潍坊2019-2020高三期末考试数学试题
山东省潍坊市2019-2020学年新高考高一数学下学期期末达标检测试题
【解析】
【分析】
由 为函数 关于 的一个“生长点”，得到
由诱导公式可得答案.
【详解】
解： 为函数 关于 的一个“生长点”，
，
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，及函数的创新题型，属于中档题.
21．（1） ；（2）-2
【解析】
【分析】
（1）根据向量的坐标的运算法则和向量垂直的条件，以及模的定义即可求出;
对②，如果B、C、E、F四点共面，则由BC//平面ADEF，可得BC//EF，又AD//BC，所以AD//EF，这样四边形ADEF为平行四边形，与已知矛盾，故②不正确；
对③，在梯形ADEF中，由平面几何知识易得EF FD，又EF CF，∴EF 平面CDF，
即有CD EF，∴CD 平面ADEF，则平面ADEF 平面ABCD，故③正确；
11．D
【解析】
可以线在平面内，③可以是两相交平面内与交线平行的直线，②对④对，
故选D.
12．D
【解析】
【分析】
利用古典概型的概率公式即可求解.
【详解】
同时掷两枚骰子共有 种情况，其中向上点数相同的有 种情况，
其概率为 .
故选：D
【点睛】
本题考查了古典概型的概率计算公式，解题的关键是找出基本事件个数，属于基础题.
16．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知曲线 上的任意一点到两定点 、 距离之和为 ，直线 交曲线 于 两点， 为坐标原点．
（1）求曲线 的方程；
（2）若 不过点 且不平行于坐标轴，记线段 的中点为 ，求证：直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值；
2019-2020学年山东省潍坊市高三(上)期末数学试卷
2019-2020学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|230}A x x x =--„，{|21B x x =-<„且}x Z ∈，则(A B =I ) A ．{2-，1}-B ．{1-，0}C ．{2-，0}D ．{1-，1}2．（5分）设(1)1(i a bi i +=+是虚数单位），其中a ，b 是实数，则||(a bi += ) A ．1B ．2C ．3D ．23．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，若(4)0.9P ξ<=，则(21)(P ξ-<<= )A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.64．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A ．227B ．258C ．15750D ．3551135．（5分）函数()y f x =与()y g x =的图象如图所示，则()()y f x g x =g 的部分图象可能是()A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有( ) A ．36种B ．30种C ．24种D ．20种7．（5分）已知3sin()45πα-=，且α为锐角，则cos (α= )A ．B ．C D8．（5分）已知点P 为双曲线2222:1(00)x y C a b a b -=>>g 右支上一点，1F ，2F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若11||4||PF HF =，则该双曲线的离心率为( )A B C ．53D ．73二、多项选择题：本大题共4个小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分．选对但不全的得3分，有选错的得0分． 9．（5分）等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为( )AB ．(1π+C ．D ．(2)10．（5分）已知2()2cos 21(0)f x x x ωωω=->的最小正周期为π，则下列说法正确的有( ) A ．2ω=B ．函数()f x 在[0,]6π上为增函数C ．直线3x π=要是函数()y f x =图象的一条对称轴D ．点5(,0)12π是函数()y f x =图象的一个对称中心11．（5分）已知等比数列{}n a 的公比23q =-，等差数列{}n b 的首项112b =，若99a b >且1010a b >，则以下结论正确的有( ) A ．9100a a <g B ．910a a >C ．100b >D ．910b b >12．（5分）把方程||||1169x x y y +=-表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的有( )A ．()y f x =的图象不经过第一象限B ．()f x 在R 上单调递增C ．()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3D ．函数()4()3g x f x x =+不存在零点三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）向量(,4)a x =-r，(1,)b x =-r ，若a r 与b r 共线，则实数x = ． 14．（5分）已知圆22(2)(1)2x y -+-=关于直线1(0,0)ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为 ．15．（5分）已知P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标为(2,3)，则||||PA PM +的最小值是 ．16．（5分）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点K 在棱11A B 上运动，过A ，C ，K 三点作正方体的截面，若K 为棱11A B 的中点，则截面面积为 ，若截面把正方体分成体积之比为2:1的两部分，则11A KKB = ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且1a ，2a ，4a 是等比数列{}n b 的前3项． （1）求n a ，n b ； （2）设(){}1,1n n n n n c b c a a =++求的前n 项和n S ．18．（12分）在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，E ，F 分别为棱PC 和AB 的中点．（1）求证：//EF 平面PAD ； （2）若直线PC 与AB 所成角的正切值为52，求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面的大小．19．（12分）在①3sin 4cos a C c A =，②2sin 5sin 2B Cb a B +=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 ，32a =． （1）求sin A ；（2）如图，M 为边AC 上一点MC MB =．2ABM π∠=，求ABC ∆的面积．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．20．（12分）读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．书籍是文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式．某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n 名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图．将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”．已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人． （1）求n ，p 的值；（2）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关？非读书之星 读书之星总计男 女 10 55 总计（3）将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每次抽取1名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望()E X ． 附：()()()()()22,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++其中．20()P K k … 0.10 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）在平面直角坐标系中，( 1.0)A -，(1,0)B ，设ABC ∆的内切圆分别与边AC ，BC ，AB 相切于点P ，Q ，R ，已知||1CP =，记动点C 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）过(2,0)G 的直线与y 轴正半轴交于点S ，与曲线E 交于点H ，HA x ⊥轴，过S 的另一直线与曲线E 交于M 、N 两点，若6SMG SHN S S ∆∆=，求直线MN 的方程． 22．（12分）已知函数2()1()()x f x ae x a R g x x =--∈= （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a >时，若曲线1:()1C y f x x =++与曲线2:()C y g x =存在唯一的公切线，求实数a 的值；（3）当1a =，0x …时，不等式()(1)f x kxln x +…恒成立，求实数k 的取值范围．2019-2020学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|230}A x x x =--„，{|21B x x =-<„且}x Z ∈，则(A B =I ) A ．{2-，1}-B ．{1-，0}C ．{2-，0}D ．{1-，1}【解答】解：{|13}A x x =-Q 剟，{2B =-，1-，0}， {1A B ∴=-I ，0}．故选：B ．2．（5分）设(1)1(i a bi i +=+是虚数单位），其中a ，b 是实数，则||(a bi += )A ．1B C D ．2【解答】解：由(1)1i a bi +=+，得1a ai bi +=+，∴1a ab =⎧⎨=⎩，则1a b ==．|||1|a bi i ∴+=+=故选：B ．3．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，若(4)0.9P ξ<=，则(21)(P ξ-<<= )A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.6【解答】解：Q 随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，∴正态分布曲线的对称轴方程为1x =，由(4)0.9P ξ<=，得(4)(2)0.1P P ξξ>=<-=， 则11(21)(24)0.80.422P P ξξ-<<=-<<=⨯=． 故选：C ．4．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A ．227B ．258C ．15750D ．355113【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，则2L r π=，∴2212(2)375r h r h ππ=， 258π∴=． 故选：B ．5．（5分）函数()y f x =与()y g x =的图象如图所示，则()()y f x g x =g 的部分图象可能是()A ．B ．C ．D ．【解答】解：由图可知，当(,)2x π∈-∞-时，0y <；当(,0)2x π∈-时，0y >；当(0,)2x π∈时，0y <；当(,)2x π∈+∞时，0y >；符合要求的只有选项A ． 故选：A ．6．（5分）已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有( ) A ．36种B ．30种C ．24种D ．20种【解答】解：根据题意，依次分析四人的结账方式：对于甲，只会用现金结账，有1种方式， 对于乙，只会用现金和银联卡结账，有2种方式，对于丙，与甲、乙结账方式不同，若乙用现金，则丙有3种方式，若乙用银行卡，则丙有2种方式，对于丁，用哪种结账方式都可以，有4种方式， 则他们结账方式的组合有342420⨯+⨯=种， 故选：D ．7．（5分）已知3sin()45πα-=，且α为锐角，则cos (α= )A ．10-B ．10C ．10D ．10【解答】解：由于3sin()45πα-=，且α为锐角，则444πππα-<-<，即4cos()45πα-==，则cos cos[()]44ππαα=-+cos()cos sin()sin 4444ππππαα=---43()55=-=． 故选：C ．8．（5分）已知点P 为双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>g 右支上一点，1F ，2F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若11||4||PF HF =，则该双曲线的离心率为( )A B C ．53D ．73【解答】解：如图：取1PF 的中点M ． 11||4||PF HF =Q ，2//OH MF ∴．Q 直线1PF 垂直OH ，垂足为H ，21MF PF ∴⊥，故△12PF F 为等腰三角形． 2122PF F F c ∴==，可得122PF a c =+．121tan tan bF F M FOH a∠=∠=Q ， 112112sin sin 2MF a c bF F M FOH F F c c+∴∠===∠=． 2a c b ∴+=，2222()4()3250a c c a e e ⇒+=-⇒--=，解得53e =，故选：C ．二、多项选择题：本大题共4个小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分．选对但不全的得3分，有选错的得0分． 9．（5分）等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为( ) A 2πB ．(12)π+C ．22πD ．(22)π【解答】解：若绕一条直角边旋转一周时，则圆锥的底面半径为1，高为1，所以母线长2l 这时表面积为21211(12)2l πππ+=g gg g ；若绕斜边一周时旋转体为L 2，一个圆锥的母线长为1，所以表面积1222S =g 212ππ=g ，2π， 故选：AB ．10．（5分）已知2()2cos 321(0)f x x x ωωω=->的最小正周期为π，则下列说法正确的有( ) A ．2ω=B ．函数()f x 在[0,]6π上为增函数C ．直线3x π=要是函数()y f x =图象的一条对称轴D ．点5(,0)12π是函数()y f x =图象的一个对称中心【解答】解：Q 2()2cos 21(0)cos222cos(2)3f x x x x x x πωωωωωω=->==-的最小正周期为22ππω=， 1ω∴=，()2cos(2)3f x x π∴=-，故A 错误．在[0,]6π上，2[33x ππ-∈-，0]，故()2cos(2)3f x x π=- 单调递增，故B 正确；当3x π=时，()1f x =，不是最值，故直线3x π=不是函数()y f x =图象的一条对称轴，故C错误； 当512x π=时，()0f x =，故点5(,0)12π是函数()y f x =图象的一个对称中心，故D 正确， 故选：BD ．11．（5分）已知等比数列{}n a 的公比23q =-，等差数列{}n b 的首项112b =，若99a b >且1010a b >，则以下结论正确的有( ) A ．9100a a <gB ．910a a >C ．100b >D ．910b b >【解答】解：数列{}n a 是公比q 为23-的等比数列，{}n b 是首项为12，公差设为d 的等差数列，则8912()3a a =-，91012()3a a =-，21791012()03a a a ∴=-<g ，故A 正确；1a Q 正负不确定，故B 错误；10a Q 正负不确定，∴由1010a b >，不能求得10b 的符号，故C 错误；由99a b >且1010a b >，则812()1283a d ->+，912()1293a d ->+，可得等差数列{}n b 一定是递减数列，即0d <， 即有9910a b b >>，故D 正确．故选：AD．12．（5分）把方程||||1169x x y y+=-表示的曲线作为函数()y f x=的图象，则下列结论正确的有()A．