2007年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学(文科)试卷
2007年福建省高考数学试卷(理科)及解析
2007年福建省高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数等于（）A．B．﹣ C．i D．﹣i2．（5分）数列{a n}的前n项和为s n，若，则s5等于（）A．1 B．C．D．3．（5分）已知集合A={x|x＜a}，B={x|1＜x＜2}，且A∪（∁R B）=R，则实数a 的取值范围是（）A．a≤2 B．a＜1 C．a≥2 D．a＞24．（5分）对于向量、、和实数λ，下列命题中真命题是（）A．若•=0，则=0或=0 B．若λ=，则λ=0或=C．若2=2，则=或=﹣D．若•=•，则=5．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数的图象（）A．关于直线x=对称B．关于点（，0）对称C．关于直线x=﹣对称D．关于点（，0）对称6．（5分）以双曲线﹣=1的右焦点为圆心，与该双曲线渐近线相切的圆的方程是（）A．x2+y2﹣10x+9=0 B．x2+y2﹣10x+16=0C．x2+y2+10x+16=0 D．x2+y2+20x+9=07．（5分）已知f（x）为R上的减函数，则满足f（||）＜f（1）的实数x的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（0，1） C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）8．（5分）已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂α，⇒m∥n C．m⊥α，m⊥n⇒n∥α D．n∥m，n⊥α⇒m⊥α9．（5分）把1+（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n展开成关于x的多项式，其各项系数和为a n，则等于（）A．B．C．1 D．210．（5分）顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=1，AA′=，则A、C两点间的球面距离为（）A．B．C．D．11．（5分）已知对任意x∈R，恒有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且当x ＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则当x＜0时有（）A．f′（x）＞0，g′（x）＞0 B．f′（x）＞0，g′（x）＜0 C．f′（x）＜0，g′（x）＞0 D．f′（x）＜0，g′（x）＜012．（5分）如图，三行三列的方阵中有9个数a ij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）已知实数x、y满足，则z=2x﹣y的取值范围是．14．（4分）已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为．15．（4分）两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的数学期望Eξ=．16．（4分）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等、如果集合A中元素之间的一个关系“﹣”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意a∈A，都有a﹣a；（2）对称性：对于a，b∈A，若a﹣b，则有b﹣a；（3）对称性：对于a，b，c∈A，若a﹣b，b﹣c，则有a﹣c、则称“﹣”是集合A的一个等价关系、例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）、请你再列出两个等价关系：．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）在△ABC中，tanA=，tanB=．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若AB边的长为，求BC边的长．18．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．（1）求证：AB1⊥面A1BD；（2）求二面角A﹣A1D﹣B的大小；（3）求点C到平面A1BD的距离．19．（12分）某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交a元（1≤a≤3）的管理费，预计当每件商品的售价为x元（8≤x≤9）时，一年的销售量为（10﹣x）2万件．（1）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L（x）；（2）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L 的最大值M（a）．20．（12分）已知点F（1，0），直线l：x=﹣1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线l于点M，已知，，求λ1+λ2的值．21．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=1+，S3=9+3．（1）求数列{a n}的通项a n与前n项和为S n；（2）设b n=（n∈N+），求证：数列{b n}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．22．（14分）已知函数f（x）=e x﹣kx，（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；（2）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）设函数F（x）=f（x）+f（﹣x），求证：F（1）F（2）…F（n）＞（n∈N*）．2007年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2007•福建）复数等于（）A．B．﹣ C．i D．﹣i【分析】直接化简分母，然后分子、分母同乘分母的共轭复数并化简．【解答】解：=，故选D2．（5分）（2007•福建）数列{a n}的前n项和为s n，若，则s5等于（）A．1 B．C．D．【分析】根据通项公式的特点，拆成的形式求s5．【解答】解：∵=，∴S5=a1+a2+a3+a4+a5=，故选B3．（5分）（2007•福建）已知集合A={x|x＜a}，B={x|1＜x＜2}，且A∪（∁R B）=R，则实数a的取值范围是（）A．a≤2 B．a＜1 C．a≥2 D．a＞2【分析】由题意知集合A={x|x＜a}，B={x|1＜x＜2}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵集合A={x|x＜a}，B={x|1＜x＜2}，∴∁R B={x|x≤1或x≥2}，因为A∪∁R B=R，所以a≥2，故选C．4．（5分）（2007•福建）对于向量、、和实数λ，下列命题中真命题是（）A．若•=0，则=0或=0 B．若λ=，则λ=0或=C．若2=2，则=或=﹣D．若•=•，则=【分析】本题是对几个常见的基本概念的考查，第一个是数量积为零，我们知道向量垂直时也有数量积为零，第二个考的是数乘运算，当一个实数和一个向量的积是零时，有两种情况，一是实数为零，一个是向量是零向量，本选项正确．【解答】解：⊥时也有•=0，A不正确；B正确；设，，此时2=2，但=或=﹣不成立，C错误；∵•=•得不到=，如为零向量或与、垂直时，D错误；故选B．5．（5分）（2007•福建）已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数的图象（）A．关于直线x=对称B．关于点（，0）对称C．关于直线x=﹣对称D．关于点（，0）对称【分析】由题意可得：T==π，可求得ω=2，于是f（x）=sin（2x+），对A、B、C、D逐个代入验证即可．【解答】解：∵T==π，∴ω=2，于是f（x）=sin（2x+），∵f（x）在对称轴上取到最值，∴f（）=sinπ≠±1，故A不对；f（﹣）=sin0≠±1，故C不对；又∵f（x）=sin（2x+）的对称中心的横坐标由2x+=kπ得：x=﹣，当k=1时，x=，∴（，0）为其一个对称中心．故选B．6．（5分）（2007•福建）以双曲线﹣=1的右焦点为圆心，与该双曲线渐近线相切的圆的方程是（）A．x2+y2﹣10x+9=0 B．x2+y2﹣10x+16=0C．x2+y2+10x+16=0 D．x2+y2+20x+9=0【分析】求出双曲线的右焦点得到圆心，在求出圆心到其渐近线的距离得到圆的半径，从而得到圆的方程．【解答】解：右焦点即圆心为（5，0），一渐近线方程为，即4x﹣3y=0，，圆方程为（x﹣5）2+y2=16，即x2+y2﹣10x+9=0，故选A．7．（5分）（2007•福建）已知f（x）为R上的减函数，则满足f（||）＜f（1）的实数x的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（0，1） C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【分析】由函数的单调性可得||与1的大小，转化为解绝对值不等式即可．【解答】解：由已知得解得﹣1＜x＜0或0＜x＜1，故选C8．（5分）（2007•福建）已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂α，⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥α D．n∥m，n⊥α⇒m⊥α【分析】结合题意，由面面平行的判定定理判断A，面面平行的定义判断B，线面垂直的定义判断C，利用平行和垂直的结论判断．【解答】解：A不正确，m、n少相交条件；B不正确，分别在两个平行平面的两条直线不一定平行；C不正确，n可以在α内；故选D9．（5分）（2007•福建）把1+（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n展开成关于x的多项式，其各项系数和为a n，则等于（）A．B．C．1 D．2【分析】令x=1求出展开式中各项系数和，再利用极限公式求值．【解答】解：令x=1得a n=1+2+22+…+2n=，，故选项为D10．（5分）（2007•福建）顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=1，AA′=，则A、C两点间的球面距离为（）A．B．C．D．【分析】因为四棱柱的顶点在球面上，正四棱柱的对角线为球的直径，又因为角AOC为直角，就可以求出AC的距离．【解答】解：正四棱柱的对角线为球的直径，由4R2=1+1+2=4得R=1，AC=，所以∠AOC=（其中O为球心）A、C两点间的球面距离为，故选B．11．（5分）（2007•福建）已知对任意x∈R，恒有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则当x＜0时有（）A．f′（x）＞0，g′（x）＞0 B．f′（x）＞0，g′（x）＜0 C．f′（x）＜0，g′（x）＞0 D．f′（x）＜0，g′（x）＜0【分析】由已知对任意x∈R，恒有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，又由当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，可得在区间（0，+∞）上f（x），g（x）均为增函数，然后结合奇函数、偶函数的性质不难得到答案．【解答】解：由f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数．又x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，知在区间（0，+∞）上f（x），g（x）均为增函数由奇、偶函数的性质知，在区间（﹣∞，0）上f（x）为增函数，g（x）为减函数则当x＜0时，f′（x）＞0，g′（x）＜0．故选B12．（5分）（2007•福建）如图，三行三列的方阵中有9个数a ij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）A．B．C．D．【分析】从9个数中任取3个数共有C93=84种取法，求得不满足要求的选法共有6种，可得满足条件的选法有84﹣6=78种，从而求得所求事件的概率．