证券投资组合模型
含交易费用的证券组合投资模型的满意解
组合 收 投资 益为：（ ） Ｒｘ 一∑ （ Ｐ ； 投资 为：（， 一 ｉ 组合 风险 Ｑｘ） ） 一∑ ｑ ．
于是 ， 建立含 交易 费用 的证券 组合 投资 的区 间数 线性 规划模 型 （ ） １：
ｍ ａ ｘ 一 ｘ Ｒ（ ） （ 一 Ｐ ． ｒ ）
ｆ ｑ ≤ｂ ∑ ，
Ｌ ∑（＋ ： ， １ １ ） ： ＝ １
ｆ
【 ≥ ０ （ 一 １２ … ， ； 一１ ２ … ， ． ｉ ， ， ” ｔ ， ， ｍ） 求 解 出模 型 （ ） １ 中的投资份 额 ， “ ， 。 一， ） 即得 到一 种含 交易 费用 的证券 组合投 资方 案． 一（ ３ ， ７
１ 引
言
美 国经济 学家 Ｈａｒ ｒ ｏ ｔ 提 出了证 券组 合 投资 均 值一 方 差 模 型 ， 为 现代 证 券 组 合投 资 理 ｒｙＭａｋ ｗｉ ｚ 它 论 奠 定 了坚 实 的基 础 ． 该模 型 表 明 ： 个理 性 的投 资 者在 拥 有 一定 资 金 的 条 件 下 ， 一 如何 分 配 资 金 购买 若 干种 风 险证 券 ， 以达 到 降低风 险 而获 得最 大 收益 的 目的＿ ． 】 在此 基 础 上 ， 多 学 者 致力 于证 券 组 合投 资 ］ 许
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［ 稿 日期 ］ ２ ０ ４２ 收 ０ ９０ —６ ［ 金 项 目］ 安 徽 省 教 育 厅 优 秀 青 年 人才 基 金 项 目（ｏ ９ ＱＲ １４ ； 埠 学 院 自然科 学 研 究 项 目（０ ０ Ｒ１ ，ｏ ０ Ｒ ４ 基 ２ ０ Ｓ Ｚ ２ ）蚌 ２ １Ｚ ０ ２ １Ｚ ０ ）
证券投资组合理论
证券投资组合理论［内容提要］本章着重介绍了证券投资的组合及定价理论。
共分五节。
第一节提出了应如何构建最优风险资产组合，探讨了理性投资者在既定的假设条件下求可行集和有效集以及最优投资组合构建的具体方法；第二节分析了无风险借贷对有效集的影响。
第三节介绍了资本资产定价模型的假设前提和推导过程，运用实例分析了该理论的应用及局限性；第四节深入阐述了套利定价理论的基本内涵，并将两种理论进行了比较分析，介绍了两者实证检验的结果。
第五节对资本资产定价模型进一步扩展，对跨时的资本资产定价模型和消费资本资产定价模型进行了概述性的介绍。
第一节最优风险资产组合投资者必须根据自己的风险-收益偏好和各种证券和证券组合的风险、收益特性来选择最优的投资组合。
然而，现实生活中证券种类繁多，这些证券更可组成无数种证券组合，如果投资者必须对所有这些组合进行评估的话，那将是难以想象的。
幸运的是，根据马科维茨的有效集定理，投资者无须对所有组合进行一一评估。
本节将按马科维茨的方法，由浅入深地介绍确定最优投资组合的方法。
一、可行集为了说明有效集定理，我们有必要引入可行集（Feasible Set）的概念。
可行集指的是由N种证券所形成的所有组合的集合，它包括了现实生活中所有可能的组合。
也就是说，所有可能的组合将位于可行集的边界上或内部。
（一）有效集的定义对于一个理性投资者而言，他们都是厌恶风险而偏好收益的。
对于同样的风险水平，他们将会选择能提供最大预期收益率的组合；对于同样的预期收益率，他们将会选择风险最小的组合。
能同时满足这两个条件的投资组合的集合就是有效集（Efficient Set，又称有效边界Efficient Frontier）。
处于有效边界上的组合称为有效组合。
（二）有效集的位置可见，有效集是可行集的一个子集，它包含于可行集中。
那么如何确定有效集的位置呢？我们先考虑第一个条件。
在图10.1中，没有哪一个组合的风险小于组合N，这是因为如果过N点画一条垂直线，则可行集都在这条线的右边。
证券投资组合研究
本科生实践教学活动周实践教学成果成果形式：论文成果名称：证券投资组合模型研究学生姓名：目录一类证券投资组合模型研究 (2)序言 (1)一、证券投资组合模型的发展现状 (1)二、证券投资组合理论概述 (3)三、CEVaR风险度量的理论建构 (3)（一）证券投资组合中熵风险度量的引入 (3)（二）证券投资组合的 CVaR 风险度量的引入 (4)（三）CEVaR 风险度量方法的提出 (5)四、CEVaR模型在证券投资组合中的实证研究 (5)（一）证券投资组合的CEVaR模型 (5)（二）数据的选取与处理 (6)结论 (10)参考文献 (11)一类证券投资组合模型研究研究背景：证券市场是一个高风险市场。