()y f x=的图象不经过第一象限B．()f x在R上单调递增C．()y f x=的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3 D．函数()4()3g x f x x=+不存在零点【解答】解：根据题意画出方程||||1169x x y y+=-曲线即为函数()y f x=的图象，如图所示．轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形．从图形中可以看出，关于函数()y f x=的有下列说法：A图象不过第一象限，正确；B，()f x在R上单调递减，故B错误．C，由图象可知，()y f x=的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3，C正确；D，由于4()30f x x+=即3 ()4xf x=-，从而图形上看，函数()f x的图象与直线34xy=-没有交点，故函数()4()3F x f x x=+不存在零点，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）向量(,4)a x =-r，(1,)b x =-r ，若a r 与b r 共线，则实数x = 2± ． 【解答】解：向量(,4)a x =-r，(1,)b x =-r ， 若a r与b r 共线，则2(4)10x ---⨯=，解得2x =±． 故答案为：2±．14．（5分）已知圆22(2)(1)2x y -+-=关于直线1(0,0)ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为 9 ．【解答】解：圆22(2)(1)2x y -+-=关于直线1(0,0)ax by a b +=>>对称，21a b ∴+=，则21212222()(2)5529b a b a a b a b a b a b a b+=++=+++=g …， 当且仅当22b a a b =即13a b =时取等号，此时取得最小值9． 故答案为：915．（5分）已知P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标为(2,3)，则||||PA PM +的最小值是101 ．【解答】解：当2x =时，2428y =⨯=，所以22y =±||22y =32>，所以点A在抛物线的外侧，延长PM交直线1x=-，由抛物线的定义可知||||1||PN PM PF=+=，当三点A，P，F共线时，||||PA PF+最小，此时为||||||PA PF AF+=，又焦点坐标为(1,0)F，所以22||(21)310 AF=-+=，即||1||PM PA++的最小值为10，所以||||PM PA+的最小值为101-，故答案为：101-．16．（5分）正方体1111ABCD A B C D-的棱长为1，点K在棱11A B上运动，过A，C，K三点作正方体的截面，若K为棱11A B的中点，则截面面积为98，若截面把正方体分成体积之比为2:1的两部分，则11A KKB=．【解答】解：如图，过K作//KM AC，交11B C于M，连结MC，则平面ACMK 是过A ，C ，K 三点的正方体的截面，K Q 为棱11A B 的中点，M ∴是11B C 的中点，221121122KM AC ∴==+=，∴截面ACMK 的面积为221229(2)1()248S =⨯+⨯+=． 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点K 在棱11A B 上运动， 截面ACMK 把正方体分成体积之比为2:1的两部分， 设1B K x =，则1B M x =，11A K x =-，∴22222111111(11)11322223x x ++=g g g g g g ， 整理，得210x x +-=， 由01x <<，解得51x -=， ∴11511151251A K xKB x----===-．故答案为：98，51-．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且1a ，2a ，4a 是等比数列{}n b 的前3项． （1）求n a ，n b ； （2）设(){}1,1n n n n n c b c a a =++求的前n 项和n S ．【解答】解：（1）设数列{}n a 的公差为(0)d d ≠， 由题意，4114(41)446102S a d a d ⨯-=+=+=，① 又1a Q ，2a ，4a 成等比数列，∴2214a a a =， 即2111()(3)a d a a d +=+，得1a d =，② 联立①②可得，11a d ==． n a n ∴=，12n n b -=；（2）Q 1112(1)(1)n n n n n c b a a n n -=+=+++， ∴01111111(222)(1)2231n n S n n -=++⋯++-+-+⋯+-+ 1211121211n n n n -=+-=--++． ∴数列{}n c 的前n 项和为121n n S n =-+． 18．（12分）在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，E ，F 分别为棱PC 和AB 的中点．（1）求证：//EF 平面PAD ； （2）若直线PC 与AB 所成角的正切值为5，求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面的大小．【解答】解：（1）证明：取CD 的中点M ，连结EM ，FM ，E Q ，F 分别为PC 和AB 的中点，四边形ABCD 是正方形， //EM PD ∴，//FM AD ，EM FM M =Q I ，PD AD D =I ，∴平面//EFM 平面PAD ，EF ⊂Q 平面EFM ，//EF ∴平面PAD ．（2）解：Q 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD ， CD ∴⊥平面PAD ，CD PD ∴⊥，//AB CD Q ，PCD ∴∠是直线PC 与AB 所成角，5tan PD PCD DC ∴∠==，设5PD =，2CD =， 分别取AD 和BC 的中点O ，N ，连结PO ，ON ，PA PD =Q ，PO AD ∴⊥，Q 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，PO ∴⊥平面ABCD ，以O 为原点，OA 为x 轴，ON 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(0P ，0，2)，(1C -，2，0)，(1B ，2，0)， ∴(2CB =u u u r ，0，0)，(1CP =u u u r，2-，2)， 设(m x =r，y ，)z 是平面BPC 的一个法向量，则20220m CB x m CP x y z ⎧==⎪⎨=-+=⎪⎩u u u r r g u u u rr g ，取1y =，得(0m =r ，1，1)， 平面PAD 的一个法向量(0n =r，1，0)，2cos ,||||21m n m n m n ∴<>===⨯r r g r r r r g ，,4m n π<>=r r，∴平面PAD 与平面PBC 所成锐二面的大小为4π．19．（12分）在①3sin 4cos a C c A =，②2sin 5sin 2B Cb a B +这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 ①② ，32a =．（1）求sin A ；（2）如图，M 为边AC 上一点MC MB =．2ABM π∠=，求ABC ∆的面积．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．【解答】解：若选择条件①，则：（1）在ABC ∆中，由正弦定理可得3sin sin 4sin cos A C C A =， 因为sin 0C ≠，所以3sin 4cos A A =，可得229sin 16cos A A =， 所以225sin 16A =， 因为sin 0A >， 所以4sin 5A =． （2）设BM MC m ==，易知4cos cos sin 5BMC BMA A ∠=-∠=-=-，在BMC ∆中，由余弦定理可得2241822()5m m =--g ，解得5m =，所以21133sin 52252BMC S m BMC ∆=∠=⨯⨯=，在Rt ABM ∆中，4sin 5A =，5BM =，2ABM π∠=，所以35AB =，所以158ABM S ∆=， 所以31527288ABCBMC ABM S S S ∆∆∆=+=+=． 若选择②，则： （1）因为2sin 5sin 2B Cb a B +=， 所以2sin5sin 2Ab a B π-，由正弦定理可得2sin cos 5sin 2AB A B ， 因为sin 0B ≠， 所以2cos52A A ，2cos 52sin cos 222A A A ⨯，因为cos 02A≠， 可得sin 25A =，则cos 25A =，所以4sin 2sincos 225A A A ==． （2）同选择①．20．（12分）读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．书籍是文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式．某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n 名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图．将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”．已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人． （1）求n ，p 的值；（2）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关？非读书之星 读书之星总计 男 女 10 55 总计（3）将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每次抽取1名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望()E X ． 附：()()()()()22,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++其中．20()P K k …0.100.0500.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【解答】解：（1）由频率分布直方图可知0.01p =， 抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人． 101000.1n ∴==． （2）100n =Q ，∴ “读书之星”有1000.2525⨯=， 从而22⨯列联表如下图所示：非读书之星 读书之星总计 男 30 15 45 女 45 10 55 总计7525100将22⨯列联表中的数据代入公式计算得：22100(30101545)100 3.030 3.8414555752525K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯．∴没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关．（3）将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为14， 由题意得1~(3,)4X B ，033327(0)()464P X C ∴===， 1231327(1)()()4464P X C ===， 223139(2)()()4449P X C ==⨯=， 33311(3)()464P X C ===，X ∴的分布列为：13()344E X =⨯=． 21．（12分）在平面直角坐标系中，( 1.0)A -，(1,0)B ，设ABC ∆的内切圆分别与边AC ，BC ，AB 相切于点P ，Q ，R ，已知||1CP =，记动点C 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）过(2,0)G 的直线与y 轴正半轴交于点S ，与曲线E 交于点H ，HA x ⊥轴，过S 的另一直线与曲线E 交于M 、N 两点，若6SMG SHN S S ∆∆=，求直线MN 的方程．【解答】解：（1）由题意知，||||||||||||2||||4||CA CB CP CQ AP BQ CP AB AB +=+++=+=>，∴曲线E 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆（除去与x 轴的交点），设曲线2222:1(0,0)x y E a b y a b++>>≠，则1c =，24a =，即2a =，2223b a c =-=，∴曲线E 的方程为221(0)43x y y +=≠；（2）因为HA x ⊥轴，所以3(1,)2H -，设0(0,)S y ，∴03223y --=-，解得01y =，则(0,1)S ， 因为2a c =，所以||2||SG SH =，∴1||||sin 2||261||||||sin 2SMG SHN SM SG MSGS SM S SN SN SH NSH ∆∆∠===∠，∴||3||SM SN =，则3SM SN =-u u u r uu u r ， 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则1122(,1),(,1)SM x y SN x y =-=-u u u r u u u r，则123x x =-， ①当直线MN 斜率不存在时，MN 的方程为0x =， 此时||2||SM SN ==，不符合条件，舍去； ②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为1y kx =+，联立221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)880k x kx ++-=，∴122122834834k x x k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，将123x x =-代入得，2222282348334k x k x k -⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∴222483()3434k k k =++， ∴232k =，解得k =，∴直线MN的方程为1y =+或1y =+． 22．（12分）已知函数2()1()()x f x ae x a R g x x =--∈= （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a >时，若曲线1:()1C y f x x =++与曲线2:()C y g x =存在唯一的公切线，求实数a 的值；（3）当1a =，0x …时，不等式()(1)f x kxln x +…恒成立，求实数k 的取值范围．【解答】解：（1）()1x f x ae x =--，()1x f x ae '=-， 当0a „时，f ‘()0x „，在R 上单调递减； 当0a >时，()0f x '=时，x lna =-，当(,)x lna ∈-∞-，()0f x '<，()f x 递减；当(,)x lna ∈-+∞，f ‘()0x >，()f x 递增； （2）曲线1:()1x C y f x x ae =++=，22:()C y g x x ==，设公切线与1C ，2C 的切点为11(,)x x ae ，222(,)x x ，易知12x x ≠， 由11222122x x ae x k ae x x x -===-，1222122222222x x x x ae x x x -=-=-，所以2122222x x x x -=，由0a >，故20x >，所以21220x x =->，故11x >， 所以1121124(1)(1)x x x x a x e e -==>， 构造函数4(1)()xx F x e -=，(1)x >问题等价于直线y a =与曲线()y F x =在1x >时有且只有一个交点，4(2)()xx F x e-'=，当(1,2)x ∈时，()F x 递增；当(2,)x ∈+∞时，()F x 递减； ()F x 的最大值为F （2）24e =，F （1）0=，当x →+∞时，()0F x →， 故24a e =； （3）当1a =时，()1x f x e x =--，设()1(1)(0)x h x e x kxln x x =---+…，(0)0h =， ()1[(1)]1x xh x e k ln x x '=--+++，(0)0h '= 211()[]1(1)x h x e k x x ''=-+++，(0)12h k ''=-， ①当120k -…，即12k „时，由0x …，1x e …，2211111[][]11(1)21(1)k x x x x ++++++剟， 则()0h x ''…，()h x '在[0，)+∞递增，故()(0)0h x h ''=…， 所以()h x 在[0，)+∞递增，由(0)0h =， 所以()0h x …成立；②当12k >时，(0)0h ''<，由()h x ''在[0，)+∞单调递增， 令20x ln k =>，则211(2)2[]22012(12)h ln k k k k k ln k ln k ''=-+>-=++， 故在(0,2)ln k 存在唯一的零点m ，使得()0h m ''=， 当(0,)x m ∈时，()h x '递减，又(0)0h '=，所以()0h x '<； 即()h x 在(0,)m 递减，由(0)0h =， 所以()0h x <，(0,)x m ∈， 所以12k >不成立， 综上，(k ∈-∞，1]2．。
