复合函数的偏导数和全微分--非常重要89611
多元函数的全微分与偏导数
多元函数的全微分与偏导数多元函数是数学分析中非常重要的一个概念，它描述了多个自变量对应的函数值的变化规律。
全微分和偏导数则是研究多元函数性质的重要工具。
在本文中，我们将探讨多元函数的全微分与偏导数的定义、性质和应用。
一、全微分的概念与性质1.1 全微分的定义设函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 在点$(x_{1_0},x_{2_0},\cdots,x_{n_0})$ 具有一阶连续偏导数，则在该点的全微分为：$$\mathrm{d} f=f_{x_1}\mathrm{d} x_1+f_{x_2}\mathrm{d}x_2+\cdots+f_{x_n}\mathrm{d} x_n$$其中 $f_{x_i}$ 表示 $f$ 对 $x_i$ 的偏导数，$\mathrm{d}x_i$ 表示 $x_i$ 的微小增量。
1.2 全微分的性质全微分具有以下性质：（1）全微分的值与路径无关。
即，从点 $A$ 到点 $B$ 的全微分值相等。
（2）全微分对各变量的求导顺序不影响结果。
（3）全微分的二阶导数与求导顺序无关。
二、偏导数的定义与求解方法2.1 偏导数的定义函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 对自变量 $x_i$ 的偏导数定义为：$$\frac{\partial f}{\partial x_i}=\lim_{\Delta x_i\rightarrow0}\frac{f(x_1,x_2,\cdots,x_{i-1},x_i+\Delta x_i,x_{i+1},\cdots,x_n)-f(x_1,x_2,\cdots,x_n)}{\Delta x_i}$$偏导数表示 $f$ 在某一自变量上的变化率。
2.2 偏导数的求解方法对于多元函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，求偏导数的方法如下：（1）保持其他自变量不变，对于某个自变量求导数。
（2）对于每个自变量都求一遍偏导数。
多元函数的偏导数与全微分的概念及应用
多元函数的偏导数与全微分的概念及应用多元函数是指存在于多元空间中的函数，其自变量个数大于等于2个。
对于多元函数，我们需要引入偏导数和全微分的概念来描述其变化情况和应用。
概念：偏导数是多元函数在某一点沿着坐标轴方向的变化率，可以理解为函数对于某一个自变量的变化的敏感程度。
对于二元函数f(x, y)，偏导数可以用∂f/∂x和∂f/∂y表示。
其中，∂f/∂x表示函数f对x的偏导数，y视为常数；∂f/∂y表示函数f对y的偏导数，x视为常数。
全微分是描述多元函数在某个点附近的变化的线性逼近。
对于二元函数f(x, y)，全微分可以用df表示。
全微分df包含两部分：一部分是偏导数对自变量的改变的斜率；另一部分是自变量的微小变化引起的函数的增量。
全微分df可以表示为df= (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy。
应用：1. 最值判定：偏导数可以帮助我们找到多元函数取得最值（极大值或极小值）的点。
根据拉格朗日乘子法、极值判定条件等方法，通过计算偏导数和求解方程组可以找到函数取得最值的点。
2. 曲面方程：通过求偏导数，我们可以得到曲面在某个点的切线方程和法向量。
这对于研究曲面的性质和描述其形态十分重要。
3. 实际问题的建模：多元函数的偏导数和全微分在数理物理、经济学、工程学等学科中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，我们可以通过求函数关于某个变量的偏导数，得到该变量对函数的影响程度，从而分析经济关系和做出合理决策。
4. 方向导数与梯度：偏导数和全微分还可以帮助我们研究函数在某个点上沿着某个方向的变化情况。
方向导数可以通过偏导数和方向向量的内积来求取。
梯度则是一个向量，包含了函数在某个点上沿着变化最快的方向和变化率。
梯度的方向是函数值增长最快的方向，大小则表示了函数值增长的速度。
总结：多元函数的偏导数和全微分是研究多元函数的重要工具，可以帮助我们理解函数的变化规律、寻找最值、建立模型和分析实际问题。
在实际应用中，熟练掌握多元函数的偏导数和全微分的计算方法和性质，对于解决实际问题具有重要的意义。
多元函数的偏导数与全微分的关系及计算方法
多元函数的偏导数与全微分的关系及计算方法一、多元函数的偏导数与全微分的定义和关系在多元函数中，每个自变量都可以对应一个偏导数。
偏导数表示在其他自变量保持不变的情况下，函数对某个自变量的变化的敏感程度。
而全微分则是函数在一个点附近的近似变化。
1. 偏导数的定义多元函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$关于$x_i$的偏导数，表示在$x_i$方向上的变化率，记作$\frac{\partial f}{\partial x_i}$。
