复合函数求偏导
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经济学专业数学复合函数和隐函数的偏导数配套课件
则
两边对 x 求导
在
的某邻域内
Fy 0
Fx dy dx Fy
2017年4月14日星期五
18
y 例 5 设方程 ln x y arctan 确定 y 是 x dy x 的函数,求 . dx
2 2
解
1 2y 1 1 yx Fy 2 2 2 2 x y 1 ( y )2 x x y 2 x 所以,
1 2x 1 y x y Fx 2 ( 2 ) 2 2 2 x y 1 ( y )2 x x y2 x
y 令 F ( x, y ) ln x y arctan ,则 x
2 2
Fx dy x y x y . dx Fy yx x y
19
2017年4月14日星期五
定理4
② ③ 则方程
若函数
F ( x, y, z ) 满足:
的某邻域内具有连续偏导数 ,
① 在点
F ( x0 , y0 , z0 ) 0 Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
在点 某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 并有连续偏导数
全微分的形式不变性
设函数
则复合函数 的全微分为 都可微,
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量,
其全微分表达
形式都一样,
2017年4月14日星期五
这性质叫做全微分形式不变性.
12
利用全微分的形式不变性，可以比较容易地得到全 微分的四则运算公式：
u vdu u d(u v) du dv, d(uv) udv vdu, d v2 v u vdu udv udv vdu , d (v 0). 2 v v
二阶复合偏导数求解法则-适用偏微分方程
求两个自变量的二阶偏导数一、基础知识1.函数的和、差、积、商的求导法则定理 如果函数()=u u x 及()=v v x 都在点x 具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点x 具有导数，且[()()]()()'''±=±u x v x u x v x[()()]()()()()'''=+u x v x u x v x u x v x2()()()()()[](()0)()()''-'=≠u x u x v x u x v x v x v x v x 2.多元复合函数求导法则(1)一元函数与多元函数符合的情形定理 如果函数()ϕ=u t 及()ψ=v t 都在点t 可导，函数(,)=z f u v 在对应点(,)u v 具有连续偏导数，那么符合函数[(),()]ϕψ=z f t t 在点t 可导，且有∂∂=+∂∂dz z du z dv dt u dt v dt （2）多元函数与多元函数符合的情形定理 如果函数(,)ϕ=u x y 及(,)ψ=v x y 都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数，函数(,)=z f u v 在对应点(,)u v 具有连续偏导数，那么复合函数((,),(,))ϕψ=z f x y x y 在点(,)x y 的两个偏导数都存在，且有 ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂z z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂z z u z v y u y v y（3）偏导数写法0000====∂==∂x x x x y y x x y y zz z x22∂=∂xx u u x 22∂∂===∂∂∂∂xy yx u u u u x y y x二、两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简 用到了求二阶偏导的知识，这里强调如何求二阶偏导，化简的知识都是“形式”，书上有。
二元复合函数求二阶偏导
二元复合函数求二阶偏导1. 二元函数和复合函数的概念回顾在微积分中，我们学习了一元函数的概念，即只包含一个自变量的函数。
二元函数则包含两个自变量，并将其映射到一个实数上。
复合函数是由两个或多个函数构成的函数，其中一个函数的输出作为另一个函数的输入。
2. 二元复合函数的定义设有两个二元函数，f (x,y )和g (u,v )，其中u =g (x,y )，那么复合函数ℎ(x,y )=f(g (x,y ))就是由f 和g 构成的二元复合函数。
3. 二阶偏导数的概念和计算方法偏导数是多元函数中求导的一种方法，它指定了函数在某一变量上的变化率。
对于二元函数f (x,y )来说，偏导数可以分别对x 和y 求得。