山东省潍坊实验中学2019-2020学年高三(最后冲刺)数学试卷含解析《附15套高考模拟卷》
山东省潍坊实验中学2019-2020学年高三（最后冲刺）数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．我们可以用随机数法估计π的值，如图，所示的程序框图表示其基本步骤（函数RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生()0,1内的任何一个实数），若输出的结果为784，则由此可估计π的近似值为( )A ．3.119B ．3.124C ．3.136D ．3.1512．若双曲线2222:1x y C a b-= (0,0)a b >>的渐近线与圆22(3)1x y -+=无交点，则C 的离心率的取值范围为（ ）A ．(321,4) B ．(231,3) C ．(32,4)+∞ D ．(23,3)+∞3．已知双曲线的左焦点，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则双曲线的离心率为( ) A ．B ．C ．D ．4．若存在唯一的实数(0,)2t π∈，使得曲线cos (0)3y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭关于点(,0)t 对称，则ω的取值范围是（）A．511 [,] 33B．511(,]33C．410(,]33D．410[,]335．阅读如图的框图，则输出的S=A．30B．29C．55D．546．某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X近似服从正态分布2(84,)Nσ，且(7884)0.3P X<≤=.该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分的人数为（）A．60 B．80C．100 D．1207．执行如图所示的程序框图，则输出S=（）A．26 B．57C．120 D．2478．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）A．cos22y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭B．sin22y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．sin2cos2y x x =+D ．sin cos y x x =+9．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左，右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆C 的中心，且与C 在第一象限交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则C 的离心率为（ ）A ．31-B ．312-C ．22D ．51-10．已知3412a b ==，则,a b 不可能满足的关系是（ ） A ．4a b +> B ．4ab > C ．22(1)(1)2a b -+-> D ．223a b +< 11．若复数(1a iz i i+=-是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．-2B ．-1C ．1D ．212．在区间[﹣2，2]上随机取一个数b ，若使直线y ＝x+b 与圆x 2+y 2＝a 有交点的概率为12，则a ＝（ ）A ．14B ．12 C ．1D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学(理科)试题(解析版)
2018-2019学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∩B＝（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2]C．[﹣1，1]D．[1，2]2．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2﹣，则f（﹣2）＝（）A．B．C．﹣D．﹣3．若cos（）＝﹣，则cos2α＝（）A．﹣B．﹣C．D．4．双曲线C：＝λ（λ≠0），当λ变化时，以下说法正确的是（）A．焦点坐标不变B．顶点坐标不变C．渐近线不变D．离心率不变5．若实数x，y满足，则z＝x﹣2y的最大值是（）A．2B．1C．﹣1D．﹣46．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．16C．D．7．若将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，则平移后所得图象对应函数的单调增区间是（）A．[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）B．[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）C．[+kπ，+kπ]（k∈Z）D．[+kπ，+kπ]（k∈Z）8．已知函数f（x）＝，则不等式|f（x）|≥1的解集为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，0]∪[2，+∞）C．[0，]∪[2，+∞）D．（﹣∞，]∪[2，+∞）9．四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年被美国数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定理其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字”如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别标有数字1，2，3，4的四色地图符合四色定理，区域A和区域B标记的数字丢失若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是（）A．B．C．D．10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，P为抛物线上一点，A（1，1），当△PAF周长最小时，PF所在直线的斜率为（）A．﹣B．﹣C．D．11．由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验标准（GB/T19522﹣2010）》于2011年7月1日正式实施．车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阀值见表1．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图1，且图1表示的函数模型f（x）＝，则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车（时间以整小时计算）？（参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40）（）表1 车辆驾驶人员血液酒精含量阀值A．5B．6C．7D．812．已知偶函数f（x）的定义域为R，且满足f（x+2）＝f（﹣x），当x∈[0，1]时f（x）＝x，g（x）＝4x﹣2x﹣2．①方程|g（x）|＝1有2个不等实根；②方程g（f（x）＝0只有1个实根；③当x∈（﹣∞，2]时，方程f（g（x）＝0有7个不等实根；④存在x0∈[0，1]使g（﹣x0）＝﹣g（x0）正确的序号是（）A．①②B．①③C．①④D．②④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．设向量＝（3，2），＝（1，﹣1），若（+）⊥，则实数λ＝．14．二项式（x2+）5的展开式中，x7的系数为（用数字填写答案）15．已知圆台的上、下底面都是球O的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，则球O的表面积为．16．锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2﹣c2＝bc，则﹣的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答第2223题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且2，a n，S n成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b n＝log2a1+log2a2+…+log2a n，求数列{}的前n项和T n．18．（12分）如图，正方形CDEF所在平面与等腰梯形ABCD所在平面互相垂直，已知AB∥CD，AB＝2AD，∠BAD＝60°．（1）求证：平面ADE⊥平面BDE；（2）求平面ABF与平面BDE所成锐二面角的余弦值．19．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C的长轴长与焦距之比为：1，过F2（3，0）的直线l与C交于A，B两点．（1）当l的斜率为1时，求△F1AB的面积；（2）当线段AB的垂直平分线在y轴上的截距最小时，求直线l的方程．20．（12分）某钢铁加工厂新生产一批钢管，为了了解这批产品的质量状况，检验员随机抽取了100件钢管作为样本进行检测，将它们的内径尺寸作为质量指标值，由检测结果得如下频率分布表和频率分布直方图：（1）求a，b；（2）根据质量标准规定钢管内径尺寸大于等于25.75或小于25.15为不合格，钢管内径尺寸在[25.15，25.35）或[25.45，25.75）为合格，钢管内径尺寸在[25.35，25.45）为优等．钢管的检测费用为2元/根，把样本的频率分布作为这批钢管的概率分布．（i）若从这批钢管中随机抽取3根，求内径尺寸为优等钢管根数X的分布列和数学期望；（ii）已知这批钢管共有m（m＞100）根，若有两种销售方案：第一种方案：不再对该批剩余钢管进行检测，扣除100根样品中的不合格钢管后，其余所有钢管均以50元/根售出；第二种方案：对该批剩余钢管进行一一检测，不合格钢管不销售，并且每根不合格钢管损失20元，合格等级的钢管50元/根，优等钢管60元/根．请你为该企业选择最好的销售方案，并说明理由．21．（12分）已知f（x）＝a sin x（a∈R），g（x）＝e x．（1）若0＜a≤1，判断函数G（x）＝f（1﹣x）+lnx在（0，1）的单调性；（2）证明：sin+sin+sin+…+sin＜ln2，（n∈N+）；（3）设F（x）＝g（x）﹣mx2﹣2（x+1）+k（k∈Z），对∀x＞0，m＜0，有F（x）＞0恒成立，求k的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以x轴的非负半轴为极轴，原点O为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，若直线θ＝和θ＝（ρ∈R）分别与曲线C相交于A、B两点（A，B两点异于坐标原点）．（1）求曲线C的普通方程与A、B两点的极坐标；（2）求直线AB的极坐标方程及△ABO的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣a|+|x+|（a＞0）．（1）证明f（x）≥4；（2）若不等式f（x）﹣|x+|≥4x的解集为{x|x≤2}，求实数a的值．2018-2019学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∩B＝（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2]C．[﹣1，1]D．[1，2]【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≤﹣1或x≥3，即A＝（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B＝[﹣2，2]，∴A∩B＝[﹣2，﹣1]，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2﹣，则f（﹣2）＝（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（﹣2）的值，结合函数的奇偶性可得f（2）＝﹣f（﹣2），即可得答案．【解答】解：根据题意，当x＞0时，f（x）＝x2﹣，则f（﹣2）＝4﹣＝，又由函数f（x）为奇函数，则f（2）＝﹣f（﹣2）＝﹣；故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意利用奇4﹣函数的性质进行分析．3．若cos（）＝﹣，则cos2α＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】由题意利用诱导公式求得sinα的值，再利用二倍角公式求得要求式子的值．【解答】解：∵cos（）＝﹣sinα＝﹣，∴sinα＝，则cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×＝，故选：C．【点评】本题主要考查利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题．4．双曲线C：＝λ（λ≠0），当λ变化时，以下说法正确的是（）A．焦点坐标不变B．顶点坐标不变C．渐近线不变D．离心率不变【分析】判断双曲线的焦点坐标，顶点坐标以及离心率，再求解渐近线方程，即可得到结果．【解答】解：当λ＞0时，双曲线的焦点坐标以及顶点坐标在x轴上，离心率也随实轴的变而变化，只有渐近线方程为：y＝±x不变．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5．若实数x，y满足，则z＝x﹣2y的最大值是（）A．2B．1C．﹣1D．﹣4【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出实数x，y满足对应的平面区域如图：由z＝x﹣2y得y＝x﹣z，平移直线y＝x﹣z，由图象可知当直线y＝x﹣z，经过点A时，直线y＝x﹣z，的截距最小，此时z最大，由，解得A（﹣1，﹣1），z＝1．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．16C．D．【分析】根据三视图知该几何体是长方体去掉一个三棱锥，结合题意画出图形，由图中数据计算该几何体的体积．【解答】解：根据三视图知该几何体是长方体去掉一个三棱锥，如图所示；则该几何体的体积为4×2×2﹣××2×2×4＝．故选：C．【点评】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题．7．若将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，则平移后所得图象对应函数的单调增区间是（）A．[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）B．[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）C．[+kπ，+kπ]（k∈Z）D．[+kπ，+kπ]（k∈Z）【分析】根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，求得平移后所得图象对应函数的单调增区间．【解答】解：将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，可得y＝sin（2x﹣）的图象．令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得平移后所得图象对应函数的单调增区间为[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z），故选：A．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．8．已知函数f（x）＝，则不等式|f（x）|≥1的解集为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，0]∪[2，+∞）C．