【解答】解：从9个数中任取3个数共有C93=84种取法，取出的三个数，使它们不同行且不同列：从第一行中任取一个数有C13种方法，则第二行只能从另外两列中的两个数任取一个有C12种方法，第三行只能从剩下的一列中取即可有1中方法，∴共有×=6种方法，即三个数分别位于三行或三列的情况有6种，∴所求的概率为=．故答案选D．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2007•福建）已知实数x、y满足，则z=2x﹣y的取值范围是[﹣5，7] ．【分析】先画出可行域，再把目标函数变形为直线的斜截式，根据其在y轴上的截距即可求之．【解答】解：画出可行域，如图所示解得B（﹣1，3）、C（5，3），把z=2x﹣y变形为y=2x﹣z，则直线经过点B时z取得最小值；经过点C时z取得最大值．所以z min=2×（﹣1）﹣3=﹣5，z max=2×5﹣3=7．即z的取值范围是[﹣5，7]．故答案为[﹣5，7]．14．（4分）（2007•福建）已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为﹣1．【分析】由“以A、B为焦点”可求得c，再由“过C、D两点”结合椭圆的定义可知|AC|+|BC|=2a，可求a，再由离心率公式求得其离心率．【解答】解：设正方形边长为1，则AB=2c=1，∴c=．∵|AC|+|BC|=1+=2a，∴a=．∴e===﹣1．故答案为：﹣115．（4分）（2007•福建）两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的数学期望Eξ=．【分析】由题意知ξ的取值有0，1，2，当ξ=0时，表示的事件是A邮箱的信件数为0，由分步计数原理知两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，共有3×3种结果，而满足条件的A邮箱的信件数为0的结果数是2×2，由古典概型公式得到ξ=0时的概率，同理可得ξ=1时，ξ=2时的概率，用期望公式得到结果．【解答】解：由题意知ξ的取值有0，1，2，当ξ=0时，即A邮箱的信件数为0，由分步计数原理知两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，共有3×3种结果，而满足条件的A邮箱的信件数为0的结果数是2×2，由古典概型公式得到ξ=0时的概率，同理可得ξ=1时，ξ=2时的概率，∴Eξ=故答案为：．16．（4分）（2007•福建）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等、如果集合A中元素之间的一个关系“﹣”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意a∈A，都有a﹣a；（2）对称性：对于a，b∈A，若a﹣b，则有b﹣a；（3）对称性：对于a，b，c∈A，若a﹣b，b﹣c，则有a﹣c、则称“﹣”是集合A的一个等价关系、例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）、请你再列出两个等价关系：答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等．【分析】从所给的条件出发，通过观察、分析得出结论，再把各个结论代入题目中验证，看是否成立，由于结论不唯一，本类问题一般不要求证明，把结论用自反性、对称性、对称性进行验证．【解答】解：如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等．故答案为：“图形的全等”、“图形的相似”．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2007•福建）在△ABC中，tanA=，tanB=．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若AB边的长为，求BC边的长．【分析】（Ⅰ）利用三角形内角和可知tanC=﹣tan（A+B）然后利用正切的两角和公式求得tan（A+B）的值，进而求得tanC的值，则C的值可求．（Ⅱ）利用tanA的值求得sinA和cosA的关系式，进而利用二者的平方关系联立求得sinA，最后利用正弦定理求得BC的值．【解答】解：（Ⅰ）∵C=π﹣（A+B），∴tanC=﹣tan（A+B）=﹣，又∵0＜C＜π，∴C=（Ⅱ）由且A∈（0，），得sinA=．∵，∴BC=AB•．18．（12分）（2007•福建）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D 为CC1中点．（1）求证：AB1⊥面A1BD；（2）求二面角A﹣A1D﹣B的大小；（3）求点C到平面A1BD的距离．【分析】法一：（1）要证AB1⊥面A1BD，只需证明直线AB1垂直面A1BD内的两条相交直线B1O、AB1即可；（2）设AB1与A1B交于点G，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，连接AF，说明∠AFG为二面角A﹣A1D﹣B的平面角，然后解三角形，求二面角A﹣A1D﹣B 的大小；（3）利用等体积法，求点C到平面A 1BD的距离．法二：建立空间直角坐标系，求出相关向量，利用向量的数量积等于0证明垂直，（1）求证：AB1⊥面A1BD；向量共线证明平行，向量数量积求出二面角的大小（2）求二面角A﹣A1D﹣B的大小；距离公式求出距离，解答（3）求点C到平面A1BD的距离．【解答】证明：法一：（Ⅰ）取BC中点O，连接AO．∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1．连接B1O，在正方形BB1C1C中，O，D分别为BC，CC1的中点，∴B1O⊥BD，∴AB1⊥BD．在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，∴AB1⊥平面A1BD．（Ⅱ）设AB1与A1B交于点G，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，连接AF，由（Ⅰ）得AB1⊥平面A1BD．∴AF⊥A1D，∴∠AFG为二面角A﹣A1D﹣B的平面角．在△AA1D中，由等面积法可求得，又∵，∴．所以二面角A﹣A1D﹣B的大小为．（Ⅲ）△A1BD中，，S△BCD=1．在正三棱柱中，A1到平面BCC1B1的距离为=．设点C到平面A1BD的距离为d．由得，∴．∴点C 到平面C的距离为．法二：（Ⅰ）取BC中点O，连接AO．∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1．取B1C1中点O1，以O为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（﹣1，1，0），，，B 1（1，2，0），∴，，．∵，，∴，．∴AB1⊥平面A1BD．（Ⅱ）设平面A1AD的法向量为n=（x，y，z）．，．∵，，∴∴∴令z=1得为平面A1AD的一个法向量．由（Ⅰ）知AB1⊥平面A1BD，∴为平面A1BD的法向量．cos＜n，．∴二面角A﹣A1D﹣B的大小为．（Ⅲ）由（Ⅱ），为平面A1BD法向量，∵．∴点C到平面A1BD的距离．19．（12分）（2007•福建）某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交a元（1≤a≤3）的管理费，预计当每件商品的售价为x元（8≤x≤9）时，一年的销售量为（10﹣x）2万件．（1）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L（x）；（2）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L 的最大值M（a）．【分析】（1）根据一年的利润=每件的利润×销售的件数可求出L（x）的解析式；（2）令L′（x）=0得到函数的驻点，讨论x的范围求得韩函数的最大值即可；【解答】解：（1）该连锁分店一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为L（x）=（x﹣4﹣a）（10﹣x）2，x∈[8，9]；（2）L′（x）=（10﹣x）2﹣2（x﹣4﹣a）（10﹣x）=（10﹣x）（18+2a﹣3x），令L′（x）=0，得x=6+a或x=10（舍去）．∵1≤a≤3，∴≤6+a≤8．所以L（x）在x∈[8，9]上单调递减，故L max=L（8）=（8﹣4﹣a）（10﹣8）2=16﹣4a．即M（a）=16﹣4a．答：当每件商品的售价为8元时，该连锁分店一年的利润L最大，最大值为16﹣4a万元．20．（12分）（2007•福建）已知点F（1，0），直线l：x=﹣1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线l于点M，已知，，求λ1+λ2的值．【分析】解法一：（1）我们可设出点P的坐标（x，y），由直线l：x=﹣1，过P 作直线l的垂线，垂足为点Q，则Q（﹣1，y），则我们根据，构造出一个关于x，y的方程，化简后，即可得到所求曲线的方程；（2）由过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，我们可以设出直线的点斜式方程，联立直线方程后，利用设而不求的思想，结合一元二次方程根与系数关系，易求λ1+λ2的值．解法二：（1）由得，进而可得．根据抛物线的定义，我们易得动点的轨迹为抛物线，再由直线l（即准线）方程为：x=﹣1，易得抛物线方程；（2）由已知，，得λ1•λ2＜0．根据抛物线的定义，可们可以将由已知，，转化为，进而求出λ1+λ2的值．【解答】解：法一：（Ⅰ）设点P（x，y），则Q（﹣1，y），由得：（x+1，0）•（2，﹣y）=（x﹣1，y）•（﹣2，y），化简得C：y2=4x．（Ⅱ）设直线AB的方程为：x=my+1（m≠0）．设A（x1，y1），B（x2，y2），又，联立方程组，消去x得：y2﹣4my﹣4=0，∴△=（﹣4m）2+16＞0，故由，得：，，整理得：，，∴===0．法二：（Ⅰ）由得：，∴，∴，∴．所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y2=4x．（Ⅱ）由已知，，得λ1•λ2＜0．则：．①过点A，B分别作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，则有：．②由①②得：，即λ1+λ2=0．21．（12分）（2007•福建）等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=1+，S3=9+3．（1）求数列{a n}的通项a n与前n项和为S n；（2）设b n=（n∈N+），求证：数列{b n}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【分析】（1）用a1表示出S2，进而求得d，则等差数列的通项公式和前n项的和可求．（2）把（1）中s n代入b n，求得b n，假设数列{b n}中存在三项b p，b q，b r（p，q，r互不相等）成等比数列，则根据等比中项的性质可知b q2=b p b r．把b p，b q，b r代入求得进而推断出求得p=r，与p ≠r矛盾．进而可知假设不成立．【解答】解：（1）由已知得，∴d=2，故．（2）由（Ⅰ）得．假设数列{b n}中存在三项b p，b q，b r（p，q，r互不相等）成等比数列，则b q2=b p b r．即．∴，∵p，q，r∈N*，∴，∴=0，∴p=r．与p≠r矛盾．所以数列{b n}中任意不同的三项都不可能成等比数列．22．（14分）（2007•福建）已知函数f（x）=e x﹣kx，（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；（2）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）设函数F（x）=f（x）+f（﹣x），求证：F（1）F（2）…F（n）＞（n∈N*）．【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0，f′（x）＜0（2）f（|x|）是偶函数，只需研究f（x）＞0对任意x≥0成立即可，即当x≥0时f（x）min＞0（3）观察结论，要证F（1）F（2）…F（n）＞，即证[F（1）F（2）…F （n）]2＞（e n+1+2）n，变形可得[F（1）F（n）][F（2）F（n﹣1）]…[F（n）F （1）]＞（e n+1+2）n，可证F（1）F（n）＞e n+1+2，F（2）F（n﹣1）＞e n+1+2，F （n）F（1）＞e n+1+2．问题得以解决．【解答】解：（Ⅰ）由k=e得f（x）=e x﹣ex，所以f'（x）=e x﹣e．由f'（x）＞0得x＞1，故f（x）的单调递增区间是（1，+∞），由f'（x）＜0得x＜1，故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，1）．（Ⅱ）由f（|﹣x|）=f（|x|）可知f（|x|）是偶函数．于是f（|x|）＞0对任意x∈R成立等价于f（x）＞0对任意x≥0成立．由f'（x）=e x﹣k=0得x=lnk．①当k∈（0，1]时，f'（x）=e x﹣k＞1﹣k≥0（x＞0）．此时f（x）在[0，+∞）上单调递增．故f（x）≥f（0）=1＞0，符合题意．②当k∈（1，+∞）时，lnk＞0．当x变化时f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（0，lnk）lnk（lnk，+∞）f′（x）﹣0+f（x）单调递减极小值单调递增由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k﹣klnk．依题意，k﹣klnk＞0，又k＞1，∴1＜k＜e．综合①，②得，实数k的取值范围是0＜k＜e．（Ⅲ）∵F（x）=f（x）+f（﹣x）=e x+e﹣x，∴F（x1）F（x2）=，∴F（1）F（n）＞e n+1+2，F（2）F（n﹣1）＞e n+1+2，F（n）F（1）＞e n+1+2．由此得，[F（1）F（2）F（n）]2=[F（1）F（n）][F（2）F（n﹣1）][F（n）F （1）]＞（e n+1+2）n故，n∈N*．。