一阶偏导数的计算方法为：∂f ∂x =lim Δx→0f (x+Δx,y )−f (x,y )Δx ∂f ∂y =lim Δy→0f (x,y+Δy )−f (x,y )Δy二阶偏导数表示一阶偏导数对另一个变量再求导，计算方法为： ∂2f ∂x 2=∂∂x (∂f ∂x )∂2f∂y 2=∂∂y (∂f ∂y ) ∂2f ∂x ∂y =∂∂x (∂f ∂y ) ∂2f ∂y ∂x =∂∂y (∂f ∂x ) 4. 计算二阶偏导的步骤对于二元复合函数的二阶偏导数，我们可以按照以下步骤进行计算： 步骤1: 求一阶偏导数首先，我们需要求出复合函数的一阶偏导数∂ℎ∂x 和∂ℎ∂y 。
这可以通过链式法则来计算。
接下来，我们需要对一阶偏导数再次求导。
对于∂ℎ∂x 和∂ℎ∂y ，分别求对x 和y 的偏导数，得到二阶偏导数。
步骤3: 计算混合偏导数最后，我们需要计算混合偏导数∂2ℎ∂x ∂y 和∂2ℎ∂y ∂x 。
根据 Schwarz 定理，对于连续的函数，混合偏导数是相等的。
5. 二元复合函数求二阶偏导的示例为了更好地理解二元复合函数求二阶偏导的过程，我们来看一个示例。
示例问题设有二元函数f (x,y )=x 3y +xy 2和复合函数g (u,v )=u 2+v 2，求复合函数ℎ(x,y )=f(g (x,y ))的二阶偏导数。
复合函数与隐函数的偏导数-PPT
z x
0,
Fy
Fz
z y
0.
因为 Fz 连续,且Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0，所以存在
点( x0 , y0 ,
于就是得
z0 ) 得一个邻域,在这个邻域内 z Fx , z Fy .
Fz
0,
x Fz y Fz
隐函数的求导公式
z Fx , x Fz
例
已知 x2 a2
y2 b2
(2) F (0,0) 0; (3) Fy (0,0) 1 0, 隐函数存在定理1 所以方程在点 (0, 0) 附近确定一个有连续导数、 当x 0时y 0得隐函数 y f ( x),且
dy dx
Fx Fy
y x
e e
x y
.
隐函数的求导公式
例 已知ln x2 y2 arctan y ,求 dy . x dx
z f [ ( x, y), ( x, y),( x, y)]在对应点( x, y)
u
v
w
得两个偏导数存在, 且可用下列公式计算:
z x
z u
u x
z v
v x
z w
w x
ux
z y
z u u y
z v
v y
z w
w y
zv wy
多元复合函数的求导法则
例 设z
u2
1 v2
w2
,u
x2
y2,v
x2
x
x
z y z x x y
隐函数的求导公式
设方程 xy yz zx 1 确定了隐函数
z
y
z
z
z(
x,
y),
试求
2z x 2
复合函数的求导法则
导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v z z u z v ， . y u y v y x u x v x
链式法则如图示
u
z
x
y
v
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
y , 其中为可导函数, 七、设 z 2 2 f (x y ) 1 z 1 z z 2. 验证: x x y y y 八、设 z [ x ( x y ), y ], 其中 , 具有二阶导数,求 2z 2z , 2. 2 x yLeabharlann 练习题答案一、1、
du f ( u ,v , x ) x dx v
dv f ( u ,v , x ) x dx x
( u ,v , x )
.
练习题
一、填空题: x cos y z 1、设 z ,则 ________________； y cos x x z ________________. y x 2 ln( 3 x 2 y ) z z 2 、设 ,则 _______________； 2 x y z ________________. y sin t 2 t 3 dz z e 3、设 ,则 ________________. dt v z z 2 2 u 二、设 z ue ,而u x y , v xy ，求 , . x y
例：z = (1+ x )
2 sin3x
dz 求 dx
例：z = (x y )
2
2 2 x 3 y
z z 求 x y
2、复合函数求导注意事项：
z z u z v z z u z v ， . y u y v y x u x v x
链式法则如图示
u
z
x
y
v
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
y , 其中为可导函数, 七、设 z 2 2 f (x y ) 1 z 1 z z 2. 验证: x x y y y 八、设 z [ x ( x y ), y ], 其中 , 具有二阶导数,求 2z 2z , 2. 2 x yLeabharlann 练习题答案一、1、
du f ( u ,v , x ) x dx v
dv f ( u ,v , x ) x dx x
( u ,v , x )
.
