多元复合函数求导法则【包含偏导数】
多元复合函数求导法则
z
z f u f = + . 区别类似 y u y y
把 z = f ( u, x , y ) 中的 u 及 y 看作不 变而对 x 的偏导数
u x y
x y
两者的区别
把复合函数 z = f [ ( x , y ), x , y ] 中的
y 看作不变而对 x 的偏导数
例 3 设 z = uv + sin t ，而 u = e t ， v = cos t ，
dz z du z dv = + dt u dt v dt
z
u v
t
则 证 设 t 有增量 t， u = ( t + t ) ( t ), v = ψ ( t + t ) ψ ( t ); 由于函数 z = f ( u, v ) 在点
z z z = u + v + o( ρ ), ( ρ = (u)2 + (v)2 ) u v z z u z v o( ρ ) 当 t → 0时， = + + t u t v t t
例5 设 z = e cos v , 而 u = xy , v = x + y ,
u
z z , . 求 x y
解 dz = d ( e cos v ) = e cos vdu + e ( sin v )dv
u
u u
du = d( xy) = ydx + xdy,dv = d( x + y) = dx + dy,
例1 设
而 x = sin t , y = ( t )
z
x
y
t
推广
1.上定理的结论可推广到 1.上定理的结论可推广到 中间变量多于两个的情况: 中间变量多于两个的情况: z = f ( ( t ),ψ ( t ), ω ( t ))
高数第四节-多元复合函数的求导法则
u
x
F (x , y)
z
v
y
定理 2 ：设 u = ( x , y ), v = ( x , y ) 在点 ( x , y ) 偏
导数存在，z = f ( u , v ) 在对应的点 ( u , v ) 处具有连续
偏导数，则复合函数 z = f [ ( x , y ) , ( x , y ) ] 在点
zx , zxx , z xy.
解：令 v = x y , 则 z u v , u (x , y) , v x y
u
y
z
v
x
z z u z v u y
x u x v x x
2z xy
{
u x
y
}
' y
1
2u , xy
2z x2
2u x2
例6：设 z y 2 ( x y) , 为可微函数，求证
连续偏导数，求w 和 2w . x xz
解 令 u x y z, v xyz , 则 w f (u,v),
2w xz
f1 z
( yf2
yz f2), z
u
x
f1 f1(u, v), f2 f2(u, v), w
v
y z
f1 z
f1 u f1 v u z v z
f11 xyf12;
第四节：多元复合函数的求导法则
设 y f (u) , u (x) , 则 y f [ ( x) ] ,
d y d y du dx du dx
dy
du
du
y
u dx
x
dy
dx
设 z f ( u, v ) , u (x , y) , v (x , y) ,
多元复合函数的求导法
多元复合函数的求导法在一元函数中，我们已经知道，复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作用，对于多元函数来说也是如此。
下面我们来学习多元函数的复合函数的求导公式。
我们先以二元函数为例：多元复合函数的求导公式链导公式：设均在(x,y)处可导,函数z=F(u,v)在对应的(u,v)处有连续的一阶偏导数,那末,复合函数在(x,y)处可导,且有链导公式：例题：求函数的一阶偏导数解答：令由于而由链导公式可得：其中上述公式可以推广到多元，在此不详述。
一个多元复合函数，其一阶偏导数的个数取决于此复合函数自变量的个数。
在一阶偏导数的链导公式中，项数的多少取决于与此自变量有关的中间变量的个数。
全导数由二元函数z=f(u,v)和两个一元函数复合起来的函数是x的一元函数.这时复合函数的导数就是一个一元函数的导数,称为全导数.此时的链导公式为:例题：设z=u2v，u=cosx，v=sinx，求解答：由全导数的链导公式得：将u=cosx，v=sinx代入上式，得：关于全导数的问题全导数实际上是一元函数的导数，只是求导的过程是借助于偏导数来完成而已。
多元函数的极值在一元函数中我们看到，利用函数的导数可以求得函数的极值，从而可以解决一些最大、最小值的应用问题。
多元函数也有类似的问题，这里我们只学习二元函数的极值问题。
二元函数极值的定义如果在(x0,y0)的某一去心邻域内的一切点(x,y)恒有等式：f(x,y)≤f(x0,y0)成立，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极大值f(x0,y0)；如果恒有等式：f(x,y)≥f(x0,y0)成立，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极小值f(x0,y0).极大值与极小值统称极值.使函数取得极值的点(x0,y0)称为极值点.二元可导函数在(x0,y0)取得极值的条件是：.注意：此条件只是取得极值的必要条件。
凡是使的点(x,y)称为函数f(x,y)的驻点.可导函数的极值点必为驻点，但驻点却不一定是极值点。
7.5多元复合函数的求导法则和微分法则
z z u z v x u x v x
z
u v
x y
z z u z v y u y v y
（2 2型）
求导公式
函数结构（路线图）
例 z u2v uv2,u x cos y, v x sin y, 求 z , z .