2007年福建专升本高数真题答案-2007年高职高专升本科入学
2007年高职高专升本科入学考试试卷答案一、 单项选择题1. 设)21ln(2)(x x f +=，则)(x f 的定义域是 （ ）A ．),(+∞-∞B ．),21(+∞- C ．),21[+∞- D ．)21,(--∞ ［答案］B【解析】)21ln(2)(x x f +=∴要使)(x f 有意义，必须使：021>+x ， 求解得，函数的定义域为：21->x ，即),21(+∞-，故答案为B 2. 设xe x g x x x xf =⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=)(1||,11||,01||,1)(，，则 （ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧>≤=1||,11||,)]([x e x e x f g B ．⎩⎨⎧<≥-=1,10,1)(x x x f C ．⎪⎩⎪⎨⎧>=-<=-1||,1||,11||,)]([1x e x x e x g f D ．⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1||,1||,11||,)]([x e x x e x f g ［答案］D【解析】⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1||,11||,01||,1)(x x x x f ，而x e x g =)(，⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=∴,10,00,1)]([x x x x g f ，于是选项B 、C 皆不对 又⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1||,1||,11||,)]([x e x x e x f g ， 所以，判断可知选项D 正确 3. 当0→x ，下列函数中能称为2x 的等价无穷小的是 （ ）A ．1cos -xB ．2cos 1x - C ．112-+x D ．x e xsin )1(- [答案] D【解析】因为0→x 时，,sin 21cos 12x x =-又1sin lim 0=→x x x ，因此221~cos 1x x -，所以对于选项A ：221~1cos x x --，故不是正确选项；对于选项B ：同理可得241~2cos 1x x -，故也不是正确选项；对于选项C ：1111111122222++=++-+=-+x x x x x ，又2lim 11lim 2022x x x x x →→=++，因此2221~11x x -+，也不是正确选项；而选项D ：由于x x x e x ~sin ,~1-，所以2~sin )1(x x e x -，即选项D 正确4. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠⋅=0,00,1sin )(x x xx x f n在其定义域上每一点可导，则 （ ）A ．1-=nB ．0>nC ．1>nD ．1=n[答案] C【解析】⎪⎩⎪⎨⎧=≠⋅=0,00,1sin )(x x xx x f n∴当0≠x 时，)(x f 总可导；又 )(x f 在其定义域上每一点处可导，知)(x f 在点0=x 处可导，而 xf x f f x ∆-∆+='→∆)0()0(lim)0(0xx x n x ∆∆∆=→∆1s i n)(lim0 xx n x ∆⋅∆=-→∆1s i n )(lim 1∴ 要使)0(f '存在，须01>-n ，即1>n ，故选项C 正确5. 设)(),(),(x x g x f ϕ和都是奇函数，下列函数中为偶函数的是 （ ） A ．)()()(x x g x f ϕ⋅⋅ B ．)()()(x x g x f ϕ++ C ．)()()(x x g x f ϕ⋅+ D ．)]()([)(x x g x f ϕ+⋅ [答案] D【解析】令)()()()(),()()()(21x x g x f x F x x g x f x F ϕϕ++=⋅⋅=)]()([)()(),()()()(43x x g x f x F x x g x f x F ϕϕ+⋅=⋅+=因)()()()()()()()(11x F x x g x f x x g x f x F -=-=-⋅-⋅-=-ϕϕ，所以)(1x F 为奇函数；因)()]()()([)()()()(22x F x x g x f x x g x f x F -=++-=-+-+-=-ϕϕ，所以)(2x F 也为奇函数；对于选项C ：因)()()()()()()(3x x g x f x x g x f x F ϕϕ⋅+-=-⋅-+-=-，所以)(3x F 是非奇非偶函数；对于选项D ：因)]()([)()(4x x g x f x F -+-⋅-=-ϕ)()]()([)(4x F x x g x f =+⋅=ϕ.所以)(4x F 为偶数函数，综上所述，选项D 正确6. 在闭区间]1,1[-上，下列函数中满足罗尔（Rolle ）定理全部条件的是 （ ） A ．||)(x x f = B ．2)(x x f = C ．x x f =)( D ．32)(x x f = [答案] B【解析】对于选项A ：因||)(x x f =在0=x 处不可导，所以不能满足罗尔定理的全部条件；对于选项B ：因2)(x x f =，于是)(x f 在]1,1[-上连续，且x x f 2)(='在)1,1(- 内存在，又)1(1)1(f f ==-，所以选项B 正确；选项C 中：x x f =)(，于是1)1(-=-f ，而1)1(=f ，二者不等；对于选项D ：因32)(x x f =，所以3132)(xx f ='，于是)(x f 在0=x 处不可导.综上所述，选项B 正确.7. 设)(x f 的一个原函数是2x e ，则=')(x f （ ） A ．2x xe B ．222x e x C ．2)21(22x e x + D ．2)1(22x e x + [答案] C【解析】)(x f 有原函数2x e ，则222)()(x x xe e x f ='= 于是，2222)21(242)2()(22x x x x e x e x e xe x f +=+='='8. 设⎩⎨⎧≤≤<≤=21,210,1)(x x x f ，当]2,1[∈x 时，⎰==xdt t f x 0)()(ϕ （ ）A ．x 2B ．221x + C ．12+x D ．12-x [答案] D【解析】⎩⎨⎧≤≤<≤=21,210,1)(x x x f]2,1[∈∴x 时，⎰⎰⎰+==xxdt t f dt t f dt t f x 011)()()()(ϕ⎰⎰+=xdt dt 112112|211-=+=x t x9. 直线31-==z y x 与平面012=+-+z y x 的位置关系是 （ ） A ．垂直 B ．平行但不相交 C ．直线在平面上 D ．相交但不平行 [答案] C 【解析】 直线31-==z y x 的方向向量为}3,1,1{=s 又平面012=+-+z y x 的法向量为}1,2,1{-=n 0)1(32111=-⨯+⨯+⨯=⋅∴n s ，也是n s ⊥又直线过点)1,0,0(，经判断知该点在已知平面内，故直线在平面内10. 下列微分方程中为一阶线性非齐次方程的是 （ ） A ．122=+'y y B ．1)(222=+'y y C ．0=+'y e y x x D ．2x y e y x x =+' [答案] D【解析】首先选项A 、B 中的微分方程不是线性微分方程，应排除；又选项C 可化为： 0=+'y x e y x，是一阶线性齐次方程，不符合要求；选项D 可化为：x y xe y x=+'， 是一阶线性非齐次方程，故选项D 符合要求二、 填空题11. 设x x x f +-=11)(，则函数=+-)11(1x f [答案] 2+x x【解析】 因为已知函数为：xxy +-=11∴ 求其反函数：yyx y y x x x y +-=⇒-=+⇒-=+111)1(1)1( 所以其反函数为：xxx f +-=-11)(1则x x xx x f +=+++-=+-2111111)11(112. =+→xx x 20)31(lim[答案] 6e【解析】6631020])31[(lim )31(lim e x x x x x x =+=+→→ （其中e x xx =+→10)1(lim ）13. 设函数2111)(xxe xf +-=，则)(x f 的间断点=x[答案] 0 【解析】2111)(xxe xf +-=，令211x xe +-=0，得0=x则)(x f 在0=x 处无意义，即在该点间断。
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学 (理工农医类)(福建卷)
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学 (理工农医
类)(福建卷)
童其林
【期刊名称】《上海中学数学》
【年(卷),期】2007(000)000
【摘要】^10F;上海中学数学
【总页数】1页(P)
【作者】童其林
【作者单位】福建永定城关中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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2007年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(文科)试卷参考答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）试卷参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。
每小题5分，满分50分。
（1）B （2）C （3）A （4）D （5）C（6）C （7）B （8）D （9）A （10）B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。
每小题4分，满分28分。
（11）[0，1） （12）一2425 （13）50 （14）一53（15）520x y +-= （16）266 （17）900三、解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（18）本题主要考查利用正弦定理、余弦定理来确定三角形边、角关系等基础知识和基本运算能力。
满分14分。
解：（I ）由题意及正弦定理，得AB+BC+AC 1。
BC+AC ，两式相减，得AB ＝1。
（Ⅱ）由△ABC 的面积＝12BC ·ACsinC ＝16sin C ，得 BC ·AC ＝13， 由余弦定理，得 ()2222221cos 222AC BC AC BC AB AC BC AB C AC BC AC BC +-⋅-+-===⋅⋅ 所以C ＝600。
（19）本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力。
满分14分。
（I ）解：方程2(32)320k k x k x k -++⋅=的两个根为123, 2k x k x ==。