其中，$\frac{\partial}{\partial x_i}$表示对$x_i$求偏导数的运算符。
2. 全微分的定义多元函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$在点$(x_1, x_2, \cdots, x_n)$处的全微分，表示函数在此点的一个近似变化，记作$df$。
全微分可以通过各个偏导数的线性组合表示，即$df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$。
3. 偏导数与全微分的关系根据全微分的定义可以得到以下关系：$$df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 +\cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$$这说明全微分$df$可以看作各个偏导数乘以相应自变量的微小变化量的累加。
二、多元函数的偏导数与全微分的计算方法计算多元函数的偏导数和全微分需要运用一些特定的计算方法，下面将介绍一些常用的方法。
1. 隐函数求导当多元函数以隐函数的形式给出时，可以通过隐函数求导的方法来计算偏导数。
偏导数与全导数-偏微分与全微分的关联
1。
偏导数代数意义偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数对x求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率对y求偏导的话x就看作一个数，描述的是y方向上的变化率几何意义对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线这里在补充点。
就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况，但是我们要了解各个方向上的情况，所以后面有方向导数的概念。
2。
微分偏增量：x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y)偏微分：在detax趋进于0时偏增量的线性主要部分detaz=fx（x,y）detax+o(detax)右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在（x，y）点对x的偏微分这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分全增量：x,y都增加时f(x,y)的增量全微分：根号(detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系dz=Adx+Bdy 其中A就是对x求偏导，B就是对y求偏导希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。
概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式，公式同时也指明了求微分的方法。
3.全导数全导数是在复合函数中的概念，和上面的概念不是一个系统，要分开。
u=a(t),v=b(t)z=f[a(t),b(t)]dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。
dz/dt=(偏z/偏u)(du/dt)+(偏z/偏v)(dv/dt)建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。
1.中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。
2.中间变量有多元，只能求偏导 3.中间变两有一元也有多元，还是求偏导。
对于你的题能求对x的偏导数，对y的偏导数，z的全微分，不能求全导数如果z=f(x^2,2^x) 只有这种情况下dz/dx才是全导数！偏导数就是在一个范围里导数，如在（x0,y0)处导数。
复合函数的偏导数
由于函数z f (u, v)在点(u, v)有连续偏导数
z
z u
u
z v
v
1u
2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
z tz u源自u tz v
v t
1
u t
2
v t
当t 0时， u 0，v 0
证: 把 u (x2 y2 )看作是由函数
u (z)及 z x2 y2
复合而成，分别对 x 与 y求导得
u (z) 2x, u (z) 2y,
x
y
从而 x u y u 2xy(z) 2xy(z) 0.
y x
例8 设z f (u, x, y), 其中 f 具有对各变量的连续的 二阶偏导数，且 u xey , 求 2 z . yx
ux
zv
z z u z v z w y u y v y w y
wy
特殊地 z f (u, x, y) 其中 u ( x, y)
即 z f [( x, y), x, y], 令 v x, w y,
v 1, w 0,
x
x
其中 fij表示 f 先对第i个变量求导，再对第j个求二阶偏导.