为了分散风险并获得最大收益，许多投资者将多种证券组合在一起进行投资，使得证券投资组合的研究成为金融界面临的重要课题之一。
Markowitz 以证券收益率的方差作为组合证券风险的度量，开辟了金融定量分析的时代，在度量风险的基础上建立了组合投资决策模型。
关键字：证券投资组合；风险；熵；CVaR 度量；CEVaR 模型序言随着经济全球化、金融一体化进程的加快，各国金融市场的开放程度不断加深、金融市场之间的联系进一步加强。
资本在全球范围内大量、快速和自由流动以及全球金融市场之间的价格协同运动使得任何地区的金融市场的局部波动都会迅速波及、传染、放大到其他市场。
金融业的激烈竞争导致了金融创新的浪潮，并由此引发了政府对金融业的放松管制，反过来又加剧了市场竞争，为以衍生金融产品为核心的金融创新提供了内在的动机和良好的环境，这一螺旋式的过程导致金融市场的不确定性和波动性增大；信息技术、现代金融理论和金融工程技术的突破性发展，提高了国际金融市场中资金和信息的流通效率，提高了对复杂金融产品和交易的准确定价能力，从而导致金融市场的交易品种、交易量和交易速度的爆发性增长，金融市场的复杂性和不稳定性大大提高；同时，为了规避风险、提高竞争力、逃避管制而展开的金融创新活动，在放松管制和技术进步的刺激下异常活跃，导致高风险的衍生金融工具飞速增长，这使金融风险得到有效的分散和转移的同时又成为金融市场风险新的来源。
证券行业工作中的证券投资模型与计量分析
证券行业工作中的证券投资模型与计量分析【引言】证券投资是争议较大且风险较高的领域，因此需要借助证券投资模型和计量分析方法来辅助决策。
本文将介绍证券投资模型的基本原理、常见的计量分析技术，并探讨其在证券行业工作中的应用。
【证券投资模型的基本原理】证券投资模型是指一种理论框架或方法，通过对相关经济因素的分析和建模，来预测证券价格变动趋势和风险。
常见的证券投资模型包括CAPM模型、ARIMA模型和VAR模型等。
一、CAPM模型CAPM模型（Capital Asset Pricing Model）基于风险与收益之间的关系，通过资产组合的风险和预期收益率之间的线性关系，来评估证券的合理价格。
该模型认为，证券的预期回报与系统风险成正比。
二、ARIMA模型ARIMA模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model）是基于时间序列分析的一种经典模型。
通过对证券价格和相关因素的历史数据进行分析，该模型可以预测未来的价格走势。
ARIMA模型不仅可以分析趋势和周期性，还可以检测季节性和异常波动等。
三、VAR模型VAR模型（Vector Autoregression Model）是一种多变量时间序列分析模型。
该模型通过考虑多个证券之间的相互关系，来预测证券价格的变动。
VAR模型可以捕捉到市场中不同证券之间的传染效应和相关性，对于投资组合的风险管理有较高的应用价值。
【计量分析在证券行业工作中的应用】计量分析方法是利用统计学和经济学的原理，对证券市场和证券价格进行分析和预测的一种方法。
以下将介绍几种常见的计量分析方法及其在证券行业工作中的应用。
一、回归分析回归分析是计量分析中应用最广泛的方法之一。
通过建立回归模型，分析不同因素对证券价格的影响。
在证券行业工作中，可以利用回归分析来研究证券价格与市场指数、利率等因素之间的关系，进而预测证券价格的变动趋势。
二、时间序列分析时间序列分析是一种研究时间相关数据的方法。
一种用于证券投资组合的计算智能模型设计方法
１ 前 言 ．
由于证券 投资组 合模 型 是 一个 多 目标 的非 线性 规 划 问 题， 在实 际运 用过 程 中规 模 较 大 ， 找 到最 优 投 资组 合 的 过 要
程 非 常 耗 时 ， 且 相 当 困 难 。 因 此 ， 何 实 现 具 有 快 速 和 而 ］ 如
络模 型能够 实现并 行处 理和快 速运算 ， 且能 够解 决许 多优 并 化问题 。鉴于此 ， 文应 用 Ｈｏ ｆ ｌ 经网络 求解证 券投 ］ 本 ｐｉ ｄ神 ｅ 资组合 模型 ， 以克 服 目前用传 统方 法求解 证券投 资 组合 模型
