2018届人教B版 不等式、推理与证明(理)检测卷

第六章 综合过关规范限时检测(理)(时间：120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2016·广东东莞一模)设a ，b ∈R ，若a ＋|b |<0，则下列不等式成立的是 ( D ) A ．a －b >0 B ．a 3＋b 3>0 C ．a 2－b 2<0D ．a ＋b <0[解析] 当b ≥0时，a ＋b <0；当b <0时，a －b <0，所以a <b <0，所以a ＋b <0.故选D ． 声明：因为此题为重题，特更换为下题。

1．(2017·河北省保定市定州中学高三上学期期末(高补班)数学试题)若a 、b 是任意实数，且a ＞b ，则下列不等式成立的是 ( D )A ．a 2>b 2B ．ba <1C ．lg(a －b )>0D ．(13)a <(13)b[解析] 由题意a 、b 是任意实数，且a ＞b ，可通过举特例与证明的方法对四个选项逐一判断得出正确选项，A ，B ，C 可通过特例排除，D 可参考函数y ＝(13)x 是一个减函数，利用单调性证明出结论．解：由题意a 、b 是任意实数，且a ＞b ， 由于0＞a ＞b 时，有a 2＜b 2成立，故A 不对； 由于当a ＝0时，ba<1无意义，故B 不对；由于0＜a －b ＜1是存在的，故lg (a －b )＞0不一定成立，所以C 不对；由于函数y ＝(13)x 是一个减函数，当a ＞b 时一定有(13)a <(13)b 成立，故D 正确．综上，D选项是正确选项，故选D ．2．(2016·厦门一中检测)设0<a <b ，则下列不等式中正确的是 ( B ) A ．a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b2D ．ab <a <a ＋b2<b[解析] 因为0<a <b ，所以a －ab ＝a (a －b )<0，故a <ab ；b －a ＋b 2＝b －a2>0，故b >a ＋b 2；由基本不等式知a ＋b 2>ab ，综上所述，a <ab <a ＋b2<b ，故选B ．3．(2016·山东)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B ＝ ( C )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析] 通性通法 集合A 表示函数y ＝2x 的值域，故A ＝(0，＋∞)．由x 2－1<0，得－1<x <1，故B ＝(－1,1)，所以A ∪B ＝(－1，＋∞)．故选C ．光速解法 由函数y ＝2x 的值域可知，选项A ，B 不正确；由02－1<0可知，0∈B ，故0∈A ∪B ，故排除选项D ，选C ．4．(2017·上海市长宁区延安中学高三上学期期中数学试题)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ＋2x ＋y －2≥0x ≤2，则z ＝|x －y |的最大值是 ( B )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 依题意画出可行域如图中阴影部分所示，令m ＝y －x ，则m 为直线l ：y ＝x ＋m 在y 轴上的截距，由图知在点A (2,6)处m 取最大值4，在C (2,0)处取最小值－2，所以m ∈[－2,4]，所以z 的最大值是4，故选B ．5．(2016·湖南六校联考)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a y ≥xx ＋y ≤2(a <1)，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是 ( B )A ．211B ．14C ．12D ．112[解析] 画出不等式组表示的可行域的大致图形如图中阴影部分所示，平移直线2x ＋y ＝0，可知在点A (a ，a )处z 取最小值，即z min ＝3a ，在点B (1,1)处z 取最大值，即z max ＝3，所以12a ＝3，即a ＝14.6．(2016·山东烟台模拟)命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是 ( C )A ．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但大前提错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误[解析] 由题目可知满足“三段论”形式，但是大前提表述不正确而使结论错误．故选C ．7．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是 ( A )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根[解析] 至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．故选A ．8．(2017·福建省八县(市)一中高三上学期期中联考数学试题)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是 ( C )A ．245B ．285C ．5D ．6[解析] ∵x ＋3y ＝5xy ，∴15y ＋35x＝1.∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×1＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝3x 5y ＋95＋45＋ 12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y5x＝5， 当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立．故选C .9．(2016·北京)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放人盒中，则 ( B )A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多[解析] 若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除A 、D ；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则红球一个放在甲盒，余下一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，则余下一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除C ；故选B ．