当k ＝1时，123,2x x ==，所以12a =；当k ＝2时，126,4x x ==，所以34a =；当k ＝3时，129,8x x ==，所以58a =；当k ＝4时，1212,16x x ==，所以712a =；因为n ≥4时，23n n >，所以22 (4)n n a n =≥（Ⅱ）22122(363)(222)n n n S a a a n =+++=+++++++ ＝2133222n n n +++-。
（20）本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理能力。
2007年高考试题——数学理(福建卷)
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（福建卷） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数21(1i)+等于（ ）A ．12B ．12-C ．1i 2D ．1i 2-2．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则5S 等于（ ）A ．1B ．56C ．16D ．1303．已知集合{}{12}A x x a B x x =<=<<，，且()A B =R R ð，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a < C ．2a ≥ D ．2a > 4．对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ ）A ．若=0 a b ，则0a =或0b =B ．若λ0a =，则0λ=或=0aC ．若22=a b ，则=a b 或-a =bD ．若a b =a c ，则b =c 5．已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（ ） A ．关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π⎛⎫ ⎪4⎝⎭，对称D ．关于直线x π=3对称 6．以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ） A ．221090x y x +-+= B ．2210160x y x +-+= C ．2210160x y x +++=D ．221090x y x +++=7．已知()f x 为R 上的减函数，则满足1(1)f f x ⎛⎫<⎪⎝⎭的实数x 的取值范围是（ ）A ．(11)-，B ．(01)，C ．(10)(01)- ，，D ．(1)(1)-∞-+∞ ，， 8．已知m n ，为两条不同的直线，αβ，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．m n m n ααββαβ⊂⊂⇒，，∥，∥∥ B ．m n m n αβαβ⊂⊂⇒∥，，∥ C ．m m n n αα⇒⊥，⊥∥D ．n m n m αα⇒∥，⊥⊥9．把21(1)(1)(1)nx x x +++++++ 展开成关于x 的多项式，其各项系数和为n a ，则21lim1n n na a ∞-+→等于（ ）A ．14B ．12C ．1D ．210．顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD A B C D ''''-中，1AB AA '==，则A C ，两点间的球面距离为（ ） A ．π4B ．π2C．4π D．2π 11．已知对任意实数x ，有()()()(f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()f x g x ''>>，，则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，12．如图，三行三列的方阵中有9个数(123123)ij a i j ==，，；，，，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）A ．37B ．47C ．114D ．1314第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置．111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭13．已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的取值范围是________．14．已知正方形ABCD ，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为______．15．两封信随机投入A BC ，，三个空邮箱，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E ξ= ．16．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A 中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件： （1）自反性：对于任意a A ∈，都有a a -；（2）对称性：对于a b A ∈，，若a b -，则有b a -；（3）传递性：对于a b c A ∈，，，若a b -，b c -，则有a c -． 则称“-”是集合A 的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC △18．（本小题满分12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离．19．（本小题满分12分） 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（35a ≤≤）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（911x ≤≤）时，一年的销售量为2(12)x -万件．（Ⅰ）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值()Q a ．ABCD1A1C1B20．（本小题满分12分）如图，已知点(10)F ，， 直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ =．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ，已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值；21．（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n项和为1319n S a S ==+， （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ； （Ⅱ）设()nn S b n n*=∈N ，求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 22．（本小题满分14分） 已知函数()e x f x kx x =-∈R ，（Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(e 2)()n n F F F n n +*>+∈N ．福建数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．D 2．B 3．C 4．B 5．A 6．A 7．C 8．D 9．D 10．B11．B 12．D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分． 13．[57]-，14115．2316．答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分． 解：（Ⅰ）π()C A B =-+ ，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯． 又0πC << ，3π4C ∴=．（Ⅱ）34C =π ，AB ∴边最大，即AB =又tan tan 0A B A B π⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭，，，，∴角A 最小，BC 边为最小边． 由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin 17A =．由sin sin AB BC C A =得：sin sin A BC AB C ==所以，最小边BC ．18．本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．满分12分． 解法一：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ． ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AO ∴⊥平面11BCC B ．连结1B O ，在正方形11BB C C 中，O D ，分别为1BC CC ，的中点，1B O BD ∴⊥， 1AB BD ∴⊥．在正方形11ABB A 中，11ABA B ⊥， 1AB ∴⊥平面1A BD ．（Ⅱ）设1AB 与1A B 交于点G ，在平面1A BD 中，作1GF AD ⊥于F ，连结AF ，由（Ⅰ）得1AB ⊥平面1A BD ．1AF A D ∴⊥，AFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角．在1AA D △中，由等面积法可求得AF =，又112AG AB ==sin AG AFG AF ∴===∠ 所以二面角1A A D B --的大小为arcsin4． （Ⅲ）1A BD △中，111A BD BD A D A B S ===∴=△1BCD S =△． 在正三棱柱中，1A 到平面11BCC B设点C 到平面1A BD 的距离为d ． 由11A BCD C A BD V V --=得11133BCD A BD S S d =△△， ABCD1A 1C1BOF12BCD A BD d S ∴==△△．∴点C 到平面1A BD的距离为2． 解法二：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ． ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AD ∴⊥平面11BCC B ．取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，1OO ，OA的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B ，，，(110)D -，，，1(02A，(00A ，1(120)B ，，，1(12AB ∴= ，，(210)BD =-，，，1(12BA =- ． 12200AB BD =-++= ，111430AB BA =-+-=， 1AB BD ∴ ⊥，11AB BA ⊥．1AB ∴⊥平面1A BD ．（Ⅱ）设平面1A AD 的法向量为()x y z =，，n ．(11AD =-，，1(020)AA = ，，． AD ⊥n ，1AA ⊥n ，100AD AA ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ ，，nn 020x y y ⎧-+-=⎪∴⎨=⎪⎩，，0y x =⎧⎪∴⎨=⎪⎩，．令1z =得(=，n 为平面1A AD 的一个法向量． 由（Ⅰ）知1AB ⊥平面1A BD ，1AB ∴为平面1A BD 的法向量．cos <n，111AB AB AB >===n n ． ∴二面角1A A D B --的大小为（Ⅲ）由（Ⅱ），1AB为平面1A BD 法向量，1(200)(12BC AB =-=，，，，．∴点C 到平面1A BD的距离112BC AB d AB === ． 19．本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力，满分12分． 解：（Ⅰ）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：2(3)(12)[911]L x a x x =---∈，，．（Ⅱ）2()(12)2(3)(12)L x x x a x '=-----(12)(1823x a x =-+-． 令0L '=得263x a =+或12x =（不合题意，舍去）． 35a ≤≤，2288633a ∴+≤≤．在263x a =+两侧L '的值由正变负．所以（1）当28693a +<≤即932a <≤时，2max (9)(93)(129)9(6)L L a a ==---=-．