1983年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷I)数学(文科)试卷参考答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I）数学（文科）试卷参考答案一、选择题1．D2．B3．A4．A5．C6．C7．D8．D9．B 10．D11．A12．C二、填空题13．0.2514．3()x x∈R15．4π316．1 3三、解答题17．解：（Ⅰ）由a=2b sinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以1 sin2B=，由△ABC为锐角三角形得π6B=。
（Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2－2ac cosB=27+25－45=7所以，b=18．解：（Ⅰ）记A表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则A表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”。
()P A=（1－0.6）2=0.064，P（A）=1－()P A=1－0.064=0.936。
（Ⅱ）记B表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”。
B0表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”。
B1表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”。
则B= B 0+ B 1。
P （B 0）=0.63=0.216，1213()0.60.40.432P B C =⨯⨯=。
P （B ）=P （B 0+ B 1） =P （B 0）+P （B 1） =0.216+0.432 =0.64819．解法一：（1）作SO ⊥BC ，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD 。
因为SA=SB ，所以AO=BO ，又∠ABC=45°，故AOB △为等腰直角三角形，AO ⊥BO ， 由三垂线定理，得SA ⊥BC 。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA ⊥BC ， 依题设AD BC ∥， 故SA ⊥AD ， 由SA =SD又AO=ABsin45°DE ⊥BC ，垂足为E ，则DE ⊥平面SBC ，连结SE 。
∠ESD 为直线SD 与平面SBC 所成的角。
sin ED AO ESD SD SD ====∠所以，直线SD 与平面SBC所成的角为。
1983年高考理科数学试题
1983年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案（这份试题共九道大题，满分120分）一．（本题满分10分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得2分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分1．两条异面直线，指的是 （ D ） （A ）在空间内不相交的两条直线（B ）分别位于两个不同平面内的两条直线（C ）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线（D ）不在同一平面内的两条直线2．方程x 2-y 2=0表示的图形是 （ A ） （A ）两条相交直线 （B ）两条平行直线 （C ）两条重合直线 （D ）一个点3．三个数a ,b ,c 不全为零的充要条件是 （ D ） （A ）a ,b ,c 都不是零 （B ）a ,b ,c 中最多有一个是零 （C ）a ,b ,c 中只有一个是零（D ）a ,b ,c 中至少有一个不是零4．设,34π=α则)arccos(cos α的值是 （ C ） （A ）34π （B ）32π- （C ）32π （D ）3π5．3.0222,3.0log ,3.0这三个数之间的大小顺序是 （ C ） （A ）3.0log 23.023.02<< （B ）3.02223.0log 3.0<< （C ）3.02223.03.0log << （D ）23.023.023.0log <<二．（本题满分12分）1．在同一平面直角坐标系内，分别画出两个方程,x y -=y x -=的图形，并写出它们交点的坐标2．在极坐标系内，方程θ=ρcos 5表示什么曲线？画出它的图形解：1.图形如左图所示 交点坐标是：O （0，0），P （1，-1） 2．曲线名称是：圆图形如右所示三．（本题满分12分） 1．已知x e y x 2sin -=，求微分dy2．一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法解：1.dx x e x e dx x e dy x x x ]2sin )()2(sin [)2sin ('+'='=---.)2sin 2cos 2()2sin 2cos 2(dx x x e dx x e x e x x x -=-=---2．)(1003416242614种=+⋅+⋅C C C C C 或：)(1002012036310种=-=-C C四．（本题满分12分） 计算行列式（要求结果最简）：YXβϕ-ββαϕ+ααsin )sin(cos cos )cos(sin解：把第一列乘以ϕsin 加到第2列上，再把第三列乘以)cos (ϕ-加到第2列上，得0cos 0sin sin 0cos cos 0sin cos 2cos 2cos sin sin )sin()sin(cos cos )cos()cos(sin =ϕϕββαα=ϕϕ-ϕϕβϕ-β-ϕ-ββαϕ+α-ϕ+αα=原式五．（本题满分15分）1．证明：对于任意实数t ，复数i t t z |sin ||cos |+=的模||z r = 适合≤r 2．当实数t 取什么值时，复数i t t z |sin ||cos |+=的幅角主值θ适合40π≤θ≤？ 1．证：复数i t t z |sin ||cos |+=（其中t 是实数）的模||z r =为.|sin ||cos |)|sin |()|cos |(22t t t t r +=+=要证对任意实数t ，有42≤r ，只要证对任意实数t ，2|sin ||cos |≤+t t 成立对任意实数t ，因为1|sin ||cos |22=+t t ，所以可令|,sin |sin |,cos |cos t t =ϕ=ϕ且)2,0(π∈ϕ，于是.2)4sin(2sin cos |sin ||cos |≤π+ϕ=ϕ+ϕ=+t t2．因为复数i t t z |sin ||cos |+=的实部与虚部都是非负数，所以z 的幅角主值θ一定适合20≤θ≤从而.1040≤θ≤⇔π≤θ≤tg 显然||≠=z r 因为.111||010,|||cos ||sin |≤≤-⇔≤θ≤⇔≤θ≤==θtgt tg tg tgt t t tg 所以由于).(4411,,22为任意整数的解是因此并且它的周期是内是增函数在k k t k tgt t tgt y π+π≤≤π-π≤≤-ππ<<π-=这就是所求的实数t 的取值范围六．（本题满分15分）如图，在三棱锥S-ABC 中，S 在底面上的射影N 位于底面的高CD 上;M 是侧棱SC 上的一点，使截面MAB 与底面所成的角等 于∠NSC ，求证SC 垂直于截面MAB证：因为SN 是底面的垂线，NC 是斜线SC 在底面上的射影，AB ⊥NC ，所以AB ⊥SC （三垂线定理） 连结DM 因为AB ⊥DC ，AB ⊥SC ，所以AB 垂直于DC 和SC 所决定的平面又因DM 在这个平面内，所以AB ⊥DM∴∠MDC 是截面与底面所成二面角的平面角，∠MDC=∠NSC在△MDC 和△NSC 中，因为∠MDC=∠NSC ，∠DCS 是公共角， 所以∠DMC=∠SNC=900从而DM ⊥SC 从AB ⊥SC ，DM ⊥SC ，可知SC ⊥截面MAB七．（本题满分16分）如图，已知椭圆长轴|A 1A 2|=6，焦距|F 1F 2|=24，过椭圆焦点F 1作一直线，交椭圆于两点M ，N 设∠F 2F 1M=α（0≤α＜π）当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？SM P C A N D B解一：以椭圆焦点F 1为极点，以F 1为起点并过F 2的射线为极轴建立极坐标系由已知条件可知椭圆长半轴a=3，半焦距c=22，短半轴b=1，离心率e=322，中心到准线距离=429, 焦点到准线距离p=42.椭圆的极坐标方程为 θ-=θ-=ρcos 2231cos 1e ep.2cos 896||,cos 2231||.cos 2231||2212211=α-=ρ+ρ=α+=ρ=α-=ρ=∴MN N F M F解得.656.22cos π=απ=α∴±=α或 以上解方程过程中的每一步都是可逆的， 所以当6π=α或65π=α时，|MN|等于短轴的长解二：以椭圆的中心为原点，F 1F 2所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图）由已知条件知，椭圆的方程为.1922=+y xMN 所在直线方程为)()22(α=+=tg k x k y 其中解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+)22(1922x k y y x消去y 得0)18(9236)91(2222=-+++k x k x k .Y Xα+α+=++=++++=-+-=22222222222122191669166)91()1(36)1(36)()(||tg tg k k k k k k y y x x MN下同解法一解三：建立坐标系得椭圆如解二， MN 所在直线的参数方程为)(sin cos 22是参数t t y t x ⎩⎨⎧α=α+-=代入椭圆方程得 .01)cos 24()sin 9(cos 222=-α-α+αt t设t 1,t 2是方程两根，则由韦达定理，.sin 9cos 64)(||||.sin 9cos 1,sin 9cos cos 2422212212122212221α+α=-+=-=α+α-=α+αα=+t t t t t t MN t t t t下同解一解四：设|F 1M|=x ,则|F 2M|=6-x |F 1F 2|=24，∠F 2F 1M=α在△MF 1F 2中由余弦定理得13cos 22,cos 28)24()6(222=+-αα-+=-x x x x xα-=cos 2231x同理，设|F 1N|=y ，则|F 2N|=6-y 在△F 1F 2N 中，由余弦定理得.cos 896cos 2231cos 2231||,cos 2231,1cos 223).cos(28)24()6(2222α-=α++α-=α+==α+α-π-+=-MN y y y y y y下同解一已知数列{a n }的首项a 1=b(b ≠0），它的前n 项的和S n =a 1+a 2+…+a n (n ≥1),并且S 1，S 2，S n ，…是一个等比数列，其公比为p （p ≠0且|p|＜1）1．证明：a 2,a 3,a 3,…a n ,…(即{a n }从第二项起）是一个等比数列2．设W n =a 1S 1+a 2S 2+a 3S 3+…+a n S n (n ≥1),求n n W ∞→lim（用b,p 表示）1．证：由已知条件得S 1=a 1=b.S n =S 1p n-1=bp n-1(n ≥1）因为当n ≥2时，S n =a 1+a 2+…+a n-1+a n =S n-1+a n ,所以 a n =S n -S n-1=bp n-2(p-1)(n ≥2)从而),2()1()1(211≥=--=--+n p p bp p bp a a n n n n 因此a 2,a 3,a 3,…a n ,…是一个公比为p 的等比数列2．