多元函数微分学偏导数与全微分
多元函数的全微分与偏导数
多元函数的全微分与偏导数多元函数是数学分析中非常重要的一个概念，它描述了多个自变量对应的函数值的变化规律。
全微分和偏导数则是研究多元函数性质的重要工具。
在本文中，我们将探讨多元函数的全微分与偏导数的定义、性质和应用。
一、全微分的概念与性质1.1 全微分的定义设函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 在点$(x_{1_0},x_{2_0},\cdots,x_{n_0})$ 具有一阶连续偏导数，则在该点的全微分为：$$\mathrm{d} f=f_{x_1}\mathrm{d} x_1+f_{x_2}\mathrm{d}x_2+\cdots+f_{x_n}\mathrm{d} x_n$$其中 $f_{x_i}$ 表示 $f$ 对 $x_i$ 的偏导数，$\mathrm{d}x_i$ 表示 $x_i$ 的微小增量。
1.2 全微分的性质全微分具有以下性质：（1）全微分的值与路径无关。
即，从点 $A$ 到点 $B$ 的全微分值相等。
（2）全微分对各变量的求导顺序不影响结果。
（3）全微分的二阶导数与求导顺序无关。
二、偏导数的定义与求解方法2.1 偏导数的定义函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 对自变量 $x_i$ 的偏导数定义为：$$\frac{\partial f}{\partial x_i}=\lim_{\Delta x_i\rightarrow0}\frac{f(x_1,x_2,\cdots,x_{i-1},x_i+\Delta x_i,x_{i+1},\cdots,x_n)-f(x_1,x_2,\cdots,x_n)}{\Delta x_i}$$偏导数表示 $f$ 在某一自变量上的变化率。
2.2 偏导数的求解方法对于多元函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，求偏导数的方法如下：（1）保持其他自变量不变，对于某个自变量求导数。
（2）对于每个自变量都求一遍偏导数。
多元微积分学
多元微积分学摘要：1.多元微积分学的基本概念2.多元函数的极限与连续3.偏导数4.全微分5.多元函数的泰勒公式6.隐函数定理与微分中值定理7.多元函数的极值与最值问题8.多元函数的曲线拟合与参数估计9.多元微积分学的应用正文：一、多元微积分学的基本概念多元微积分学是微积分学的一个重要分支，主要研究多元函数的极限、连续、微分、积分等性质。
在多元微积分学中，我们通常考虑两个或两个以上的变量，例如x, y, z 等。
多元微积分学的基本概念包括多元函数、多元函数的极限与连续、偏导数、全微分等。
二、多元函数的极限与连续在多元函数中，我们需要研究函数在某一点的极限与连续性。
多元函数的极限定义为函数在某一点的邻域内的函数值趋于某一值的趋势。
而连续性则表示函数在某一点的左右极限存在且相等。
三、偏导数偏导数是多元函数微分学的基础概念，用于研究多元函数在某一点的变化率。
偏导数可分为一阶偏导数和二阶偏导数。
一阶偏导数表示函数在某一点的沿某一方向的变化率，而二阶偏导数表示函数在某一点的沿某一方向的曲率。
四、全微分全微分是多元函数微分学的另一个重要概念，用于研究多元函数在某一点的整体变化率。
全微分可以用于求解多元函数的泰勒公式，以及多元函数在某一点的隐函数定理与微分中值定理。
五、多元函数的泰勒公式多元函数的泰勒公式是多元微积分学中的一种重要公式，用于表示多元函数在某一点的近似值。
泰勒公式可以将多元函数展开为一个无穷级数，从而便于研究函数的性质。
六、隐函数定理与微分中值定理隐函数定理是多元微积分学中的一个重要定理，用于研究多元函数的隐函数。
微分中值定理则表示多元函数在某一点的平均变化率等于函数在该区间内某一点处的瞬时变化率。
七、多元函数的极值与最值问题多元函数的极值与最值问题是多元微积分学中的一个重要问题，研究如何求解多元函数在某一区域内的最大值与最小值。
这个问题可以通过求解多元函数的偏导数方程组来解决。
八、多元函数的曲线拟合与参数估计多元函数的曲线拟合与参数估计是多元微积分学中的一个重要应用，用于研究如何用多元函数来表示一组数据。
多元函数的全微分和偏导数.