（2）当2289633a +≤≤即952a ≤≤时， 23max2221(6)63126433333L L a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+---+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以399(6)32()1943532a a Q a a a ⎧-<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩， ≤，， ≤≤ 答：若932a <≤，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值()9(6)Q a a =-（万元）；若952a ≤≤，则当每件售价为263a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元时，分公司一年的利润L 最大，最大值31()433Q a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（万元）．20．本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分．解法一：（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由QP QF=(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=-- ，，，，，化简得2:4C y x =（Ⅱ）设直线AB 的方程为：1(0)x my m =+≠．设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，联立方程组241y x x my ⎧=⎨=+⎩，，，消去x 得：2440y my --=，2(4)120m ∆=-+>，故121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，． 由1MA AF λ= ，2MB BF λ=得：1112y y m λ+=-，2222y y mλ+=-，整理得： 1121my λ=--，2221my λ=--， 12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--+ ⎪⎝⎭121222y y m y y +=--2424m m =--- 0=．解法二：（Ⅰ）由QP QF FP FQ = 得：()0FQ PQ PF +=， ()()0PQ PF PQ PF ∴-+= ，220PQ PF ∴-= ， PQ PF ∴= ．所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：24y x =．（Ⅱ）由已知1MA AF λ= ，2MB BF λ=，得120λλ< ．则：12MA AF MB BFλλ=- ．…………①过点A B ，分别作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，则有：11MA AA AFMB BB BF== ．…………②由①②得：12AF AFBF BFλλ-= ，即120λλ+=．21．本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前n 项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力．满分12分解：（Ⅰ）由已知得111339a a d ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩，2d ∴=，故21(n n a n S n n =-=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得nn S b n n==． 假设数列{}n b 中存在三项p q r b b b ，，（p q r ，，互不相等）成等比数列，则2q p r b b b =．即2((q p r =．2()(20q pr q p r ∴-+--=p q r *∈N ，，，2020q pr q p r ⎧-=∴⎨--=⎩，，22()02p r pr p r p r +⎛⎫∴=-=∴= ⎪⎝⎭，，． 与p r ≠矛盾．所以数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成等比数列．22．本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．解：（Ⅰ）由e k =得()e e x f x x =-，所以()e e xf x '=-．由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，，由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，． （Ⅱ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数． 于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立．由()e 0x f x k '=-=得ln x k =．①当(01]k ∈，时，()e 10(0)x f x k k x '=->->≥．此时()f x 在[0)+∞，上单调递增．故()(0)10f x f =>≥，符合题意．②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >． 当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表：由此可得，在[0)+∞，上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥． 依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，． 综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<． （Ⅲ）()()()e e x x F x f x f x -=+-=+ ， 12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+， 1(1)()e 2n F F n +∴>+，11(2)(1)e 2()(1)e 2.n n F F n F n F ++->+>+由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e 2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+ 故12(1)(2)()(e2)n n F F F n n +*>+∈N ，．。
2007年高考理科数学试题及参考答案(福建卷)
福建数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．D 2．B 3．C 4．B 5．A 6．A 7．C 8．D 9．D 10．B 11．B 12．D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分．13．[57]-，141 15．2316．答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分． 解：（Ⅰ）π()C A B =-+ ，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯．又0πC << ，3π4C ∴=．（Ⅱ）34C =π ，AB ∴边最大，即AB =．又tan tan 0A B A B π⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭，，，，∴角A 最小，BC 边为最小边．由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin 17A =．由sin sin AB BC CA=得：sin sin ABC AB C==．所以，最小边BC =18．本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．满分12分． 解法一：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AO ∴⊥平面11BCC B ．连结1B O ，在正方形11BB C C 中，O D ，分别为 1BC CC ，的中点，1B O BD ∴⊥， 1AB BD ∴⊥．在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥， 1AB ∴⊥平面1A BD ．（Ⅱ）设1AB 与1A B 交于点G ，在平面1A BD 中，作1GF A D ⊥于F ，连结AF ，由（Ⅰ）得1AB ⊥平面1A BD ． 1AF A D ∴⊥，AFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角．在1AA D △中，由等面积法可求得5A F =又112AG AB ==sin 45A G A F G A F∴===∠．所以二面角1A A D B --的大小为arcsin 4．（Ⅲ）1A BD △中，111A BD BD A D A B S ===∴=△1BCD S =△．在正三棱柱中，1A 到平面11BCC B． 设点C 到平面1A BD 的距离为d ．ABC D1A 1C1BOF由11A BC D C A BD V V --=得11133BC D A BD S S d = △△，12BC D A BDd S ∴==△△．∴点C 到平面1A BD的距离为2．解法二：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AD ∴⊥平面11BCC B ．取11B C 中点1O ，以O 为原点，O B ，1OO，O A 的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B ，，，(110)D -，，，1(02A ，，(00A ，，1(120)B ，，，1(12AB ∴=-，，，(210)B D =-，，，1(12BA =- ，．12200AB BD =-++= ，111430AB BA =-+-=， 1AB BD ∴ ⊥，11AB BA ⊥．1AB ∴⊥平面1A BD ．（Ⅱ）设平面1A AD 的法向量为()x y z =，，n ．(11AD =--，，，1(020)AA =，，．AD ⊥n ，1AA⊥n ，100AD AA ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ ，，nn 020x y y ⎧-+-=⎪∴⎨=⎪⎩，，0y x =⎧⎪∴⎨=⎪⎩，． 令1z =得(1)=，n 为平面1A AD 的一个法向量． 由（Ⅰ）知1AB ⊥平面1A BD ， 1AB ∴为平面1A BD 的法向量．cos <n，1114AB AB AB >===-n n ．∴二面角1A A D B --的大小为arccos4（Ⅲ）由（Ⅱ），1AB为平面1A BD 法向量，1(200)(12BC AB =-=-，，，，，．∴点C 到平面1A BD的距离112BC AB d AB ===． 19．本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力，满分12分． 解：（Ⅰ）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：2(3)(12)[911]L x a x x =---∈，，．（Ⅱ）2()(12)2(3)(12)L x x x a x '=-----(12)(1823x a x =-+-．令0L '=得263x a =+或12x =（不合题意，舍去）． 35a ≤≤，2288633a ∴+≤≤．在263x a =+两侧L '的值由正变负．所以（1）当28693a +<≤即932a <≤时，2m ax (9)(93)(129)9(6)L L a a ==---=-．