解：当n ≥2时，,)1()1(212111p bpp bp bp p bp S a S a n n n n n n n n =--=---++ 且由已知条件可知p 2<1，因此数列a 1S 1，a 2S 2，a 3S 3，…a n S n …是公比为p 2<1的无穷等比数列于是.11)1(1)(lim 2222223322p p b pp p b p S a S a S a S a n n n +-=--=-=+++∞→ 从而)(lim lim )(lim lim 332211332211n n n n n n n n n S a S a S a S a S a S a S a S a W ++++=++++=∞→∞→∞→∞→.11222pb p p b b +=+-=1．已知a,b 为实数，并且e<a<b ，其中e 是自然对数的底，证明a b >b a . 2.如果正实数a,b 满足a b =b a .且a<1，证明a=b1．证：当e<a<b 时， 要证a b >b a ， 只要证blna>alnb,即只要证b ba a ln ln > 考虑函数0(ln +∞<<=x xxy 因为但e x >时， ,0ln 12<-='x x y 所以函数),(ln +∞=e x x y 在内是减函数因为e<a<b ，所以bba a ln ln >，即得ab >b a 2．证一：由a b =b a ，得blna=alnb ，从而ba a ln = 考虑函数)0(ln +∞<<=x xxy ，它的导数是 .ln 12x x y -='因为在（0，1）内0)(>'x f ，所以f(x)在（0，1）内是增函数由于0<a<1,b>0,所以a b <1,从而b a =a b <1.由b a <1及a>0,可推出b<1.由0<a<1,0<b<1,假如b a ≠，则根据f(x)在（0，1）内是增函数，得)()(b f a f ≠，即bba a ln ln ≠，从而ab b a ≠这与a b =b a 矛盾 所以a=b证二：因为0<a<1，a b =b a ，所以,log log b a a b a a =即aba log =假如a<b ，则1>ab，但因a<1，根据对数函数的性质，得b abb a b a b a a a a log ,log ,1log log =>=<这与从而矛盾所以a 不能小于b假如a>b ，则1<a b ，而1log >b a ，这也与b ab a log =矛盾所以a 不能大于b 因此a=b证三：假如a<b ，则可设ε+=a b ，其中ε>0由于0<a<1,ε>0,根据幂函数或指数函数的性质，得1<εa 和1)1(>ε+a a， 所以 ,)(,)1(,)1(a a a a a a a a aa a a a a ε+<ε+<ε+<ε+εε 即ab <b a .这与a b =b a 矛盾所以a 不能小于b假如b<a ，则b<a<1，可设a=b+ε,其中ε>0,同上可证得a b <b a .这于a b =b a 矛盾a 不能大于b因此a=b。
2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷)文科数学
2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）文科数学（2023·全国乙卷·文·1·★）232i 2i ++=（ ）（A ）1 （B ）2 （C （D 答案：C解析：2322i 2i 212i i 212(1)i 12i ++=−+⨯⨯=−+⨯−⨯=−=.（2023·全国乙卷·文·2·★）设全集{0,1,2,4,6,8}U =，集合{0,4,6}M =，{0,1,6}N =，M ∪C U N 则（ ） （A ）{0,2,4,6,8} （B ）{0,1,4,6,8} （C ）{1,2,4,6,8} （D ）U 答案：A解析：由题意，C U N ={2,4,8}，所以M ∪C U N ={0,2,4,6,8}.（2023·全国乙卷·文·3·★） 如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）A. 24B. 26C. 28D. 30答案：D解析：如图所示，在长方体1111ABCD A B C D −中，2AB BC ==，13AA =，点,,,H I J K 为所在棱上靠近点1111,,,B C D A 的三等分点，,,,O L M N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体1111ABCD A B C D −去掉长方体11ONIC LMHB −之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形， 其表面积为：()()()22242321130⨯⨯+⨯⨯−⨯⨯=.（2023·全国乙卷·文·4·★★）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos a B b A c −=，且5C π=则，在B =（ ） （A ）10π（B ）5π （C ）310π （D ）25π 答案：C解法1：所给边角等式每一项都有齐次的边，要求的是角，故用正弦定理边化角分析， 因为cos cos a B b A c −=，所以sin cos sin cos sin A B B A C −=，故sin()sin A B C −= ①， 已知C ，先将C 代入，再利用A B C π++=将①中的A 换成B 消元， 因为5C π=，所以45A B C ππ+=−=，故45A B π=−，代入①得4sin(2)sin 55B ππ−= ②， 因为45A B π+=，所以405B π<<，故4442555B πππ−<−<，结合②可得4255B ππ−=，所以310B π=.解法2：按解法1得到sin cos sin cos sin A B B A C −=后，观察发现若将右侧sin C 拆开，也能出现左边的两项，故拆开来看，sin sin[()]sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B π=−+=+=+，代入sin cos sin cos sin A B B A C −=得：sin cos sin cos sin cos sin cos A B B A A B B A −=+，化简得：sin cos 0B A =，因为0B π<<，所以sin 0B >，故cos 0A =，结合0A π<<可得2A π=，所以43510B A ππ=−=.（2023·全国乙卷·文·5·★★） 已知e ()e 1xax x f x =−是偶函数，则=a （ ）A. 2−B. 1−C. 1D. 2答案：D解析：因为()e e 1x ax x f x =−为偶函数，则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x x x x ax ax ax x x x f x f x −−−⎡⎤−−⎣⎦−−=−==−−−， 又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a x x −−=，即()1e e a x x −=，则()1x a x =−，即11a =−，解得2a =.（2023·全国乙卷·文·6·★）正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（ ） （A（B ）3 （C） （D ）5 答案：B解析：如图，EC ，ED 共起点，且中线、底边长均已知，可用极化恒等式求数量积， 由极化恒等式，223EC ED EF CF ⋅=−=.A BCDE F（2023·全国乙卷·文·7·★★）设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y xy ≤+≤内随机取一点A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（ ） A.18B. 16C.14D.12答案：C 解析：因为区域(){}22,|14x y xy ≤+≤表示以()0,0O 圆心，外圆半径2R =，内圆半径1r =的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角π4MON ∠=， 结合对称性可得所求概率π2142π4P ⨯==.（2023·全国乙卷·文·8·★★★）函数3()2f x x ax =++存在3个零点，则a 的取值范围是（ ） （A ）(,2)−∞− （B ）(,3)−∞− （C ）(4,1)−− （D ）(3,0)− 答案：B解法1：观察发现由320x ax ++=容易分离出a ，故用全分离，先分析0x =是否为零点， 因为(0)20f =≠，所以0不是()f x 的零点；当0x ≠时，3322()0202f x x ax ax x a x x=⇔++=⇔=−−⇔=−−， 所以直线y a =与函数22(0)y x x x =−−≠的图象有3个交点，要画此函数的图象，需求导分析，令22()(0)g x x x x =−−≠，则3222222(1)2(1)(1)()2x x x x g x x x x x −−++'=−+==， 因为22131()024x x x ++=++>，所以()00g x x '>⇔<或01x <<，()01g x x '<⇔>，故()g x 在(,0)−∞上，在(0,1)上，在(1,)+∞上，又lim ()x g x →−∞=−∞，当x 分别从y 轴左、右两侧趋近于0时，()g x 分别趋于+∞，−∞，(1)3g =−，lim ()x g x →+∞=−∞，所以()g x 的大致图象如图1，由图可知要使y a =与()y g x =有3个交点，应有3a <−.解法2：如图2，三次函数有3个零点等价于两个极值异号，故也可直接求导分析极值，由题意，2()3f x x a '=+，要使()f x 有2个极值点，则()f x '有两个零点，所以120a ∆=−>，故0a <， 令()0f x '=可得x =322f =+=，3(((22f a =++=，故34(2)(2)4027a f f =+=+<，解得：3a <−.a=1图2图（2023·全国乙卷·文·9·★）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ） A.56B.23C.12D.13答案：A解析：甲有6种选择，乙也有6种选择，故总数共有6636⨯=种， 若甲、乙抽到的主题不同，则共有26A 30=种， 则其概率为305366=，（2023·全国乙卷·文·10·★★★）已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则5π12f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭（） A. B. 12−C.12D.2答案：D解析：因为()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 所以2πππ2362T =−=，且0ω>，则πT =，2π2w T ==， 当π6x =时，()f x 取得最小值，则ππ22π62k ϕ⋅+=−，Z k ∈，则5π2π6k ϕ=−，Z k ∈，不妨取0k =，则()5πsin 26f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，则5π5πsin 1232f ⎛⎫⎛⎫−=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（2023·全国乙卷·文·11·★★★）已知实数x ，y 满足224240x y x y +−−−=，则x y −的最大值是（ ）（A ）1 （B ）4 （C ）1+ （D ）7 答案：C解法1：所给等式可配方化为平方和结构，故考虑三角换元，22224240(2)(1)9x y x y x y +−−−=⇒−+−=，令23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，则23cos 13sin 1)4x y πθθθ−=+−−=−−，θ∈R ，所以当sin()14πθ−=−时，x y −取得最大值1+解法2：所给方程表示圆，故要求x y −的最大值，也可设其为t ，看成直线，用直线与圆的位置关系处理，22224240(2)(1)9x y x y x y +−−−=⇒−+−= ①，设t x y =−，则0x y t −−=，因为x ，y 还满足①，所以直线0x y t −−=与该圆有交点，从而圆心(2,1)到直线的距离3d =≤，解得：11t −≤≤+max ()1x y −=+（2023·全国乙卷·文·12·★★★★）设A ，B 为双曲线2219y x −=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（ ） A. ()1,1 B. ()1,2-C. ()1,3D. ()1,4−−答案：D解析：设()()1122,,,A x y B x y ，则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，可得1212121212122,2ABy y y y y y k k x x x x x x +−+===+−+，因为,A B 在双曲线上，则221122221919y x y x ⎧−=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩，两式相减得()2222121209y y x x −−−=， 所以221222129AB y y k k x x −⋅==−. 对于选项A ： 可得1,9AB k k ==，则:98AB y x =−，联立方程229819y x y x =−⎧⎪⎨−=⎪⎩，消去y 得272272730x x −⨯+=，此时()2272472732880∆=−⨯−⨯⨯=−<， 所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误； 对于选项B ：可得92,2AB k k =−=−，则95:22AB y x =−−， 联立方程22952219y x y x ⎧=−−⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩，消去y 得245245610x x +⨯+=， 此时()224544561445160∆=⨯−⨯⨯=−⨯⨯<， 所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误； 对于选项C ：可得3,3AB k k ==，则:3AB y x =由双曲线方程可得1,3a b ==，则:3AB y x =为双曲线的渐近线， 所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误； 对于选项D ：94,4AB k k ==，则97:44AB y x =−， 联立方程22974419y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩，消去y 得2631261930x x +−=， 此时21264631930∆=+⨯⨯>，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；（2023·全国乙卷·文·13·★）已知点(A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为______. 答案：94解析：由题意可得：221p =⨯，则25p =，抛物线的方程为25y x =，准线方程为54x =−，点A 到C 的准线的距离为59144⎛⎫−−= ⎪⎝⎭.（2023·全国乙卷·文·14·★）若(0,)2πθ∈，1tan 3θ=，则sin cos θθ−=_____.答案： 解析：已知tan θ，可先求出sin θ和cos θ， 由题意，sin 1tan cos 3θθθ==，所以cos 3sin θθ=，代入22cos sin 1θθ+=可得210sin 1θ=， 又(0,)2πθ∈，所以sin θ=，cos θ=，故sin cos θθ−=（2023·全国乙卷·文·15·★★）若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y −≤−⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =−的最大值为______.答案：8解析：作出可行域如下图所示：z =2x −y ，移项得y =2x −z ， 联立有3129x y x y −=−⎧⎨+=⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩，设()5,2A ，显然平移直线2y x =使其经过点A ，此时截距−z 最小，则z 最大，代入得z =8，（2023·全国乙卷·文·16·★★★）已知点S ，A ，B ，C 均在半径为2的球面上，ABC ∆是边长为3的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，则SA =_____. 答案：2解析：有线面垂直，且ABC ∆是等边三角形，属外接球的圆柱模型，核心方程是222()2hr R +=，如图，圆柱的高h SA =，底面半径r 即为ABC ∆的外接圆半径，所以233r ==， 由题意，球的半径2R =，因为222()2hr R +=，所以23()42h +=，解得：2h =，故2SA =.（2023·全国乙卷·文·17·★★★）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅．试验结果如下：记()1,2,,10i i i z x y i =−=⋅⋅⋅，记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ，样本方差为2s ． （1）求z ，s 2；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z ≥则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高） 答案：（1）11z =，261s =；（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 解析：（1）545533551522575544541568596548552.310x +++++++++==，536527543530560533522550576536541.310y +++++++++==，552.3541.311z x y =−=−=，i i i z x y =− 的值分别为: 9,6,8,8,15,11,19,18,20,12−，故2222222222(911)(611)(811)(811)(1511)0(1911)(1811)(2011)(1211)6110s −+−+−+−−+−++−+−+−+−==（2）由（1）知:11z =，==z ≥ 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.（2023·全国乙卷·文·18·★★★）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知211a =，1040S =. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T .解：（1）（已知条件都容易代公式，故直接用公式翻译，求出1a 和d ） 设{}n a 的公差为d ，则2111a a d =+= ①， 101104540S a d =+= ②，联立①②解得：113a =，2d =−，所以1(1)13(1)(2)152n a a n d n n =+−=+−⨯−=−.（2）（通项含绝对值，要求和，先去绝对值，观察发现{}n a 前7项为正，从第8项起为负，故据此讨论） 当7n ≤时，0n a >，所以12n n T a a a =++⋅⋅⋅+ 2112()(13152)1422n n n a a n n a a a n n ++−=++⋅⋅⋅+===−； 当8n ≥时，12n n T a a a =++⋅⋅⋅+ 12789n a a a a a a =++⋅⋅⋅+−−−⋅⋅⋅− 127122()()n a a a a a a =++⋅⋅⋅+−++⋅⋅⋅+ 27(131)(13152)2149822n n n n ⨯++−=⨯−=−+； 综上所述，2214,71498,8n n n n T n n n ⎧−≤⎪=⎨−+≥⎪⎩.（2023·全国乙卷·文·19·★★★）如图，在三棱锥−P ABC 中，AB BC ⊥，2AB =，BC =PB PC ==,,BP AP BC 的中点分别为,,D E O ，点F 在AC 上，BF AO ⊥．（1）求证：EF //平面ADO ；（2）若120POF ∠=︒，求三棱锥−P ABC 的体积．答案：（1）证明见解析 （2解析：（1）连接,DE OF ，设AF tAC =，则(1)BF BA AF t BA tBC =+=−+，12AO BA BC =−+，BF AO ⊥， 则2211[(1)]()(1)4(1)4022BF AO t BA tBC BA BC t BA tBC t t ⋅=−+⋅−+=−+=−+=， 解得12t =，则F 为AC 的中点，由,,,D E O F 分别为,,,PB PA BC AC 的中点，于是11//,,//,22DE AB DE AB OF AB OF AB ==，即,//DE OF DE OF =，则四边形ODEF 为平行四边形，//,EF DO EF DO =，又EF ⊄平面,ADO DO ⊂平面ADO ，所以//EF 平面ADO .（2）过P 作PM 垂直FO 的延长线交于点M ， 因为,PB PC O =是BC 中点，所以PO BC ⊥，在Rt PBO △中，12PB BO BC ===2PO ===， 因为,//AB BC OF AB ⊥，所以OF BC ⊥，又PO OF O ⋂=，,PO OF ⊂平面POF ， 所以BC⊥平面POF ，又PM ⊂平面POF ，所以BC PM ⊥，又BC FM O =，,BC FM ⊂平面ABC ，所以PM ⊥平面ABC ，即三棱锥−P ABC 的高为PM ，因为120POF ∠=︒，所以60POM ∠=︒，所以sin 6022PM PO =︒=⨯=，又11222ABC S AB BC =⋅=⨯⨯=△所以11333P ABC ABC V S PM −=⋅=⨯=△.（2023·全国乙卷·文·20·★）已知函数1()()ln(1)f x a x x=++. （1）当1a =−时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，求a 的取值范围.答案：（1）()ln 2ln 20x y +−=； （2）1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭. 解析：（1）当1a =−时，()()()11ln 11f x x x x ⎛⎫=−+>− ⎪⎝⎭， 则()()2111ln 111x f x x x x ⎛⎫'=−⨯++−⨯ ⎪+⎝⎭， 据此可得()()10,1ln 2f f '==−，所以函数在()()1,1f 处的切线方程为()0ln 21y x −=−−，即()ln 2ln 20x y +−=.