复合函数的偏导数
经济学专业数学复合函数和隐函数的偏导数配套课件
则
两边对 x 求导
在
的某邻域内
Fy 0
Fx dy dx Fy
2017年4月14日星期五
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y 例 5 设方程 ln x y arctan 确定 y 是 x dy x 的函数,求 . dx
2 2
解
1 2y 1 1 yx Fy 2 2 2 2 x y 1 ( y )2 x x y 2 x 所以,
1 2x 1 y x y Fx 2 ( 2 ) 2 2 2 x y 1 ( y )2 x x y2 x
y 令 F ( x, y ) ln x y arctan ,则 x
2 2
Fx dy x y x y . dx Fy yx x y
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定理4
② ③ 则方程
若函数
F ( x, y, z ) 满足:
的某邻域内具有连续偏导数 ,
① 在点
F ( x0 , y0 , z0 ) 0 Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
在点 某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 并有连续偏导数
全微分的形式不变性
设函数
则复合函数 的全微分为 都可微,
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量,
其全微分表达
形式都一样,
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这性质叫做全微分形式不变性.
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利用全微分的形式不变性，可以比较容易地得到全 微分的四则运算公式：
u vdu u d(u v) du dv, d(uv) udv vdu, d v2 v u vdu udv udv vdu , d (v 0). 2 v v
复合函数求导法则
导数存在，且可用下列公式计算
z
z
u
z
v
，
x u x v x
z y
z u
u y
z v
v y
.
链式法则如图示
u
x
z
v
y
z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
例 1 设 z eu sin v ，而u xy，v x y ， 求 z 和z . x y
即 z f[(x ,y )x ,y ],令 vx, wy,
v 1, w 0,
x
x
zf uf, x u x x
v 0, w 1.
y
y
区
z f uf . y u y y
别 类 似
两者的区别
把 z f (u, x, y)
把复合函数zf[(x,y),x,y]中 的 u 及 y 看 作 不
中 的y看 作 不 变 而 对 x的 偏 导 数 变 而 对 x 的 偏 导 数
同理有 f2, f11, f22.
w x
f u f v
u x v x
f1yfz2 ;
2w xz
( z
f1
yzf2)
fz1yf2yzfz2;
f 1 z
fu1uzfv1vz f1 1xf1 y ;2
f 2 z
f2uf2v u z v z
f2 1xf2 y ;2
于是
2w xz
f11xfy12 yf2 y(f z 2 1xf2 y )2
连续偏导数，求 w 和 2w . x xz
（3）求抽象函数的二阶偏导数时要注意，对一 切一阶偏导数来说其结构图仍与原来函数的结 构图相同。
变限积分多元复合函数偏导数
变限积分多元复合函数偏导数1. 什么是变限积分？在微积分中，积分是一个非常重要的工具。
它用于求解一些复杂的数学问题，并被广泛应用于物理、工程、经济学等领域。
变限积分是指被积函数的积分上限和下限都是变量的情况。
在这种情况下，积分的结果不再是一个定值，而是一个关于变量的函数。
2. 多元函数和复合函数的概念多元函数是指一个函数有多个自变量，例如f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2。
变量x、y、z是自变量，而f(x,y,z)是因变量。
复合函数是指将一个函数作为另一个函数的自变量时所构成的函数。
例如，设有两个函数f(x)和g(x)，则f(g(x))表示将g(x)的输出值作为f(x)的输入值，从而得到一个新的函数。
3. 什么是多元复合函数偏导数？多元函数的偏导数是指将该函数中的所有自变量除了一个以外都视为常数，对该变量求导得到的导数。
复合函数偏导数是指对一个多元复合函数中的某一个自变量求偏导数，而其他自变量视为常数的导数。
例如，设有一个函数f(x,y)=sin(x+y)，则f(x,y)的偏导数∂f/∂x 和∂f/∂y分别为cos(x+y)和cos(x+y)。
4. 如何计算变限积分多元复合函数偏导数？考虑一个函数F(x,y)=∫x^2y^3cos(t^2)dt，其中上限为y，下限为0。
我们需要计算F对x和y的偏导数，即Fx和Fy。
首先，我们需要对F进行求导，得到：F'(x,y)=(d/dx)∫x^2y^3cos(t^2)dt根据积分的导数公式，得到：F'(x,y)=x^2y^3cos(x^2)+∫y^3(-2xtsin(t^2))dt对∫中的三个变量t、x、y分别求导，得到：∂F'(x,y)/∂x=2xy^3cos(x^2)-2y^3∫tsin(t^2)dt∂F'(x,y)/∂y=3x^2y^2cos(x^2)-3x^2∫t^2sin(t^2)dt其中∫tsin(t^2)dt和∫t^2sin(t^2)dt是变限积分，需要使用变量替换法进行计算。
高等数学 复合函数的偏导数
例 6. 利用全微分形式不变性再解例1.