（2）当2289633a +≤≤即952a ≤≤时，23max2221(6)63126433333L L a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+---+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以399(6)32()1943532a a Q a a a ⎧-<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩， ≤，， ≤≤ 答：若932a <≤，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值()9(6)Q a a =-（万元）；若952a ≤≤，则当每件售价为263a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元时，分公司一年的利润L 最大，最大值31()433Q a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（万元）．20．本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分．解法一：（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由Q P Q F=(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=-- ，，，，，化简得2:4C y x =（Ⅱ）设直线AB 的方程为： 1(0)x my m =+≠．设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， 联立方程组241y x x m y ⎧=⎨=+⎩，，，消去x 得：2440y my --=，2(4)120m ∆=-+>，故121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，．由1M A AF λ= ，2M B BF λ=得： 1112y y mλ+=-，2222y y mλ+=-，整理得：1121m y λ=--，2221m y λ=--，12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--+ ⎪⎝⎭121222y y m y y +=--2424mm =---0=．解法二：（Ⅰ）由Q P Q F FP FQ = 得：()0FQ PQ PF +=， ()()0PQ PF PQ PF ∴-+=， 220PQ PF ∴-= ，PQ PF ∴= ．所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：24y x =． （Ⅱ）由已知1M A AF λ= ，2M B BF λ=，得120λλ< ．则：12M A AF M B BFλλ=-．…………① 过点A B ，分别作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，则有：11M A AA AFM B BB BF== ．…………②由①②得：12AF AFBF BFλλ-= ，即120λλ+=．21．本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前n 项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力．满分12分 解：（Ⅰ）由已知得111339a a d ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩，2d ∴=，故21(n n a n S n n =-+=+．（Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S b n n ==+假设数列{}n b 中存在三项p q r b b b ，，（p q r ，，互不相等）成等比数列，则2q p r b b b =．即2((q p r +=++．2()(20q pr q p r ∴-+--=p q r *∈N ，，，2020q pr q p r ⎧-=∴⎨--=⎩，， 22()02p r pr p r p r +⎛⎫∴=-=∴= ⎪⎝⎭，，． 与p r ≠矛盾．所以数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成等比数列．22．本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．解：（Ⅰ）由e k =得()e e xf x x =-，所以()e e xf x '=-．由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，， 由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，． （Ⅱ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数．于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立． 由()e 0x f x k '=-=得ln x k =．①当(01]k ∈，时，()e 10(0)x f x k k x '=->->≥．此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意． ②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表：由此可得，在[0)+∞，上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥． 依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，． 综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<． （Ⅲ）()()()e e xxF x f x f x -=+-=+ ，12()()F x F x ∴=12121212121212()()e eee ee2e2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+，1(1)()e2n F F n +∴>+，11(2)(1)e 2()(1)e2.n n F F n F n F ++->+>+由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e2)n nF F F n F F n F F n F n F +=->+故12(1)(2)()(e2)nn F F F n n +*>+∈N ，．。
2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学-福建卷
2007年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工农医类）第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数等于A B － C i D －i（2）数列{}的前n项和为，若，则等于A 1BC D（3）已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，且=R，则实数a的取值范围是A aB a<1C a 2D a>2（4）对于向量，a 、b、c和实数，下列命题中真命题是A 若，则a＝0或b＝0B 若，则λ＝0或a＝0C 若＝，则a＝b或a＝－bD 若，则b＝c（5）已知函数f(x)＝sin()()的最小正周期为，则该函数的图象A 关于点（，0）对称B 关于直线x＝对称C 关于点（，0）对称D 关于直线x＝对称（6）以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是A BC D（7）已知f(x)为R上的减函数，则满足f(||)<f(1)的实数x的取值范围是A （－1，1）B（0，1） C （－1，0）（0，1）D（－，－1）（1，＋）（8）已知m、n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A BC D（9）把1＋（1＋x）＋(1＋x)2＋…＋（1＋x）n展开成关于x的多项式，其各项系数和为a n，则等于A B C 1 D 2（10）顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD－A’B’C’D’中，AB＝1，AA’＝，则A、C两点间的球面距离为A B C D（11）已知对任意实数x有f(－x)=－f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0时，f’(x)>0，g’(x)>0，则x<0时A f’(x)>0，g’(x)>0B f’(x)>0，g’(x)<0C f’(x)<0，g’(x)>0D f’(x)<0，g’(x)<0（12）如图，三行三列的方阵有9个数（i＝1，2，3；j＝1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是A B C D第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。
2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案-湖南卷
绝密★启用前2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟. 参考公式: 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P AB P ⋅=如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率是()(1)k k n kn n P k C P P -=- 球的体积公式 343V R π=,球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．不等式2x x >的解集是A ．(),0-∞B . ()0,1 C. ()1,+∞ D . ()(),01,-∞⋃+∞ 2．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是A ．EF OF OE =+B . EF OF OE =- C. EF OF OE =-+ D . EF OF OE =--3. 设()2:400p b ac a ->≠，()2:00q x ax bx c a ++=≠关于的方程有实根，则p 是q的A ．充分不必要条件B . 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件4．在等比数列{}()n a n N *∈中，若1411,8a a ==，则该数列的前10项和为 A ． 8122- B . 9122- C. 10122- D . 11122-5．在()()1nx n N *+∈的二项展开式中，若只有5x的系数最大，则n =A ．8B . 9 C. 10 D .116．如图1，在正四棱柱 1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是11AB C 、B 的中点，则以下结论中不成立的是A ．1EF BB 与垂直 B . EF BD 与垂直 C. EF 与CD 异面 D . EF 11与AC 异面7．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图2），从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是A ．48米B . 49米 C. 50米 D . 51米8．函数244()43x f x x x -⎧=⎨-+⎩11x x ≤>的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是A ．1B .2 C.3 D . 49．设12F F 、分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，P（c 为半焦距）的点，且122F F F P =，则椭圆的离心率是AB . 12D10. 设集合{}1,2,3,4,5,6M =，12S S M k 、、、S 都是的含两个元素的子集，且满 足：对任意的{}{}{}(),,,,1,2,3,,i i i j jj S a b S ab i j i j k==≠∈ 、，都有{}()m i n ,m i n,m i n ,j j i i i i j j a b a b xy b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭表示两个数x 、y 中的较小者.则k 的最大值图1A ．10B .11 C. 12 D . 13二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上.11. 