（2）由函数的解析式可得()()()2111=ln 111f x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫'−+++⨯>− ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 满足题意时()0f x '≥在区间()0,∞+上恒成立. 令()2111ln 101x a x x x ⎛⎫⎛⎫−+++≥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则()()()21ln 10x x x ax −++++≥， 令()()()2=1ln 1g x ax x x x +−++，原问题等价于()0g x ≥在区间()0,∞+上恒成立，则()()2ln 1g x ax x '=−+，当0a ≤时，由于()20,ln 10ax x ≤+>，故()0g x '<，()g x 在区间()0,∞+上单调递减， 此时()()00g x g <=，不合题意;令()()()2ln 1h x g x ax x '==−+，则()121h x a x −'=+， 当12a ≥，21a ≥时，由于111x <+，所以()()0,h x h x '>在区间()0,∞+上单调递增， 即()g x '在区间()0,∞+上单调递增，所以()()>00g x g ''=，()g x 在区间()0,∞+上单调递增，()()00g x g >=，满足题意. 当102a <<时，由()1201h x a x =−=+'可得1=12x a −， 当10,12x a ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时，()()0,h x h x '<在区间10,12a ⎛⎫− ⎪⎝⎭上单调递减，即()g x '单调递减，注意到()00g '=，故当10,12x a ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时，()()00g x g ''<=，()g x 单调递减， 由于()00g =，故当10,12x a ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时，()()00g x g <=，不合题意. 综上可知：实数a 得取值范围是1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.（2023·全国乙卷·文·21·★★★）已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=，点()2,0A −在C 上． （1）求C 的方程；（2）过点()2,3−的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点． 答案：（1）22194y x += （2）证明见详解 解析：（1）由题意可得22223b a b c c e a ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为22194y x +=. （2）由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设()()()1122:23,,,,PQ y k x P x y Q x y =++，联立方程()2223194y k x y x ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()()()222498231630k x k k x k k +++++=， 则()()()2222Δ64236449317280k k k k k k =+−++=−>，解得0k <， 可得()()2121222163823,4949k k k k x x x x k k +++=−=++， 因为()2,0A −，则直线()11:22y AP y x x =++， 令0x =，解得1122y y x =+，即1120,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭,同理可得2220,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，则()()1212121222232322222y y k x k x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=+++()()()()()()12211223223222kx k x kx k x x x +++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++()()()()1212121224342324kx x k x x k x x x x +++++=+++ ()()()()()()222222323843234231084949336163162344949k k k k k k k k k k k k k k k +++−++++===++−+++， 所以线段PQ 的中点是定点()0,3.【选修4-4】（10分）（2023·全国乙卷·文·22·★★★）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin 42ππρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）. （1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围．答案：（1）()[][]2211,0,1,1,2x y x y +−=∈∈ （2）()(),022,−∞+∞ 解析：（1）因为2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，可得222x y y +=，整理得()2211x y +−=，表示以()0,1为圆心，半径为1的圆， 又因为2cos 2sin cos sin 2,sin 2sin 1cos 2x y ======−ρθθθθρθθθ，且ππ42θ≤≤，则π2π2≤≤θ，则[][]sin 20,1,1cos 21,2x y =∈=−∈θθ， 故()[][]221:11,0,1,1,2C x y x y +−=∈∈.（2）因为22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππ2α<<）， 整理得224x y +=，表示圆心为()0,0O ，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线y x m =+过()1,1，则11m =+，解得0m =；若直线y x m =+，即0x y m −+=与2C相切，则20m =>⎩，解得m =，若直线y x m =+与12,C C均没有公共点，则m >或0m <，即实数m 的取值范围()(),022,−∞+∞.【选修4-5】（10分）（2023·全国乙卷·文·23·★★）已知()22f x x x =+−（1）求不等式()6x f x ≤−的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x y x y ⎧≤⎨+−≤⎩所确定的平面区域的面积． 答案：（1）[2,2]−； （2）8.解析：（1）依题意，32,2()2,0232,0x x f x x x x x −>⎧⎪=+≤≤⎨⎪−+<⎩，不等式()6f x x ≤−化为：2326x x x >⎧⎨−≤−⎩或0226x x x ≤≤⎧⎨+≤−⎩或0326x x x <⎧⎨−+≤−⎩， 解2326x x x >⎧⎨−≤−⎩，得无解；解0226x x x ≤≤⎧⎨+≤−⎩，得02x ≤≤，解0326x x x <⎧⎨−+≤−⎩，得20x −≤<， 因此22x −≤≤，所以原不等式的解集为：[2,2]−（2）作出不等式组()60f x y x y ≤⎧⎨+−≤⎩表示的平面区域，如图中阴影ABC ，由326y xx y=−+⎧⎨+=⎩，解得(2,8)A−，由26y xx y=+⎧⎨+=⎩, 解得(2,4)C，又(0,2),(0,6)B D，所以ABC的面积11|||62||2(2)|822ABC C AS BD x x=⨯−=−⨯−−=.。
2023高考全国甲卷数学真题及答案(文数)
2023高考全国甲卷数学真题及答案(文数)2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案学好高考数学的技巧高考数学题目的总结比较。
建立自己的题库。
多做。
主要是指做高考数学习题，学数学一定要做习题，并且应该适当地多做些。
养成好的学习习惯，做好预习，把预习没看懂的东西，第二天上课着重听。
抓住课堂。
高考数学理科学习重在平日功夫，不适于突击复习。
高质量完成作业。
所谓高质量是指高正确率和高速度。
翻译：把中文翻译成为数学语言，包括：字母表示未知数、图像表示函数式或几何题目、概率语言等等。
该方法常用于函数，几何以及不等式等题目。
特殊化：在面对抽象或者难以理解的题目的时候，我们尝试用最极端最特殊的数字来代替变量，帮助我们理解题目。
该方法常用于在选择题目中排除选项，在解大题的过程中也经常会用到特殊化的结论。
盯住目标：把高考数学目标和已知结合，联想相关的定理、定义、方法。
在压轴题目中，往往需要不断转化目标，即盯住目标需要反复使用!各省高考用卷情况1、新高考一卷(8个省份)适用省份：山东、河北、湖北、福建、湖南、广东、江苏，浙江考试科目：语文、数学、外语、物理、化学、生物、政治、历史、地理、信息技术等。
特点：语文、数学、外语三门考试由教育部考试中心统一命题;物理、历史、化学、政治、生物、地理由各省自行命题。
其中广东、福建、江苏、湖南、湖北、河北6个省是3+1+2模式的高考省份，山东省是综合改革3+3省份。
2、新高考二卷(3个省份)适用省份：海南、辽宁、重庆考试科目：语文、数学、外语、物理、化学、生物、政治、历史、地理等。
特点：语文、数学、外语三门考试由教育部考试中心统一命题;物理、历史、化学、政治、生物、地理由各省自行命题。
其中辽宁、重庆两省市是3+1+2省份，海南是综合改革3+3省份。
3、全国甲卷(5个省份)适用省份：云南、贵州、四川、西藏、广西考试科目：语文、数学、外语、文综、理综特点：语文、数学、外语、文科综合、理科综合均由教育部考试中心统一命题。
普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案,83届