练习题
一、填空题: x cos y z 1、设 z ,则 ________________； y cos x x z ________________. y x 2 ln( 3 x 2 y ) z z 2 、设 ,则 _______________； 2 x y z ________________. y sin t 2 t 3 dz z e 3、设 ,则 ________________. dt v z z 2 2 u 二、设 z ue ,而u x y , v xy ，求 , . x y
例：z = (1+ x )
2 sin3x
dz 求 dx
例：z = (x y )
2
2 2 x 3 y
z z 求 x y
2、复合函数求导注意事项：
7-4第四节 多元复合函数和隐函数的偏导数
LOGO
y 的偏导数，复合 x 和 w w( x , y ) 都在点( x , y ) 具有对
函数 z f [ ( x , y ), ( x , y ), w( x , y )] 在对应点( x , y ) 两个偏导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v z w , x u x v x w x z z u z v z w z . y u y v y w y
z Fx ， x Fz
Fy z . y Fz
LOGO
例：设由方程
e xy 2 z e z 0所确定的隐函数 z z z f ( x , y )，试求 , . x y
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z 例 5 设 x y z 4 z 0 ，求 2 . x
YOUR SITE HERE
t t
e (cos t sin t ) cos t .
t
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3、全微分形式不变性
LOGO
z z dz du dv ;当 u ( x , y ) 、v ( x , y ) u v z z dx dy . 时，有dz x y
中的 y 看作不变而对x 的偏导数
变而对 x 的偏导数
v 1, x
w 0, x
v 0, y
w 1. y
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例 1 设 z e u sin v ，而u xy ，v x y ，
LOGO
z z 求 和 . x y
解
z z u z v x u x v x
第四节 多元复合函数与隐函 数的求导法则
目录
演示文稿复合函数与隐函数的偏导数
注 对复合函数求高阶偏导数时, 需注意:
导函数仍是复合函数. 故对导函数再求偏导数时,
仍需用复合函数求导的方法.
第二十五页，共29页。
隐函数的求导公式
设方程 xy yz zx 1 确定了隐函数
z
z(
x,
y),试求
2z x 2
,
2z y2
.
分析 在某函数(或方程)表达式中, 将任意两个 自变量互换后, 仍是原来的函数 (或方程), 称函数
都在点( x, y)处具有三对个x中和间y的变偏量导两数个,复自合变函量数
z f [ ( x, y), ( x, y),( x, y)]在对应点 ( x, y)
u
v
w
的两个偏导数存在, 且可用下列公式计算:
z z u z v z w x u x v x w x
ux
zv
z y
z u u y
z v
多元复合函数的求导法则
如z f (u,v, w), u u(t), v v(t), w w(t) dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
问: 函数对某自变量的偏导数之结构
项数
中间变量 的个数.
每一项 函数对中间变量的偏导数
该中间变量对其指定自变量的偏导数(或导数).
第五页，共29页。
多元复合函数的求导法则
例 设 y (cos x)sin x ,求 dy
dx 解 法一
这是幂指函数的导数, 可用取对数求导法计算.
但用全导数公式较简便.
法二 令u cos x, v sin x, 则y uv
dy y du y dv dx u dx v dx
u
y
求复合函数偏导数的链式法则解
z x
Yunnan University
e [ y sin( x y ) cos( x y )]dx
xy
z y
e xy [ x sin( x y ) cos( x y )]dy .
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
例 9 已知 e
解
xy
d e
2 z e 0 ，求 z 和 z .
Yunnan University
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
u u 证明： ' ', a ' a ', x t 2u 2u 2 2 '' '', a '' a '', 2 2 x t 所以
2 2u u 2 a . 2 2 t x
将 x0 , y0 换成D内任一点 x , y , 有 xf yf nf x , y ,
' 1 ' 2
即 f f x y nf . x y
Yunnan University
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
对z f x , y
x 2 y 2 , 它满足
Yunnan University
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
二、复合函数的全微分
设函数 z f ( u, v ) 具有连续偏导数，则 u，v 不论是 自变量还是中间变量，总有全微分
dz z du z d，结论显然。
（2）如果 u，v 是中间变量， u ( x , y ), v ( x , y ). 有全微分：
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
Yunnan University
e [ y sin( x y ) cos( x y )]dx
xy
z y
e xy [ x sin( x y ) cos( x y )]dy .