圆心为()1,1且与直线4x y +=相切的圆的方程是 . 12. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，若1,3a c C π===，则A= . 13. 若232340,,log 9a a a >==则 . 14. 设集合(){}(){},||2|,0,,|,A x y y x x B x y y x b A B =≥-≥=≤-+⋂≠∅，（1）b 的取值范围是 .（2）若(),,x y A B ∈⋂且2x y +的最大值为9，则b 的值是 .15.棱长为1的正方形1111ABCD A BC D -的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积是 ；设E 、F 分别是该正方形的棱11AA 、DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为 .三．解答题：本大题共６小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分１２分）已知函数()212sin 2sin cos 888f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.求： (Ⅰ)函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）函数()f x 的单调增区间.17.（本小题满分１２分） 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.(Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率.18.（本小题满分１4分）如图3，已知直二面角βα--PQ ，PQ A ∈，α∈B ，β∈C ，CB CA =，︒=∠45BAP ，直线CA 和平面α所成的角为30 .(Ⅰ)证明BC PQ ⊥；(Ⅱ)求二面角B AC P --的大小.19.（本小题满分13分）已知双曲线222x y -=的右焦点为F ，过点F 的动直线与双曲线相交与A 、B 两点，点C 的坐标是（1，0）. （Ｉ）证明CA CB ⋅为常数；（Ⅱ）若动点M CM CA CB CO =++满足（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程.20.（本小题满分13分）设n S 是数列{}n a *)(N n ∈的前n 项和，a a =1，且21223-+=n n n S a n S ，0≠n a ，,4,3,2=n .（Ⅰ）证明数列{}2(2)n n a a n +-≥是常数数列；（Ⅱ）试找出一个奇数a ，使以18为首项，7为公比的等比数列{}()n b n N *∈中的所有项都是数列{}n a 中的项，并指出n b 是数列{}n a 中的第几项.21.（本小题满分13分）已知函数()321132f x x ax bx =++在区间[)(]1,1,1,3-内各有一个极值点. （Ⅰ）求24a b -的最大值；（Ⅱ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点()()1,1A f 处的切线为l ，若在点A 处穿过()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式.2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1.D 2.B 3.A 4.B 5.C 6.D 7.C 8.C 9.D 10.B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． 11.2)1()1(22=-+-y x 12.6π13.3 14.（1）[)+∞,2 （2）2915.π3，2 三、解答题16.解：)42sin()42cos()(ππ+++=x x x fx x x 2cos 2)22sin(2)442sin(2=+=++=πππ(Ⅰ) 函数()f x 的最小正周期是ππ==22T （Ⅱ）当πππk x k 222≤≤-，即πππk x k ≤≤-2（Z k ∈）时，函数x x f 2cos 2)(=是增函数，故函数()f x 的单调增区间是],2[πππk k -（Z k ∈）17. (Ⅰ)解法一 任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是1.025.04.0)()()(1=⨯=⋅=⋅=B P A P B A P P所以该人参加过培训的概率是9.01.0111=-=-P 解法二 任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是45.075.04.025.06.0)()()(2=⨯+⨯=⋅+⋅=⋅+⋅=B A P B A P B A B A P P该人参加过两项培训的概率是45.075.06.0)()()(3=⨯=⋅=⋅=B P A P B A P P 所以该人参加过培训的概率是9.045.045.032=+=+P P(Ⅱ) 解法一 任选3名下岗人员，这3人中只有2人参加过培训的概率是243.01.09.02234=⨯⨯=C P3人都参加过培训的概率是729.09.03335=⨯=C P所以3人中至少有2人参加过培训的概率是972.0729.0243.054=+=+P P解法二 任选3名下岗人员，这3人中只有1人参加过培训的概率是027.01.09.02136=⨯⨯=C P3人都没有参加过培训的概率是001.01.037==P 所以3人中至少有2人参加过培训的概率是972.0001.0027.01176=--=--P P 18. (Ⅰ)证明：在平面β内过点C 作CO ⊥PQ 于点O ，连结OB ， 因为βα⊥，PQ =βα ，所以α⊥CO 又因为CA=CB ，所以OA=OB ， 而︒=∠45BAO ，所以︒=∠45ABO ，︒=∠90AOB ， 从而BO ⊥PQ ，又CO ⊥PQ ， 所以PQ ⊥平面OBC ，因为⊂BC 平面OBC ，故BC PQ ⊥(Ⅱ)解：解法一 由(Ⅰ)知，BO ⊥PQ ，又βα⊥，PQ =βα ，α⊂BO ，所以β⊥BO 过点O 作OH ⊥AC 于点H ，连结BH ，由三垂线定理知：BH ⊥AC ， 故BHO ∠是二面角B AC P --的平面角.由(Ⅰ)知，α⊥CO ，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，即︒=∠30CAO 不妨设AC=2，则3=AO ，2330sin =︒=AO OH 在OAB Rt ∆中，︒=∠=∠45BAO ABO ，所以3==AO BO于是在BOH Rt ∆中，2233tan ===∠OHBOBHO故二面角B AC P --的大小为2arctan解法二 由(Ⅰ)知：OA OC ⊥，OB OC ⊥，OB OA ⊥， 故可以O 为原点，分别以直线OB 、OA 、OC 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图）.因为α⊥CO ，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，即︒=∠30CAO ，不妨设AC=2，则3=AO ，1=CO 在OAB Rt ∆中，︒=∠=∠45BAO ABO ， 所以3==AO BO则相关各点的坐标分别是)0,0,0(O ，)0,0,3(B ，)0,3,0(A ，)1,0,0(C 所以)0,3,3(-=，)1,3,0(-=设),,(1z y x n =是平面ABC 的一个法向量，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅011AC n n 得：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-03033z y y x取1=x ，得)3,1,1(1=n .易知)0,0,1(2=n 是平面β的一个法向量 设二面角B AC P --的平面角为θ，由图可知，=θ所以55151cos =⨯==θ 故二面角B AC P --的大小为55arccos19. 解：由条件知)0,2(F ，设),(11y x A ，),(22y x B（Ｉ）当AB 与x 轴垂直时，可设点A 、B 的坐标分别为)2,2(、)2,2(-，此时CA CB ⋅1)2,1()2,1(-=-⋅=当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是)2(-=x k y )1(±≠k 代入222x y -=，有0)24(4)1(2222=+-+-k x k x k则1x ，2x 是上述方程的两实根，所以142221-=+k k x x ，1242221-+=k k x x于是CA CB ⋅)2)(2()1)(1()1)(1(212212121--+--=+--=x x k x x y y x x14))(12()1(2212212++++-+=k x x k x x k 141)12(41)24)(1(2222222++-+--++=k k k k k k k 114)24(22-=++--=k k综上所述，CA CB ⋅为常数1-（Ⅱ）解法一 设),(y x M ，则),1(y x CM -=，),1(11y x CA -=，),1(22y x CB -=，)0,1(-=，由++=得： ⎩⎨⎧+=-+=-212131y y y x x x ，即⎩⎨⎧=++=+yy y x x x 21212于是AB 的中点坐标为)2,22(yx + 当AB 不与x 轴垂直时，222222121-=-+=--x y x yx x y y ，即)(22121x x x y y y --=- 又因为A 、B 两点在双曲线上，所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=-2222222121y x y x ，两式相减得))(())((21212121y y y y x x x x +-=+-，即y y y x x x )()2)((2121-=+-将)(22121x x x yy y --=-代入上式，化简得422=-y x 当AB 与x 轴垂直时，221==x x ，求得)0,2(M ，也满足上述方程 所以点M 的轨迹方程是：422=-y x 解法二 同解法一得 ⎩⎨⎧=++=+yy y x x x 21212①当AB 不与x 轴垂直时，由（Ｉ）有142221-=+k k x x ②14)414()4(2222121-=--=-+=+k kk k k x x k y y ③ 由①②③得：14222-=+k k x ， ④ 142-=k k y ⑤当0≠k 时，0≠y ，由④、⑤得：k yx =+2，将其代入⑤有 2222)2()2(41)2(24yx x y yx yx y -++=-++⨯=，整理得：422=-y x 当0=k 时，点M 的坐标为)0,2(-，满足上述方程当AB 与x 轴垂直时，221==x x ，求得)0,2(M ，也满足上述方程 故点M 的轨迹方程是：422=-y x20. 解：（Ⅰ）当2≥n 时，由已知得n n n a n S S 22123=-- 01≠-=-n n n S S a ，213n S S n n =+∴- ①于是21)1(3+=++n S S n n ② 由②—①得：361+=++n a a n n ③ 于是9612+=+++n a a n n ④ 由④—③得： 62=-+n n a a ⑤ 即数列{}2(2)n n a a n +-≥是常数数列.（Ⅱ）由①有1212=+S S ，所以a a 2122-= 由③有1523=+a a ，所以a a 233+=而⑤表明：数列{}k a 2和{}12+k a 分别是以2a 、3a 为首项，6为公差的等差数列，所以6266)1(22+-=⨯-+=a k k a a k ，3266)1(312-+=⨯-+=+a k k a a k ，*N k ∈ 由题设知，1718-⨯=n n b当a 为奇数时，12+k a 为奇数，而n b 为偶数，所以n b 不是数列{}12+k a 中的项，n b 只可能是{}k a 2中的项.若181=b 是数列{}k a 2中的第0k 项，由626180+-=a k 得630-=k a ，取30=k 得：3=a ，此时k a k 62=，由k n a b 2=得k n 67181=⨯-， *731N k n ∈⨯=-，从而n b 是数列{}n a 中的第176-⨯n 项.（注：考生取满足630-=k a ，*0N k ∈的任一奇数，说明n b 是数列{}n a 中的第232761-+⨯-an 项即可） 21. 解：（Ⅰ）因为函数()321132f x x ax bx =++在区间[)(]1,1,1,3-内分别有一个极值点，所以b ax x x f ++='2)(在区间[)(]1,1,1,3-内分别有一个实根.