普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案,83届1983年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案（这份试题共九道大题，满分120分）一．（本题满分10分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得2分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分1．两条异面直线，指的是（D）（A）在空间内不相交的两条直线（B）分别位于两个不同平面内的两条直线（C）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线（D）不在同一平面内的两条直线2．方程x2-y2=0表示的图形是（A）（A）两条相交直线（B）两条平行直线（C）两条重合直线（D）一个点3．三个数a,b,c不全为零的充要条件是（D）（A）a,b,c都不是零（B）a,b,c中最多有一个是零（C）a,b,c中只有一个是零（D）a,b,c中至少有一个不是零4．设则的值是（C）（A）（B）（C）（D）5．这三个数之间的大小顺序是（C）（A）（B）（C）（D）二．（本题满分12分）1．在同一平面直角坐标系内，分别画出两个方程的图形，并写出它们交点的坐标2．在极坐标系内，方程表示什么曲线？画出它的图形解：Y211OXP1.图形如左图所示交点坐标是：O（0，0），P（1，-1）OX(,0)2．曲线名称是：圆图形如右所示三．（本题满分12分）1．已知，求微分2．一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法解：1.2．或：四．（本题满分12分）计算行列式（要求结果最简）：解：把第一列乘以加到第2列上，再把第三列乘以加到第2列上，得五．（本题满分15分）1．证明：对于任意实数t，复数的模适合2．当实数t 取什么值时，复数的幅角主值适合？1．证：复数（其中t 是实数）的模为要证对任意实数t，有，只要证对任意实数t，成立对任意实数t，因为，所以可令且，于是2．因为复数的实部与虚部都是非负数，所以z的幅角主值一定适合从而显然因为由于这就是所求的实数t的取值范围六．（本题满分15分）如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上;M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成的角等SMPCANDB于∠NSC，求证SC垂直于截面MAB证：因为SN是底面的垂线，NC是斜线SC在底面上的射影，AB⊥NC，所以AB⊥SC（三垂线定理）连结DM因为AB⊥DC，AB⊥SC，所以AB垂直于DC和SC 所决定的平面又因DM在这个平面内，所以AB⊥DM∴∠MDC 是截面与底面所成二面角的平面角，∠MDC=∠NSC在△MDC 和△NSC中，因为∠MDC=∠NSC，∠DCS是公共角，所以∠DMC=∠SNC=900从而DM⊥SC从AB⊥SC，DM⊥SC，可知SC⊥截面MAB七．（本题满分16分）如图，已知椭圆长轴|A1A2|=6，焦距|F1F2|=，过椭圆焦点F1作一直线，交椭圆于两点M，N设∠F2F1M=α（0≤α＜π）当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？YMαA1F1OF2AXN解一：以椭圆焦点F1为极点，以F1为起点并过F2的射线为极轴建立极坐标系由已知条件可知椭圆长半轴a=3，半焦距c=，短半轴b=1，离心率e=，中心到准线距离=,焦点到准线距离p=.椭圆的极坐标方程为解得以上解方程过程中的每一步都是可逆的，所以当或时，|MN|等于短轴的长解二：以椭圆的中心为原点，F1F2所在直线为x轴建立直角坐标系（如图）由已知条件知，椭圆的方程为MN所在直线方程为解方程组消去y得.下同解法一解三：建立坐标系得椭圆如解二，MN所在直线的参数方程为代入椭圆方程得设t1,t2是方程两根，则由韦达定理，下同解一解四：设|F1M|=x,则|F2M|=6-x|F1F2|=，∠F2F1M=α在△MF1F2中由余弦定理得同理，设|F1N|=y，则|F2N|=6-y在△F1F2N中，由余弦定理得下同解一八．（本题满分16分）已知数列{an}的首项a1=b(b≠0），它的前n项的和Sn=a1+a2+…+an(n≥1),并且S1，S2，Sn，…是一个等比数列，其公比为p（p≠0且|p|＜1）1．证明：a2,a3,a3,…an,…(即{an}从第二项起）是一个等比数列2．设Wn=a1S1+a2S2+a3S3+…+anSn(n≥1),求（用b,p表示）1．证：由已知条件得S1=a1=b.Sn=S1pn-1=bpn-1(n≥1）因为当n≥2时，Sn=a1+a2+…+an-1+an=Sn-1+an,所以an=Sn-Sn-1=bpn-2(p-1)(n≥2)从而因此a2,a3,a3,…an,…是一个公比为p的等比数列2．解：当n≥2时，且由已知条件可知p21，因此数列a1S1，a2S2，a3S3，…anSn…是公比为p21的无穷等比数列于是从而九．（本题满分12分）1．已知a,b为实数，并且eab，其中e是自然对数的底，证明abba.2.如果正实数a,b满足ab=ba.且a1，证明a=b1．证：当eab时，要证abba，只要证blnaalnb,即只要证考虑函数因为但时，所以函数内是减函数因为eab，所以，即得abba2．证一：由ab=ba，得blna=alnb，从而考虑函数，它的导数是因为在（0，1）内，所以f(x)在（0，1）内是增函数由于0a1,b0,所以ab1,从而ba=ab1.由ba1及a0,可推出b1.由0a1,0b1,假如，则根据f(x)在（0，1）内是增函数，得，即，从而这与ab=ba矛盾所以a=b证二：因为0a1，ab=ba，所以即假如ab，则，但因a1，根据对数函数的性质，得矛盾所以a不能小于b假如ab，则，而，这也与矛盾所以a不能大于b因此a=b证三：假如ab，则可设，其中ε0由于0a1,ε0,根据幂函数或指数函数的性质，得和，所以即abba.这与ab=ba矛盾所以a不能小于b假如ba，则ba1，可设a=b+ε,其中ε0,同上可证得abba.这于ab=ba矛盾所以a不能大于b因此a=b。
数学试卷83年普通高等国统一考试.理科数学试题及答案
1983年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案（这份试题共九道大题，满分120分）一．（本题满分10分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得2分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分1．两条异面直线，指的是 （ D ） （A ）在空间内不相交的两条直线（B ）分别位于两个不同平面内的两条直线（C ）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线（D ）不在同一平面内的两条直线2．方程x 2-y 2=0表示的图形是 （ A ） （A ）两条相交直线 （B ）两条平行直线 （C ）两条重合直线 （D ）一个点3．三个数a ,b ,c 不全为零的充要条件是 （ D ） （A ）a ,b ,c 都不是零 （B ）a ,b ,c 中最多有一个是零 （C ）a ,b ,c 中只有一个是零（D ）a ,b ,c 中至少有一个不是零4．设,34π=α则)arccos(cosα的值是 （ C ） （A ）34π （B ）32π- （C ）32π （D ）3π5．3.0222,3.0log ,3.0这三个数之间的大小顺序是 （ C ） （A ）3.0log 23.023.02<< （B ）3.02223.0log 3.0<< （C ）3.02223.03.0log << （D ）23.023.023.0log <<二．（本题满分12分）1．在同一平面直角坐标系内，分别画出两个方程,x y -=y x -=的图形，并写出它们交点的坐标2．在极坐标系内，方程θ=ρcos 5表示什么曲线？画出它的图形解：1.图形如左图所示 交点坐标是：O （0，0），P （1，-1） 2．曲线名称是：圆图形如右所示三．（本题满分12分） 1．已知x e y x 2sin -=，求微分dy2．一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法解：1.dx x e x e dx x e dy x x x ]2sin )()2(sin [)2sin ('+'='=---.)2sin 2cos 2()2sin 2cos 2(dx x x e dx x e x e x x x -=-=---2．)(1003416242614种=+⋅+⋅C C C C C 或：)(1002012036310种=-=-C C 四．（本题满分12分） 计算行列式（要求结果最简）：YXϕϕϕβϕ-ββαϕ+ααcos 2cos sin sin )sin(cos cos )cos(sin解：把第一列乘以ϕsin 加到第2列上，再把第三列乘以)cos (ϕ-加到第2列上，得0cos 0sin sin 0cos cos 0sin cos 2cos 2cos sin sin )sin()sin(cos cos )cos()cos(sin =ϕϕββαα=ϕϕ-ϕϕβϕ-β-ϕ-ββαϕ+α-ϕ+αα=原式五．（本题满分15分）1．证明：对于任意实数t ，复数i t t z |sin ||cos |+=的模||z r = 适合≤r 2．当实数t 取什么值时，复数i t t z |sin ||cos |+=的幅角主值θ适合40π≤θ≤？ 1．证：复数i t t z |sin ||cos |+=（其中t 是实数）的模||z r =为.|sin ||cos |)|sin |()|cos |(22t t t t r +=+=要证对任意实数t ，有42≤r ，只要证对任意实数t ，2|sin ||cos |≤+t t 成立对任意实数t ，因为1|sin ||cos |22=+t t ，所以可令|,sin |sin |,cos |cos t t =ϕ=ϕ且)2,0(π∈ϕ，于是.2)4sin(2sin cos |sin ||cos |≤π+ϕ=ϕ+ϕ=+t t2．因为复数i t t z |sin ||cos |+=的实部与虚部都是非负数，所以z 的幅角主值θ一定适合20≤θ≤从而.1040≤θ≤⇔π≤θ≤tg 显然||≠=z r 因为.111||010,|||cos ||sin |≤≤-⇔≤θ≤⇔≤θ≤==θtgt tg tg tgt t t tg 所以由于).(4411,,22为任意整数的解是因此并且它的周期是在k k t k tgt t tgt y π+π≤≤π-π≤≤-ππ<<π-=这就是所求的实数t 的取值范围六．（本题满分15分）如图，在三棱锥S-ABC 中，S 在底面上的射影N 位于底面的高CD 上;M 是侧棱SC 上的一点，使截面MAB 与底面所成的角等 于∠NSC ，求证SC 垂直于截面MAB证：因为SN 是底面的垂线，NC 是斜线SC 在底面上的射影，AB ⊥NC ，所以AB ⊥SC （三垂线定理） 连结DM 因为AB ⊥DC ，AB ⊥SC ，所以AB 垂直于DC 和SC 所决定的平面又因DM 在这个平面内，所以AB ⊥DM∴∠MDC 是截面与底面所成二面角的平面角，∠MDC=∠NSC在△MDC 和△NSC 中，因为∠MDC=∠NSC ，∠DCS 是公共角， 所以∠DMC=∠SNC=900从而DM ⊥SC 从AB ⊥SC ，DM ⊥SC ，可知SC ⊥截面MAB七．（本题满分16分）如图，已知椭圆长轴|A 1A 2|=6，焦距|F 1F 2|=24，过椭圆焦点F 1作一直线，交椭圆于两点M ，N 设∠F 2F 1M=α（0≤α＜π）当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？SM P C A N D B解一：以椭圆焦点F 1为极点，以F 1为起点并过F 2的射线为极轴建立极坐标系由已知条件可知椭圆长半轴a=3，半焦距c=22，短半轴b=1，离心率e=322，中心到准线距离=429, 焦点到准线距离p=42.