算过程 实际上 就是一 个局 部极小 点 的寻优过 程 ， 目标 函 数就 是 该 网络系统 的能量 函数 。 为 了 判 定 Ｈｏ ｆ ｌ ｐｉ ｄ神 经 网 络 的 稳 定 性 ， 如 下 判 定 ｅ 有
定 理 ： Ｊ
使 网络 的训 练 时 间增 加 ， 敛 速 度 慢 且 容 易 陷 入 局 部 极 收
所 遇到 的困难 。
ห้องสมุดไป่ตู้
高效 的寻优求解 方法 是 研究 的重 点和 热 点 。为 了得 到 较 高 的精确度 和较快 的求 解 速度 。从 而 克服 大 规 模运 算 所 带来 的各种 问题 。本文 研究借 助一些 智能 的寻优 手段 ， 如人 工神 经 网络 、 模糊逻 辑推理 和 遗传 算 法 ， 各 自的优 劣 之 处 进行 对 分析 并取长 补短 ， 以求 达到模 型 的更 好求 解 。
能 用 随 机 数 或 零 对 神 经 网 络 初 始 化 ， 有 一 定 的 盲 目性 ， 具 会
可 以证 明 ， 当系统 的能 量 函数 定义 为 ：
Ｅ一 一 告∑∑
一∑ ，ｊ ≤ｏ （ ｌ， ２ Ｉ 寸 ）
证券组合投资模型研究
证 券 组 合 投 资模 型研 究
卢安 文 ，谢 祥 俊 ２
（１西 南 石 油 学 院 工 商 管 理 学 院 ，四 川 南 充 ６７ ０ ；２西 南 石 油 学 院计 算 机 科 学 院 ，四 川 南充 ６７ ０ ． ３０ １ ． ３ ０ １） 摘 要 ：证 券 投 资 是 一 种 高 风 险 的投 资 行 为 。 文章 综 合 考 虑 证 券 投 资 的 收 益 、风 险 ，建 立 了
Ｊ ＯＵＲＮＡ Ｉ ＨＵＡ Ｉ ＴＩ ＵＴ ＬＯＦＳＣ Ｎ ＮＳ Ｔ Ｅ ＯＦ Ｌ ＧＨＴ Ｉ Ｉ ＮＤＵＳ ＲＹ ＮＤ Ｅ Ｃ Ｅ ＨＮＯＬ Ｙ Ｔ Ａ ＣＨ ＭＩ ＡＬＴ Ｃ ＯＧ
Ｖ １５ ． ｏ １ Ｎｏ ． ３
Ｓｐ２ ０ ｅ ．０ ２
文 章 编 号 ： １ ０ — ３ Ｘ （ ０ ２）０ — ０ ６ ０ ０８４８ ２０ ３ ０ ５— ３
风 险 、由于政 策 因素 而 引起 的风 险等 。非 系统 风 险主要 是指 某一 企业 或行 业所 特有 的风险， 主要
有 经营 风险 、财务结 构风 险和违 约风 险， 这类 风险仅会影 响某 些证券 。
由诺 贝尔奖得 主 Ｍａｋｗｔ Ｈ 首先 提 出的证券组 合投 资模型奠定 了现代投 资理论 的基础 。本 ｒｏ ｉ ｚ 文在研 究收益 、风 险 的基 础上建 立 了组合证 券投 资的 目标 规划模 型 ，该模 型能针对投 资者对 风险
系统风险是指证券市场上各类证券共有的风险即某种风险对所有证券均产生相同性质的影响只是不同的证券受到其影响的程度会有所不同主要包括购买力风险利率风险市场风险由于政策因素而引起的风险等
维普资讯
第 １卷 第 ３ ５ 期
２０ ０ ２年 ９月
四 川 轻 化 工 学 院 学 报
证券投资组合理论-马科维兹的均值一方差模型
2020/5/14
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❖ 瑞典皇家科学院决定将1990年诺贝尔奖授予 纽约大学哈利.马科维茨（Harry Markowitz） 教授,为了表彰他在金融经济学理论中的先驱 工作—资产组合选择理论。
2020/5/14
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主要贡献
❖ 发展了一个在不确定条件下严格陈述的可操作的 选择资产组合理论：均值方差方法 Mean-
下方差最小的投资组合，并导出投资者只在有效边
界上选择投资组合。根据马科维兹资产组合的概念，
欲使投资组合风险最小，除了多样化投资于不同的
股票之外，还应挑选相关系数较低的股票。因此，
马科维兹的“均值－方差组合模型”不只隐含将资
金分散投资于不同种类的股票，还隐含应将资金投
资于不同产业的股票。同时马科维兹均值－方差模
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❖ 投资组合理论的基本思想：投资组合是一个 风险与收益的tradeoff问题，此外投资组合通 过分散化的投资来对冲掉一部分风险。