注 (1) z f ( x, y) 在点( x0 , y0 )可微反映的是函数在点
( x0 , y0 ) 具有这样的性质:
“在点( x0 , y0 ) 全增量可以用自变量增量的线性函数近似” (2) z f ( x, y)在点( x0 , y0 )微分dz是 z f ( x, y)在点
[1 x 6 1 x 4] 11 x 8x 8 lim lim x 0 x 0 x x
2 2
1 3(2 y) 2 y 2 11 z lim 7 y (1, 2) x0 y
1 y 2
lim 又 y 0 sin
不存在, 故
不存在 注 分段函数求偏导数时,要分在分段点和非分段点考虑,
分段点通常采用定义去求.
机动
目录
上页
下页
返回
结束
(三)可导与连续 函数在某点各偏导数都存在,但在该点不一定连续. xy , x2 y2 0 2 显然 z f ( x, y ) x y 2 例 0 , x2 y2 0
为函数 z f ( x, y )在 ( x0 , y0 ) 处对 y 的偏增量。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义 8.3.2 设函数 z f ( x, y ) 在点( x0 , y0 )的某邻域内极限
存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 )对 x 的偏导数， 记为 同样可定义对 y 的偏导数:
的二阶偏导数 .按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数:
z ( z ) f ( x, y ); xx x x 2 x
2
2 z z ( ) f x y ( x, y ) x y y x
高中数学备课教案多元函数的偏导数与全微分的计算
高中数学备课教案多元函数的偏导数与全微分的计算高中数学备课教案：多元函数的偏导数与全微分的计算一、引言在微积分中，多元函数的偏导数与全微分是重要的概念和计算方法。
它们在解决实际问题和优化函数时起着关键作用。
本教案将重点介绍多元函数的偏导数和全微分的计算方法，以帮助学生深入理解和掌握这一内容。
二、多元函数的偏导数2.1 一元函数的导数回顾我们首先回顾一下一元函数的导数概念。
对于函数 $y = f(x)$，其在点 $x_0$ 处的导数 $f(x_0)$ 定义为：$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$2.2 多元函数的偏导数定义对于多元函数 $z = f(x, y)$，我们可以将其变为一元函数的形式来定义偏导数。
偏导数是指在某一点上，对其中一个自变量求导时，将其他自变量视为常数。
具体地，对于函数 $z = f(x, y)$，其关于 $x$ 的偏导数记作 $\frac{\partial z}{\partial x}$，表示在点 $(x, y)$ 处，将 $y$ 视为常数，对 $x$ 求导。
$$\frac{\partial z}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x}$$同样地，我们可以定义关于 $y$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial y}$。
偏导数的计算方法与一元函数的导数类似，需要注意将其他自变量视为常数。
2.3 偏导数的求解示例现在我们通过一个实例来计算多元函数的偏导数。
考虑函数 $z =x^2 + 2xy + y^2$，计算其关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数。
对于 $\frac{\partial z}{\partial x}$，我们将 $y$ 视为常数，所以可以直接对 $x$ 求导。
多元函数微积分学 6.3偏导数与全微分
=1+ 2×0.04 + 0×0.02 =1.08.
