复合函数求导方法和技巧
2_1_3 复合函数的导数 高等数学 微积分 考研数学
th x sh x ch x
a x ex ln a
Page 4
例2. 设 y ln cos(ex ) , 求 dy . dx
解:
dy dx
1 cos(ex
)
(sin(ex )) ex
ex tan(ex )
思考: 若 f (u) 存在 , 如何求 f (ln cos(ex )) 的导数?
u0 u
y f (u)u u （当 u 0 时 0 )
故有
y f (u) u u
x
x x
(x
y 0) u
f (u)
dy dx
lim y x0 x
lxim0
f
(u) u x
பைடு நூலகம்
u x
f
(u ) g ( x)
Page 2
推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.
例如, y f (u) , u (v) , v (x)
d f f ( ln cos(ex ) ) (ln cos(ex )) dx
这两个记号含义不同
f (u) uln cos(ex )
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例3. 设 y cot x tan 2 , 求 y.
2
x
解： y csc2 x 1 1 sec2 2 2( 1 1 )
2 22 x
x
2 x3
1 csc2 x 1 sec2 2
4x
2
x3
x
2 . 设 y f ( f ( f (x))), 其中 f (x) 可导, 求 y.
解: y f ( f ( f (x))) f ( f (x) ) f (x)
Page 6
§2.1.3 复合函数的求导法则
常见函数的复合与求导
常见函数的复合与求导在微积分中，函数的复合与求导是常见的概念和技巧。
函数的复合是指将一个函数作为另一个函数的输入，而求导则是计算函数的导数。
本文将介绍常见函数的复合与求导的方法和技巧。
一、函数的复合函数的复合是指将一个函数作为另一个函数的输入，通过复合可以得到一个新的函数。
例如，设有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数记作f(g(x))，表示先对x进行g(x)的运算，再对结果进行f(x)的运算。
函数的复合可以通过以下步骤进行：1. 确定复合函数的形式：首先明确需要进行复合的函数和其顺序。
2. 进行变量替换：将内层函数的自变量替换为外层函数的表达式。
3. 化简复合函数：将复合函数进行化简，得到简洁的形式。
举例说明：设有两个函数f(x) = 2x+1和g(x) = x^2，则它们的复合函数为f(g(x)) = 2(x^2)+1 = 2x^2+1。
二、函数的求导函数的求导是微积分中的重要内容，它用于计算函数在某一点的斜率或变化率。
求导可以通过以下两种方法进行：1. 使用基本求导法则：根据基本求导法则，可以将常见函数的导数计算为更简单的形式。
例如，若f(x) = x^n，则f'(x) = nx^(n-1)。
2. 使用链式法则：当需要求一个复合函数的导数时，可以使用链式法则。
链式法则可以分为两个步骤：首先对外层函数求导，然后对内层函数求导，并将两者相乘。
例如，若f(g(x))，则f'(g(x)) = f'(g(x)) *g'(x)。
举例说明：设有函数f(x) = (x^2+1)^3，则f'(x)可以通过链式法则求得。
首先求f'(u) = 3(u^2)，其中u = (x^2+1)，然后求u'(x) = 2x。
将两部分相乘得到f'(x) = 3(x^2+1)^2 * 2x。
总结：函数的复合与求导是微积分中的重要内容，它们在数学中有着广泛的应用。
复合函数求导法则公式
复合函数求导法则公式复合函数的导数求解方法是通过链式法则来完成的，链式法则是微分学中的一条重要定理，用于计算复合函数的导数。
链式法则的公式如下：设函数y=f(u)和u=g(x)是两个可导函数，且y=f(u)及u=g(x)都是定义在实数集上的函数，则复合函数y=f(g(x))是可导的，其导数为：dy/dx = dy/du * du/dx其中，dy/dx表示复合函数y = f(g(x))的导数，dy/du表示函数y = f(u)关于u的导数，即f'(u)，du/dx表示函数u = g(x)关于x的导数，即g'(x)。
链式法则的理解可以形象地理解为：复合函数的导数等于外层函数对内层函数的导数的导数。
具体而言，链式法则可以分为两个步骤：1.外层函数对内层函数的导数：首先计算函数y=f(u)关于u的导数，即f'(u)。
这一步是对内层函数的导数进行计算。
2.内层函数对自变量的导数：然后计算函数u=g(x)关于x的导数，即g'(x)。
这一步是对自变量的导数进行计算。
最后，将两个步骤得到的导数相乘，即得到复合函数y = f(g(x))关于自变量x的导数dy/dx。
链式法则的应用非常广泛，可以用于求解各种类型的复合函数的导数，包括多元函数、隐函数和参数方程等等。
下面将针对一些常见的函数类型，给出链式法则的具体应用示例：1.多项式函数：对于多项式函数y=f(u)=a_n*u^n+a_{n-1}*u^{n-1}+...+a_1*u+a_0，其中u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过链式法则计算得到。
