第六节多元复合函数求偏导
多元复合函数的求导法则
解: 如左图，有 z z x , z z x z dy s x s t x t y dt
z
xy
st t
注：在应用链法则时，有时会出现复合函数的某些 中间变量本身又是复合函数的自变量的情况，这时要
注意防止记号的混淆.
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如, z f (x, y), y (x,t)
d(uv) vdu u d v
d(u v) du d v
d
u v
v
d
u v2
u
d
v
用链法则求复合函数偏导数时，首先要分清自变量
和中间变量. 有了一阶全微分形式不变性， 可以不再 考虑这种区别，使计算变得方便。
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例 8. 求 z (x2 y2 )xy 的全微分和偏导数. 解: 设 u (x2 y2 ) v xy 则 z uv
x
dx
t
dt
x
dx
z
dz
f y
t
z
f z
dz
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例10. 已知 解: 由条件 又因为 所以
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求 两边求微分, 得
解: 解法一，dz z dx z dy
代入
dt x dt y dt
(2xy 3y4)et (x2 12xy3)cost
(2et sin t 3sin4 t)et (e2t 12et sin3 t)cost 解法二， 先代入，变成一元函数的求导. 因为 z e2t sin t 3et sin4 t， 所以
多元多重复合函数的求导法则
多元多重复合函数的求导法则多元多重复合函数是多元函数中重要的一类函数，常用来描述多元关系，其中常用求导法则如下： 1. 链式法则：链式法则是求导最基本的法则，其定义为：若函数y=f(x)是关于变量x的函数，而z=F(y)是关于y的函数，则关于x的F(y)的导数由z的导数乘以y的导数的乘积来决定，即：∂z/∂x = (∂z/∂y) *(∂y/∂x) 2. 偏导数法则：偏导数法则认为多元函数是关于各独立变量变化而变化，即每个变量是由与它独立变量组成的函数组合而成。
这时，只要将函数分解为每个独立变量的函数，分别求出偏导数后，组合即可得到多元函数的极限导数。
3. 偏导数链式法则：偏导数链式法则是将链式法则与偏导数法则相结合而推出的求多元复合函数极限的法则，其定义为：若函数u=f(x,y,z)是三元函数，而v=F(u,z)是关于u，z的多元函数，则u的偏导数即得到v的偏导数，即：∂v ∂x = (∂v/∂u)(∂u/∂x) + (∂v/∂z)(∂z/∂x) 4.Derivative of a composite function：This rule states that for a function y = f(x) composed of two functions u = g(x) and v = h(x), then the derivative of y with respect to x is equal to the product of the derivatives of u and v with respect to x. This can be written as y'(x) = u'(x)·v'(x) 以上是多元多重复合函数常用的求到法则，而求多元复合函数极限的步骤可由偏导数链式法则推导而得。
首先，求出函数中每个变量的偏导数，然后分别乘以各自的函数值，最后将结果进行相乘组合计算即可得到多元复合函数的极限值。
多元复合函数的求导法
多元复合函数的求导法在一元函数中，我们已经知道，复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作用，对于多元函数来说也是如此。
下面我们来学习多元函数的复合函数的求导公式。