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
例 9 已知 e
解
xy
d e
2 z e 0 ，求 z 和 z .
Yunnan University
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
u u 证明： ' ', a ' a ', x t 2u 2u 2 2 '' '', a '' a '', 2 2 x t 所以
2 2u u 2 a . 2 2 t x
将 x0 , y0 换成D内任一点 x , y , 有 xf yf nf x , y ,
' 1 ' 2
即 f f x y nf . x y
Yunnan University
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
对z f x , y
x 2 y 2 , 它满足
Yunnan University
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
二、复合函数的全微分
设函数 z f ( u, v ) 具有连续偏导数，则 u，v 不论是 自变量还是中间变量，总有全微分
dz z du z d，结论显然。
（2）如果 u，v 是中间变量， u ( x , y ), v ( x , y ). 有全微分：
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
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w w du w v w t x u dx v x t x
2x w y w yz w, u v t
w y
w v
v y
w t
t y
x
w v
xz
w. t
w w t xy w. z t z t
3.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而 u (x), v (x)
可导，则复合函数
z f [(x), (x)]
只是自变量x的函数， 求z对x的导数 dz .
dx
可得
dz z du z dv.
(5)
dx u dx v dx
在这里，函数z是通过二元函数z=f(u,v)而成为x的
x
x
例1
设 z eu sinv,u xy,v x y, 求 z , z . x y
解法1 得
z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cos v 1
exy[ y sin(x y) cos(x y)]，
x y
自变量x到达z的路径有二条，第一路径上只有一
个函数，即z是x的函数.第二路径上有两个函数z和v.自 变量y到达z的路径只有一条，于是 z , z 的偏导数
x y 公式应是：
z f f v，
x x v x z f v .
(6)
y v y
一元复合函数.因此，z对x的导数 dz 又称为z对x的全 dx
导数.对公式(5)应注意，由于z，u，v这三个函数都是x
的一元函数，故对x的导数应写成 dz , du , dv ，而不能
写成 z , u , v .
dx dx dx
x x x
公式(5)是公式(2)的特殊情形，两个函数u,v的自
y2 u5
z2)
3 u3
3 u3
0.
二、全微分形式不变性
与一元函数的微分形式不变性类似，多元函数全 微分也有形式不变性.也就是说不论u，v是自变量还是 中间变量，函数z=f(u,v)的全微分的形式是一样的.即
dz z du z dv.
(7)
u v
这个性质称为全微分的形式不变性.
例2 设z f (x2 y2, xy) ，其中f(u,v)为可微函数，求
z , z . x y
解 令u x2 y2,v xy，可得
z z u z v x u x v x
2x z y z ， u v
z z u z v 2 y z x z ，
变量都缩减为一个，即公式(2)就变成 (5).更特殊地，
如果函数z不含v，只是u的函数，于是公式(5)变成
dz dz du . dx du dx 这正是一元复合函数的求导公式.
4.设函数z=f(x,v)有连续偏导数，v (x, y) 有偏导数， 求复合函数 z f [x, (x, y)] 的偏导数 z , z .
1 u3
3x u4
x x2 y2 z2
1 u3
3x2 u5
.
由于x，y，z在函数中的地位是相同的，所以同样有
2w y2
1 u3
3y2 u5
,
2w z 2
1 u3
3z2 u5
.
因此有
2w x 2
2w y 2
2w z 2
3 u3
3( x 2
yx y1 2e2t x y ln x 1 t
2 yx y 2x y 2x y ( y 1)
2t 2t (lnt 1).
例6 设z=f(x,xcosy)，其中f(u,v)为可微函数，求 z , z . x y
解 令v=xcosy，得
z f f v f cos y f .
例8
求u
x2
x y2 z2
z z u z v z w.