解: dz d( eu sin v ) eu cos v dv
d (xy)
d (x y)
(yd x xdy) exy[ y sin(x y) cos(x y)]d x
(dx dy)
dy
所以
例1 . z eu sin v, u xy, v x y, 求 z , z . x y
说明: 若定理中
偏导数连续减弱为
偏导数存在, 则定理结论不一定成立.
例如: z f (u, v)
u
u2v 2 v
2
,
0,
u2 v2 0 u2 v2 0
ut, vt
易知:
但复合函数 z f (t, t ) t 2
d z 1 z du z dv 0 1 0 1 0
d t 2 u dt v dt
u v
tt
z z u z v o( ) ( (u)2 (v)2 )
t u t v t t
则有u 0, v 0,
z
u du , v dv t dt t dt
uv
o( )
tt
(△t＜0 时,根式前加“–”号)
d z z d u z dv ( 全导数公式 ) d t u d t v d t
复合函数求导复合函数复合函数求导公式复合函数的单调性复合函数积分复合函数求导法则复合函数单调性复合函数的求导复合函数定义域复合函数求偏导
第四节 多元复合函数的求导法则
Longlan_sophiey@
一元复合函数 求导法则 微分法则
本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
z f
z x
f x
复合函数的偏导数
一、复合函数的求导法则 二、全微分形式的不变性
预备知识
1 一元函数复合函数求导法则(链式法则)：
dy dy du y f (u), u ( x), y f ( x); dx du dx
2 一元函数导数与多元函数偏导数表示上的差别：
dz z f ( x) dx
( x, y) 如果u ( x , y ) 及v ( x , y ) 都在点
具有对x 和y 的偏导数，且函数 z f ( u, v ) 在对应 点( u, v ) 具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x , y ), ( x , y )]在对应点( x , y ) 的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v z z u z v ， . x u x v x y u y v y
链式法则如图示
u
z
x
y
v
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
z
dz 以上公式中的导数 称为全导数. dt
u v w
t
上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况： z f [ ( x , y ), ( x , y )].
z z du dv. v u
全微分形式不变性的实质：
无论 z是自变量 u、v的函数或中间变量 u、v 的函数，它的全微分形式是一样的.
z z 例 4 设 z e sin v ，而 u xy ，v x y ， 求 和 . x y z z u u 解 dz du dv e sin vdu e cos vdv u v
复合函数求偏导
w w du w v w t x u dx v x t x
2x w y w yz w, u v t
w y
w v
v y
w t
t y
x
w v
xz
w. t
w w t xy w. z t z t
3.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而 u (x), v (x)
可导，则复合函数
z f [(x), (x)]
只是自变量x的函数， 求z对x的导数 dz .
dx
可得
dz z du z dv.
(5)
dx u dx v dx
在这里，函数z是通过二元函数z=f(u,v)而成为x的
x
x
例1
设 z eu sinv,u xy,v x y, 求 z , z . x y
解法1 得
z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cos v 1
exy[ y sin(x y) cos(x y)]，
x y
自变量x到达z的路径有二条，第一路径上只有一
个函数，即z是x的函数.第二路径上有两个函数z和v.自 变量y到达z的路径只有一条，于是 z , z 的偏导数
x y 公式应是：
z f f v，
x x v x z f v .