10．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋2n ＝n (2n ＋1)，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式左边应添加的项是 ( C )A ．2k ＋1B ．2k ＋2C ．(2k ＋1)＋(2k ＋2)D ．(k ＋1)＋(k ＋2)＋(k ＋3)＋ (2)[解析] 当n ＝k 时，左边＝1＋2＋3＋…＋2k ；当n ＝k ＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋2k ＋(2k ＋1)＋(2k ＋2)．所以等式左边应添加(2k ＋1)＋(2k ＋2)．故选C ．11．要使得对任意的x ，不等式－x 2＋2x ≤M 都成立的所有常数M 中，把M 的最小值1叫做－x 2＋2x 的上确界，若a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，则－12a －2b的上确界为 ( A )A ．－92B ．92C ．14D ．－4[解析] 因为a ，b 为正实数，所以12a ＋2b ＝(12a ＋2b )×(a ＋b )＝52＋(b 2a ＋2a b )≥52＋2b 2a ×2a b ＝92，当且仅当b ＝2a 时等号成立，因此有－12a －2b ≤－92. 12．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0y －12x ≥0x －1≥0，则u ＝y x －xy的取值范围为 ( D )A ．[12，2]B ．[－23，2]C ．[－23，32]D ．[－32，32][解析] 作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，令y x ＝t ，由图可得12≤t ≤2，则u ＝t －1t 在[12，2]上显然是增函数，所以当t ＝12时，u min ＝－32，当t ＝2时，u max＝32，因此u ＝y x －x y 的取值范围为[－32，32]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．(2017·天津市静海县第一中学9月学业能力调研数学试题)若关于x 的一元二次方程(a －2)x 2－2ax ＋a ＋1＝0没有实数解，则ax ＋3>0的解集为 {x |x <－3a} .[解析] 由题意可知△＝(－2a )2－4(a －2)(a ＋1)＝a ＋2<0，所以a <－2，所以解ax ＋3>0得x <－3a .所以答案应填：{x |x <－3a}．14．(2016·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为 32.[解析] 约束条件对应的平面区域是以点(1，12)、(0,1)和(－2，－1)为顶点的三角形，当目标函数y ＝－x ＋z 经过点(1，12)时，z 取得最大值32.15．设a ，b ∈(0，＋∞)，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y，当且仅当a x ＝by 时，上式取等号，利用以上结论，可以得到函数f (x )＝2x ＋91－2x (x ∈(0，12))的最小值为_25__.[解析] 根据已知结论，f (x )＝2x ＋91－2x ＝42x ＋91－2x ≥(2＋3)22x ＋(1－2x )＝25，当且仅当22x ＝31－2x，即x ＝15∈(0，12)时，f (x )取得最小值.16．设P 的边长为a 的正三角形ABC 内的一点，P 点到三边的距离分别为h 1、h 2、h 3，则h 1＋h 2＋h 3＝32a ；类比到空间，设P 是棱长为a 的正四面体ABCD 内的一点，则P 点到四个面的距离之和h 1＋h 2＋h 3＋h 4＝63a . [解析] 如图，连接AP ，BP ，CP ，DP ，则正四面体ABCD 可分成四个小三棱锥，根据体积相等可得，正四面体的体积为13×34a 2×63a ＝13×34a 2(h 1＋h 2＋h 3＋h 4)，所以h 1＋h 2＋h 3＋h 4＝63a .三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2016·四川德阳中学“零诊”)已知二次函数f (x )满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x .(1)求二次函数f (x )的解析式；(2)若不等式f (x )＞2x ＋m 在[－1,1]上恒成立，求实数m 的取值范围． [答案] (1)f (x )＝x 2－x ＋1 (2)(－∞，－1) [解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由f (0)＝1，得c ＝1，故f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)． ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴2a ＝2，a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1， ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由(1)知x 2－x ＋1＞2x ＋m 在[－1,1]上恒成立， 即m ＜x 2－3x ＋1在[－1,1]上恒成立．令g (x )＝x 2－3x ＋1＝(x －32)2－54，则g (x )在[－1,1]上单调递减．所以g (x )在[－1,1]上的最小值为g (1)＝－1. 所以m 的取值范围是(－∞，－1)．18．(本小题满分12分)已知x ，y ，z ＞0，x ＋y ＋z ＝3. (1)求1x ＋1y ＋1z 的最小值．(2)证明：3≤x 2＋y 2＋z 2＜9.[答案] (1)3 (2)略[解析] (1)1x ＋1y ＋1z ＝13(x ＋y ＋z )(1x ＋1y ＋1z )＝13(1＋x y ＋x z ＋y x ＋1＋y z ＋z x ＋zy＋1)＝13[3＋(x y ＋y x )＋(x z ＋z x )＋(y z ＋z y )] ≥13[3＋2x y ·y x＋2x z ·z x＋2y z ·z y ]＝3.