wy
求和的项数等于路径条数(加法原理）
每一项的因子数等于每条路线上的步骤数 （乘法原理）
推广(2) 设w = f (u, v) , u (x, y, z), v (x, y, z) 其复
合函数为 w f [(x, y, z), (x, y, z)] u
x
w w u w v x u x v x
用7.3的方法直接求偏导数
推广(1) 设z= f (u,v,w), u u(x, y),v v(x, y), w w(x, y) 其复合函数为 z f [u(x, y),v(x, y), w(x, y)]
z z u z v z w. z
u v
x
dy dy du dx du dx
y
u
x
1.全导数
A.典型结构
定理1（全导数） 设函数 u = (x) 与v = (x) 在x 处均可导, 二元函数 z = f (u , v)在 x 对 应点(u , v)处有一阶连续偏导数，则对于复合函数
z f [(x), (x)] 最终的自变量只有一个时求全导
z f f v z f v . z x
x x v x y v y
v
x y
注意2：一般地对于函数z f (x, y)
即 z v
不至于引起混淆时，不必区分
9-4多元复合函数的求导法则
f1 2xye f1 3e y f 3 e y ( f 3 2 x y f 3 e ) .3
例 4设 w f(x y z ,x)， yzf其 有中 连 二阶偏导数， 2w.求 xz
解 令 u x y z ， vx； yz
w x
u f u x fv x vf1 yzf2 ，
则复 z f合 u (x ,y )， 函 v (x ,y )数 也可微
dzzdxzdy x y
( z u z v)d x ( z u z v )dy u x v x u y v y
z( u d x u d) y z( vd x vd)y u x y v x y
从而 xz2uylnv3vu2，yz2xyu 2lnvuv2.
例 1设 1 u ( x y ) z ， z x 2 又 y 2 ， 求 u 及 u . x y
解 d u d(xy)z z ( x y ) z 1 d ( x y ) ( x y ) z lx n y ) d (z
z ( x y ) z 1 ( d d ) ( x x y ) z l x n y ) d ( x 2 y ( 2 )
z ( x y ) z 1 ( d d ) x ( x y y ) z lx n y ) 2 x ( ( 2 y d ) [ z ( x y ) z 1 2 x ( x y ) z lx n y ) d ( ]x
从而 zsi2 nersi2 n，
r
z2rco2sersi2n ．
例 9 设 u f ( x 2 y 2 ,x , sy x ) i ， 求 n d ． u 解 d u d f(x 2 y 2 ,x y ,sx i)n
2.4 多元复合函数的求导法则
例1 设
而 x sin t, y (t)
其中 (t)可导，求 dz .
dt
x
解 dz z dx z dy z
y
t
dt x dt y dt
例2 设z eu sin v，而u xy，v x y，
求 z 和z . x y
解 z z u z v
x u x v x
eu sin v y eu cos v 1
eu( ysinv cos v), z
exy [ y sin(x y) cos(x y)],
z y
z u
u y
z v
v y
eu sin v x eu cosv 1
ux vy
eu (x sin v cos v) exy [xsin(x y) cos(x y)].
dz z du z dv dt u dt v dt
u
z
vt
链式法则的规律： “连线相乘，分线相加”
推广
1.上述定理的结论可推广到
中间变量多于两个的情况:
z f [(t), (t),(t)] u (t),v (t), w (t)
dz dt
z du u dt
z dv v dt
z dw w dt
exy[x sin( x y) cos( x y)]dy
dz z dx z dy x y
比较
求 z , z .
x y
解 dz d(eu sinv) eu sinvdu eu cosvdv
du d(xy) ydx xdy,dv d(x y) dx dy,
dz (eu sinv y eu cosv)dx (eu sinv x eu cosv)dy
微积分-多元函数部分(多元复合函数的求导法则、方向导数与梯度)
方向导数的最大值．梯度的模为
| gradf ( x, y) |
f x
2
f y
2
.
P
当f 不为零时，
都可定出一个向量f
i
f
j ，这向量称为函数
x y
z f ( x, y)在点P( x, y)的梯度，记为
gradf
( x,
y)
f x
i
f y
j.