我们先以二元函数为例：多元复合函数的求导公式链导公式：设均在(x,y)处可导,函数z=F(u,v)在对应的(u,v)处有连续的一阶偏导数,那末,复合函数在(x,y)处可导,且有链导公式：例题：求函数的一阶偏导数解答：令由于而由链导公式可得：其中上述公式可以推广到多元，在此不详述。
一个多元复合函数，其一阶偏导数的个数取决于此复合函数自变量的个数。
在一阶偏导数的链导公式中，项数的多少取决于与此自变量有关的中间变量的个数。
全导数由二元函数z=f(u,v)和两个一元函数复合起来的函数是x的一元函数.这时复合函数的导数就是一个一元函数的导数,称为全导数.此时的链导公式为:例题：设z=u2v，u=cosx，v=sinx，求解答：由全导数的链导公式得：将u=cosx，v=sinx代入上式，得：关于全导数的问题全导数实际上是一元函数的导数，只是求导的过程是借助于偏导数来完成而已。
多元函数的极值在一元函数中我们看到，利用函数的导数可以求得函数的极值，从而可以解决一些最大、最小值的应用问题。
多元函数也有类似的问题，这里我们只学习二元函数的极值问题。
二元函数极值的定义如果在(x0,y0)的某一去心邻域内的一切点(x,y)恒有等式：f(x,y)≤f(x0,y0)成立，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极大值f(x0,y0)；如果恒有等式：f(x,y)≥f(x0,y0)成立，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极小值f(x0,y0).极大值与极小值统称极值.使函数取得极值的点(x0,y0)称为极值点.二元可导函数在(x0,y0)取得极值的条件是：.注意：此条件只是取得极值的必要条件。
凡是使的点(x,y)称为函数f(x,y)的驻点.可导函数的极值点必为驻点，但驻点却不一定是极值点。
多元复合函数的求偏导法则
2x(1 2x2 sin2 y)ex2y2x4 sin2 y
z f f u y y u y
当然也可代入直接求偏导
ex2y2u2 2y (ex2y2u2 .2u) (x2 cos y)
2( y x4 sin y cos y)ex2 y2x4 sin2 y
式中
（z 或
x
z y
）是表示复合后函数
另一种解法：代入直接求偏导
z ln(e2x2y2 x2 y)
2 x2 y2
2e 2x z e x y x
e2 x2 y2
1
x
y2
(e2x2 y2
x2
y)
x
2x y2
2
z y
e2x2y2
1
x
y2
(e2x2y2
x2
y)
y
4 ye2x2 y2 1 e2xy2 x y2
注：
（1）求复合函数偏导数时，最后要将中间变量都 换成自变量表示。 （2）用哪一种方法因题而定 （3）有些复杂的或不易直接求解的多元函数求偏 导问题，我们可以引进中间变量。
x y z
【例6】 设x2 + 2y2 + 3z2 = 4x，求 z ,
解法2：公式法
x
z , y
2z xy
令F(x, y, z) x2 2y2 3z2 4x
则 Fx 2x 4 ，Fy 4 y ， Fz 6z
故
z x
z y
Fx FFzy Fz
2x 4 2 x 6z 3z
图7-21
z z u z y u y y
多元复合函数的求偏导法则：多元复合函数对某一自 变量的偏导数，等于这个函数对各个中间变量的偏导数 与这个中间变量对该自变量的偏导数的乘积和。
多元复合函数求偏导 -回复 -回复
多元复合函数求偏导-回复-回复如何求解多元复合函数的偏导数问题。
第一步：理解多元复合函数的定义多元复合函数是由多个函数按照特定的方式组合而成的函数。
形式上，如果有函数g(x_1, x_2, ..., x_n)和函数f(y_1, y_2, ..., y_m)，那么我们可以定义一个复合函数h(x_1, x_2, ..., x_n) = f(g(x_1, x_2, ..., x_n))。
在这个定义中，g(x_1, x_2, ..., x_n)是一个从R^n映射到R^m的函数，而f(y_1, y_2, ..., y_m)是一个从R^m映射到R的函数。
第二步：多元复合函数的链式法则要求解多元复合函数的偏导数，我们可以使用链式法则。