——“nothing ventured, nothing gained”
——"for a given level of return to minimize the risk, and for a given level of risk level to maximize the return“
最后，通过求解二次规划，可以算出有 效投资组合的集合，计算结果指明各种 证券在投资者的资金中占多大份额，以 便实现投资组合的效性——即对给定的 风险使期望回报率最大化，或对于给定 的期望回报使风险最小化。
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一些需准备的概念
1.证券投资组合的选择
❖狭义的定义：是指如何构筑各种有价 证券的头寸（包括多头和空头）来最 好地符合投资者的收益和风险的权衡。
金融数学第三章 均值方差证券投资组合选择模型
投资组合几何表示和可行域
选定了证券的投资比例，就确定了组合。可以计算该 组合的期望收益率EP和标准差σP
以EP为纵坐标、σP为横坐标，在EP-σP坐标系中可 以确定一个点。每个组合对应EP-σP中的一个点
反过来，EP-σP中的某个点有可能反映某个组合 选择“全部”有可能选择的投资比例，那么，全部组
判断组合好坏的公认标准——投资者共同偏好 第一：以期望衡量收益率，方差衡量风险，
仅关心期望和方差 第二：期望收益率越高越好，方差越小越好 可行域内部和右下边缘上的任意组合，均可以
在左上边界上找到一个比它好的组合。淘汰 最佳组合“必须来自”左上边界——有效边界 有效组合——有效边界对应的组合
(r)
非前沿组合的零协方差组合
对非前沿证券组合q，与q协方差为零的全部组 合中，组合Q的方差最小。仍记，Q＝zc（q）
数学表达为规划问题
min 1 W TVW 2 W TVWq 0
W T 11
用拉格朗日求解zc(q)
W z(cq)1C12(~ rq)W q1 C C2(2 ~ r(q~ r)q)W mvp
需要度量关联性的方向和程度 随机变量的协方差和相关系数 从联合分布可计算。 用历史数据计算（3.10）(3.11)
covr1(,r2)E(r1r1)(r2 r2)
1 2cov1r1(,2r2)
三种相关程度：
1、完全线性相关：完全决定另一个
ρAB＝1或ρAB＝-1 rA＝a＋b×rB , σ2A＝b2×σ2B 2、不完全线性相关：“部分”决定另一个
水平传导性
定理3.2：任意非前沿证券组合q及前沿组合p
E ( ~ r p ) E ( ~ r q ) c~ r o z(p c ),~ r v q ) 0 (
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资产组合优化——基于二次规划求解裴宏伟经济管理学院摘要：本文根据马克维茨的资产定价原理，即在给定的总收益率下有最小的风险，在给定的风险下得到最大的收益率，建立三类优化模型，利用MA TLAB求出最优的资产组合。
第一类为在给定收益率下的最小方差；第二类为给定方差下的最大收益率；第三类为考虑效用的多目标规划。
三类模型都采用了二次规划的方法，求出最优解，并尝试不同的收益率，得出了有效前沿，其创新点是可以在实际问题中拟合出有效前沿，免去理论推导，为投资决策者提供有益的参考。
最后得出的结论是投资的市场风险越大，收益率越大。
关键词：马克维茨资产组合理论；二次规划；有效前沿一、引言资金流是企业的血液，如何有效地管理资金，使其既能获得较大的收益，又不会存在过大的风险，是很多企业管理者思考的问题，投资证券是一种不错的选择，然而，市场存在多种证券，如何根据证券的收益率等历史信息，找出合理的投资比例，达到企业预期目标，是我们该认真思考的。
本文接下来将从以下几个方面展开：一、文献综述。
二、历史信息是否可信。
三、在历史信息可信的基础上如何将原问题转化为数学模型。
四、模型的求解及结论。
二、文献综述最早研究证券组合的是马克维茨，他以个别股票收益率的均值和方差找出投资组合的有效边界(Efficient Frontier)，即一定收益率水平下方差最小的投资组合。
它的缺点是方差协方差矩阵难于计算，在此基础上，威廉夏普提出了单指数模型，此模型假设证券间彼此无关且各证券的收益率仅与市场因素有关，这一因素可能为股票市场的指数、国民生产总值、物价指数或任何对股票收益产生最大影响的因素，每一种证券的收益都与某种单一指数线性相关。
