u v v ( dx d y ) ( dx d y ) x y x y
用链法则求复合函数偏导数时，首先要分清自变量 和中间变量. 有了一阶全微分形式不变性， 可以不再 考虑这种区别，使计算变得方便。
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例 8. 求 z ( x y ) 的全微分和偏导数. v 2 2 v xy z u 则 解: 设 u ( x y )
2 2 xy
(2 xdx 2 ydy )
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u 设 z e sin v , u x y , v x y , 求 例2.
解
z x
e sin v
u
z v v x
z z , . x y
e cos v 1
u
z
u v
z y
z v v y
x y x y
eu sin v
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例7. 设
f 具有二阶连续偏导数,
w 2 w w , f1 , f 2 求 , . x x z u v 解: 令 u x y z , v x y z , 则 w f (u , v) x y zx y z w f 2 yz x yz f 2 ( x y z , xyz ) 2w x z
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dz . 例4. 设 z u v sin t , u e , v cos t , 求全导数 dt d z z du z z 解: d t u d t t u v t t ve cos t t t t e (cos t sin t ) cos t
t
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列几个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号. 求导口诀 : 分段用乘, 分叉用加.
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例5. 设 z f x, y ，x ( s, t )， y (t ) 都具备可微 条件， 求复合函数 z f ( ( s, t ), (t )) 的偏导数. 解: 如左图，有
z f
x
y
z f x x z t
x t
z f 不同, 注意: 这里 与 x x z 表示 复合函数f ( x, ( x, t ) )固定 t 对 x 求导 x f 表示f ( x, y )固定 y 对 x 求导 x
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例6. 设 u f ( x, y, z ), y ( x, t ), t ( x, z ), 都有一阶 u u u 连续偏导数，求 和 . x z 解: 代入中间变量，得到复合函数 x y z u f ( x, ( x, ( x, z )), z ) t x u f f f z x x x y x y t x u f f z z y t z
eu cos v 1
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2 2 xy z ( x y ) 的偏导数. 例3. 求
解: 这是一个幂指函数， 有了多元函数的链法则， 就不需要用对数求导法了. u x2 y 2和 v xy z ( x2 y 2 ) xy 由 z u v， 复合而成，于是 z z u z v v vu v 1 2 x u ln u y x u x v x 2 2 x y 2 2 xy 2 2 (x y ) 2 y ln( x y ) 2 x y 同理可得 z vu v1 2 y u v ln u x y 2 2 xy 2 2 2 2 (x y ) 2 x ln( x y ) 2 x y
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dz . 例1. 设 z x y 3xy ， 其中 x e , y sin t， 求 dt dz z dx z dy 代入 解: 解法一， dt x dt y dt (2 xy 3 y 4 )et ( x2 12 xy3 )cos t
2 4 t
(2et sin t 3sin 4 t )et (e2t 12et sin 3 t )cos t
解法二， 先代入，变成一元函数的求导. 因为 z e2t sin t 3et sin 4 t， 所以
dz 2e 2t sin t e 2t cos t 3et sin 4 t 12et sin t cos t dt