链式法则是微积分中的一个重要定理，它描述了复合函数的导数和原函数的导数之间的关系。
对于多元复合函数，链式法则可以写成如下形式：∂h/∂x_i = (∂f/∂y_1) * (∂g_1/∂x_i) + (∂f/∂y_2) * (∂g_2/∂x_i) + ... + (∂f/∂y_m) * (∂g_m/∂x_i)其中，∂h/∂x_i 表示复合函数h(x_1, x_2, ..., x_n)对变量x_i 的偏导数，∂f/∂y_j 表示函数f(y_1, y_2, ..., y_m)对变量y_j 的偏导数，∂g_j/∂x_i 表示函数g(x_1, x_2, ..., x_n)对变量x_i 的偏导数。
第三步：解题示例为了更好地理解如何求解多元复合函数的偏导数问题，我们来看一个具体的示例。
假设我们有函数g(x, y) = x^2 + 2y 和函数f(z) = e^z，我们要求解复合函数h(x, y) = f(g(x, y)) 的偏导数。
首先，我们计算f(z)对z的偏导数∂f/∂z。
根据指数函数的导数公式，我们知道∂f/∂z = e^z。
接下来，我们计算g(x, y)对x和y的偏导数∂g/∂x 和∂g/∂y。
多元函数偏导
多元函数偏导
多元函数偏导是指在多元函数中，求出每个变量对函数的影响程度的过程。
例如，在函数f(x,y)=x^2+y^3中，要求x对函数的偏导，就是求出这个函数中x对函数值的影响程度。
这个偏导的值就是2x。
同理，求y对函数的偏导，就是求出y对函数值的影响程度，这个偏导的值就是3y^2。
求多元函数偏导的方法是，先确定要求的变量，然后将其他变量看作常数，对这个变量求导即可。
例如，在函数f(x,y)=x^2+y^3中，要求x对函数的偏导，就可以将y看作常数，对x求导。
这样就得到了偏导值2x。
偏导是求多元函数的一种常用方法，它可以帮助我们更好地理解多元函数的性质，并且在求解微积分问题时也是非常有用的工具。
1/ 1。
大学多元函数的偏导数计算
大学多元函数的偏导数计算在大学数学的学习过程中，多元函数是一个非常重要的概念。
多元函数的偏导数计算是其中的一个关键内容。
在本文中，我们将探讨多元函数的偏导数计算方法，并且介绍一些常见的例子来帮助我们更好地理解该概念。
一、偏导数的概念和定义偏导数是用来描述多元函数在某一点上某个自变量的变化率的概念。
对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，我们可以将其中的一个自变量视为其他自变量都是常数的情况下的一元函数。
对这个一元函数求导，即可得到该自变量的偏导数。
在数学上，我们用∂f/∂xi来表示函数f对自变量xi的偏导数。
其中，∂是一个类似∂x/∂y的符号，表示偏微分的操作。
二、偏导数的计算方法1. 常规函数的偏导数对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，我们需要计算它的偏导数时，可以将其他自变量视为常数，然后对需要求偏导的自变量进行求导。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + y^2，我们求它对x的偏导数。
因为y在此时被视为常数，所以我们可以将y^2看作常数项。
因此，偏导数∂f/∂x = 2x。
2. 复合函数的偏导数当函数是由多个函数复合而成时，我们需要使用链式法则来计算偏导数。
例如，对于函数f(u, v) = u^2 + v，其中u = x + y，v = x - y。
我们需要求f对x的偏导数。
首先，我们要根据链式法则计算两个中间变量fu 和fv的偏导数。
fu = ∂f/∂u = 2u，fv = ∂f/∂v = 1。
然后，我们可以根据链式法则来计算偏导数∂f/∂x。
∂f/∂x = ∂f/∂u * ∂u/∂x + ∂f/∂v * ∂v/∂x根据链式法则，∂u/∂x = 1，∂v/∂x = 1。
代入上述公式，我们可以得到∂f/∂x = 2u * 1 + 1 * 1 = 2u + 1。
其中，u = x + y，所以偏导数∂f/∂x =2(x + y) + 1 = 2x + 2y + 1。
（整理）多元复合函数的求导法.