[0，]∪[2，+∞）D．（﹣∞，]∪[2，+∞）【分析】去掉绝对值，解各个区间上的x的范围，取并集即可．【解答】解：|f（x）|≥1，即f（x）≥1或f（x）≤﹣1，由≥1，解得：x≤0，由log2x≥1，解得：x≥2，由≤﹣1，无解，由log2x≤﹣1，解得：0＜x≤，故不等式的解集是（﹣∞，]∪[2，+∞），故选：D．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，考查指数函数以及对数函数的性质，是一道常规题．9．四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年被美国数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定理其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字”如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别标有数字1，2，3，4的四色地图符合四色定理，区域A和区域B标记的数字丢失若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是（）A．B．C．D．【分析】当区域A标记的数字是2，区域B标记的数字是1时，恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值最大．【解答】解：当区域A标记的数字是2，区域B标记的数字是1时，恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值最大，此时所在的小方格个数n＝5×6＝30，标记为1的区域中小方格的个数m＝10，∴恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是P＝．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，P为抛物线上一点，A（1，1），当△PAF周长最小时，PF所在直线的斜率为（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】求△PAF周长的最小值，即求|PA|+|PF|的最小值．设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|．因此问题转化为求|PA|+|PD|的最小值，根据平面几何知识，当D、P、A三点共线时|PA|+|PD|最小，由此即可求出P的坐标，然后求解PF所在直线的斜率．【解答】解：求△PAF周长的最小值，即求|PA|+|PF|的最小值，设点P在准线上的射影为D，根据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|因此，|PA|+|PF|的最小值，即|PA|+|PD|的最小值根据平面几何知识，可得当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，因此的最小值为x A﹣（﹣1）＝1+1＝2，∵|AF|＝1，此时P（，1），F（1，0）PF所在直线的斜率为：＝﹣故选：A．【点评】考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，是解题的关键．11．由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验标准（GB/T19522﹣2010）》于2011年7月1日正式实施．车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阀值见表1．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图1，且图1表示的函数模型f（x）＝，则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车（时间以整小时计算）？（参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40）（）饮酒后驾车≥20，＜80表1 车辆驾驶人员血液酒精含量阀值A．5B．6C．7D．8【分析】由图知车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时x＞2；令90•e﹣0.5x+14＜20，解得x的取值范围，结合题意求得结果．【解答】解：由图知0≤x＜2时，函数f（x）取得最大值，此时f（x）＝40sin（x）+13，x≥2时，函数f（x）＝90•e﹣0.5x+14；当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时x＞2；由90•e﹣0.5x+14＜20，得e﹣0.5x＜，两边取自然对数，得lne﹣0.5x＜ln，即﹣0.5x＜﹣ln15，解得x＞≈＝5.42，所以喝啤酒后需6个小时后才可以合法驾车．注：如果根据图象可猜出6个小时．故选：B．【点评】本题考查了散点图的应用问题，也考查了分段函数与不等式的应用问题，是中档题．12．已知偶函数f（x）的定义域为R，且满足f（x+2）＝f（﹣x），当x∈[0，1]时f（x）＝x，g（x）＝4x﹣2x﹣2．①方程|g（x）|＝1有2个不等实根；②方程g（f（x）＝0只有1个实根；③当x∈（﹣∞，2]时，方程f（g（x）＝0有7个不等实根；④存在x0∈[0，1]使g（﹣x0）＝﹣g（x0）正确的序号是（）A．①②B．①③C．①④D．②④【分析】由g（x）＝1，g（x）＝﹣1解方程可判断①；设t＝f（x），g（t）＝0，结合f（x）的周期性可判断②；设m＝g（x），则f（m）＝0，可得m为偶数，再由g（x）的值域，可判断③；由g（﹣x0）＝﹣g（x0），结合二次函数和指数函数的单调性，可判断④．【解答】解：对于①，g（x）＝4x﹣2x﹣2，由g（x）＝1可得2x＝或2x＝（舍去），即x＝log2；由g（x）＝﹣1可得2x＝或2x＝（舍去），故①正确；对于②，方程g（f（x）＝0，设t＝f（x），即g（t）＝0，解得t＝1，即f（x）＝1，由f（x+2）＝f（﹣x）＝f（x），可得f（x）为周期为2的函数，f（x）＝1的根为x＝2k﹣1，k∈Z，故②错误；对于③，当x∈（﹣∞，2]时，方程f（g（x）＝0，可设m＝g（x），则f（m）＝0，可得m＝2k，k∈Z，由g（x）在x≤2的值域为[﹣，10]，可得m＝﹣2，0，2，4，6，8，10，有7个不等实根，故③正确；对于④由g（﹣x0）＝﹣g（x0），即4x0﹣2x0﹣2+4﹣x0﹣2﹣x0﹣2＝0，可设t＝2x0+2﹣x0，则t2﹣t﹣4＝0，解得t＝+，由2x0+2﹣x0＝+，即4x0﹣（+）2x0+1＝0，由△＝（+）2﹣4＝+，可得2x0＝＞2，即x0＞1，故④错误．故选：B．【点评】本题考查函数的性质和运用，主要是周期性和值域的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．设向量＝（3，2），＝（1，﹣1），若（+）⊥，则实数λ＝﹣13．【分析】可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出λ的值．【解答】解：；∵；∴；解得λ＝﹣13．故答案为：﹣13．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量加法、数乘和数量积的坐标运算．14．二项式（x2+）5的展开式中，x7的系数为10（用数字填写答案）【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于7，求出r的值，即可求得x7的系数．【解答】解：二项式（x2+）5的展开式中通项公式为T r+1＝•，令10﹣＝7，求得r＝2，故x7的系数为＝10，故答案为：10．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15．已知圆台的上、下底面都是球O的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，则球O的表面积为80π．【分析】在轴截面等腰梯形中计算出sin A与BD，然后利用正弦定理计算出△ABD的外接圆半径，即为球O的半径，再利用球体的表面积公式可得出球O的表面积．【解答】解：如下图所示，设圆台的一个轴截面为等腰梯形ABCD，则AB＝8，CD＝4，过点C、D分别作CE⊥AB、DF⊥AB，垂足分别为点E、F，则，且CE＝DF＝6，所以，，在Rt△ADF中，，，设球O的半径为R，则2R为△ABD外接圆的直径，由正弦定理可得，，因此，球O的表面积为．故答案为：80π．【点评】本题考查球体的表面积的计算，解决本题的关键在于计算球体的半径长，考查计算能力与转化能力，属于中等题．16．锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2﹣c2＝bc，则﹣的取值范围是（1，）．【分析】由已知及余弦定理可得b＝c（1+2cos A），从而可求＝，由A的范围，利用正弦函数的图象和性质可求sin A的范围，化简所求即可得解．【解答】解：∵△ABC中，a2＝c2+bc，又∵由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴c2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：b＝c（1+2cos A），①∴a2＝c2+c2（1+2cos A）＝c2（2+2cos A），∴＝＞0，∴由①利用正弦定理可得：sin B＝sin C+2sin C cos A＝sin C cos A+sin A cos C，可得：sin（A﹣C）＝sin C，∴可得：A ﹣C ＝C ，或A ﹣C +C ＝π（舍去）， ∴A ＝2C ，又∵A +B +C ＝π，A ，B ，C 均为锐角，由于：3C +B ＝π，0＜2C ＜，0＜C ＜，0＜3C ＜，∴可得：＜B ＜，可得：＜C ＜，∵在锐角△ABC 中，A ∈（，），sin A ∈（，1），∴∈（1，），∴﹣＝＝＝＝＝∈（1，）．故答案为：（1，）． 【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，熟练掌握定理是解本题的关键，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答第2223题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分 17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2，a n ，S n 成等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）数列{b n }满足b n ＝log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a n ，求数列{}的前n 项和T n ．【分析】（1）由题意可得2a n ＝2+S n ，运用数列的递推式：当n ＝1时，a 1＝S 1，n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求通项；（2）求得log 2a n ＝log 22n ＝n ，b n ＝n （n +1），＝＝2（﹣），由数列的裂项相消求和，化简整理，可得所求和．【解答】解：（1）2，a n ，S n 成等差数列，可得2a n ＝2+S n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1﹣2，解得a 1＝2， n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2a n ﹣2﹣2a n ﹣1+2， 化为a n ＝2a n ﹣1，可得数列{a n }为首项为2，公比为2的等比数列， 即有a n ＝2n ，n ∈n *； （2）log 2a n ＝log 22n ＝n ，b n ＝log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a n ＝1+2+…+n ＝n （n +1），＝＝2（﹣），即有前n项和T n＝2（1﹣+﹣+…+﹣）＝2（1﹣）＝．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等比数列的定义和通项公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18．（12分）如图，正方形CDEF所在平面与等腰梯形ABCD所在平面互相垂直，已知AB∥CD，AB＝2AD，∠BAD＝60°．（1）求证：平面ADE⊥平面BDE；（2）求平面ABF与平面BDE所成锐二面角的余弦值．【分析】（1）推导出DE⊥平面ABCD，DE⊥BD，BD⊥AD，从而BD⊥平面ADE，由此能证明平面ADE⊥平面BDE．（2）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ABF与平面BDE所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）∵平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD＝CD，DE⊥CD，∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥BD，在△ABD中，AB＝2AD，∠BAD＝60°，由余弦定理得BD＝AD，∴AB2＝AD2+BD2，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AD，∵AD⊂平面ADE，DE⊂平面ADE，AD∩DE＝D，∴BD⊥平面ADE，又BD⊂平面BDE，∴平面ADE⊥平面BDE．解：（2）∵四边形ABCD是等腰梯形，∠BAD＝60°，又由（1）知∠ADB＝90°，∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∴AD＝BC＝CD，以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，设AD＝1，由DB＝，A（1，0，0），B（0，，0），由CD＝CB，∠CDB＝30°，得C（﹣，，0），∴F（﹣，，1），＝（﹣），＝（﹣），设平面ABF的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（1，，1），平面BDE的法向量＝（1，0，0），设平面ABF与平面BDE所成锐二面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴平面ABF与平面BDE所成锐二面角的余弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C的长轴长与焦距之比为：1，过F2（3，0）的直线l与C交于A，B两点．（1）当l的斜率为1时，求△F1AB的面积；（2）当线段AB的垂直平分线在y轴上的截距最小时，求直线l的方程．【分析】（1）先由已知条件得出c＝3，再由离心率得出a的值，然后求出b的值，从而可得出椭圆的方程，然后写出直线l的方程，将直线方程与椭圆方程联立，求出交点坐标，然后利用三角形的面积可求出△F1AB的面积；（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，求出线段AB中点H的坐标，然后求出AB中垂线与y轴交点的纵坐标，利用基本不等式求出截距的最小值，利用等号成立求出k的值，从而求出直线l的方程．【解答】解：（1）依题意，因，又c＝3，所以，，b＝3，所以，椭圆C的标准方程为．设点A（x1，y1）、B（x2，y2），当k＝1时，直线l的方程为y＝x﹣3，将直线与椭圆的方程联立得，消去x得，y2+2y﹣3＝0，解得y1＝﹣3，y2＝1，则|y1﹣y2|＝4，所以，；（2）设直线l的斜率为k，由题意可知k＜0，由，消去y得，（2k2+1）x2﹣12k2x+18（k2﹣1）＝0，△＞0恒成立，由韦达定理得，设线段AB的中点为H（x0，y0），则，，设线段AB的垂直平分线与x轴的交点为D（0，m），则k DH•k AB＝﹣1，得，整理得m•（2k2+1）＝3k，，等号成立时．故当截距m最小为时，，此时，直线l的方程为．【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查韦达定理在椭圆综合问题中的应用，同时考查计算能力与推理能力，属于中等题．20．（12分）某钢铁加工厂新生产一批钢管，为了了解这批产品的质量状况，检验员随机抽取了100件钢管作为样本进行检测，将它们的内径尺寸作为质量指标值，由检测结果得如下频率分布表和频率分布直方图：（1）求a，b；（2）根据质量标准规定钢管内径尺寸大于等于25.75或小于25.15为不合格，钢管内径尺寸在[25.15，25.35）或[25.45，25.75）为合格，钢管内径尺寸在[25.35，25.45）为优等．