三、小结
1、链式法则 （特别要注意课中所讲的特殊情况）
2、全微分形式不变性 （理解其实质）
思考题
设z f (u,v, x)，而u ( x) ，v ( x)，
则 dz f du f dv f ， dx u dx v dx x
中的 y 看作不变而对x 的偏导数 变而对x 的偏导数
微积分第2周讲课提纲(偏导数、全微分、复合函数微分法)
f (a) dy lim f (a h) f (a) ，
dx xa h0
h
其几何意义是曲线 y f (x) 在点 (a, f (a)) 处切线的斜率，切向量为 T (1, f (a)) / /(dx, df (a)) ．
1．偏导数的定义
定义：设函数 f (x, y) 在点 (a,b) 及其附近有定义，考虑函数 z f (x,b) 在点 x a 的导数，
xy
yx
例
2： u
sin(x
y
z)
，求
2u yx
，
2u xy
，
3u x2z
．
解： 2u sin(x y z) ； 2u sin(x y z) ； 3u cos(x y z) ．
yx
xy
x2z
Note：是否存在函数 f (x, y) 及其定义域中的点 (a,b) ，使得 2 f (a,b) 2 f (a,b) ？
量为
T
(0,1,
f
(a, b)
)
．
y
微积分 B(2)
第 2 周讲课提纲（By Huzm）（大约需要 5 学时）(By Huzm)
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二、高阶偏导数
1. 高阶偏导数的概念
偏导函数： f (x, y) , f (x, y) ；
x
y
二阶偏导数：
2
f (x, x2
y)
x
f
(x, x
xy
yx
例如：对于函数
x2 y2
f
(x,
y)
xy
x2
y2
,
0,
x2 y2 0, 因为
x2 y2 0,
微积分 B(2)
全微分与偏导数的关系
全微分与偏导数的关系
全微分与偏导数是微积分中的两个重要概念，它们之间存在着密切的联系。
全微分可以理解为一个函数在某一点处的变化量，而偏导数则是一个函数在某一方向上的变化量。
在一元函数中，全微分等于函数的导数乘以自变量的微小增量。
例如，对于函数f(x)，全微分df在点x处的值等于f'(x)dx。
在多元函数中，全微分可以表示为函数在各个自变量上的偏导数乘以各自的微小增量的和。
例如对于函数f(x,y)，在点(x0,y0)处的全微分df为df=fx(x0,y0)dx + fy(x0,y0)dy。
同时，对于一个函数f(x,y)，其在x方向的偏导数可以表示为
偏微分df/dx，y方向的偏导数可以表示为偏微分df/dy。
因此，全微分与偏导数之间的关系可以表示为：如果一个函数在区域内的偏导数存在且连续，则该函数在该区域内是全微分的。
也即，如果一个函数存在全微分，则其在各个自变量上的偏导数存在且连续。
- 1 -。
复合函数偏导数
复合函数偏导数
复合函数是由两个或多个函数经过组合而成的新函数，在求复合函数的偏导数时，需要使用链式法则。
假设有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数可以表示为f(g(x))。
在求f(g(x))的偏导数时，需要使用链式法则，即：
∂(f(g(x)))/∂x = (∂f/∂g) * (∂g/∂x)
其中，∂f/∂g表示f关于g的偏导数，∂g/∂x表示g关于x的偏导数。
例如，假设f(x,y) = x^2+y，g(x,y) = y^2+x，则它们的复合函数可以表示为：
现在需要求h(x,y)对x和y的偏导数。
对x的偏导数：
∂h/∂y = (∂f/∂g) * (∂g/∂y) + ∂f/∂y = 2(y^2+x) * 2y + 1 = 4y(y^2+x) + 1
因此，h(x,y)对x的偏导数为2(y^2+x)，对y的偏导数为4y(y^2+x) + 1。
在实际应用中，复合函数的偏导数计算可以通过计算机程序自动化求解。
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函数z f [ ( x, y), ( x, y), w( x, y)]在对应点( x, y)
两个偏导数存在，且可用下列公式计算
z
z
u
z
v
z
w
,
x u x v x w x
z
z
u
z
v
z
w
.
z
y u y v y w y
u v w
x
y
特殊地 z f (u, x, y) 其中 u ( x, y)
即 z f [( x, y), x, y], 令 v x, w y,
dz z dx z dy x y
z u
u x
z v
v x
dx
z u
u y
z v
v y
dy
z u dx u dy u x y
z v dx v dy v x y
z du z dv. u v
例 4 已知exy 2z e z 0，求z 和z . x y
解 d(exy 2z ez ) 0,
二、全微分形式不变性
设函数z f (u,v)具有连续偏导数，则有全微分
dz z du z dv ;当u ( x, y)、v ( x, y)
u v 时，有dz z dx z dy .
x y
全微分形式不变形的实质：
无论 z是自变量u、v的函数或中间变量u、v
的函数，它的全微分形式是一样的.