（整理）多元复合函数的求导法.多元复合函数的求导法在⼀元函数中，我们已经知道，复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作⽤，对于多元函数来说也是如此。
下⾯我们来学习多元函数的复合函数的求导公式。
我们先以⼆元函数为例：多元复合函数的求导公式链导公式：设均在(x,y)处可导,函数z=F(u,v)在对应的(u,v)处有连续的⼀阶偏导数,那末,复合函数在(x,y)处可导,且有链导公式：例题：求函数的⼀阶偏导数解答：令由于⽽由链导公式可得：其中上述公式可以推⼴到多元，在此不详述。
⼀个多元复合函数，其⼀阶偏导数的个数取决于此复合函数⾃变量的个数。
在⼀阶偏导数的链导公式中，项数的多少取决于与此⾃变量有关的中间变量的个数。
全导数由⼆元函数z=f(u,v)和两个⼀元函数复合起来的函数是x的⼀元函数.这时复合函数的导数就是⼀个⼀元函数的导数,称为全导数.此时的链导公式为:例题：设z=u2v，u=cosx，v=sinx，求解答：由全导数的链导公式得：将u=cosx，v=sinx代⼊上式，得：关于全导数的问题全导数实际上是⼀元函数的导数，只是求导的过程是借助于偏导数来完成⽽已。
多元函数的极值在⼀元函数中我们看到，利⽤函数的导数可以求得函数的极值，从⽽可以解决⼀些最⼤、最⼩值的应⽤问题。
多元函数也有类似的问题，这⾥我们只学习⼆元函数的极值问题。
⼆元函数极值的定义如果在(x0,y0)的某⼀去⼼邻域内的⼀切点(x,y)恒有等式：f(x,y)≤f(x0,y0) 成⽴，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极⼤值f(x0,y0)；如果恒有等式：f(x,y)≥f(x0,y0) 成⽴，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极⼩值f(x0,y0).极⼤值与极⼩值统称极值.使函数取得极值的点(x0,y0)称为极值点.⼆元可导函数在(x0,y0)取得极值的条件是：.注意：此条件只是取得极值的必要条件。
凡是使的点(x,y)称为函数f(x,y)的驻点.可导函数的极值点必为驻点，但驻点却不⼀定是极值点。
复合函数求偏导
下面借助于函数的结构图，利用链式法则定出偏 导数公式. 1、设z=f(u,v,w)有连续偏导数，而
u (x, y),v (x, y), w (x, y) 都有偏导数，求复合函数 z f [(x, y), (x, y), (x, y))
的偏导数 z , z . x y
由结构图看出自变量x到达z的路径有三条，因此 z x
3 u3
3( x 2
y2 u5
z2)
3 u3
3 u3
0.
二、全微分形式不变性
与一元函数的微分形式不变性类似，多元函数全 微分也有形式不变性.也就是说不论u，v是自变量还是 中间变量，函数z=f(u,v)的全微分的形式是一样的.即
dz z du z dv.
(7)
u v
这个性质称为全微分的形式不变性.
定理8.5 设函数 u (x, y),v (x, y)在点(x,y)处有偏
导数，而函数z=f(u,v)在对应点(u,v)有连续偏导数，则
复合函数 z f [(x, y), (x, y)] 在点(x,y)处的偏导数
z , z 存在，且有下面的链式法则： x y
z z u z v ,
x u x v x z z u z v .