钢管的检测费用为2元/根，把样本的频率分布作为这批钢管的概率分布．（i）若从这批钢管中随机抽取3根，求内径尺寸为优等钢管根数X的分布列和数学期望；（ii）已知这批钢管共有m（m＞100）根，若有两种销售方案：第一种方案：不再对该批剩余钢管进行检测，扣除100根样品中的不合格钢管后，其余所有钢管均以50元/根售出；第二种方案：对该批剩余钢管进行一一检测，不合格钢管不销售，并且每根不合格钢管损失20元，合格等级的钢管50元/根，优等钢管60元/根．请你为该企业选择最好的销售方案，并说明理由．【分析】（1）由频率分布直方图先求出b，由此列方程能求出a．（2）（i）钢管内径尺寸为优等的概率为0.3，X所有可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．（ii）按第一种方案：y1＝50（m﹣2）﹣200＝50m﹣300，按第二种方案：y2＝0.68×m×50+0.3×m×60﹣2m﹣0.02×m×20＝49.6m，y1﹣y2＝（50m﹣300）﹣49.6m＝0.4m﹣300，由此根据m的取值范围能求出结果．【解答】解：（1）由题意知b＝＝1.8，∴（a+2.3+1.8+1.4+1+0.3+0.2）×0.1＝1，解得a＝3．（2）（i）由（1）知钢管内径尺寸为优等的概率为0.3，X所有可能的取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝0.343，P（X＝1）＝＝0.441，P（X＝2）＝＝0.189，P（X＝3）＝＝0.027，∴X的分布列为：E（X）＝0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027＝0.9．（ii）按第一种方案：y1＝50（m﹣2）﹣200＝50m﹣300，按第二种方案：y2＝0.68×m×50+0.3×m×60﹣2m﹣0.02×m×20＝49.6m，y1﹣y2＝（50m﹣300）﹣49.6m＝0.4m﹣300，若m＞750时，y1＞y2，则按第一种方案；若m＝750时，y1＝y2，则第一、第二种方案均可；若100＜m＜750时，y1＜y2，由按第二种方案．【点评】本题考查频率、概率的求法及应用，考查频率分布表、频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知f（x）＝a sin x（a∈R），g（x）＝e x．（1）若0＜a≤1，判断函数G（x）＝f（1﹣x）+lnx在（0，1）的单调性；（2）证明：sin+sin+sin+…+sin＜ln2，（n∈N+）；（3）设F（x）＝g（x）﹣mx2﹣2（x+1）+k（k∈Z），对∀x＞0，m＜0，有F（x）＞0恒成立，求k的最小值．【分析】（1）由题意：G（x）＝a sin（1﹣x）+lnx，G′（x）＝﹣a cos（1﹣x），证明当0＜x＜1，0＜a≤1时，G′（x）＞0恒成立即可证明结论．（2）当a＝1时，G（x）＝sin（1﹣x）+lnx在（0，1）单调增，推出sin＜ln﹣ln，然后证明即可．（3）化简F（x）＝e x﹣mx2﹣2x+k﹣2＞0即：F（x）min＞0，求出导数F′（x）＝e x﹣2mx﹣2，二次导数F″（x）＝e x﹣2m判断导函数的符号，推出函数的单调性，求出最值，列出不等式，k＞（﹣1）e+x0+2，x0∈（0，ln2）恒成立，构造函数，利用函数的导数，求解最值，然后推出最小整数k的值【解答】（1）解：由题意：G（x）＝a sin（1﹣x）+lnx，G′（x）＝﹣a cos（1﹣x）+，当0＜x＜1，0＜a≤1时，＞1，cos x＜1，∴G′（x）＞0恒成立，∴函数G（x）＝f（1﹣x）+g（x）在区间（0，1）上是增函数；（2）证明：由（1）知，当a＝1时，G（x）＝sin（1﹣x）+lnx在（0，1）单调递增，∴sin（1﹣x）+lnx＜G（1）＝0，∴sin（1﹣x）＜ln，（0＜x＜1），设1﹣x＝，则x＝1﹣＝，∴sin＜ln＝ln﹣ln，∴sin+sin+sin+…+sin＜ln﹣ln+ln﹣ln+…+ln﹣ln＝ln2﹣ln＜ln2，即结论成立；（3）解：由F（x）＝g（x）﹣mx2﹣2（x+1）+k＝e x﹣mx2﹣2x+k﹣2＞0，即：F（x）min＞0，∴F′（x）＝e x﹣2mx﹣2，∴F′′（x）＝e x﹣2m，∵m＜0，∴F″（x）＞0，∴F′（x）单调递增，又F′（0）＜0，F′（1）＞0，则必然存在x0∈（0，1），使得F′（x0）＝0，∴F（x）在（﹣∞，x0）单调递减，（x0，+∞）单调递增，∴F（x）≥F（x0）＝e﹣mx02﹣2x0+k﹣2＞0，∵e﹣2mx0﹣2＝0，∴m＝，∴k＞（﹣1）e+x0+2，又m＜0，则x0∈（0，ln2），∴k＞（﹣1）e+x0+2，x0∈（0，ln2）恒成立，令m（x）＝（﹣1）e x+x+2，x∈（0，ln2），则m′（x）＝（x﹣1）e x+1，m″（x）＝xe x＞0，∴m′（x）在x∈（0，ln2）单调递增，又m′（0）＝＞0，∴m′（x）＞0，∴m（x）在x∈（0，ln2）单调递增，∴m（x）＜m（ln2）＝2ln2，∴k＞2ln2，又k为整数．∴最小整数k的值为：2．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，二次导数的应用，考查构造法以及转化思想的应用，难度比较大．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以x轴的非负半轴为极轴，原点O为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，若直线θ＝和θ＝（ρ∈R）分别与曲线C相交于A、B两点（A，B两点异于坐标原点）．（1）求曲线C的普通方程与A、B两点的极坐标；（2）求直线AB的极坐标方程及△ABO的面积．【分析】（1）曲线C和参数方程消去参数α能求出曲线C的普通方程，从而能求出曲线C的极坐标方程；将直线θ＝和θ＝代入圆的极坐标方程能求出A、B两点的极坐标．（2）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得A（，），B（﹣，），根据两点式方程得直线AB的方程为y＝x+1，由此能求出AB的极坐标方程及△ABO的面积．【解答】解：（1）曲线C和参数方程为，∴消去参数α得曲线C的普通方程为x2+y2﹣2y＝0，∴曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ．将直线θ＝和θ＝代入圆的极坐标方程得ρ1＝，ρ2＝1，∴A、B两点的极坐标分别为A（），B（1，）．（2）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得A（，），B（﹣，），根据两点式方程得直线AB的方程为y＝x+1，∴AB的极坐标方程为．∴直线AB恰好经过圆的圆心，故△ABO为直角三角形，且|OA|＝，|OB|＝1，∴S＝＝．△ABO【点评】本题考查曲线的普通方程、点的极坐标方程、直线的极坐标方程、三角形面积的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣a|+|x+|（a＞0）．（1）证明f（x）≥4；（2）若不等式f（x）﹣|x+|≥4x的解集为{x|x≤2}，求实数a的值．【分析】（1）根据绝对值不等式的性质证明即可；（2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集，根据对应关系得到关于a的方程，求出a的值即可．【解答】解：（1）证明，f（x）＝|x﹣a|+|x+|≥|x﹣a﹣x﹣|＝a+≥2＝4；（2）由f（x）﹣|x+|≥4x，可得|x﹣a|≥4x，（a＞0），当x≥a时，x﹣a≥4x，解得：x≤﹣，这与x≥a＞0矛盾，故不成立，当x＜a时，a﹣x≥4x，解得：x≤，又不等式的解集是{x|x≤2}，故＝2，解得：a＝10．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。
山东省潍坊市安丘青云学府2019-2020学年高三数学理下学期期末试卷含解析
山东省潍坊市安丘青云学府2019-2020学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（单位）.A． B． C． D．参考答案：A2. 在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限．【解答】解：∵复数==1+i，∴复数对应的点的坐标是（1，1）∴复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选A．3. 若一个四位数的各位数字相加和为10,则称该数为“完美四位数”,如数字“”.试问用数字组成的无重复数字且大于的“完美四位数”有( )个A. B. C. D.参考答案：D本题考查排列组合.由数字“”组成的满足题意的“完美四位数”有个;由数字“”组成的满足题意的“完美四位数”有个;由数字“”组成的满足题意的“完美四位数”有个;由数字“”组成的满足题意的“完美四位数”有个;由数字“”组成的满足题意的“完美四位数”有个;所以满足题意的“完美四位数”有个.选D.【备注】有序排列,无序组合.4. 函数是 ( )A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数参考答案：C略5. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BFB．三棱锥A﹣BEF的体积为定值C．EF∥平面ABCDD．面直线AE、BF所成的角为定值参考答案：D【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．【分析】在A中，由AC⊥BD，AC⊥BB1，得AC⊥平面BDD1B1，从而AC⊥BF；在B中，A到平面BEF的距离不变，△BEF的面积不变，从而三棱锥A﹣BEF的体积为定值；在C中，由EF∥BD，得EF∥平面ABCD；在D中，异面直线AE、BF所成的角不为定值．【解答】解：在A中，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=，∴AC⊥BD，AC⊥BB1，∵BD∩BB1=B，∴AC⊥平面BDD1B1，∵BF?平面BDD1B1，∴AC⊥BF，故A正确；在B中，∵AC⊥平面BDD1B1，∴A到平面BEF的距离不变，∵EF=，B到EF的距离为1，∴△BEF的面积不变，∴三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故B正确；在C中，∵EF∥BD，BD?平面ABCD，EF?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故C正确；在D中，异面直线AE、BF所成的角不为定值，由图知，当F与B1重合时，令上底面顶点为O，则此时两异面直线所成的角是∠A1AO，当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是OBC1，此二角不相等，故异面直线AE、BF所成的角不为定值．故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6. 以下命题：①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40．②线性回归直线方程恒过样本中心(，)，且至少过一个样本点；③在某项测量中，测量结果亭服从正态分布N(2，)(>0)，若在(-∞，1)内取值的概率为0．1，则在(2，3)内取值的概率为0．4；其中真命题的个数为A．0 B．1 C．2 D． 3参考答案：B7. 各项互不相等的有限正项数列,集合 ,集合,则集合中的元素至多有( )个.A．B．C．D．参考答案：A8. 已知a=21.2，b=-0.2，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（A）c<b<a （B）c<a<b C）b<a<c （D）b<c<a参考答案：A因为，所以，，所以，选A.9. 在等差数列中，为其前n 项和，若，则A. 60B. 75C. 90D. 105参考答案：B10. 已知向量的夹角为时取得最小值，当时，夹角的取值范围为 （ ）A. B. C. D.参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知数列中，数列的前项和为，当整数时，都成立，则数列的前n 项和为参考答案：略12.．已知是第二象限角，且______.参考答案：略13. 从某班5位老师中随机选两位老师值班,有女老师被选中的概率为,则在这5位老师中,女老师有_______人.参考答案：214. 已知函数，则__________．参考答案：－1【分析】由时，得到函数是周期为1的函数，可得，即可求解．【详解】由函数，可得当时，满足，所以函数是周期为1的函数，所以．【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，以及函数的周期性的应用，其中解答中得到函数的周期性，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15. 同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是 (结果要求写成既约分数）．参考答案：解析： 考虑对立事件，16. 在等比数列中，，，则_________.参考答案：【知识点】等比数列的性质.D3【答案解析】 解析：由等比数列的性质知，故.故答案为16. 【思路点拨】由等比数列的性质可知结果。
山东省潍坊市寿光圣都高级中学2019-2020学年高三数学文下学期期末试题含解析
山东省潍坊市寿光圣都高级中学2019-2020学年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 执行如图所示的程序框图，若输出S的值是，则a的值可以为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．2017参考答案：B【考点】程序框图．【专题】对应思想；试验法；算法和程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，根据输出的S值即可得出该程序中a的值．【解答】解：根据题意，得；S=2，k=0；S==﹣1，k=1；S==，k=2；S==2，k=3；…；∴S的值是以3为周期的函数，当输出S的值是时，a的值可以是2015．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，从而得出正确的结论，是基础题．2. 以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（）A．B．C．D．参考答案：A略3. 复数（是虚数单位）的虚部为( )A． B． C．D．参考答案：C4. 已知x，y满足条件，若z=mx+y取得最大值的最优解不唯一，则实数m 的值为（）A．1或﹣B．1或﹣2C．﹣1或﹣2D．﹣2或﹣参考答案：【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分mBC）．由z=mx+y得y=﹣mx+z，即直线的截距最大，z也最大．若m＞0，目标函数y=﹣mx+z的斜率k=﹣m＞0，要使z=mx+y取得最大值的最优解不唯一，则直线z=mx+y与直线x﹣y+1=0平行，此时m=﹣2，若m＜0，目标函数y=﹣mx+z的斜率k=﹣m＜0，要使z=y﹣mx取得最大值的最优解不唯一，则直线z=mx+y与直线x+y﹣2=0，平行，此时m=﹣1，综上m=﹣2或m=1，故选：B．5. 若函数为奇函数，则a的值为( )A．B．C．D．1参考答案：【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的定义和性质建立方差即可求出a的值．【解答】解：∵函数为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）==，∴（2x﹣1）（x+a）=（2x+1）（x﹣a），即2x2+（2a﹣1）x﹣a=2x2﹣（2a﹣1）x﹣a，∴2a﹣1=0，解得a=．故选：A．【点评】本题主要考查函数奇偶性的定义和性质的应用，利用函数奇偶性的定义建立方程是解决本题的关键．6. 已知两个集合，，则=A． B． C． D．参考答案：B略7. 建立从集合A=﹛1,2,3,4﹜到集合B=﹛5,6,7﹜的所有函数，从中随机抽取一个函数，则其值域是B的概率为（）A．B．C．D．参考答案：C8. 若集合A={x|x≥0}，且A∪B=B，则集合B可能是( )A．{1，2} B．{x|x≤1}C．{﹣1，0，1} D．R参考答案：D【考点】并集及其运算．【专题】计算题．【分析】根据题意，由交集的性质可得若A∪B=B，则A是B的子集，分析选项即可得答案．【解答】解：根据题意，若A∪B=B，则A是B的子集，分析选项可得：对于A、集合A不是集合B的子集，对于B、集合A不是集合B的子集，对于C、集合A不是集合B的子集，对于D、若B=R，有A?B，则A∪B=B成立，故选D．【点评】本题考查有集合的运算结果的特殊性得到集合的关系：A∩B=A?A?B；A∪B=A?B?A9. 