24
2. 全微分的运算公式 设二元函数 u(x,y) , v(x,y) 均可微 , 则 ((v(x,y) ≠0)), 也可微 且 也可微,
d( ku)
(k为常数 为常数), 为常数
(k为常数), (k为常数), 为常数
= du ± dv, = vdu + udv,
26
f (x, y),
处连续. 即 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处连续
17
定理4 (充分条件) 若函数
∂z ∂z 的偏导数 , ∂x ∂y 在 (x, y) 连 , 则函数在该点可微分 点 续 则函数在该点可微分. 证 ∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y)
∂u =− sin( x2 − y2 − ez ) ⋅ (−2 y) = 2 y sin( x2 − y2 − ez ) ∂y
∂z 2 2 z z z 2 2 z u = −sin( x − y − e ) ⋅ (−e ) = e sin( x − y − e ) ∂z
10
2. 二元函数偏导数的几何意义
∂f ; z′ x ∂ x (x0 , y0 )
( x0 , y0 )
;
f1′(x0, y0 ) .
2
同样可定义对 y 的偏导数
f (x0, y0 + ∆y ) − f (x0, y0 ) f y′(x0, y0 ) = lim ∆ y→0 ∆y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数 也简称为 则该偏导数称为偏导函数 偏导函数, 偏导数 , 记为
多元函数微分学总结
`第八章 多元函数微分学8.1基本知识点要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。
3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必 要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法.5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法.7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。
8.了解二元函数的二阶泰勒公式.9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
8.2基本题型及解题思路分析题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题1. 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。
（1）基本概念①二元函数极限的定义：设()(,)f P f xy =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若∃常数A ，对于∀0ε>，总∃0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作000(,)(,)lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。
②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且0P D ∈.若0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。
多元函数微分学解题技巧
2.全微分形式不变性
z f (u, v ), u ( x, y), v ( x, y)有连续偏导数，
z z 则dz dx dy x y
z z dz du dv u v
3.隐函数求导法
2 2 ( x y ) ( 1 ) lim ( x y ) e 练习 求 ( x , y )( , )
=0
x2 y 1 xy
1 cos(xy) 1 ( 2) lim 2 2 ( x , y )( 0 , 0 ) x y 2
1 (3) lim (1 ) ( x , y )( , ) x
答案： 2a
x y 2 2 tan ( x y ), ( x,y) (0,0) 2 2 例11 设f ( x , y ) x y 0, ( x,y) (0,0) 证 明f ( x , y )在 点(0,0)处 可 微 , 并 求df ( x , y ) |( 0 , 0 ) .
多元函数微分学
一、重极限、连续、偏导数、全微分 （概念，理论） 二、偏导数与全微分的计算 三、方向导数和梯度 四、应用（极值、切线、切平面）
一、重极限、连续、偏导数、全微分 （概念，理论）
1．重极限
0 y y0
lim f ( x, y) A ( x, y) ( x0 , y0 ) 是以“任意方式” x x
f x ( 0,0)不存在，f y ( 0,0) 0
例13. 设 z e z 则 x 例14
x
2 y 0 z x f ( x 2 y),且当 时,
.