z , z . x y
解 令u x2 y2,v xy，可得
z z u z v x u x v x
多元复合函数的求导法则详解
多元复合函数的求导法则详解具体来说，有两种常见的多元复合函数情况，即链式法则和求导法则。
下面将结合具体例子详细解释这两种求导法则。
链式法则：链式法则适用于一个函数内部嵌套一个函数的情况。
我们用一个简单的例子来说明。
假设有一个函数f(x)=x²+1，另一个函数g(y)=y³。
现在我们要求复合函数h(x)=g(f(x))的导数。
首先，我们可以计算出 f(x) 的导数 df/dx = 2x。
然后我们计算g(y) 的导数dg/dy = 3y²。
接下来，我们利用链式法则来求解 h(x) 的导数。
根据链式法则，h(x) 的导数可以表示为 h'(x) = (dg/df) *(df/dx)。
在这个例子中，(dg/df) 表示 g'(f(x))。
我们可以通过将 f(x) 的结果代入到 g(y) 中来计算 (dg/df)。
即将 f(x) 的结果代入到 g(y)中得到h(x) = g(f(x)) = (f(x))³ = (x²+1)³。
然后我们计算 g'(f(x))，也就是求 g(f(x)) 的导数。
根据前面的计算， g(y) 的导数dg/dy = 3y²。
将 f(x) 的结果代入 dg/dy 中，即f(x) = x²+1，我们得到dg/df = 3(x²+1)²。
接下来，我们将 (dg/df) 和 df/dx 代入链式法则的公式中，即h'(x) = (dg/df) * (df/dx) = 3(x²+1)² * 2x = 6x(x²+1)²。
因此，我们得出 h(x) 的导数为h'(x) = 6x(x²+1)²。
这个例子说明了链式法则的使用方法，即先计算每个嵌套函数的导数，然后将这些导数代入到链式法则的公式中，得到最终的复合函数的导数。
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f3
xe y
f1
f
3
2z
x y
e y f1
fzf12
( f 11 xe y f 13 1)
ux y
( f 21 xe y f 23 1)
x yx y
xe2 y f 11 e y f 13 xe y f 21 f 23.
21
例8 设 z f ( x x2 y2 ), 且 f (u) 可微, 求 z 与 z . x y
的偏导数为
z
z
u
z
v
z
w
,
x u x v x w x
z
z
u
z
v
z
w
.
y u y v y w y
u
x
zv
y
w
8
例3. 设 z eu sin v , u x y , v x y , 求 z , z .
x y
z 解: x
z v v x
u、v回代
eu sin v eu cos v 1
开始对答案
13
练习1. z y , x et , y 1 t,求 dz .
x
dt
解 ：dz z dx z dy dt x dt y dt
y x2
et
1 x
(1)
t
2 et
.
14
2. z u2 ln v, u x , v 3x 2 y， 求 z , z .
y
x y
解：z z u z v
六、设z f ( x, x ),(其中f具 有二阶连续偏导数),求 y
2z 2z 2z x 2 , xy , y 2 .
27
七、设z
y , 其中为可导函数,
f (x2 y2)
验证: 1 z 1 z z . x x y y y 2
八、设z [ x ( x y), y],其中 , 具有二阶导数,求
解 在 z f ( x x2 y2 )中, 令 u x x2 y2 ,
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
z
z f (u) u (1 2xy2 ) f ( x x2 y2 ),
x
x
u
z f (u) u 2x2 y f ( x x2 y2 ).
y
y
xy
22
练习1. 设f ( x2 y, y ),
y 2 y 3
f 2
x2 y4
f 22 .
30
八、 2 z x 2
11 (1 )2
1 ,
2z y 2
11 ( )2
12
1
21
22 .
31
中间变量多于两个的情形. 例如,
z f (u,v, w) , u (t), v (t), w (t)
dz z du z dv z dw d t u d t v dt w dt
f1 f2 f3
z
uv w t tt
4
例1 设 z u2 v , u sin x, v e x ,求 dz .
2z 2z x 2 , y 2 .
28
练习题答案
一、1、cos y(cos x x sin x) , x cos x( y sin y cos y) ；
y cos2 x
y 2 cos2 x
2、2 x ln(3 x 2 y) 3 x 2 ,
y2
(3x 2 y)y2
2x2 ln(3x 2 y)
把把v看u看成成常常数数
dx
解 dz z du z dv dx u dx v dx
2u cos x (-1)e x u、v回代
sin2x ex .
z
uv xx
法二： z u2 v sin2 x ex
dz 2sin x cos x ex dx
sin2x ex .
5
z
z
z v
y
v y
uv
x yx y
eu sin v eu cos v 1
9
例4 设 z ln( u 2 v )，而 u e x y2 , v x 2 y，
求
z x
,
z y
.
z 解: x
z v v x
z uv
x yx y
2u u2 v
e x y2
1 u2 v
2x
2e2( x y2 ) 2 x e2( x y2 ) x2 y .