随后，Sharpe有鉴于Markowitz“均值－方差组合模型”及其早期提出“单指数模型”中方差与投资比例不呈线性关系，必须用二次规划法求解，求解程序复杂。
因而于1967年提出线性规划法，将Markowitz的组合模型以线性规划的方式求解。
根据Sharpe进行的实证研究，当股票种类达20种以上时，投资组合的非系统风险逐渐趋于零，此时风险只生剩下系统风险，从而只与市场因素的方差有关，投资组合的标准差逐渐成为一个线性函数，因此可用“线性规划法”迅速找出有效边界。
三、数据的可信度分析我们知道，股票的本期收益率和风险都是未知的，我们需要通过历史信息来推测，那么，历史信息是否可靠？对未来的收益率及风险估计准确吗？这要看数据本身的特点。
只有时间序列数据平稳，我们才可以通过历史信息来预测未来，因而，我们将对是一只股票进行平稳性检验。
先来看时间序列图：图1 股票时序图表1变量的平稳性检验这些变量均在0.05 的显著性水平下通过了单位根检验，均平稳，说明我们在之后的决策时有效的。
四、模型建立1. 符号说明：i ω：对第i 种股票的投资比例。
I=0时表示存入银行。
i p ：购买第i 种股票的成本i r ：第i 种股票的收益率 0r 表示无风险收益率，本文采用国债收益率。
i μ：第i 种股票的平均收益率。
2. 问题描述：现已知一组股票，共有N 股，其历史收益率记录了M 期，已知其历史收益率111212122212n n m m mn r r r r r r R r r r ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，其平均收益率()()12,,,n E r μμμ= ，其方差协方差矩阵为∑，假设其投资比例为()12,,n ωωωω= 。
则对于线性组合1122n n r r r r ωωωω=+++其均值为 ()()E r E r ωω= 方差为 var('=∑ωωω)r我们用均值衡量期望收益率，方差衡量风险现有一公司，在期望收益率为a 的条件下，求使其组合风险最小的组合，下面我们来建立模型，求出最优的证券组合。
模型1：不考虑交易费用及购买成本Min12ωω'∑ St ()⎩⎨⎧=≥1r E I a ωω设置不同的期望收益率，我们可以得出不同的证券组合，具体情况见下表：对上述平均收益与 方差做散点图，发现有线性趋势，做回归，可得如下结果：2.2 2.4 2.6 2.833.2 3.4 3.6 3.84x 10-3x 10-3y 2=2px 拟合图像xy图2 收益率与风险的关系从上图可以看出，收益率Y 与风险X 之间存在着22Y px c =+的关系，因而，我们令t=2Y , 拟合的函数为：0.0001360.0623t X =-+即：20.0001360.0623Y X =-+模型拟合优度达到0.98，比较高。
根据《金融工程》（林清泉），理论推导可推出，这条曲线称为有效前沿，也就是投资者在这条曲线上选择点时，才是有效的，在曲线下方的点是因为出市场风险外还有其他风险，如信用风险等，而在曲线上方的投资策略是不可能的。
因为在风险一定是最大的收益就在曲线上。
模型2：考虑其对偶问题，即在风险给定的情况下，求最大收益，其数学形式为：max .1rbs t I ωωωω='⎧≤⎨=⎩∑ 根据运筹学，对偶问题与原问题有相同解，因而在这里我们不解。
模型3：以上模型假定所有的投资者都是风险中性的，他们做出的都是最优选择，这显然不符合常理，在现实生活中，一些人对收益更敏感，多一点收益能带给他们更多效用，而另一些人刚好相反，少一点风险带给他们的效用更大，用效用函数可以表示如下：图3 不同风险选择者的效用曲线看三条曲线的斜率，A 对损失更敏感，C 对收益更敏感，因而A 是风险厌恶型，C 是风险偏好型，B 是风险中性者。
对于不同类型的人，我们应该有不同的决策方案。
另外，模型1和2都不考虑成本，且假定总的购买额已知，只需求投资比例，而现实生活中，一般都是已知购买资产的总资金，来确定总的购买额度，因而，我们需要换一种计算方法。