例如，设y = (3x^2 + 2x + 1)^3，则u = g(x) = 3x^2 + 2x + 1，可以求出du/dx = 6x + 2、然后，求f(u)关于u的导数，有df/du =3u^2、最后，根据链式法则，复合函数y = (3x^2 + 2x + 1)^3关于x的导数dy/dx = df/du * du/dx = 3u^2 * (6x + 2) = 3(3x^2 + 2x +1)^2 * (6x + 2)。
复合函数求导公式运算法则
复合函数求导公式运算法则1. 基本公式：如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))也可导，且导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)。
2. 对数函数：对于自然对数函数y=ln(u)，其中u是一个关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/u·du/dx。
3. 幂函数：对于幂函数y=u^n，其中u是关于自变量x的函数，n是常数，则其导数为dy/dx=n·u^(n-1)·du/dx。
4. 指数函数：对于指数函数y=a^u，其中a是常数，u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=a^u·ln(a)·du/dx。
5. 三角函数：对于三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
6. 反三角函数：对于反三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
7. 双曲函数：对于双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的双曲函数包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数等。
8. 反双曲函数：对于反双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反双曲函数包括反双曲正弦函数、反双曲余弦函数和反双曲正切函数等。
下面通过实际例子来说明复合函数求导公式的运算法则。
例子1：求函数y=(2x+1)^3的导数。
解：将y看作是外层函数f(u)=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则，导数dy/dx=f'(u)·u'(x)。
复 合 函 数 的 求 导 法 则
练习 求下列函数的导数
y = e3x (A)1.
3x 3x 3x 解：y ′ = ( e ) ′ = e ( 3 x ) ′ = 3 e
y = cos( x 3 ) (A)2.
2 3 3 3 3 解：y ′ = (cos x ) ′ = − sin x ( x ) ′ = − 3 x sin x
(B)3. y = e 解： y ′ = e
2x ′ 1 所以 yx = yu ⋅ ux = ⋅ (−2x) = 2 u x −1
′
′
(A) 例3 求函数 y = cos 2 x 的导 数 2 解：设 y = u 则 u = cos x
因为 所以
′ ′ yu = 2u, ux = −sinx
′ ′ ′ yx = yu ⋅ ux = 2u(−sin x) = −2cosx sin x = −sin2x
′ y u = 5u 4 , u ′ = 3, x
′ x y′ = yu ⋅ u′ = 5u4 ×3 = 5(3x + 2)4 ×3 =15(3x + 2)4 所以 x
2 (B) 例2 求函数 y = ln(1 − x ) 的导数
解：设 因为
y = ln u
则
u = 1− x2
′ 1 ′ yu = , u x = −2 x, u
x π (B) 例5 求 y = ln tan( + ) 的导数。 的导数。 2 4
x π 解： 设 y = ln u , u = tan v, v = + 2 4
由
y ′ = f ′ ( u ) ⋅ φ ′( v ) ⋅ ϕ ′( x ) 得
x π ′ = (lnu)′ ⋅ (tanv)′ ⋅ ( + )′ y 2 4
复合函数求导方法和技巧
复合函数求导方法和技巧毛涛（陕西理工学院数计学院数学与应用数学专业2011级1班，陕西 汉中 723000）指导老师：刘延军[摘要]复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是微积分中的一个重点和难点，因此本文先从复合函数的定义以及性质入手，在全面了解复合函数后再探讨复合函数的求导方法，分析复合函数求导过程中容易出现的问题，然后寻求能快速准确的对复合函数进行求导的方法，并进行归纳总结，最终进行推广，帮助学生的有效学习。
[关键词] 复合函数，定义，分解，方法和技巧，数学应用1引言复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是高等数学三大基本运算中的关键，是学生深入学习高等数学知识，提高基本运算技能的基础，对学生后继课程的学习和思维素质的培养起着至关重要的作用，在各学科和现实生活中也发挥着越来越重要的作用，从而必须解决复合函数的求导问题。