函数y＝（3－x2）e x的单调递增区间是（）A．（－∞，0）B．（0，＋∞）C．（－∞，－3）和（1，＋∞） D．（－3，1）参考答案：D解析：y′＝－2xe x＋（3－x2）e x＝（－2x＋3－x2）e x＞0，∴2x－3＋x2＜0，∴x∈（－3，1）．10. 已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且，则公比q的值为（）A. 1B. 或C.D.参考答案：C【分析】由可得，故可求的值.【详解】因为，所以，故，因为正项等比数列，故，所以，故选C.【点睛】一般地，如果为等比数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2）公比时，则有，其中为常数且；（3）为等比数列（）且公比为.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 等比数列的前项和为，且成等差数列．若，则＝．参考答案：15略12. 在△ABC中，设AD为BC边上的高，且AD=BC，b，c分别表示角B，C所对的边长，则+的最大值是．参考答案：【考点】三角形中的几何计算．【专题】计算题；解三角形．【分析】利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积为bcsinA，由已知高AD=BC=a，利用底与高乘积的一半表示三角形ABC的面积，两者相等表示出sinA，然后再利用余弦定理表示出cosA，变形后，将表示出的sinA代入，得到2cosA+sinA，利用辅助角公式化简后，根据正弦函数的值域求出最大值．【解答】解：∵BC边上的高AD=BC=a，∴S△ABC=，∴sinA=，又cosA==，∴=2cosA+sinA（cosA+sinA）=sin（α+A）≤，（其中sinα，cosα=），∴的最大值．故答案为：【点评】本题考查了三角形的面积公式，余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．13. 如图，在平行四边形中，和分别在边和上，且，其中，若，则．参考答案：略14. 若是偶函数，则____________.参考答案：15. 某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）：学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取人，结果合唱社被抽出人，则这三个社团人数共有_______________.参考答案：150略16. △ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为，重心为G，若，则∠A= .参考答案：略2017. 某班共46人，从A，B，C，D，E五位候选人中选班长，全班每人只投一票，且每票只选一人．投票结束后（没人弃权）：若A得25票，B得票数占第二位，C、D得票同样多，得票最少的E只得4票，那么B得票的票数为．参考答案：7【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】根据条件先计算B，C，D三者得票总和，然后分别进行讨论即可．【解答】解：∵A得25票，E只得4票，∴B，C，D共得46﹣25﹣4=17（票），∵C、D得票同样多，要大于4票，∴若C，D是5票，则B是7票，若C，D是6票，则B是5票，不满足条件．，若C，D是7票，则B是3票，不满足条件．若C，D是8票，则B是1票，不满足条件．故满足条件的B是7票．故答案为：7三、解答题：本大题共5小题，共72分。
山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学(文科)试卷(含答案)
高三文科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本道题计算集合A的范围,结合集合交集运算性质,即可.【详解】,所以,故选D.【点睛】本道题考查了集合交集运算性质,难度较小.2.已知函数为奇函数，且当时，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本道题结合奇函数满足,计算结果,即可.【详解】,故选C.【点睛】本道题考查了奇函数的性质,难度较小.3.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本道题化简式子,计算出,结合,即可.【详解】,得到,所以,故选C.【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.4.双曲线：，当变化时，以下说法正确的是（）A. 焦点坐标不变B. 顶点坐标不变C. 渐近线不变D. 离心率不变【答案】C【解析】【分析】本道题结合双曲线的基本性质，即可。
【详解】当由正数变成复数,则焦点由x轴转入y轴，故A错误。
顶点坐标和离心率都会随改变而变，故B,D错误。
该双曲线渐近线方程为，不会随改变而改变，故选C。
【点睛】本道题考查了双曲线基本性质，可通过代入特殊值计算，即可。
难度中等。
5.若实数，满足，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合不等式，绘制可行域，平移目标函数，计算最值，即可。
【详解】结合不等式组，建立可行域，如图图中围成的封闭三角形即为可行域，将转化成从虚线处平移，要计算z的最大值，即可计算该直线截距最小值，当该直线平移到A(-1,-1)点时候，z最小，计算出z=1,故选B。
【点睛】本道题考查了线性规划计算最优解问题，难度中等。
6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）主视图左视图俯视图A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合三视图，还原直观图，计算体积，即可。
【详解】结合三视图，还原直观图，得到是一个四棱柱去掉了一个角，如图该几何体体积，故选C.【点睛】本道题考查了三视图还原直观图，难度较大。
2019年山东省潍坊市中学高三数学理上学期期末试题含解析
2019年山东省潍坊市中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数是（）A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数参考答案：A2. 已知奇函数y＝f(x)在区间(－∞，0]上的解析式为f(x)＝x2＋x，则切点横坐标为1的切线方程是()A．x＋y＋1＝0B．x＋y－1＝0 C．3x－y－1＝0 D．3x－y＋1＝0参考答案：B略3. 设函数在（1,2）内有零点，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：B略4. 某程序的框图如图所示，若输入的z＝i（其中i为虚数单位），则输出的S 值为A．－1B．1C．－iD．i参考答案：D【知识点】算法和程序框图【试题解析】n=1，否，s=i，n=2，否，s=i n=3，否，s=i n=4，否，s=i n=5，否，s=i n=6，是，则输出的值为。
故答案为：D5. 下图是函数在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（）A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变参考答案：A由图象知，，又，所以，所以函数为，当时，，解得，所以函数为所以要得到函数，则只要先向左平移单位，然后再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，选A.6. 若，，则，的位置关系是（）．A．异面直线 B．相交直线C．平行直线 D．相交直线或异面直线参考答案：D7. 函数y=a x-1+1 (a>0且a≠1)的图象一定经过点( )A.（0，1）B. （1，0）C. （1，2）D. （1， 1）参考答案：C略8. 若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为( )A．﹣6 B．2 C．3 D．4参考答案：C考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：画出约束条件不是的可行域，判断目标函数经过的点，求出最小值即可．解答：解：由约束条件画出可行域如图所示，则根据目标函数画出直线，由图形可知将直线l0平移至A点取得z的最小值，解方程组得，即A（1，1）代入可得z=3．故选：C．点评：本题考查线性规划的应用，正确画出已知条件是解题的关键，考查发现问题解决问题的能力．9. 某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是A.2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同B.支出最高值与支出最低值的比是6:1C.第三季度平均收入为50万元D.利润最高的月份是2月份参考答案：D10. 已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S-ABC的体积为()A．3 B．2 C. D．1参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知为锐角，则___________参考答案：【分析】先求出，再利用两角和的正弦公式展开，带值计算即可.【详解】解：为锐角，则为钝角，则，，故答案为：.【点睛】本题考查已知角的三角函数值求未知角的三角函数值，关键是要找到已知角和未知角之间的关系，将未知角用已知角表示出来，是基础题.12. (2013·山东)函数的定义域为________．参考答案：13. 设数列是等差数列,,, 则此数列前项和等于参考答案：18014. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=2AC=8，作△ABC外接圆O的切线CD，作BD⊥CD 于D，交圆O于点E，给出下列四个结论：①∠BCD=60°；②DE=2；③BC2=BD?BA；④CE∥AB；则其中正确的序号是．参考答案：①②③④【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；转化思想；推理和证明．【分析】利用直角△ABC的边角关系即可得出BC，利用弦切角定理可得∠BCD=∠A=60°．利用直角△BCD的边角关系即可得出CD，BD．再利用切割线定理可得CD2=DE?DB，即可得出DE．利用△ACB∽△CDB，可得BC2=BD?BA；证明∠BCE=∠ABC，可得CE∥AB【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=8，∴BC=AB?sin60°=4．[来源:学&科&网]∵CD是此圆的切线，∴∠BCD=∠A=60°，即①正确．在Rt△BCD中，CD=BC?cos60°=2，BD=BC?sin60°=6．由切割线定理可得CD2=DE?DB，∴12=6DE，解得DE=2，即②正确．∵∠BCD=∠A，∠D=∠ACB，∴△ACB∽△CDB，∴CB：DB=AB：CB，∴BC2=BD?BA，即③正确；④∵∠ECD=∠ABC=30°，∠BCD=60°，∴∠BCE=30°=∠ABC，∴CE∥AB，即④正确；故答案为：①②③④．【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、弦切角定理、切割线定理是解题的关键．15. 在展开式中含的项的系数参考答案：略16. 函数的零点为 .参考答案：117. 一个底面半径为1，高为6的圆柱被一个平面截下一部分，如图12－18，截下部分的母线最大长度为2，最小长度为1，则截下部分的体积是________．图12－18参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
潍坊市2019届高三上学期期末数学文科试卷及答案解析
潍坊市2019届高三上学期期末数学文科试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∩B＝（）A．[﹣2，﹣1] B．[﹣1，2] C．[﹣1，1] D．[1，2]2．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2﹣，则f（﹣2）＝（）A．B．C．﹣D．﹣3．若cos（）＝﹣，则cos2α＝（）A．﹣B．﹣C．D．4．双曲线C：＝λ（λ≠0），当λ变化时，以下说法正确的是（）A．焦点坐标不变B．顶点坐标不变C．渐近线不变D．离心率不变5．若实数x，y满足，则z＝x﹣2y的最大值是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣46．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．16 C．D．7．若将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，则平移后所得图象对应函数的单调增区间是（）A．[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）B．[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）C．[+kπ，+kπ]（k∈Z）D．[+kπ，+kπ]（k∈Z）8．四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年被美国数学家阿佩尔与哈肯证明称为四色定理其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色．”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字”如图网格纸上小正方形的边长为1粗实线围成的各区域上分别标有数字1，2，3，4的四色地图符合四色定理若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为1的区域的概率为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）＝，则不等式|f（x）|≥1的解集为（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，0]∪[2，+∞）C．[0，]∪[2，+∞）D．（﹣∞，]∪[2，+∞）10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，P为抛物线上一点，A（1，1），当△PAF周长最小时，PF所在直线的斜率为（）A．﹣B．﹣C．D．11．由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验标准（GB/T19522﹣2010）》于2011年7月1日正式实施．车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阀值见表1．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图1，且图1表示的函数模型f（x）＝，则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车（时间以整小时计算）？（参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40）（）驾驶行为类别阀值（mg/100mL）饮酒后驾车≥20，＜80醉酒后驾车≥80表1 车辆驾驶人员血液酒精含量阀值A．5 B．6 C．7 D．812．已知偶函数f（x）的定义域为R，且满足f（x+2）＝f（﹣x），当x∈[0，1]时f（x）＝x，g（x）＝4x ﹣2x﹣2．①方程|g（x）|＝1有2个不等实根；②方程g（f（x）＝0只有1个实根；③当x∈（﹣∞，2]时，方程f（g（x）＝0有7个不等实根；④存在x0∈[0，1]使g（﹣x0）＝﹣g（x0）正确的序号是（）A．①②B．①③C．①④D．②④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．设向量＝（3，2），＝（1，﹣1），若（+）⊥，则实数λ＝．14．若直线3x+4y+12＝0与两坐标轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的内切圆的标准方程为．15．已知圆台的上、下底面都是球O的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，则球O的表面积为．16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为ab，c，且a2＝b2+c2﹣bc，△AbC的面积为S，a＝3，则S+6cos B cos C的最大值为三、解答題：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第2223题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且2，a n，S n成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b n＝log2a1+log2a2+…+log2a n，求数列{}的前n项和T n．