椭圆的极坐标方程为 θ-=θ-=ρcos 2231cos 1e ep.2cos 896||,cos 2231||.cos 2231||2212211=α-=ρ+ρ=α+=ρ=α-=ρ=∴MN N F M F解得.656.22cos π=απ=α∴±=α或 以上解方程过程中的每一步都是可逆的， 所以当6π=α或65π=α时，|MN|等于短轴的长解二：以椭圆的中心为原点，F 1F 2所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图）由已知条件知，椭圆的方程为.1922=+y xMN 所在直线方程为)()22(α=+=tg k x k y 其中解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+)22(1922x k y y x消去y 得0)18(9236)91(2222=-+++k x k x k .Y Xα+α+=++=++++=-+-=22222222222122191669166)91()1(36)1(36)()(||tg tg k k k k k k y y x x MN下同解法一解三：建立坐标系得椭圆如解二， MN 所在直线的参数方程为)(sin cos 22是参数t t y t x ⎩⎨⎧α=α+-=代入椭圆方程得 .01)cos 24()sin 9(cos 222=-α-α+αt t设t 1,t 2是方程两根，则由韦达定理，.sin 9cos 64)(||||.sin 9cos 1,sin 9cos cos 2422212212122212221α+α=-+=-=α+α-=α+αα=+t t t t t t MN t t t t下同解一解四：设|F 1M|=x ,则|F 2M|=6-x |F 1F 2|=24，∠F 2F 1M=α在△MF 1F 2中由余弦定理得13cos 22,cos 28)24()6(222=+-αα-+=-x x x x xα-=cos 2231x同理，设|F 1N|=y ，则|F 2N|=6-y 在△F 1F 2N 中，由余弦定理得.cos 896cos 2231cos 2231||,cos 2231,1cos 223).cos(28)24()6(2222α-=α++α-=α+==α+α-π-+=-MN y y y y y y下同解一已知数列{a n }的首项a 1=b(b ≠0），它的前n 项的和S n =a 1+a 2+…+a n (n ≥1),并且S 1，S 2，S n ，…是一个等比数列，其公比为p （p ≠0且|p|＜1）1．证明：a 2,a 3,a 3,…a n ,…(即{a n }从第二项起）是一个等比数列2．设W n =a 1S 1+a 2S 2+a 3S 3+…+a n S n (n ≥1),求n n W ∞→lim （用b,p 表示）1．证：由已知条件得S 1=a 1=b.S n =S 1p n-1=bp n-1(n ≥1）因为当n ≥2时，S n =a 1+a 2+…+a n-1+a n =S n-1+a n ,所以 a n =S n -S n-1=bp n-2(p-1)(n ≥2)从而),2()1()1(211≥=--=--+n p p bp p bp a a n n n n 因此a 2,a 3,a 3,…a n ,…是一个公比为p 的等比数列2．解：当n ≥2时，,)1()1(212111p bpp bp bp p bp S a S a n n n n n n n n =--=---++ 且由已知条件可知p 2<1，因此数列a 1S 1，a 2S 2，a 3S 3，…a n S n …是公比为p 2<1的无穷等比数列于是.11)1(1)(lim 2222223322p p b pp p b p S a S a S a S a n n n +-=--=-=+++∞→ 从而)(lim lim )(lim lim 332211332211n n n n n n n n n S a S a S a S a S a S a S a S a W ++++=++++=∞→∞→∞→∞→.11222pb p p b b +=+-=1．已知a,b 为实数，并且e<a<b ，其中e 是自然对数的底，证明a b >b a . 2.如果正实数a,b 满足a b =b a .且a<1，证明a=b1．证：当e<a<b 时， 要证a b >b a ， 只要证blna>alnb,即只要证b ba a ln ln >考虑函数)0(ln +∞<<=x xxy 因为但e x >时，,0ln 12<-='x x y 所以函数),(ln +∞=e x xy 在内是减函数因为e<a<b ，所以bba a ln ln >，即得a b >b a 2．证一：由a b =b a ，得blna=alnb ，从而ba a ln =考虑函数)0(ln +∞<<=x xxy ，它的导数是.ln 12x x y -='因为在（0，1）内0)(>'x f ，所以f(x)在（0，1）内是增函数由于0<a<1,b>0,所以a b <1,从而b a =a b <1.由b a <1及a>0,可推出b<1.由0<a<1,0<b<1,假如b a ≠，则根据f(x)在（0，1）内是增函数，得)()(b f a f ≠，即bba a ln ln ≠，从而a b b a ≠这与a b =b a 矛盾 所以a=b证二：因为0<a<1，a b =b a ，所以,log log b a a b a a =即aba log =假如a<b ，则1>ab，但因a<1，根据对数函数的性质，得b abb a b a b a a a a log ,log ,1log log =>=<这与从而矛盾所以a 不能小于b假如a>b ，则1<a b ，而1log >b a ，这也与b ab a log =矛盾所以a 不能大于b 因此a=b证三：假如a<b ，则可设ε+=a b ，其中ε>0由于0<a<1,ε>0,根据幂函数或指数函数的性质，得1<εa 和1)1(>ε+a a， 所以 ,)(,)1(,)1(a a a a a a a a aa a a a a ε+<ε+<ε+<ε+εε 即ab <b a .这与a b =b a 矛盾所以a 不能小于b假如b<a ，则b<a<1，可设a=b+ε,其中ε>0,同上可证得a b <b a .这于a b =b a 矛盾a 不能大于b因此a=b古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。
1988-1998年高考文科数学试题参考答案
SA BCD1988年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案 满分120分，120分钟一、（本题满分45分）BCDBA BDDAC ACBAC二、（本题满分20分）本题共5小题，每1个小题满分4分只要求直接写出结果1.2;π611． 2.2x =- ． 3.-3． 4.3cm 548π． 5.3． 三、（本题满分10分）证明：∵cos3cos(2)ααα=+cos cos 2sin sin 2αααα=-22cos (2cos 1)2sin cos αααα=--322cos cos 2(1cos )cos αααα=---34cos 3cos αα=-，∴结论成立． 四．（本题满分10分）解：∵SB ⊥底面ABCD ，∴斜线段SA 在底面上的射影为AB ． ∵AD ⊥AB ，∴AD ⊥SA ．连接BD ，则BD =2． ∵SB ⊥BD ，∴SD ==，∴sin 5AD SD α===． 五、（本题满分11分）解：由题意知，点P 的坐标(,)a b 是方程组221,(1)(2)a b ⎧-=⎪=的解，且0a >．由（1）得||a b =>， ∴a b >，∴（2）式可变形为2a b -=． （3） 由（1），（3）可得12a b +=，（4） 由（3），（4）解得53,44a b ==-， ∴所求的点P 的坐标为53(,)44-．六、（本题满分12分）解：原不等式等价于不等式组2210, 1112x xx x ⎧->⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩（）. （），即 由不等式（1）解得1x >或10x -<<．（3）由不等式（2）解得x <0x <<（4） 由（3），（4）得112x -<<或112x +<<， ∴原不等式解集为151,⎛⎛+- ⎝⎭⎝⎭． 七、（本题满分12分）解：由已知条件知2121k k a a +--[5(21)1][5(21)1]10k k =++--+=， ∴135,,a a a ，…，21m a -是以16a =为首项，10为公差的等差数列．又由已知条件知22222222222k k k ka a ++==， ∴246,,a a a ，…，2m a 是以22a =为首项，2为公比的等比数列．∴数列{}n a 的前2m 项和为2135(m S a a a =+++…21)m a -++ 246(a a a +++…2)m a +[65(21)1]2(12)212m m m +-+-=+-21522m m m +=++-．D 1C 1B 1A 1N MO D C B A 1989年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案 满分120分，120分钟一、选择题（本题满分36分，共12个小题，内每一个小题选对得3分） 1-12 ADCBA CDBBD DC二、填空题本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分果.13.10x y +-= 14.(,1)(4,)-∞-+∞15.(1,1)- 16.必要，必要17.(3,4) 18.900三、解答题本题满分60分，共6个小题. 19.（本小题满分8分）解：5551(1)2()2=55532(cos sin )33i ππ=+252532(cos sin )33i ππ=+32(cos sin )33i ππ=+，∴复数z 的模为32，的模和辐角的主值为.3π 20．（本小题满分8分）证明：3sinsin32222cos cos 22x xx x tg tg -=- 33sin cos cos sin2222cos cos22x x x x -=sin 3cos cos22xx x =2sin cos cos 2x x x =+. 21．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）连接1AO ，则1AO ⊥底面ABCD .作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ．连接1A M ，1A N ，则由三垂线定理得1A M ⊥AB ，1A N ⊥AD .∵∠1A AM =∠1A AN ，∴Rt △1A NA ≌Rt △1A MA ， ∴1A M =1A N ，∴OM ON =.∴点O 在∠BAD 的平分线上. （Ⅱ）由条件及（Ⅰ）知AM =1AA 13cos3322π=⋅=，∴AO =AM csc4AM AO π==.又在Rt △1AOA 中，2221199922AO AA AO =-=-=.∴1A O =∴平行六面体的体积54V =⋅22．（本小题满分10分）证：令2222(1223)(3445)n S =⋅-⋅+⋅-⋅22[(21)(2)2(21)]n n n n ++--+.下面用数学归纳法证明. (1)(43)n S n n n =-++. ①当1n =时，221122314S =⋅-⋅=-,-1·2·7=-14， ∴当1n =时，(1)(43)n S n n n =-++. ②假设当(1)n k k =≥时等式成立，即 (1)(43)k S k k k =-++ 那么，当1n k =+时， 1(1)(43)k S k k k +=-+++y (0,1)内22)cα，即时，).1990年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）参考答案 满分120分，120分钟一、选择题:本题考查基本知识和基本运算. 1-15 ACDBD CABAC BDACB二、填空题:本题考查基本知识和基本运算. 16．3 17．20- 18．219．7:5 20三、解答题.21.本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程组.解决问题的能力.