例2 设 z uv sin t ，而 u e t ，v cos t ，
求全导数 dz . dt
对中间变量求偏导
z
解 dz z du z dv z dt u dt v dt t
vet usint cos t
uvt ttt
et cos t et sint cos t
et (cos t sint ) cos t .
18
例6 设
求 w 和 2w . x xz
f 具有连续偏导数,
w
解 令 u x y z, v xyz, 则
uv
w f (u, v)
w
f yz
x
v
f2 yz
x y zx y z
yz
f
2
为简便起见 , 引入记号： 记
f12
2 f (u,v) , uv
同理有
f2,
f1
f
(u, v ) u
解 z f f u yu xy 2x x x u x y3 3x2 y，
z x yu
z f f u xu xy 2 yyຫໍສະໝຸດ y u yx3 3xy2 .
xy
16
你做对了吗？
17
三、抽象函数求偏导数 多元抽象复合函数求导在偏微分方程
变形与验证解的问题中经常遇到,下列几个 例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与 常用导数符号.
,
f11, f22 ， 等等.
19
w
f (x
y z, xyz), w x
f1
yzf2
2w xz
( z
f1
yzf2)
f1 z
yf2
yz
f2 z
;
f1 z
f1 u f1 v u z v z
f11 xyf12;
fwf21 uv
f2 f2 u f2 v z u z v z
f21
1 u2 2u ln v 3
x u x v x
yv
2x ln(3x 2 y)
3x2
y2
(3x 2 y)y2 .
z z u z v
x u2
y u y v y
2u ln v ( y2 ) v (2)
2 x2 ln(3 x 2 y)
2x2
y2
(3x 2 y)y2 .
15
3. 设 z xyu, u x2 y2 ,求 z , z . x y
2x2
；
y3
(3x 2 y)y2
3、 3(1 4t 2 ) . 1 (3t 4t 3 )2
二、 z x
[2x
y
2x2 y
xy
]e x2 y2
(x2 y2)y2
,
z y
[2 y
x
2y2 (x2
x y2
xy
]e ( x2 y2 ) . )
29
三、 dz e x (1 x) . dx 1 x 2e 2x
6
二、二元复合函数求偏导 （复合函数的中间变量均为多元函数的情形.）
定 理 设 z f (u, v) 具 有 连 续 偏 导 数 , u ( x, y) , v ( x, y) 可偏导,则复合函数 z f [( x, y), ( x, y)]
可偏导, 且有链式法则：
z x
z u u x
z v v x
2z
e
x2
y2
z
2
2
x
sin
y
u
2 x (1 2 x2 sin2 y) e x2 y2 x4 sin2 y
xyz
注意: 这里 u与 f 不同,
x x
xy
u
x 表示固定 自变量y 对自变量 x 求导,
f x
表示固定中间变量
y、z对
中间变量x
求导.
11
例5. u f ( x, y, z) e x2 y2z2 , z x2sin y, 求 u , u
四、 z x
2 xf1
ye xy
f
2
,
z y
2 yf1
xe xy
f 2.
五、u f (1 y yz), u f ( x xz), u xyf .
x
y
z
六、 2 z x 2
f11
2 y
f 12
1 y2
f 22 ,
2z
xy
x y2
(
f 12
1 y
f 22 )
1 y2
f 2,
2z 2x
第六节
第七章
多元复合函数的求导法则
一元复合函数 求导法则
本节内容: 一、 全导数 二、 二元复合函数求偏导
三、 抽象函数求偏导
1
多元函数经复合运算后，一般仍 是多元函数，也可能成为一元函数。 按前面关于多元函数的讨论方法，复 合函数求导法则的研究可从复合后成 为一元函数的情况开始。
这就是全导数问题。
二、设z
v
ue u ,而u
x2
y2,v
xy ，求z
, z
.
x y
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三、设z arctan(xy),而y e x ,求dz . dx
四、设 z f ( x 2 y 2 , e xy ),(其中f具 有一阶连续偏导