(2)
x u x v x w x
同理可得到，
z z u z v z w.
(3)
y u y v y w y
2.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而 u (x, y, z), v (x, y, z) 都有偏导数，求复合函数
d(u v) du dv,
d(u v) udv vdu,
d
u v
vdu v2
udv
(v 0).
例如，d(u v) (uv) du (uv) dv vdu udv.
u
v
利用全微分形式不变性及全微分的四则运算公
式，求函数的全微分会更简便些.
dy
z u dx u dy z v dx v dy u x y v x y
z du z dv. u v
即，当u，v是中间变量时，(7)式也成立.这就证明了 全微分形式不变性.
利用全微分形式不变性，比较容易地得出全微分 的四则运算公式，
x x v x x
v
z f v xsin y f .
y v y
v
求复合函数的二阶偏导数，不需要新的方法和新的 公式，只需把一阶偏导数看作一个新的函数，应用 链式法则对它再求偏导数即可.
例7 设 w 1 ,u x2 y2 z2 ，求证： u
x u x v x z z u z v .
(1)
y u y v y
复合函数的结构图是
公式(1)给出z对x的偏导数是
z z u z v
(*)
x u x v x
公式(*)与结构图两者之间的对应关系是：偏导数
z 是由两项组成的，每项又是两个偏导数的乘积，公 x 式(*)的这两条规律，可以通过函数的结构图得到，即
z yexy sin( x y) exy cos( x y) x
exy[ y sin(x y) cos(x y)]， z xexy sin( x y) exy cos( x y) y
exy[xsin( x y) cos( x y)].
(1)公式(*)的项数，等于结构图中自变量x到达z 路径的个数.函数结构中自变量x到达z的路径有两条.
第一条是 x u z，第二条是 x v z，所以公
式(*)由两项组成.
(2)公式(*)每项偏导数乘积因子的个数,等于该条路
径中函数及中间变量的个数.如第一条路径 x u z,
z z u z v y u y v y
eu sin v x eu cos v 1
exy[xsin( x y) cos( x y)].
解法2 对于具体的二元复合函数，可将中间变量u，v， 用x，y代入，则得到 z exy sin( x y) ，z 是x，y二元复合函数，根 据复合函数的链式法则，得
y u y v y
u v
其中 z , z不能再具体计算了，这是因为外层函数f u v
仅是抽象的函数记号，没有具体给出函数表达式.
例3 设 w f (x2, xy, xyz)，其中f(u,v,w)为可微函数， 求 w, w, w.
x y z
解 令 u x2,v xy,t xyz.可得
在该例中，我们清楚看出 z与f 含意是不同的. x x
f sin v 4x sin( x2 y2) 4x.
x
显然不等于
z .
x
例5 设 z x y , x e2t , y ln t,求 dz . dt
解t y dt
2w x2
2w y2
2w z 2
0.
证
w x
dw du
u x
1 u2
x2
x y2
z2
x u3
(
x)
1 u3
.
2w x 2
1 u3
x
x
1 u3
1 u3
xddu
1 u3
u x
事实上，设z=f(u,v)有连续偏导数，当u，v是自变 量时，显然(7)式成立.
如果u，v是中间变量，即 u (x, y),v (x, y) ，
且这两个函数具有连续偏导数，则复合函数
z f [(x, y), (x, y)]
的全微分为 dz z dx z dy, x y
复合函数求偏导
一、复合函数的链式法则 二、全微分形式不变性
一、复合函数的链式法则
设z=f(u,v)是变量u，v的函数，而u，v又是x，y的
函数，即u (x, y),v (x, y) ，如果能构成z是x ,y的
二元复合函数
z f [(x, y), (x, y)],
如何求出函数z对自变量x，y的偏导数呢？
u (x, y),v (x, y), w (x, y) 都有偏导数，求复合函数 z f [(x, y), (x, y), (x, y))
的偏导数 z , z . x y
由结构图看出自变量x到达z的路径有三条，因此 z x
由三项组成.而每条路径上都有一个函数和一个中间变 量，所以每项是函数对中间变量及中间变量对其相应 自变量的偏导数乘积，即