解一:设四个数依次为,,a d a a d -+，2()a d a +,则由已知条件得 2()16,12.a d a d a a a d ⎧+-+=⎪⎨⎪++=⎩消去d ，整理得213360a a -+=， 解得 124,9a a ==.代入③式得 124,6d d ==-.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 解二:设四个数依次为,,12,16x y y x --，则由已知条件得2122, (1)(16)(12).(2)x y y y x y +-=⎧⎨-=-⎩ 由1.式得312x y =-. (3) 将(3)式代入2.式得2(16312)(12)y y y -+=-, 整理得 213360y y -+=. 解得 124,9y y ==. 代入3.式得120,15x x == .从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 22.本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力. 解：由已知得sin sin 3cos cos 4αβαβ+=+，即2sincos32242cos cos22αβαβαβαβ+-=+-， ∴3tan 24αβ+=， ∴22tan2tan()1tan 2αβαβαβ++=+- 2322447314⨯==⎛⎫- ⎪⎝⎭． 23.本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.解一: ∵SB ＝BC ,且E 是SC 的中点,∴BE 是等腰三角形SBC 的边SC 的中线, ∴SC ⊥BE ．又已知SC ⊥DE ,BE ∩DE ＝E , ∴SC ⊥面BDE , ∴SC ⊥BD .又∵SA ⊥底面ABC ，BD 在底面ABC 内， ∴SA ⊥BD .而SC ∩SA ＝S ,∴BD ⊥面SAC . ∵DE ＝面SAC ∩面BDE , DC ＝面SAC ∩面BDC , ∴BD ⊥DE ，BD ⊥DC .∴∠EDC 是所求的二面角的平面角. ∵SA ⊥底面ABC ,∴SA ⊥AB ,SA ⊥AC ． 设SA ＝a ，则AB = a ，BC =SB． 又∵AB ⊥BC，∴AC =． 在R t SAC ∆中SA tg ACS AC ∠==， ∴∠ACS ＝30°.又已知DE ⊥SC ,所以∠EDC ＝60°， 即所求的二面角等于60°．解二: ∵SB ＝BC,且E 是SC 的中点,∴BE 是等腰三角形SBC 的边SC 的中线, ∴SC ⊥BE ．又已知SC ⊥DE ,BE ∩DE ＝E ， ∴SC ⊥面BDE , ∴SC ⊥BD ．∵SA ⊥底面ABC ,且A 是垂足, ∴AC 是SC 在平面ABC 上的射影. 由三垂线定理的逆定理得BD ⊥AC ;又∵E ∈SC ,AC 是SC 在平面ABC 上的射影, ∴E 在平面ABC 上的射影在AC 上, ∵D ∈AC ,∴DE 在平面 ABC 上的射影也在AC 上, 根据三垂线定理又得BD ⊥DE. ∵DE ⊂面BDE ,DC ⊂面BDC ,∴∠EDC 是所求的二面角的平面角． 以下同解法一.24. 本小题考查对数,不等式的基本知识及运算能力.解:原不等式可化为2log (43)log (42)a a x x x +->-. ① 当01a <<时,①式等价于22420,430,4342x x x x x x ->⎧⎪+->⎨⎪+-<-⎩，即1,214,32x x x x ⎧>⎪⎪-<<⎨⎪<->⎪⎩或， ∴24x <<,即当01a <<时,原不等式的解集是()2,4.当1a >时,①式等价于22420,430,4342x x x x x x ->⎧⎪+->⎨⎪+->-⎩，即1,214,32x x x ⎧>⎪⎪-<<⎨⎪-<⎪⎩<， ∴142x <<，即 当1a >时,原不等式的解集是1,22⎛⎫⎪⎝⎭.综上可得，当01a <<时,原不等式的解集是()2,4；当1a >时,原不等式的解集是1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 25.本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.解：设(,R)z x yi x y =+∈,代入原方程得222x y xyi a -+=，即22,(1)0. (2)x y a xy ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩ 由(2)式得0x =或0y =. ① 若0x =，则方程(1)为2y a -+=，即220(0)y y a y ++=<， (3)或220(0)y y a y -+=≥．(4).由(3)得2(1)1(0)y a y +=-<，当01a ≤≤时，1y =-1y =-，当1a >时无解．由(4)得2(1)1(0)y a y -=-≥，当01a ≤≤时，1y =，或1y = 当1a >时无解．综上可得，当01a ≤≤时，(1z i =±+，或(1z i =±-当1a >时无解．②若0y =，则方程（1）为2x a +=，即2(1)1(0)x a x +=+≥， (5)或2(1)1(0)x a x -=+<． (6) ∵0a ≥，∴解(5)得1x =-； 解(6)得1x =综上可得，1z =±．③若0x =且0y =，则方程（1）为0a =，当0a =时，0x =，0y =是其解；当0a ≠时无解．当0a =时，0z =是其解；当0a ≠时无解．显然，当0a =时，0z =包含在上述两种情况之中．综上可得，实数解为(1z =±； 当01a ≤≤时，(1z i =±，或(1z i =±，当1a >时无纯虚数解．26.本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.解：设所求椭圆的直角坐标方程是22221(0)x y a b a b +=>>，则 222222314c a b b e a a a -⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即 2a b =，∴椭圆的方程可变形为222214x y b b+=．设椭圆上的点(,)x y 到点P 的距离为d ，则22232d x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭22234()2b y y ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭2213432y b ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭，其中b y b -≤≤.若102b <<，则当y b =-时，2d 有最大值，且2372b ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解之得3122b =>，与102b <<相矛盾，舍去． 若12b ≥，则当12y =-时，2d 有最大值，且2437b +=，解之得1b =， ∴2,1a b ==,∴所求椭圆的直角坐标方程是2214x y +=． 当12y =-时，x =∴所求的点的坐标是12⎛⎫- ⎪⎝⎭．B 1C 1A B C DA 11991年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)参考解答试卷共三道大题26个小题.．满分120分，考试时间120分钟．一、选择题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分45分．1-15 ADBCB ADABC ACCBC二．填空题．本题考查基本知识基本运算．每小题3分，满分15分． 16.(2,2)- 17.2－5 18.(4,2)- 19.1+51020.2 三．解答题 21.（满分8分）解：22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++212sin cos 2cos x x x =++ sin 2cos 22x x =++224x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．当sin 2=14x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭时，函数y 有最大值，且最大值为2+2．说明：①没有说明“当sin 2=14x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭时，函数y 有最大值”而得出正确答案，不扣分．②本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质 22.（满分8分） 解：∵ 1z i =+，∴ 2236(1)3(1)6111z z i i z i -++-++=+++312i i i-==-+， ∴1i -的模为22)1(1-+=2，辐角的主值74π，∴所给复数的模为2，辐角的主值74π．说明：本小题考查复数基本概念和运算能力了．23.（满分10分）解：∵ A 1A ⊥底面ABC ，∴ A 1A ⊥BC ． 又∵BC ⊥BB 1，且棱AA 1和BB 1的延长线交于一点，∴ BC ⊥侧面A 1ABB 1，∴ BC ⊥AB ．∴ △ABC 是直角三角形，∠ABC =90º．并且∠ABB 1就是BB 1和底面ABC 所成的角，且 ∠ABB 1=45º．作B 1D ⊥AB 交AB 于D ，则B 1D ∥A 1A ， ∴B 1D ⊥底面ABC ．∵在Rt △B 1DB 中，∠DBB 1=45º， ∴DB =DB 1=AA 1=a ，∴AB =2a ． ∵由于棱台的两个底面相似， ∴Rt △ABC ∽Rt △A 1B 1C 1．∵B 1C 1=A 1B 1=a ，AB =2a ，∴ BC =2a ．∴12S =上A 1B 1×B 1C 1=22a ，12S =下AB ×BC =2a 2．13V =·A 1A ·()下下上上S S S S +⋅+=31·a ·.67222232222a a a a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+ 说明：本小题考查直线与直线，直线与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．24.（满分10分）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，∴ ()1112a n dn b +-⎛⎫= ⎪⎝⎭．∴()111222132111==222aa da db b b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭·由12318b b b =，得3218b =，即212b =． 代入已知条件得12312318218b b b b b b ⎧=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=.817413131b b b b ， 解得1312,8b b ==或131,28b b ==，∴11,2a d =-=或13,2a d ==-．当11,2a d =-=时，23n a n =-； 当13,2a d ==-时，52n a n =-． 说明：本小题考查等差数列，等比数列的概念及运用方程组.解决问题的能力． 25.（满分12分）解： 原不等式可变形为4222xx a a a -->． ①（1）.当01a <<时，由①式得42220x x a -+<，即()22211x a -<- ．∵ 01a <<，∴2011x <<<x <<x <<． ∴当01a <<时，原不等式的解集为⎛ ⎝． （2） 当1a >时，由①式得42220x x a -+>， 即()22211x a ->-．