同时，在教学过程中，许多学生在进行求导时也犯各种各样的错误，有的甚至在学习复合函数求导之后做题时仍然不会进行求导，或者只能求导对一部分，而对另外一部分比较复杂的复合函数则还停留在一知半解的程度上，不知该求导哪一部分，也不知要对哪一部分得进行分解求导。
复合函数求导方法是求导的重中之重，而且也是函数求导、求积分时不可缺少的工具，这个问题解决的好坏直接影响到换元积分法甚至以后的数学学习是否能够顺利进行。
求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，然后由外层向内层逐层求导（或者也可以由内层向外层逐层求导），直到关于自变量求导，同时还要注意不能漏掉求导环节并及时化简计算结果。
因此本文先给出了复合函数的定义和性质，在充分了解并且掌握复合函数的概念之后，根据其定义和性质对各种复合函数进行求导，通过对链式求导法、对数求导法、反序求导法、多元复合函数的一元求导法以及反函数求导法的分析，加以对各种对应例题的详细分解，分析每一步的步骤，比较各种求导方法，明确并且能够掌握各种题型的最佳解决方法，最终寻求一种能够既简便又准确的解决复合函数求导问题的方法，并总结技巧，方便在以后学习生活中的使用。
复合函数求导公式有哪些
复合函数求导公式有哪些
有很多的同学是非常的想知道，复合函数求导公式是什幺，小编整理了
相关信息，希望会对大家有所帮助！
1 复合函数如何求导规则：1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f’(x)=f’(u)*g’(x)；
2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f’(x)=f’(a)*p’(u)*g’(x)；
拓展：
1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那幺对于Mx∩Du内的任意一个x 经过u；有唯一确定的y 值与之对应，则变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x 称为自变量，u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。
2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数
y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x 的取值范围，取他们的交集。
3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则
y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k 属于R+).
4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。
即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。
1 复合函数求导法则Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′
例1.y=Ln(x),Y=Ln(u),U=x,
y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x)]*(x)′=[1/Ln(x)]*(3x)。
复合函数求导法则公式
复合函数求导法则公式1.链式法则：链式法则是用于求解复合函数导数的基本法则。
设y=f(u)，u=g(x)为两个可导函数，且y=f(u)和u=g(x)均是一对一函数，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过链式法则求得。
链式法则的公式为：dy/dx=dy/du * du/dx其中，dy/du表示函数y=f(u)对u的导数，du/dx表示函数u=g(x)对x的导数。
例如，设y=sin(x^2)，我们需要求解dy/dx。
首先，令u=x^2，y=sin(u)，则dy/du=cos(u)=cos(x^2)。
其次，求解du/dx=2x。
最后，根据链式法则，dy/dx=dy/du * du/dx = cos(x^2) * 2x = 2x*cos(x^2)。
2.乘积法则：乘积法则用于求解两个函数乘积的导数。
设y=u*v为两个可导函数的乘积，则乘积函数y=u*v的导数可以通过乘积法则求得。
乘积法则的公式为：dy/dx = u * dv/dx + v * du/dx例如，设y=x*sin(x)，我们需要求解dy/dx。
根据乘积法则，将u=x，v=sin(x)代入上述公式，dy/dx = x * cos(x) + sin(x)。
3.商规则：商规则用于求解两个函数的商的导数。
设y=u/v为两个可导函数的商，则商函数y=u/v的导数可以通过商规则求得。
商规则的公式为：dy/dx = (v * du/dx - u * dv/dx) / v^2例如，设y=(x^2+1) / x，我们需要求解dy/dx。