假设购买一股股票的成本是i c ，总资金M ，总购买量为n, 无风险收益率00.001r =，某投资者的风险偏好系数为ρ，则它的投资策略为：()()()0001.1Min Q x R x c n M c n s t I ρρωωωω=--'≤-⎧⎨=-⎩其中 ()2Q x n ωω'=∑()()00R x r r I ωμ=+-投资额度为50万股，其风险偏好系数为0.3，求其投资策略。
但最终用MATLAB 无法求出，可能是我们把问题复杂化了。
五、结论与建议根据本文的计算结果，我们提出如此下结论与建议：1.同等价值的资产，收益与风险成正比，收益越大，风险越大，因而投资者在考虑最大化收益的同时，应考虑企业自身对风险的承受能力。
2. 在投资者做实际决策时，不必利用公式得到有效前沿，可以实际模拟，取出不同的收益率，得到不同的风险，拟合出的曲线便是有效前沿。
这样，投资者可以根据自己的偏好很方便的找出合理的决策方案。
参考文献：1. 林清泉. 金融工程[M].第二版，中国人民大学出版社：63页~79页2. 肖海军. 数学实验初步[M].科学出版社：127页~133页3. 马永开.基于跟踪误差的证券组合投资决策模型研究[J].系统工程理论实践，2002年4. 张杰. 运筹学模型与实验[M]5. 金融资产组合的优化模型和数值实现[J].数量经济技术经济研究，1995年第三期6. 数据来源：RESSET 金融数据库附录：2.1求方差协方差矩阵（SAS）2.2求最小方差的程序：f=[0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0];%目标函数的线性部分，本题中为零A=-[-0.001577 -0.001317 -0.000331 -0.001212 0.008684 0.004329中的A，因为MATLAB -0.002743 0.002503 0.007469 0.013657 0.004794];%AX B中默认的为AX<=B,故我们都取负号。
b=-0.055;Aeq=[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1];%购买股票的比例和为1.Beq=1;lb=zeros(11,1);%购买股票的比例下限为0上限为1.ub=ones（11,1）;[x,fval,exitflag,output,lambda] = ...quadprog(x66,f,A,b,Aeq,Beq,lb,ub)%优化的主函数，fval为求出的股票购买比例。
X66为各股股票间的相关系数矩阵。
2.3回归的程序y=[0.0035 0.0045 0.0055 0.0065 0.01];x=[0.0024 0.0026 0.0026 0.0028 0.0038];p=polyfit(x,y,2);f = polyval(p,x);plot(x,y,'o',x,f,'-')axis([0.002 0.005 0 0.015])input y x;y2=y*y;datalines;0.0035 0.00240.0045 0.00260.0055 0.00260.0065 0.00280.01 0.0038;proc reg;model y2=x/r p;output out=results r=residual p=yhat;run;proc gplot;plot y2*x=1 yhat*x=2/overlay;symbol1i=no v=star c=black;symbol2i=join v=circle c=black;run;2.4附带费用的效用方法：f=[0;-0.0018039; -0.0016219; -0.0009317; -0.0015484; 0.0053788; 0.0023303;-0.0026201; 0.0010521; 0.0045283; 0.0088599; 0.0026558];A=[20 5.979 9.631 5.181 15.676 14.104 13.442 11.69 12.335 15.786 15.335 16.773];B=10;Aeq=[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1];Beq=1;lb=zeros(12,1);ub=ones(12,1);[x,fval,exitflag,output,lambda] = ...quadprog(H,f,A,B,Aeq,Beq,lb,ub)。