(e x e ( x 2 y ) 2( x 2 y ))
导数-微分-偏导数-偏微分-全微分
导数-微分-偏导数-偏微分-全微分在⼀些数学公式的推导中，常会遇到d / ∂ / δ \ Δ 等符号。
它们背后分别代表的数学含义？增量设变量u从它的⼀个初值u1变到终值u2，终值与初值的差u2−u1就叫做变量u的增量，记作 Δu，即Δu=u2−u1增量 Δu可以是正的，也可以是负的。
应该注意到：记号 Δu 并不表⽰某个量 Δ 与变量 u 的乘积，⽽是⼀个整体不可分割的记号。
举例：现在假定函数y=f(x) 在点x0的某⼀个邻域内是有定义的。
当⾃变量x在这个邻域内从x0变到x0+Δx时，函数值（或因变量）f(x) 相应地从f(x0) 变到f(x0+Δx)，因此，函数值（或因变量）f(x) 的对应增量为Δy=f(x0+Δx)−f(x0)习惯上也称 Δy为函数的增量。
由此，可以定义函数的连续性，如下：设函数y=f(x) 在点x0) 的某⼀个邻域内有定义，如果limΔx→0Δy=limΔx→0[f(x0+Δx)−f(x0)]=0，那么就称函数y=f(x) 在点x0连续。
导数导数的定义：设函数y=f(x) 在点x0的某个邻域内有定义，当⾃变量x在x0处取得增量 Δx（点x0+Δx仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量 Δy=f(x0+Δx)−f(x0)；如果 Δy与 Δx之⽐当 Δx→0 时的极限存在，那么称函数y=f(x) 在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x) 在点x0处的导数，记为f′(x) ，即f′(x)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx,也可记作y′|x=x0，$$\frac{dy}{dx}|_{x = x_0}$ 或df(x)dx|x=x0。
可以看出，导数等于增量 Δy和增量 Δx⽐值的极限。
函数的微分微分的定义：设函数y=f(x) 在某区间内有定义，x0及x0+Δx在这个区间内，如果函数的增量Δy=f(x0+Δx)−f(x0)可表⽰为Δy=AΔx+o(Δx)其中，A是不依赖于 Δx的常数，那么，称函数y=f(x) 在点x0是可微的，⽽AΔx叫做函数y=f(x) 在点x0相应于⾃变量增量 Δx的微分，即dy=AΔx注：函数f(x) 在点x0可微的充要条件是函数f(x) 在点x0可导。
多元函数微分学-3 (4月14日)
主讲人： 王秀玲
z z 定理2 定理 (充分条件) 若函数 的偏导数 , x y 在 (x, y) 连 , 则函数在该点可微分. 点 续 证：z = f (x + x, y + y) f (x, y)
= [ f (x + x, y + y) f (x, y + y)] +[ f (x, y + y) f (x, y)]
证:令 F(x, y) = f (x0 + x, y0 + y) f (x0 + x, y0 ) 令
φ (x) = f (x, y0 + y) f (x, y0 ) ψ ( y) = f (x0 + x, y) f (x0, y)
则 F(x, y) =φ (x0 + x) φ (x0 )
= [ f x (x0 +θ1 x, y0 + y) f x (x0 +θ1 x, y0 ) ]x
主讲人： 王秀玲
例1. 求函数 z = e z 解: = ex+2y x
x+2y
2 z x+2y =e 2 x 2 2 z z x+2y = 4ex+2y 2e = 2 yx y 3 2 z z = ( ) = 2ex+2y yx2 x yx 2 z 2 z 注意:此处 注意 = , 但这一结论并不总成立. xy yx
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 数:
2 z z z z ( )= = f x y (x, y) ( ) = 2 = f xx (x, y); y x xy x x x z 2z z 2z ( )= = f yx (x, y); ( ) = 2 = f y y (x, y) x y yx y y y
多元函数微分学
面,点P为切点.
定理3 曲面z f (x, y)在点P(x0, y0, f (x0, y0))存在 不平行于z轴的切平面的充要条件是函数 f 在点 P0(x0, y0)可微. 定理3说明若函数 f 在(x0, y0)可微, 则曲面z f (x, y) 在点P(x0, y0, z0)处的切平面方程为 z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ). 过切点P与切平面垂直的直线称为曲面在点P的 法线. 由切平面方程知道, 法线的方向数是
1
z f ( x, y )
S
S1
R2
P1
1
1
y y0 曲线P0 N z f ( x, y) x x0 曲线P0 R z f ( x, y)
P1 S1 P1 R2 R2 S1 z P1 R2 Q1 R1 dy y M 0
0
M ( x0 dx, y0 dy)
f x
x
tan
M0
偏导与连续的关系.
例 讨论函数
x 2 y 2 , xy 0 f ( x, y) , xy 0 1,
在(0,0)点的偏导数及连续性.