(6)
y v y
一元复合函数.因此，z对x的导数 dz 又称为z对x的全 dx
导数.对公式(5)应注意，由于z，u，v这三个函数都是x
的一元函数，故对x的导数应写成 dz , du , dv ，而不能
偏导z和偏导f
偏导z和偏导f在数学中，偏导数是一种描述函数在某一点上对输入变量的敏感程度的概念。
而偏导z和偏导f则涉及到多元函数中的偏导数的概念和计算方法。
在本文中，我们将详细探讨偏导z和偏导f的定义、计算以及一些基本性质。
1. 偏导z和偏导f的定义对于一个多元函数z=f(x₁, x₂, ..., xn)，其中xi为自变量，z为因变量。
在给定某一点（x₁₀, x₂₀, ..., xn₀）处的偏导数，我们可以将其他自变量视为常数。
这样，偏导z和偏导f就可以分别表示为：偏导z = ∂z/∂xi，偏导f = ∂f/∂xi其中，∂表示偏导数的符号，∂z/∂xi表示对z求关于xi的偏导数，∂f/∂xi表示对f求关于xi的偏导数。
2. 偏导z和偏导f的计算为了计算偏导z和偏导f，我们可以使用偏导数的定义来进行求解。
具体计算方法如下：- 对于偏导z：- 将除了xi以外的所有自变量视为常数，在函数f(x₁, x₂, ..., xn)中，对xi求偏导数。
- 在求导过程中，将常数视为零，只保留与xi有关的项。
- 最后将得到的结果作为偏导z。
- 对于偏导f：- 将除了xi以外的所有自变量视为常数，在函数f(x₁, x₂, ..., xn)中，对xi求偏导数。
- 在求导过程中，将常数视为零，只保留与xi有关的项。
- 最后将得到的结果作为偏导f。
需要注意的是，对于复杂的多元函数，计算偏导数可能需要使用链式法则、乘积法则等求导法则。
3. 偏导z和偏导f的基本性质偏导z和偏导f具有一些基本的性质，包括：- 线性性质：对于任意实数a和b，有偏导z(af+bg) = a偏导z(f) + b 偏导z(g)。
同样地，对于偏导f也满足相同的性质。
- 交换性质：对于函数z=f(x, y)和f=g(x, y)，如果偏导z(f)存在且连续，那么偏导z(g)也存在且连续。
- 链式法则：对于复合函数z=f(g(x)), 偏导z(f(g)) = 偏导z(f) * 偏导z(g)。
求复合函数偏导数的链式法则解
Yunnan University
e [ y sin( x y ) cos( x y )]dx
xy
z y
e xy [ x sin( x y ) cos( x y )]dy .
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
例 9 已知 e
解
xy
d e
2 z e 0 ，求 z 和 z .
Yunnan University
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
u u 证明： ' ', a ' a ', x t 2u 2u 2 2 '' '', a '' a '', 2 2 x t 所以
2 2u u 2 a . 2 2 t x
将 x0 , y0 换成D内任一点 x , y , 有 xf yf nf x , y ,
' 1 ' 2
即 f f x y nf . x y
Yunnan University
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
对z f x , y
x 2 y 2 , 它满足
Yunnan University
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
二、复合函数的全微分
设函数 z f ( u, v ) 具有连续偏导数，则 u，v 不论是 自变量还是中间变量，总有全微分
dz z du z d，结论显然。
（2）如果 u，v 是中间变量， u ( x , y ), v ( x , y ). 有全微分：
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
复合函数偏导数
复合函数偏导数
复合函数是由两个或多个函数经过组合而成的新函数，在求复合函数的偏导数时，需要使用链式法则。
假设有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数可以表示为f(g(x))。
在求f(g(x))的偏导数时，需要使用链式法则，即：
∂(f(g(x)))/∂x = (∂f/∂g) * (∂g/∂x)
其中，∂f/∂g表示f关于g的偏导数，∂g/∂x表示g关于x的偏导数。
例如，假设f(x,y) = x^2+y，g(x,y) = y^2+x，则它们的复合函数可以表示为：
现在需要求h(x,y)对x和y的偏导数。
对x的偏导数：
∂h/∂y = (∂f/∂g) * (∂g/∂y) + ∂f/∂y = 2(y^2+x) * 2y + 1 = 4y(y^2+x) + 1
因此，h(x,y)对x的偏导数为2(y^2+x)，对y的偏导数为4y(y^2+x) + 1。
在实际应用中，复合函数的偏导数计算可以通过计算机程序自动化求解。
第67讲 多元抽象复合函数的偏导数计算
所以
1 = 1,1 + 1,1 ⋅ (1,1) +
= + +(+) =+ + + .
(1,1) ⋅ ( (1,1) +
(1,1)
= −2 , 例 67.6 设变换 = + 可将方程 6 +
= 0，求常数 .
− = 0 简化为
பைடு நூலகம்
【解】由于 = + , = ⋅ (−2) + ⋅ = −2 + ,
=+
+
+ = +2
依题意，有 6 + − = 0， 但10 + 5 ≠ 0 ， 故 = 3.
例67.1 设函数 = ( , , ), = ( , ), = ( , )均具有一阶连续 偏导数，求 , . 【解】如图，由 至 的路径为
→, → →, → →→.
因此， = +
+
.
同理，由 至 的路径为 → , → → → .
因此，
=+
.
【注】用树形图的方法求多元抽象复合函数的偏导数的步骤如下： (1) 按从因变量到自变量的顺序用有向线段表示函数关系，
=+
, ，其中 具有连续的一阶偏导数，求 , .
=+
⋅ + ⋅ ⋅2
+2
.
==
⋅2 + ⋅ ⋅ =2
+
.
【注】抽象复合函数与其他函数进行四则运算而得到的函数，在对其求偏 导数时，要同时利用一元函数的求导四则运算法则及复合函数求导的链式 法则.
例67.4 设 = ( + ) + ( + )，其中 , 具有二阶连续导数， 证明： − 2 + = 0.