所以1x ＋1y ＋1z最小值为3. (2)9＝(x ＋y ＋z )2＝x 2＋y 2＋z 2＋2xy ＋2xz ＋2yz ≤3(x 2＋y 2＋z 2)， ∴x 2＋y 2＋z 2≥3.又∵x ，y ，z ＞0，∴xy ＋xz ＋yz ＞0. ∴x 2＋y 2＋z 2＝9－2(xy ＋xz ＋yz )＜9. ∴3≤x 2＋y 2＋z 2＜9.19．(本小题满分12分)已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. 求：(1)u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)1x ＋1y 的最小值． [答案] (1)1 (2)7＋21020[解析] (1)∵x >0，y >0，∴由均值不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20， ∴210xy ≤20，xy ≤10.当且令当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∵u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1，∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝(1x ＋1y )·2x ＋5y 20＝120(7＋5y x ＋2x y ) ≥120(7＋25y x ·2x y )＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103，则1x ＋1y 的最小值为7＋21020.20．(本小题满分12分)先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a 1，a 2∈R ，a 1＋a 2＝1，求证：a 21＋a 22≥12. 证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2，因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0，所以Δ＝4－8(a 21＋a 22)≤0，从而得a 21＋a 22≥12. (1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，请写出上述结论的推广式； (2)参考上述解法，对你推广的结论加以证明． [答案] (1)a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n(2)略 [解析] (1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，求证：a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n . (2)构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝nx 2－2x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ，因为对一切x ∈R ，都有f (x )≥0，所以Δ＝4－4n (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≤0，从而证得：a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n. 21．(本小题满分12分)某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载试验，计划搭载若干件新产品A ，B ，该研究所要根据产品的研制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排，通过调查得到的有关数据如下表：千克，则如何安排这两种产品进行搭载，才能使总预计收益达到最大，求最大预计收益是多少．[答案] 960万元[解析] 设搭载A 产品x 件，B 产品y 件，则预计收益z ＝80x ＋60y ，由题意知， ⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋30y ≤300，10x ＋5y ≤110，x ∈N ，y ∈N ，作出可行域如图所示．作出直线l ：80x ＋60y ＝0并平移，由图形知，当直线经过点M 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 20x ＋30y ＝300，10x ＋5y ＝110，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝4，即M (9,4)．所以z max ＝80×9＋60×4＝960(万元)，所以搭载9件A 产品，4件B 产品，才能使总预计收益达到最大，最大预计收益为960万元．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ＝1n，f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧S 2n ，n ＝1S 2n －S n －1，n ≥2 (1)计算f (1)，f (2)，f (3)的值；(2)比较f (n )与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论． [解析] (1)由已知f (1)＝S 2＝1＋12＝32，f (2)＝S 4－S 1＝12＋13＋14＝1312，f (3)＝S 6－S 2＝13＋14＋15＋16＝1920.(2)由(1)知f (1)>1，f (2)>1.下面用数学归纳法证明：当n ≥3时，f (n )<1. ①由(1)知当n ＝3时，f (n )<1；②假设当n ＝k (k ≥3)时，f (n )<1，即f (k )＝1k ＋1k ＋1＋…＋12k <1，那么f (k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝(1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k )＋12k ＋1＋12k ＋2－1k<1＋(12k ＋1－12k )＋(12k ＋2－12k )＝1＋2k －(2k ＋1)2k (2k ＋1)＋2k －(2k ＋2)2k (2k ＋2)＝1－12k (2k ＋1)－1k (2k ＋2)<1，所以当1≤n ≤2时，f (n )<1也成立． 由①和②知，当n ≥3时，f (n )<1.所以当n ＝1和n ＝2时，f (n )>1；当n ≥3时，f (n )<1.。