二、 可微性与全微分
定义 设函数 z = f (x, y)在点P0(x0, y0)的某邻域U (P0) 内有定义, 对于U (P0)中的点P(x, y) (x0 x, y0 y), 若函数 f 在P0处的全增量z可表示为: z f (x0 x, y0 y) f (x0, y0) Ax By o(), 其中A, B是仅与点P0有关的常数, (1)
d f |(x0, y0) fx(x0, y0)· fy(x0, y0)· dx dy.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
在点(0,0)处可微,但偏导数不连续.
以上所有的全微分定义及定理都可以推广到二元以上
例6.求 z e xy 在(2,1)点的全微分
z ye xy , x
z xexy y
z y
x 2 y 1
z x
x2 y 1
e2 ,
2e 2 ,
dz e2 dx 2e2 dy
f ( x0 x, y0 , z0 ) f ( x0 , y0 , z0 ) f x ( x0 , y0 , z0 ) lim x 0 x
Hale Waihona Puke (3).由偏导数定义,一元函数的求导法则可用于求偏导数. 例如:求 f x 时,只要将y视为常数,求 f(x,y)关于 x 的导数.
2 2 f ( x , y ) x y x y 例1.
z [ f x (0,0)x f y (0,0)y]
xy (x) (y)
2 2
( ).( 0)
定理2(可微的充分条件) 若函数 z=f(x,y) 的偏导数在点 (x,y) 连续,则函数在该点可微. 注意:反之不然. 例如:
1 2 2 2 2 ( x y ) sin , x y 0 2 2 f ( x, y) x y 2 2 0 , x y 0
( x ) 2 ( y ) 2
dz A x B y 称为 z=f(x,y) 在点(x,y) 的全微分
注: (1).若函数在区域D内处处可微分,则称它在D内可微分.
(2).可微分一定连续.
x 0 y 0
lim z lim [ A x B y ( )] 0
x 0 y 0
(3).全微分特征: 全微分是自变量增量的线性函数; 全微分与全增量之差是比 高阶的无穷小 ( 0)
四. 全微分与偏导数的关系 定理1(可微的必要条件) 若函数 z=f(x,y) 在点(x,y)可微分,则称它在该点的偏导数必 存在,且 z z
dz x x y y
注: (1).与一元函数类似: dz
z z dx dy x y
(2).此定理反之不然,这是与一元函数的区别.
xy 2 2 , x y 0 例如: f ( x, y) 2 2 x y 0, x2 y2 0 f x (0,0) f y (0,0) 0 但是函数在(0,0)不可微.
例7.求 u x sin
y e yz 的全微分 2 u u u 1 y 1, ye yz cos ze yz , x z y 2 2 1 y du dx ( cos ze yz )dy ye yz dz 2 2
注意一元函数与多元函数各种状态之间的区别 一元函数: 可导 连续 多元函数: 可微
类似的定义三阶以上偏导数
定理
若 z=f(x,y)的二阶混合偏导数 f xy , f yx 在(x,y)连续, 则 f xy f yx (适用于三阶以上)
例5.
y z arctan x
2 z 2 z , 求 yx xy y z 1 y , ( 2 ) 2 2 y x y x 1 ( ) 2 x x x z 1 1 , 2 2 y x y y 1 ( ) 2 x x
z f ( x x, y y) f ( x, y)
全增量
2.定义:
如果 z=f(x,y) 在点 (x,y) 的全增量
z f ( x x, y y) f ( x, y) 可以表示为 z A x B y ( )
仅与x,y有关 则称 z=f(x,y) 在点 (x,y) 可微分
z 2 x 3 y 9 xy 2 x y
2 z 3 2 x 18xy 2 y
2 z 2 6 xy x 2
2 z 2z 2 2 6x y 9 y 1 yx xy
3 z 2 6 y x 3
三. 全微分的概念 1.全增量: 设 z=f(x,y) 在点P(x,y) 的某邻域内有定义,
f y ( x0 , y0 ) 表示曲面z=f(x,y)与平面 x x0 的交线L在点 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))处的切线 M 0Ty 对y 轴的斜率t an
二.高阶偏导数
二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f x , f y 仍为 x, y 的函数.