18．（12分）如图，四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，CD＝2AD，EC⊥底面ABCD．（1）求证：平面ADE⊥平面ACE；（2）若AD＝CE＝2，求三棱锥C﹣ADE的高．19．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C的长轴长与焦距之比为：1，过点F2（3，0）且斜率不为0的直线l与C交于A，B两点．（1）当l的斜率为1时，求△F1AB的面积．（2）若在y轴上存在一点D（0，﹣），使△ABD是以D为顶点的等腰三角形，求直线l的方程．20．（12分）某钢铁加工厂新生产一批钢管，为了了解这批产品的质量状况，检验员随机抽取了100件钢管作为样本进行检测，将它们的内径尺寸作为质量指标值，由检测结果得如图频率分布表和频率分布直方图．分组频数频率25.05～25.15 2 0.0225.15～25.2525.25～25.35 1825.35～25.4525.45～25.5525.55～25.65 10 0.125.65～25.75 3 0.03合计100 1（1）求a，b；（2）根据质量标准钢管内径尺寸大于等于25.75或小于25.15为不合格，钢管尺寸在[25.15，25.35）或[25.45，25.75）为合格等级，钢管尺寸在[25.35，25.45）为优秀等级钢管的检测费用0.5元/根．（i）若从[25.05，25.15）和[25.65，2575）的5件样品中随机抽取2根，求至少有一根钢管为合格的概率；（ii）若这批钢管共有2000根，把样本的频率作为这批钢管的概率，有两种销售方案：①对该批剩余钢管不再进行检测，所有钢管均以45元/根售出；②对该批剩余钢管一一进行检测，不合格产品不销售，合格等级的钢管50元/根，优等钢管60元/根请你为该企业选择最好的销售方案，并说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝a sin x（a∈R），g（x）＝e x．（1）若0＜a≤1，证明函数G（x）＝f（﹣x）+lnx在（0，1）上单调递增；（2）设F（x）＝（a≠0），对任意x∈[0，]，F（x）≥kx恒成立求实数k的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以x轴的非负半轴为极轴，原点O为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，若直线θ＝和θ＝（ρ∈R）分别与曲线C相交于A、B两点（A，B两点异于坐标原点）．（1）求曲线C的普通方程与A、B两点的极坐标；（2）求直线AB的极坐标方程及△ABO的面积．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设函数f（x）＝|x﹣a|+|x+|（a＞0）．（1）证明f（x）≥4；（2）若不等式f（x）﹣|x+|≥4x的解集为{x|x≤2}，求实数a的值．2018-2019学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∩B＝（）A．[﹣2，﹣1] B．[﹣1，2] C．[﹣1，1] D．[1，2]【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≤﹣1或x≥3，即A＝（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B＝[﹣2，2]，∴A∩B＝[﹣2，﹣1]，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2﹣，则f（﹣2）＝（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（﹣2）的值，结合函数的奇偶性可得f（2）＝﹣f（﹣2），即可得答案．【解答】解：根据题意，当x＞0时，f（x）＝x2﹣，则f（﹣2）＝4﹣＝，又由函数f（x）为奇函数，则f（2）＝﹣f（﹣2）＝﹣；故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意利用奇4﹣函数的性质进行分析．3．若cos（）＝﹣，则cos2α＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】由题意利用诱导公式求得sinα的值，再利用二倍角公式求得要求式子的值．【解答】解：∵cos（）＝﹣sinα＝﹣，∴sinα＝，则cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×＝，故选：C．【点评】本题主要考查利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题．4．双曲线C：＝λ（λ≠0），当λ变化时，以下说法正确的是（）A．焦点坐标不变B．顶点坐标不变C．渐近线不变D．离心率不变【分析】判断双曲线的焦点坐标，顶点坐标以及离心率，再求解渐近线方程，即可得到结果．【解答】解：当λ＞0时，双曲线的焦点坐标以及顶点坐标在x轴上，离心率也随实轴的变而变化，只有渐近线方程为：y＝±x不变．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5．若实数x，y满足，则z＝x﹣2y的最大值是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣4【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出实数x，y满足对应的平面区域如图：由z＝x﹣2y得y＝x﹣z，平移直线y＝x﹣z，由图象可知当直线y＝x﹣z，经过点A时，直线y＝x﹣z，的截距最小，此时z最大，由，解得A（﹣1，﹣1），z＝1．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．16 C．D．【分析】根据三视图知该几何体是长方体去掉一个三棱锥，结合题意画出图形，由图中数据计算该几何体的体积．【解答】解：根据三视图知该几何体是长方体去掉一个三棱锥，如图所示；则该几何体的体积为4×2×2﹣××2×2×4＝．故选：C．【点评】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题．7．若将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，则平移后所得图象对应函数的单调增区间是（）A．[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）B．[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）C．[+kπ，+kπ]（k∈Z）D．[+kπ，+kπ]（k∈Z）【分析】根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，求得平移后所得图象对应函数的单调增区间．【解答】解：将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，可得y＝sin（2x﹣）的图象．令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得平移后所得图象对应函数的单调增区间为[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z），故选：A．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．8．四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年被美国数学家阿佩尔与哈肯证明称为四色定理其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色．”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字”如图网格纸上小正方形的边长为1粗实线围成的各区域上分别标有数字1，2，3，4的四色地图符合四色定理若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为1的区域的概率为（）A．B．C．D．【分析】由网格纸上一共有5×6＝30个小方格，其中标记为1的小方格有10个，能求出所求概率．【解答】解：网格纸上一共有5×6＝30个小方格，其中标记为1的小方格有10个，∴网格纸上小正方形的边长为1粗实线围成的各区域上分别标有数字1，2，3，4的四色地图符合四色定理，若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为1的区域的概率为p＝．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．已知函数f（x）＝，则不等式|f（x）|≥1的解集为（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，0]∪[2，+∞）C．[0，]∪[2，+∞）D．（﹣∞，]∪[2，+∞）【分析】去掉绝对值，解各个区间上的x的范围，取并集即可．【解答】解：|f（x）|≥1，即f（x）≥1或f（x）≤﹣1，由≥1，解得：x≤0，由log2x≥1，解得：x≥2，由≤﹣1，无解，由log2x≤﹣1，解得：0＜x≤，故不等式的解集是（﹣∞，]∪[2，+∞），故选：D．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，考查指数函数以及对数函数的性质，是一道常规题．10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，P为抛物线上一点，A（1，1），当△PAF周长最小时，PF所在直线的斜率为（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】求△PAF周长的最小值，即求|PA|+|PF|的最小值．设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|．因此问题转化为求|PA|+|PD|的最小值，根据平面几何知识，当D、P、A三点共线时|PA|+|PD|最小，由此即可求出P的坐标，然后求解PF所在直线的斜率．【解答】解：求△PAF周长的最小值，即求|PA|+|PF|的最小值，设点P在准线上的射影为D，根据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|因此，|PA|+|PF|的最小值，即|PA|+|PD|的最小值根据平面几何知识，可得当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，因此的最小值为x A﹣（﹣1）＝1+1＝2，∵|AF|＝1，此时P（，1），F（1，0）PF所在直线的斜率为：＝﹣故选：A．【点评】考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，是解题的关键．11．由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验标准（GB/T19522﹣2010）》于2011年7月1日正式实施．车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阀值见表1．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图1，且图1表示的函数模型f（x）＝，则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车（时间以整小时计算）？（参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40）（）驾驶行为类别阀值（mg/100mL）饮酒后驾车≥20，＜80醉酒后驾车≥80表1 车辆驾驶人员血液酒精含量阀值A．5 B．6 C．7 D．8【分析】由图知车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时x＞2；令90•e﹣0.5x+14＜20，解得x的取值范围，结合题意求得结果．【解答】解：由图知0≤x＜2时，函数f（x）取得最大值，此时f（x）＝40sin（x）+13，x≥2时，函数f（x）＝90•e﹣0.5x+14；当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时x＞2；由90•e﹣0.5x+14＜20，得e﹣0.5x＜，两边取自然对数，得lne﹣0.5x＜ln，即﹣0.5x＜﹣ln15，解得x＞≈＝5.42，所以喝啤酒后需6个小时后才可以合法驾车．注：如果根据图象可猜出6个小时．故选：B．【点评】本题考查了散点图的应用问题，也考查了分段函数与不等式的应用问题，是中档题．12．已知偶函数f（x）的定义域为R，且满足f（x+2）＝f（﹣x），当x∈[0，1]时f（x）＝x，g（x）＝4x ﹣2x﹣2．①方程|g（x）|＝1有2个不等实根；②方程g（f（x）＝0只有1个实根；③当x∈（﹣∞，2]时，方程f（g（x）＝0有7个不等实根；④存在x0∈[0，1]使g（﹣x0）＝﹣g（x0）正确的序号是（）A．①②B．①③C．①④D．②④【分析】由g（x）＝1，g（x）＝﹣1解方程可判断①；设t＝f（x），g（t）＝0，结合f（x）的周期性可判断②；设m＝g（x），则f（m）＝0，可得m为偶数，再由g（x）的值域，可判断③；由g（﹣x0）＝﹣g（x0），结合二次函数和指数函数的单调性，可判断④．【解答】解：对于①，g（x）＝4x﹣2x﹣2，由g（x）＝1可得2x＝或2x＝（舍去），即x＝log2；由g（x）＝﹣1可得2x＝或2x＝（舍去），故①正确；对于②，方程g（f（x）＝0，设t＝f（x），即g（t）＝0，解得t＝1，即f（x）＝1，由f（x+2）＝f（﹣x）＝f（x），可得f（x）为周期为2的函数，f（x）＝1的根为x＝2k﹣1，k∈Z，故②错误；对于③，当x∈（﹣∞，2]时，方程f（g（x）＝0，可设m＝g（x），则f（m）＝0，可得m＝2k，k∈Z，由g（x）在x≤2的值域为[﹣，10]，可得m＝﹣2，0，2，4，6，8，10，有7个不等实根，故③正确；对于④由g（﹣x0）＝﹣g（x0），即4x0﹣2x0﹣2+4﹣x0﹣2﹣x0﹣2＝0，可设t＝2x0+2﹣x0，则t2﹣t﹣4＝0，解得t＝+，由2x0+2﹣x0＝+，即4x0﹣（+）2x0+1＝0，由△＝（+）2﹣4＝+，可得2x0＝＞2，即x0＞1，故④错误．故选：B．【点评】本题考查函数的性质和运用，主要是周期性和值域的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．设向量＝（3，2），＝（1，﹣1），若（+）⊥，则实数λ＝﹣13．【分析】可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出λ的值．【解答】解：；∵；∴；解得λ＝﹣13．故答案为：﹣13．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量加法、数乘和数量积的坐标运算．14．若直线3x+4y+12＝0与两坐标轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的内切圆的标准方程为（x+1）2+（y+1）2＝1．【分析】令x＝0、y＝0代入3x+4y﹣12＝0分别求出A、B的坐标，设△AOB的内切圆的圆心（a，b），再由相切列出方程求出a、b的值，代入圆的标准方程【解答】解：在直线3x+4y+12＝0中，令x＝0代入3x+4y+12＝0得，y＝﹣3，则A（0，﹣3），令y＝0代入3x+4y+12＝0得，x＝﹣4，则B（﹣4，0）设△AOB的内切圆的圆心（a，b），因为内切圆与x、y轴都相切，所以a＝b＝﹣r，又内切圆与直线3x+4y+12＝0相切，所以a＝﹣r＝﹣，化简解得，a＝﹣1或a＝﹣3 （舍去），∴圆心为（﹣1，﹣1），半径为1，所以△AOB的内切圆的方程为：（x，+1）2+（y+1）2＝1，故答案为：（x+1）2+（y+1）2＝1．【点评】本题考查了圆的方程求法：待定系数法，以及直线与圆相切的条件，属于中档题15．已知圆台的上、下底面都是球O的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，则球O的表面积为80π．【分析】在轴截面等腰梯形中计算出sin A与BD，然后利用正弦定理计算出△ABD的外接圆半径，即为球O 的半径，再利用球体的表面积公式可得出球O的表面积．【解答】解：如下图所示，设圆台的一个轴截面为等腰梯形ABCD，则AB＝8，CD＝4，过点C、D分别作CE⊥AB、DF⊥AB，垂足分别为点E、F，则，且CE＝DF＝6，所以，，在Rt△ADF中，，，设球O的半径为R，则2R为△ABD外接圆的直径，由正弦定理可得，，因此，球O的表面积为．