根据商规则，将u=x^2+1，v=x代入上述公式，dy/dx = ((x) * (2x) - (x^2+1) * (1)) / (x^2)^2 = (x^2 - 1) / x^4小结：复合函数求导法则包括链式法则、乘积法则和商规则。
链式法则适用于求解复合函数的导数，乘积法则适用于求解两个函数乘积的导数，商规则适用于求解两个函数的商的导数。
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复合函数求导方法和技巧毛涛（理工学院数计学院数学与应用数学专业2011级1班， 723000）指导老师：延军[摘要]复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是微积分中的一个重点和难点，因此本文先从复合函数的定义以及性质入手，在全面了解复合函数后再探讨复合函数的求导方法，分析复合函数求导过程中容易出现的问题，然后寻求能快速准确的对复合函数进行求导的方法，并进行归纳总结，最终进行推广，帮助学生的有效学习。
[关键词] 复合函数，定义，分解，方法和技巧，数学应用1引言复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是高等数学三大基本运算中的关键，是学生深入学习高等数学知识，提高基本运算技能的基础，对学生后继课程的学习和思维素质的培养起着至关重要的作用，在各学科和现实生活中也发挥着越来越重要的作用，从而必须解决复合函数的求导问题。
同时，在教学过程中，许多学生在进行求导时也犯各种各样的错误，有的甚至在学习复合函数求导之后做题时仍然不会进行求导，或者只能求导对一部分，而对另外一部分比较复杂的复合函数则还停留在一知半解的程度上，不知该求导哪一部分，也不知要对哪一部分得进行分解求导。
复合函数求导方法是求导的重中之重，而且也是函数求导、求积分时不可缺少的工具，这个问题解决的好坏直接影响到换元积分法甚至以后的数学学习是否能够顺利进行。
求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，然后由外层向层逐层求导（或者也可以由层向外层逐层求导），直到关于自变量求导，同时还要注意不能漏掉求导环节并及时化简计算结果。
因此本文先给出了复合函数的定义和性质，在充分了解并且掌握复合函数的概念之后，根据其定义和性质对各种复合函数进行求导，通过对链式求导法、对数求导法、反序求导法、多元复合函数的一元求导法以及反函数求导法的分析，加以对各种对应例题的详细分解，分析每一步的步骤，比较各种求导方法，明确并且能够掌握各种题型的最佳解决方法，最终寻求一种能够既简便又准确的解决复合函数求导问题的方法，并总结技巧，方便在以后学习生活中的使用。
2复合函数的定义如果y 是a 的函数，a 又是x 的函数，即()y f a =，()a g x =，那么y 关于x 的函数[]()y f g x =叫做函数()y f x =和()a g x =的复合函数，其中a 是中间变量，自变量为x ，函数值为y 。
3导数的四则运算定理1[1] 若函数()u x 和()v x 在点0x 可导，则函数()()()f x u x v x =±在点0x 也可导，且：000()()()f x u x v x '''=±定理2[1] 若函数()u x 和()v x 在点0x 可导，则函数()()()f x u x v x =⋅在点0x 也可导，且：00000()()()()()f x u x v x u x v x '''=⋅+⋅推论1[1] 若函数()v x 在点0x 可导，c 为常数，则：00(())()x x cv x cv x =''=定理3[1] 若函数()u x 和()v x 在点0x 都可导，且0()0v x ≠，则()()()u x f x v x =在点0x 也可导，且： []0000020()()()()()()u x v x u x v x f x v x ''-'=4复合函数求导方法和技巧4.1链式法则求复合函数的导数定理4[1] 如果函数()u t ϕ=及()v t =ψ都在点t 可导，函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数，则复合函数(),()z f t t ϕ=[ψ]在对应点t 可导，且其导数可用下列公式计算：dt z du z dv dz u dt v dtδδδδ=⋅+⋅。
思路 根据公式00000()()()()(())()f x f u x f x x ϕϕϕϕ'''''==我们首先要清楚的分析出复合函数的复合关系，找出要求导的复合函数是由哪几个初等函数复合而成的，然后再恰当的设置中间变量，把它分解成一些基本的初等函数的复合，最后由最外层开始，先使用法则，后使用导数基本公式，由表及里的一层一层地求导，注意不可忘记里层的求导。
例1求复合函数()(In x f x =的导函数。
解 （分析过程）第一步，将这个复合函数“分解”成基本初等函数：()f x Inu =u x =（可以看出要求导的函数是由这两个函数复合而来，然后设置中间变量）第二步，再根据链式法则进行求导，并将中间变量代回原来的x 变量：())(Inu f u x '=''1()Inu u '==1u '=+ （注意对u也是一个复合函数，(1x ''=+21)x '=+1x =1=+不可忘记里层的求导，要做到准确求导）第三步，将分析求导后的数据整理得结果：()f x '==例2 求复合函数2cos In x y =的导函数。