设e
cosi
sin
j 是方向
l 上的单位向量，
由方向导数公式知
f f cos f sin {f , f }{cos ,sin }
x y
故有方向导数
cos sin
f lim f ( x x, y y) f ( x, y)
l 0
f cos f sin .
x
y
20
例 1 求函数 f ( x, y) x2 xy y2在点（1，1）
沿与 x轴方向夹角为 的方向射线l 的方向导数.并
例1. 设 z eu sin v , u x y , v x y
求 z . x
z
解： z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cos v 1
uv x yx y
ex y[ y sin( x y) cos(x y)]
但z f (0 x,0) f (0,0) lim (x)2 lim x 不存在
x
x
x0 x
x0 x
类似:
多元复合函数求导法则和隐函数求导公式
z
= e [ y ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
xy
u x yx
v y
∂ z ∂ z ∂u ∂ z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂ y ∂u ∂ y ∂v ∂ y = e u sin v ⋅ x + e u cos v ⋅1 = e [ x ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
4
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
dz . 例3. 设 z = u v + sin t , u = e , v = cos t , 求全导数 dt d z ∂ z du ∂ z dv ∂ z + = ⋅ + ⋅ 解: z d t ∂u d t ∂v dt ∂t
t
= v e t− u sin t + cos t = e t (cos t − sin t ) + cos t
u
x y z
= 2 x (1 + 2 x sin y ) e
2
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
∂u ∂ f ∂ f ∂ z + ⋅ = ∂ y ∂ y ∂z ∂ y
x
cos y
y
= 2 ye
x2 + y2 + z 2
+2 z e
x2 + y2 + z 2⋅ x 2
= 2 ( y + x sin y cos y ) e
多元复合函数的求导法则
一元复合函数
y = f (u ), u = ϕ ( x)
dy dy d u 求导法则 = ⋅ dx du dx 微分法则 d y = f ′(u ) d u= f ′(u ) ϕ ′ ( x) d x
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§8.4 多元函数求导法则
【定理】若函数及都在点可导;
函数在对应点具有连续偏导数,
则复合函数在点可导,且其导数为
(1)
证明:设获得增量,这时的对应增量为,函数
的对应增量为。
据假定,函数在点具有连续偏导数,从而有
这里,当时,。
上式两边除以得
而当时,有,从而
所以
故复合函数在点可导,其导数可用(1)式计算。
用同样的方法,可把定理推广到复合函数的中间变量多于两个的情形。
例如, 设与复合而得到
函数。
若在点可导,
对具有连续偏导数,
则复合函数在点可导, 且
(2)在公式(1)与(2)中的导数称为全导数。
上述定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形。
例如, 设
与 复合而得到
函数
,若
在点 具有对及的偏导数,
函数
在对应点具有连续偏导数,
则在点的两个偏导数存在, 且
(3)
事实上,求时,看作常量,因此中间变量及仍可看作一元函数而应用上述定理。
但均是的二元函数,所以应把(1)式中的
直导数记号改为偏导数的记号,再将换成,这样便得到了(3)式。
类似地, 设及
均在点具有对及的偏
导数,而函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数
在点的两个偏导数都存在,且
(4)
例如,若有连续偏导数,而
偏导数存在,则复合函数
可看作上述情形中当的特殊情形, 因此
(4)式变成
等式两边均出现了
或,尽管记号一样,但其意义有本质的差别,以第一式加以阐明:
左边的是将复合函数
中的看作常数,而对求偏导数；
右边的是把函数中的及看作常数,而对
求偏导数。
因此,为了避免麻烦, 我们往往将上述两式的形式写为
由该复合函数变量间的关系链，可对此求（偏）导数法则作如下解释：
求,可沿第一条线路对求导, 再沿第二条线路对求导, 最后把两个结果相加。
而沿第一条线路对
求导,相当于把分别视为常量,就成了的函数,而又是的
函数,求导结果自然是
( 这与一元复合函数求导法则很类似)；而沿第二条线路对
求导,相当于把分别视为常量,就成了的函数,而又是的
函数,求导结果自然是。
上述变量关系图象一根链子,它将变量间的相互依赖关系形象地展示出来。
对某个变量求导,就是沿企及该变量的各条线路分别求导,并把结果相加,这一法则称之为锁链法则。
这一法则可简单地概括为
【例1】设 , 而 , , 求和。
解:
【例2】设而,求与。
解:。