设两实根为1x ，2x （1x <2x ），则b a x x 4212-=-，且4012≤-<x x 于是4402≤-<b a ，16402≤-<b a ，且当11-=x ，32=x ，即2-=a ，3-=b 时等号成立.故24a b -的最大值是16（Ⅱ）解法一 由b a f ++='1)1(知)(x f 在点()()1,1A f 处的切线l 的方程是 )1)(1()1(-'=-x f f y ，即a x b a y 2132)1(--++= 因为切线l 在点A 处穿过()y f x =的图象 所以]2132)1[()()(a x b a x f x g --++-=在1=x 两边附近的函数值异号， 则1=x 不是)(x g 的极值点. 而a x b a bx ax x x g 2132)1(2131)(23++++-++=， 且)1)(1(1)1()(22a x x a ax x b a b ax x x g ++-=--+=++-++='若a --≠11，则1=x 和a x --=1都是)(x g 的极值点，所以a --=11，即2-=a ，又由248a b -=得1-=b 故x x x x f --=2331)( 解法二 同解法一得 ]2132)1[()()(a x b a x f x g --++-= )]232()231()[1(312a x a x x +-++-= 因为切线l 在点A 处穿过()y f x =的图象，所以)(x g 在1=x 两边附近的函数值异号， 于是存在1m ，2m （211m m <<），当11<<x m 时，0)(<x g ，当21m x <<时，0)(>x g或当11<<x m 时，0)(>x g ，当21m x <<时， 0)(<x g 设)232()231()(2a x a x x h +-++=，则当11<<x m 时，0)(>x h ，当21m x <<时， 0)(>x h或当11<<x m 时，0)(<x h ，当21m x <<时，0)(<x h由0)1(=h 知1=x 是)(x h 的极值点，则023112)1(=++⨯='a h ， 所以2-=a ，又由248a b -=得1-=b ， 故x x x x f --=2331)(。
2007普通高等学校招生全国统一考试数学(福建理科)(word版)
2007年福建高考数学试卷（理工农医类）第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数等于A B － C i D －i（2）数列{}的前n项和为，若，则等于A 1BC D（3）已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，且=R，则实数a的取值范围是A aB a<1C a 2D a>2（4）对于向量，a 、b、c和实数，下列命题中真命题是A 若，则a＝0或b＝0B 若，则λ＝0或a＝0C 若＝，则a＝b或a＝－bD 若，则b＝c（5）已知函数f(x)＝sin()()的最小正周期为，则该函数的图象A 关于点（，0）对称B 关于直线x＝对称C 关于点（，0）对称D 关于直线x＝对称（6）以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是A BC D（7）已知f(x)为R上的减函数，则满足f(||)<f(1)的实数x的取值范围是A （－1，1）B（0，1） C （－1，0）（0，1）D（－，－1）（1，＋）（8）已知m、n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A BC D（9）把1＋（1＋x）＋(1＋x)2＋…＋（1＋x）n展开成关于x的多项式，其各项系数和为a n，则等于A B C 1 D 2（10）顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD－A’B’C’D’中，AB＝1，AA’＝，则A、C两点间的球面距离为A B C D（11）已知对任意实数x有f(－x)=－f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0时，f’(x)>0，g’(x)>0，则x<0时A f’(x)>0，g’(x)>0B f’(x)>0，g’(x)<0C f’(x)<0，g’(x)>0D f’(x)<0，g’(x)<0（12）如图，三行三列的方阵有9个数（i＝1，2，3；j＝1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是A B C D第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。
2007年高考理科数学试题及参考答案(福建卷)
2007年高考理科数学试题及参考答案（福建卷）
一、分析对象
2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 数学(供理科考生使用) 二、试卷结构
全卷共分为Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分。
满分150分。
Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题
本题共12个小题，每题5分，共60分。
Ⅱ卷：（非选择题，共90分）
二、填空题
本题共4小题，每小题5分，共20分。
三、解答题
本题共6小题，共70分。
其中第13~21题为必考题，第22~24为选考题。
三、考点分析
变的，每年都是，并且难度都是较小的。
而在最后的三道小题中，也就是第10、11、12题，这三道题比较有难度，这正是对学生数形结合、分类讨论、转化思想以及推理论证能力、运算能力的考察。
那么中间的其它题则主要就是在考察学生对知识的掌握情况，均比较简单，只要是掌握书中的基本概念并且能够理解透彻，那么解决这些题都不是问题。
解决第13、14题上就不会有困难。
第15题是三视图与空间几何体的体积问题，此类形题每年都会考，但是难度均是适中。
而第16题就比较有创新，而是考察正切函数的图像的平移变换问题，只要掌握三角函数图像变化的性质，那么就能够解决此题。
（三）解答题
问向来都是比较难的。
同时只要在掌握基本概念的基础上再认真解答，那么在第17、18题中就会得满分。
最后对于第21题，只要考察学生的分类讨论能力及计算整理能力，亦为每年的必考题，但是今年的考察的形式稍有创新。
一般情况下都是比较小的。
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2007年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学（文科）试卷
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集{1,2,3,4,5,}U，且{2,3,4}A，{1,2}B，则()UABð等于
A．{2} B．{5} C．{3，4} D．{2，3，4，5}
2．等比数列{}na中，44a，则26aa等于
A．4 B．8 C．16 D．32
3．Sin15°cos75°+cos15°sin105°等于
A．0 B．12 C．32 D．1
4．“2x”是“x2-x-6<0”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．函数sin(2)3yx的图像
A．关于点(,0)3对称 B．关于直线4x对称
C．关于点(,0)4对称 D．关于直线3x对称
6．如图在正方体1111ABCDABCD中，E、F、G、H分别是1111...AAABBBBC的中点，
则异面直线EF与GH所成的角等于
A．45° B．60° C．90° D．120°
7．已知()fx是R上的减函数，则满足1()(1)ffx的实数x的取值范围是
A．（-∞,1） B．(1,+∞)
C．(,0)(0,1) D．(,0)(1,)
8．对于向量a、b、c和实数，下列命题中真命题是
A．若a·b=0，则a=0或b=0 B．若a=0，则0或a=0
C．若a2=b2，则a=b或a=-b D．若a·b=a·c，则b=c
9．已知m、n是两条不同的直线，.为两个不同的平面，则下列命题中正确命题是
A．,,,mnamn B．,,mnmn
C．,mamnn D．,nmnm
10．以双曲线x2-y2=0的右焦点为圆心，且以其右准线相切的圆的方程是
A．x2+y2-4x-3=0 B．x2+y2-4x+3=0
C．x2+y2+4x-5=0 D．x2+y2+4x+5=0
11．已知对任意实数x，有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)，且x>0时'()0,'()0fxgx，则x<0
时
A．'()0,'()0fxgx B．'()0,'()0fxgx
C．'()0,'()0fxgx D．'()0,'()0fxgx
12．某通信公司推出一组手机卡号码，卡号的前7位数字固定，从“×××××××0000”
到“×××××××9999”共10000个号码，公司规定：凡卡号的后4位带有数字“4”
或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为
A．2000 B．4096 C．5904 D．8320
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。
13．261()xx的展开式中常数项是_________。（用数字作答）
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14．已知实数x,y满足2203xyxyy，则2zxy的取值范围是_________。
15．已知长方形ABCD，AB=4，BC=3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离
心率为_____。
16．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”“平行关系”等等，如果集合A中元素
之间的一个关系“~”满足以下三个条件：
（1）自反性：对于任意aA，都有a~a；
（2）对称性：对于a,bA，若a~b，则有b~a；
（3）传递性：对于a，b，cA，若a~b,b~c，则有a~c，则称“~”是集合A的一
个等价关系，例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性
不成立），请你在列出两个等价关系：_______。
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，13tan,tan45AB。
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若AB边的长为17，求BC边的长。
18．（本小题满分12分）
甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别为0.7、0.6，且每次试跳成
功与否相互之间没有影响，求：
（Ⅰ）甲试跳三次，第三次才成功地概率；
（Ⅱ）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；
（Ⅲ）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率。
19．（本小题满分12分）
如图，正三棱柱111ABCABC的所有棱长都为2，D为1CC中点。
（Ⅰ）求证：1AB平面1ABD；
（Ⅱ）求二面角1AADB的大小。
20．本题主要考查函数的确良单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析
问题解决问题的能力，满分12分。
设函数22()21(,0)fxtxtxtxRt。
（Ⅰ）求f(x)的最小值h(t)；
（Ⅱ）若h(t)<-2t+m对(0,2)t恒成立，求实数m的取值范围。
21．（本小题满分12分）
数列{}na的前n项和为nS，111,2(*)nnaaSnN。
（Ⅰ）求数列{}na的通项na；
（Ⅱ）求数列{}nna的前n项和nT。
22．（本小题满分14分）
如图，已知点F（0，1），直线l:x=-1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足
为点Q，且QPQFFPFQ。
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M。
①已知12,,MAAFMBBF求12的值；
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②求MAMB的最小值。