解 （分析过程）第一步，将这个复合函数“分解”成基本初等函数：y Inu = 2u v = cos v x =（可以看出要求导的函数是由这三个函数复合而来，设置恰当的中间变量）第二步，再根据链式法则进行求导，并将中间变量代回原来的x 变量：()(2)(cos )y Inu v x ''''=1()Inu u'= (2)2v '= (cos )sin x x '=- （注意,,y u v 的表达式均是一元函数表达式）第三步，将分析求导后的数据整理得结果：()(2)(cos )y Inu v x ''''=12sin x u =⋅⋅- 12sin 2x v =⋅⋅- sin cos x x-= tan x =-例3 求复合函数()In In y Inx [=]的导函数。
解 （分析过程）第一步，将这个复合函数“分解”成基本初等函数：y Inu = u Inv = v Inx =（可以看出要求导的函数是由这三个函数复合而来，设置恰当的中间变量）第二步，再根据链式法则进行求导，并将中间变量代回原来的x 变量：()()()y Inu Inv Inx ''''=⋅⋅1()Inu u '= 1()Inv v '= 1()Inx x'= （注意,,y u v 的表达式均是一元函数表达式）第三步，将分析求导后的数据整理得结果：()()()y Inu Inv Inx ''''=⋅⋅111u v x =⋅⋅ 111()In Inx Inx x=⋅⋅ 1()x Inx In Inx =⋅⋅ 注：链式法则求复合函数的导数是复合函数求导的一种基本方法，也是一种关键方法。
在运用链式法则求导时，一定要先明确链式法则的适用条件，在适合运用链式法则求导的前提下，准确的设置中间变量，在分析所给的函数时，(),(),()y u u v v g x ϕ==ψ=等分解表达式必须为一元函数。
在求导过程中，一定要记清每一步是谁对谁（即什么函数对哪个变量）求导数，对前变量（即函数）求导后，在后边应马上乘以一个前变量对后变量求导因子，不能漏掉链式法则中的任何一个环节，不能忘记对里层函数的求导。
而在实际做题中，当我们已经熟练掌握链式法则后，并不一定要每一步都写出所求复合函数的中间变量，心中知道是怎么复合而来的就行，然后做到准确无误的求导。
4.2对数求导法求复合函数的导数对数求导法可以把乘积的函数转化成加减的函数，把函数的幂运算转化成函数的相乘运算，对于一些函数的乘、除、乘方、开方所构成的函数，采用对数求导法来求导，这会简化我们的求导运算，因此对数求导法是复合函数求导的一种重要的，同时也是一种比较简便的方法。
思路 先对类型如()y f x =的复合函数两边同时取对数，然后对两边同时关于x 求导数，最后移项，移成()y y x ''=的形式，最终整理得出答案。
例4 求复合函数4)y x =>的导函数。
解 （分析过程）第一步，先对函数式两边取对数，得：I y n = (1)(2)(3)(412)In x In x In x In x -+--=--[-] 第二步，对上式两边同时对x 求导数，得：111111()21234y y x x x x '=+------ （切记不可写成1)(Iny y'=） 移项，得： 1111()21234y y x x x x '=+------ 第三步，将分析求导后的数据整理得结果：1111()1234y x x x x '=+------ 例5 求复合函数sin ,(0)x y xx =>的导函数。
解 （分析过程） 第一步，先对函数式两边取对数，得：sin x In In y x =sin x xIn =第二步，对上式两边同时对x 求导数，得：11sin cos I y x nx x xy +'= 移项，得：(sin )cos x I y y x nx x '+= 第三步，将分析求导后的数据整理得结果：sin (cos sin )x x Inx xx x y +'= 例6 求复合函数123152(5)(4),(4)(2)(4)x x y x x x +-=>++的导函数。
解 （分析过程）第一步，先对函数式两边取对数，得：123152(5)(4)(2)(4)In x x n x y I x +-=++11(5)(4)5(2)(4)232In x In x In x In x ++--+-+= 第二步，对上式两边同时对x 求导数，得：1215153(4)22(4)y y x x x x '=+--+-++ 移项，得：2151()53(4)22(4)y y x x x x '=+--+-++ 第三步，将分析求导后的数据整理得结果：123152(5)(4)2151()53(4)22(4)(2)(4)x x y x x x x x x +-'=+--+-++++ 注：对数求导法对一些幂指数函数，乘积形式函数这类复杂的复合函数的求导是很便捷的。
在求解时先对函数式两边取对数，然后对此对数式两边同时对x 求导，但要注意在解题时，()0f x ≠时，1()()()f x f x f x In ''=，而不是1()()Inf x f x '=；由于此类复合函数求导计算比较繁琐，所以在求导过程中要及时对所求导后的函数式进行化简，最后通过移项，整理得出结果，确保得到最简洁、准确的答案。