它们的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数.
可微
偏导数连续
可偏导
连续
练习
x2 y 2 u u u 1. u xy z sin ,求 , , 2 z x y z
2 3
2 2 2 2 u x y x y 2 2 y 2 z 3 sin 2 x y z cos , 2 2 x z z u x2 y2 x2 y2 3 3 2 xyz sin 2 xy z cos , 2 2 y z z 2 2 2 2 u x y x y 2 2 2 3xy 2 z 2 sin 2 xy ( x y ) cos 2 z z z2
精品课件！
精品课件！
x 3. z y , 求 dz
x u z x y x u z y y
z z 1
z
1 zx , y y y x xz x , 2 y2 y y
求 f x (0,1)
y x2 y 2
f y (0,2)
fx 1
x x2 y 2
f y 1
f x (0,1) 1,
f y (0,2) 0
例2.
u z xy 求偏导数 u u u xy xy z (ln z) y z (ln z) x xyz xy1 x z y xy 2 2 , x y 0 2 2 例3. f ( x, y) x y 求 f x (0,0) f y (0,0) 2 2 0 , x y 0 f (0 x,0) f (0,0) 分段点处偏导 0 f x (0,0) lim x 0 x 数要用定义求 f (0,0 y) f (0,0) f y (0,0) lim 0 y 0 y
2 z y 2 x2 2z 2 2 2 yx ( x y ) xy
例6. z x3 y 2 3xy3 xy 1
2 z 2 z 2 z 2 z 3 z 求 2, , , , 3 2 x yx xy y x
z 3x 2 y 2 3 y 3 y, x
z 2 z ( ) z xx f xx ; 2 x x x
z 2 z ( ) z xy f xy ; y x xy z z ( ) z yx f yx ; x y yx
2
混合偏导数
z 2 z ( ) z yy f yy . 2 y y y
y y 2 z 2 z 2. z x sin cos , 求 2 , x x y xy
z y 1 y cos sin , y x x x 2z 1 y 1 y sin 2 cos , 2 y x x x x z y y y y y sin cos 2 sin , x x x x x x 2z y y 1 y y y 2 sin 2 sin 3 cos . xy x x x x x x
例4. f ( x, y) | x | | y |
y 0
在(0,0)点是否连续?是否有偏导数?
lim f ( x, y) 0 f (0,0) 故在(0,0)点连续. x 0
由定义易知在(0,0)点偏导数不存在.
注意: 对于一元函数,可导必连续.而对于多元函数,从以上 两例可看出函数连续与偏导数存在没有必然的联系. 2. 偏导数的几何意义 f x ( x0 , y0 ) 表示曲面z=f(x,y)与平面 y y0 的交线L在点 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))处的切线 M 0Tx 对x 轴的斜率tan
z 1
z 1
z 1
u x x ln . z y y dz zx y y
z 1
dx
xz x 2 y y
z 1
x x dy ln dz . y y
z
第二节 偏导数与全微分
一.偏导数
1.偏导数的定义
定义 设z=f(x,y) 在点( x0 , y0 )的某邻域内有定义,当y固定在 y0 时, 得一元函数 f ( x, y0 ) , z f f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) lim f x ( x0 , y0 ) x 0 x x ( x0 , y0 ) x ( x0 , y0 ) z=f(x,y)在点 ( x0 , y0 )处对x的偏导数 类似的, z=f(x,y)在点( x0 , y0 )处对y的偏导数 z f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) lim y 0 y y
f y ( x0 , y 0 )
( x0 , y 0 )
注:(1).若二元函数z=f(x,y)在D内每一点都有偏导数,则此偏 导数也是 x,y 的函数--------偏导函数. z f z f f x , f y , zx , z y ,...... , , , ,...... x x y y (2).二元函数偏导数定义可以推广到更多元. 例如: u=f(x,y,z)