故答案为：80π．【点评】本题考查球体的表面积的计算，解决本题的关键在于计算球体的半径长，考查计算能力与转化能力，属于中等题．16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为ab，c，且a2＝b2+c2﹣bc，△AbC的面积为S，a＝3，则S+6cos B cos C 的最大值为6【分析】由余弦定理化简已知等式解得cos A，利用同角三角函数基本关系式可求sin A，利用三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cos B cos C＝sin B sin C﹣，根据正弦定理可求cos B cos C＝﹣，由余弦定理，基本不等式可求bc的最大值，根据三角形的面积公式化简所求即可计算得解．【解答】解：∵a2＝b2+c2﹣bc，可得：b2+c2﹣a2＝bc，∴由余弦定理可得：2bc cos A＝bc，解得：cos A＝，可得：sin A＝＝，∵cos A＝﹣cos（B+C）＝sin B sin C﹣cos B cos C＝，∴可得：cos B cos C＝sin B sin C﹣，∵a＝3，由＝4，可得：sin B＝，sin C＝，∴cos B cos C＝﹣，∵由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得9＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc（2﹣），当且仅当b＝c 时等号成立，∴bc≤＝8+2，当且仅当b＝c时等号成立，∴S+6cos B cos C＝bc sin A+6（﹣）＝bc﹣≤×（8+2）﹣＝6，当且仅当b＝c时等号成立．可得S+6cos B cos C的最大值为6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，正弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三、解答題：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第2223题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且2，a n，S n成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b n＝log2a1+log2a2+…+log2a n，求数列{}的前n项和T n．【分析】（1）由题意可得2a n＝2+S n，运用数列的递推式：当n＝1时，a1＝S1，n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求通项；（2）求得log2a n＝log22n＝n，b n＝n（n+1），＝＝2（﹣），由数列的裂项相消求和，化简整理，可得所求和．【解答】解：（1）2，a n，S n成等差数列，可得2a n＝2+S n，当n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣2，解得a1＝2，n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2﹣2a n﹣1+2，化为a n＝2a n﹣1，可得数列{a n}为首项为2，公比为2的等比数列，即有a n＝2n，n∈n*；（2）log2a n＝log22n＝n，b n＝log2a1+log2a2+…+log2a n＝1+2+…+n＝n（n+1），＝＝2（﹣），即有前n项和T n＝2（1﹣+﹣+…+﹣）＝2（1﹣）＝．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等比数列的定义和通项公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18．（12分）如图，四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，CD＝2AD，EC⊥底面ABCD．（1）求证：平面ADE⊥平面ACE；（2）若AD＝CE＝2，求三棱锥C﹣ADE的高．【分析】（1）推导出AD⊥AC，EC⊥AD，从而AD⊥平面ACE，由此能证明平面ADE⊥平面ACE．（2）设三棱锥C﹣ADE的高为h．由V D﹣ACE＝V C﹣ADE，能求出三棱锥C﹣ADE的高．【解答】证明：（1）∵在平行四边形ABCD中，∠ADC＝60°，CD＝2AD，由余弦定理得AC＝，∴AD2+AC2＝CD2，∴∠DAC＝90°，∴AD⊥AC，∵EC⊥底面ABCD，∴EC⊥AD，∵EC∩AC＝C，∴AD⊥平面ACE，∴平面ADE⊥平面ACE．解：（2）∵AD＝CE＝2，∴CD＝4，∵AD⊥AC，∴AC＝2，∴AE＝4，设三棱锥C﹣ADE的高为h．由V D﹣ACE＝V C﹣ADE，得，解得h＝，∴三棱锥C﹣ADE的高为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的高的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C的长轴长与焦距之比为：1，过点F2（3，0）且斜率不为0的直线l与C交于A，B两点．（1）当l的斜率为1时，求△F1AB的面积．（2）若在y轴上存在一点D（0，﹣），使△ABD是以D为顶点的等腰三角形，求直线l的方程．【分析】（1）由已知条件得出c＝3，结合离心率可求出a的值，再计算出b的值，可得出椭圆的方程，然后将直线l的方程与椭圆的方程联立，求出交点坐标，再利用三角形的面积公式可求出△F1AB的面积；（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣3），设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线l的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出线段AB的中点H的坐标，然后将问题转化为DH⊥AB，由这两条直线的斜率之积为﹣1求出k的值．【解答】解：（1）依题意，∵，且c＝3，∴，b＝3，所以，椭圆C的方程为，设A（x1，y1）、B（x2，y2），当k＝1时，直线l：y＝x﹣3，将直线与椭圆方程联立得，消去x得，y2+2y﹣3＝0，解得y1＝﹣3，y2＝1，则|y1﹣y2|＝4，所以，；（2）设直线l的斜率为k，由题意知k≠0，由，消去y得，（2k2+1）x2﹣12k2x+18（k2﹣1）＝0，△＞0恒成立，由韦达定理得，设线段AB的中点为H（x0，y0），则，∴，若△ABD是以D为顶点的等腰三角形，则k DH•k AB＝﹣1，得，整理得，故直线l的方程为．【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，解决本题的关键在于将等腰三角形转化为三线合一，考查计算能力与转化能力，属于中等题．20．（12分）某钢铁加工厂新生产一批钢管，为了了解这批产品的质量状况，检验员随机抽取了100件钢管作为样本进行检测，将它们的内径尺寸作为质量指标值，由检测结果得如图频率分布表和频率分布直方图．分组频数频率25.05～25.15 2 0.0225.15～25.2525.25～25.35 1825.35～25.4525.45～25.5525.55～25.65 10 0.125.65～25.75 3 0.03合计100 1（1）求a，b；（2）根据质量标准钢管内径尺寸大于等于25.75或小于25.15为不合格，钢管尺寸在[25.15，25.35）或[25.45，25.75）为合格等级，钢管尺寸在[25.35，25.45）为优秀等级钢管的检测费用0.5元/根．（i）若从[25.05，25.15）和[25.65，2575）的5件样品中随机抽取2根，求至少有一根钢管为合格的概率；（ii）若这批钢管共有2000根，把样本的频率作为这批钢管的概率，有两种销售方案：①对该批剩余钢管不再进行检测，所有钢管均以45元/根售出；②对该批剩余钢管一一进行检测，不合格产品不销售，合格等级的钢管50元/根，优等钢管60元/根请你为该企业选择最好的销售方案，并说明理由．【分析】（1）由频率分布直方图先求出b，由此列方程能求出a．（2）（i）记内径尺寸在（25.05，25.15）的钢管为a1，a2，内径尺寸在（25.65，25.75）的钢管为b1，b2，b3，从[25.05，25.15）和[25.65，2575）的5件样品中随机抽取2根，利用列举法能求出至少有一根钢管为合格的概率．（ii）由题意，不合格钢管的概率为0.02，合格钢管的概率为0.68，优秀钢管的概率为0.3，不合格钢管40根，合格钢管1360根，优秀等级钢管600根，分别求出两种方案和利润，由此能求出结果．【解答】解：（1）由题意知b＝＝1.8，∴（a+2.3+1.8+1.4+1+0.3+0.2）×0.1＝1，解得a＝3．（2）（i）记内径尺寸在（25.05，25.15）的钢管为a1，a2，内径尺寸在（25.65，25.75）的钢管为b1，b2，b3，从[25.05，25.15）和[25.65，2575）的5件样品中随机抽取2根，基本事件总数n＝＝10，分别为：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），至少有一根钢管为合格包含的基本事件有9种情况，分别为：（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），∴至少有一根钢管为合格的概率p＝．（ii）由题意，不合格钢管的概率为0.02，合格钢管的概率为0.68，优秀钢管的概率为0.3，不合格钢管40根，合格钢管1360根，优秀等级钢管600根，若依第①种方案，则：2000×45﹣0.5×100＝89950元；若依第②种方案，则：1360×50+600×60﹣0.5×2000＝103000元．103000＞89950，故选第②种方案．【点评】本题考查频率、概率的求法及应用，考查频率分布表、频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝a sin x（a∈R），g（x）＝e x．（1）若0＜a≤1，证明函数G（x）＝f（﹣x）+lnx在（0，1）上单调递增；（2）设F（x）＝（a≠0），对任意x∈[0，]，F（x）≥kx恒成立求实数k的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，结合a的范围，得出函数的单调性即可；（2）由对任意x∈[0，]，F（x）≥kx恒成立，设h（x）＝e x sin x﹣kx，求出函数的导数，根据函数的单调性求出k的范围即可．【解答】解：（1）G（x）＝﹣a sin x+lnx，则G′（x）＝﹣a cos x，由于x∈（0，1），故＞1，又a∈[0，1]，cos x∈[﹣1，1]，故a cos x≤1，故﹣a cos x＞0，即G′（x）＞0在（0，1）上恒成立，故G（x）在（0，1）递增；（2）F（x）＝e x sin x，由对任意x∈[0，]，F（x）≥kx恒成立，设h（x）＝e x sin x﹣kx，则h′（x）＝e x sin x+e x cos x﹣k，再设m（x）＝e x sin x+e x cos x﹣k，则m′（x）＝2e x cos x≥0，因此m（x）在[0，]递增，故m（x）≥m（0）＝1﹣k，①当k≤1时，m（x）≥0即h′（x）≥0，h（x）在[0，]递增，故h（x）≥h（0）＝0，即k≤1适合题意，②当k＞1时，m（0）＝1﹣k＜0，m（）＝﹣k，若﹣k＜0，则取x0＝，x∈（0，x0）时，m（x）＜0，若﹣k≥0，则在（0，]上m（x）存在唯一零点，记为x0，当x∈（0，x0）时，m（x）＜0，总之，存在x0∈（0，]使x∈（0，x0）时m（x）＜0，即h′（x）＜0，故h（x）递减，h（x）＜h（0）＝0，故k＞1时，存在（0，x0）使h（x）＜0，不合题意，综上，k≤1．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以x轴的非负半轴为极轴，原点O为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，若直线θ＝和θ＝（ρ∈R）分别与曲线C相交于A、B两点（A，B两点异于坐标原点）．（1）求曲线C的普通方程与A、B两点的极坐标；（2）求直线AB的极坐标方程及△ABO的面积．【分析】（1）曲线C和参数方程消去参数α能求出曲线C的普通方程，从而能求出曲线C的极坐标方程；将直线θ＝和θ＝代入圆的极坐标方程能求出A、B两点的极坐标．（2）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得A（，），B（﹣，），根据两点式方程得直线AB的方程为y ＝x+1，由此能求出AB的极坐标方程及△ABO的面积．【解答】解：（1）曲线C和参数方程为，∴消去参数α得曲线C的普通方程为x2+y2﹣2y＝0，∴曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ．将直线θ＝和θ＝代入圆的极坐标方程得ρ1＝，ρ2＝1，∴A、B两点的极坐标分别为A（），B（1，）．（2）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得A（，），B（﹣，），根据两点式方程得直线AB的方程为y＝x+1，∴AB的极坐标方程为．∴直线AB恰好经过圆的圆心，故△ABO为直角三角形，且|OA|＝，|OB|＝1，∴S△ABO＝＝．【点评】本题考查曲线的普通方程、点的极坐标方程、直线的极坐标方程、三角形面积的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设函数f（x）＝|x﹣a|+|x+|（a＞0）．（1）证明f（x）≥4；（2）若不等式f（x）﹣|x+|≥4x的解集为{x|x≤2}，求实数a的值．【分析】（1）根据绝对值不等式的性质证明即可；（2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集，根据对应关系得到关于a的方程，求出a的值即可．【解答】解：（1）证明，f（x）＝|x﹣a|+|x+|≥|x﹣a﹣x﹣|＝a+≥2＝4；（2）由f（x）﹣|x+|≥4x，可得|x﹣a|≥4x，（a＞0），当x≥a时，x﹣a≥4x，解得：x≤﹣，这与x≥a＞0矛盾，故不成立，当x＜a时，a﹣x≥4x，解得：x≤，又不等式的解集是{x|x≤2}，故＝2，解得：a＝10．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。
2019-2020学年山东省潍坊市浮烟山中学高三数学理期末试题含解析
2019-2020学年山东省潍坊市浮烟山中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设是方程的两个实根，则的最小值是A、B、C、D、不存在参考答案：C略2. 若△ABC的内角A、B、C满足A．B．C．D．参考答案：B根据正弦定理知，不妨设，则，所以，选B.3. 在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，复旦大学1名，并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同推荐方法的种数是(A)20 (B)22 (C)24 (D)36参考答案：C4. 下列函数在上为减函数的是A． B． C． D．参考答案：D5. 已知实数x，y满足不等式组,则的取值范围是（）A.（-1，-2]B.C.D.参考答案：D设k=，则k的几何意义为区域内的点（x，y）到定点D（-2，-1）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图，由图象可知AD的斜率最大，∵O，B，D，三点共线，∴OD的斜率最小，即最小值为k=，由，解得，即A（，），则AD的斜率，故，故选：D6. 已知等边△ABC内接于圆：x2+ y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是（）A. B. 1 C. D. 2参考答案：D【分析】如图所示建立直角坐标系，设，则，计算得到答案.【详解】如图所示建立直角坐标系，则，，，设，则.当，即时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.7.如图，已知平面平面，、是平面与平面的交线上的两个定点，，且，，，，，在平面上有一个动点，使得，则的面积的最大值是（）A． B． C． D．参考答案：答案：C8. 已知等比数列的公比为正数，且，，则A. B. C.D.参考答案：9. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为( )A． B.C. D.参考答案：A略10. 若，当，时，，若在区间，内有两个零点，则实数的取值范围是（）A.B.C. D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若，则实数的取值范围是。