上定理还可推广到中间变量不是一元函数
而是多元函数的情况：z f [( x, y), ( x, y)].
如果u ( x, y)及v ( x, y) 都在点( x, y)
具有对x 和y 的偏导数，且函数z f (u,v) 在对应
点( u, v ) 具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y) 的两个偏
u du , t dt
v dv , t dt
dz lim z z du z dv . dt t0 t u dt v dt
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
如 dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
u
z
v
t
w
以上公式中的导数
dz dt
称为全导数.
例 1 设z eu sin v ，而u xy ，v x y ， 求 z 和z . x y
解 z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cosv 1 eu( ysinv cosv),
z y
z u
u y
z v
v y
eu sin v x eu cosv 1 eu( xsinv cosv).
v 1, w 0,
x
x
z f u f , x u x x
两者的区别
v 0, w 1.
y
y
区
z f u f . y u y y
别 类 似
把 z f (u, x, y)
把 复 合函 数 z f [ ( x, y), x, y] 中的u 及 y 看作不
中的 y 看作不变而对x 的偏导数 变而对x 的偏导数
证 设 t 获得增量 t，
则 u (t t) (t), v (t t) (t);
由于函数z f (u, v)在点(u, v)有连续偏导数
z
z u
u
z v
v
1u
2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
z t
z u
u t
z v
v t
1
u t
2
v t
当t 0时， u 0，v 0
写出来为
dz dx
x
f u
(u,v ,x )
du dx
2w xz
z
(
f1
yzf2)
f1 z
yf2
yz f2; z
f1 z
f1 u f1 v u z v z
f11 xyf12;
f2 z
f2 u f2 v u z v z
f21 xyf22;
于是
2w xz
f11
xyf12
yf2
yz(
f21
xyf22 )
f11 y( x z) f12 xy2zf22 yf2.
exyd( xy) 2dz ezdz 0,
(ez 2)dz exy ( xdy ydx)
dz
ye xy (ez 2)
dx
xe xy (ez 2)
dy
z ye xy
x
ez
, 2
z y
xe xy
ez
. 2
三、小结
1、链式法则（分三种情况）
（特别要注意课中所讲的特殊情况）
2、全微分形式不变性
第五节
复合函数的偏导数和全微分
一、链式法则
定理 如果函数u (t) 及v (t ) 都在t点 可
导，函数 z f (u,v) 在对应点(u,v) 具有连续偏
导数，则复合函数z f [ (t ), (t )]在对应t点 可
导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
（理解其实质）
思考题
设z f (u,v, x)，而u ( x) ，v ( x)，
则 dz f du f dv f ， dx u dx v dx x
试问dz 与f 是否相同？为什么？ dx x
思考题解答
不相同.
等式左端的z 是作为一个自变量x 的函数，
而等式右端最后一项f 是作为u, v, x 的三元函数，
例 2 设z uv sin t ，而u et ，v cos t ， 求全导数dz . dt
解 dz z du z dv z dt u dt v dt t vet usin t cos t et cos t et sin t cos t
et (cost sin t) cost.
导数存在，且可用下列公式计算
z
z
u
z
v
，
x u x v x
z y
z u
u y
z v
v y
.
链式法则如图示
u
x
z
v
y
z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
类似地再推广，设u ( x, y) 、v ( x, y) 、
w w( x, y)都在点( x, y) 具有对x 和y 的偏导数，复合
例 3 设w f ( x y z, xyz)，f 具有二阶 连续偏导数，求w 和 2w . x xz
解 令 u x y z, v xyz;
记
f1
f
(u,v) , u
f12
2 f (v) , uv
同理有 f2, f11, f22 .
w f u f v
x
u x v x
f1 yzf2;