∵1a >，∴210a -<，∴不等式()22211x a ->-对任意实数x恒成立，即得原不等式的解集为R ．综上可得：当01a <<时，原不等式的解集为⎛ ⎝； 当1a >时，原不等式的解集为R ．说明：本小题考查指数函数性质、解不等式及综合分析能力． 26.（满分12分）解：设所求椭圆方程为22221x y a b+=．由方程组22221,1x y a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得2222(1)1x x a b++=，即 2222222()20a b x a x a a b +++-=． ① 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12,x x 方程①的两个根，且2122222212222,.a x x a b a a b x x a b ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩∵OP OQ ⊥，∴1212OP OQ y yk k x x ⋅=⋅1212(1)(1)1x x x x ++=⋅=-，即12122()10x x x x +++=，∴222222222()210a a b a a b a b --+=++，即 22222a b a b =+．∴12221221,1.2x x b b x x b ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∵PQ =，∴252PQ =，∴221212()()x x y y -+-222121212()()2()x x x x x x =-+-=-212122()4x x x x ⎡⎤=+-⎣⎦222222222224a a a b a b a b ⎡⎤⎛⎫-=--⋅⎢⎥⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦421252(2)2b b =-+=， 解得22b =或223b =，从而223a =或22a =．∴223a =，22b =或22a =，223b =，∴所求椭圆的方程为132222=+y x ，或.123222=+y x 说明：本小题考查椭圆的性质、两点的距离公式、两条直线垂直条件、二次方程根与系数的关系及分析问题的能力．KH G B 1D 1C 1F A B C ED A 11992年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)参考答案这份试卷共三道大题28个小题..满分120 分.考试时间120分钟一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．1-18 ADDCD BBDDD BACDD CAC 二、填空题.本题考查基本知识和基本运算.每小题3分，满分15分.19.41 20.55- 21..x =－1 22.12815 23.1124)2(22=--y x . 三、解答题24.本小题主要考查三角函数恒等变形知识和运算能力（满分9分）.解：sin 220º+cos 280º＋3sin20ºcos80º=1cos 401cos16022-++sin 60)︒-︒13=1(cos160cos40)224+︒-︒+︒-=41－21·2sin100ºsin60º＋23sin100º =41－23sin100º＋23sin100º14=． 25.本小题主要考查复数相等的条件及解方程的知识（满分9分）.解：设 (,R)z x yi x y =+∈，则由已知条件得74x yi i +-=-+，由复数相等的定义，得7,4,x y ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩ 解得1254,3,3y x x ===，∴34z i =+或543z i =+．26.本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及空间想象能力和逻辑推理能力（满分10分）. 解一：∵ EB =BF =FD 1=D 1E=22)2(a a +=25a ， ∴四棱锥11A EBFD -的底面是菱形．连接A 1C 1，EF ，BD 1， 则A 1C 1∥EF ，∴A 1C 1∥平面1EBFD ，∴A 1C 1到底面EBFD 1的距离就是11A EBFD -的高．设G ，H 分别是A 1C 1，EF 的中点，连接D 1G ，GH ，则FH ⊥HG ， FH ⊥HD 1， ∴FH ⊥平面HGD 1． ∵FH ⊂平面1EBFD ， ∴面1EBFD ⊥平面1HGD ．作GK ⊥HD 1于K ，则GK ⊥面1EBFD ． ∵正方体的对角面AA 1CC 1垂直于底面A 1B 1C 1D 1,∴∠HGD 1=90º． 在Rt △HGD 1内，GD 1=22a ，HG =21a ，HD 1=21BD =23a ， ∴23a ·GK =21a ·22a ，从而GK =66a ．∴11EBFD A V -=311EBFD S 菱形·GK=31·21·EF ·BD 1·GK =61·2a ·3a ·66a 31=6a ． 解二 ∵ EB =BF =FD 1=D 1EB 1D 1C 1F AB C E DA1=22)2(a a +=25a ，∴ 四菱锥A 1－EBFD 1的底面是菱形．连接EF ，则△EFB ≌△EFD 1．∵三棱锥A 1－EFB 与三棱锥A 1－EFD 1等底同高，∴111EFD A EFB A V V --=，. ∴EFB A EBFD A V V --=1112．又11EBA F EFB A V V --=， ∴1112EBA F EBFD A V V --=．∵CC 1∥平面ABB 1A 1，∴三棱锥F －EBA 1的高就是CC 1到平面ABB 1A 1的距离，即棱长a ． 又△EBA 1边EA 1上的高为a ， ∴11EBFD A V -=2·31·1EBA S ∆·a =61a 3． 27.本小题主要考查有关直线方程的知识及综合运用知识的能力（满分10分）. 解：由已知条件知顶点A 为直线 210x y -+=与直线0y =的交点，∴由210,0x y y -+=⎧⎨=⎩解得顶点(1,0)A -．∴AB 的斜率2011(1)AB k -==--，∵x 轴是A ∠的平分线，∴1AC k =-，且直线AC 所在直线的方程为(1)y x =-+． ① ∵边BC 上的高所在直线的方程为 210x y -+=，∴2BC k =-，且BC 所在的直线方程为 22(1)y x -=--，即 24y x =-+． ② 由①，②联立解得顶点C 的坐标为(5,6)-． ∴点A 和点C 的坐标分别为(1,0)A -，(5,6)C -，28.本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力（满分12分）. 解：（Ⅰ）由已知条件得()()31121131212,12121120,213131130,2a a d S a d S a d ⎧=+=⎪⎪⨯-⎪=+⋅>⎨⎪⎪⨯-=+⋅<⎪⎩即 111122,2110,60,a d a d a d =-⎧⎪+>⎨⎪+<⎩ ∴ 2470,30,d d +>⎧⎨+<⎩解得 2437d -<<-． （Ⅱ）解一：由（Ⅰ）知0d <， ∴{}n a 单调递减．由已知条件得11313713()1302a a S a +==<，即70a <；112126712()6()02a a S a a +==+>，即670a a +>，∴60a >． ∴在1212,,,S S S 中6S 的值最大．（Ⅱ）解二：()d n n na S n 211-+=()()d n n d n 121212-+-=22124124=552222d d n d d ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦． ∵0d <，∴ 224521⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--d n 最小时，n S 最大．当2437d -<<-时， 124136522d ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，∵正整数6n =时224521⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--d n 最小，∴6S 最大．（Ⅱ）.解三：由（Ⅰ）.知0d <， ∴{}n a 单调递减．∵ 12130,0,S S >⎧⎨<⎩∴111211120,21312130.2a d a d ⨯⎧+>⎪⎪⎨⨯⎪+<⎪⎩∴1150,260,d a d a d ⎧+>->⎪⎨⎪+<⎩即670,0.a a >⎧⎨<⎩ ∴在12,S S ，…，12S 中6S 的值最大．1993年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答本试卷分第Ⅰ卷(选择题.和第Ⅱ卷(非选择题.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共68分.一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分68分．1-17 ACBBA DCABD CADDA CB第Ⅱ卷(非选择题共82分).二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分24分. 18.－a 2 19.{k ||k |>31} 20.100 21..1 22.1760 23.30 三、解答题24.本小题考查三角函数式的恒等变形及运算能力（满分10分） 解. tg20º+4sin20º︒︒︒+︒=20cos 20cos 20sin 420sin ︒︒+︒=20cos 40sin 220sin()︒︒+︒+︒=20cos 40sin 40sin 20sin ︒︒+︒︒=20cos 40sin 10cos 30sin 2︒︒+︒=20cos 40sin 80sin ︒︒︒=20cos 20cos 60sin 2︒=60sin 23=. 25.本小题考查函数的奇偶性、对数函数的性质、不等式的性质和解法等基本知识及运算能力（满分12分） 解：(Ⅰ)由已知函数知011>-+xx， 解得－1<x <1；∴()f x 的定义域为(1,1)-． (Ⅱ) ∵ ()1log 1axf x x--=+ ()1log 1axf x x+=-=--， ∴ f (x .为奇函数．(Ⅲ.由(Ⅰ.知，()f x 的定义域为(1,1)-，∴当1a >时，由1log 01axx+>-得 111>-+xx，解得01x <<； 当01a <<时，由1log 01axx+>-得 1011x x+<<-，解得10x -<<．综上所述，当1a >时，()0f x >的x 取值范围(0,1)；当01a <<时，()0f x >的x 取值范围(1,0)-．26.本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法（满分12分） 解：由12382448,92549S S S ===,， 48081S =… ，猜想 ()()()N n n n S n ∈+-+=2212112．下面用数学归纳法证明如下：①当1n =时，98313221=-=S ，等式成立．②设当n k =时等式成立，即()().1211222+-+=k k S k 则()()()221321218++++=+k k k S S k k ()()()()()222232121812112+++++-+=k k k k k ()()()()()222232121832]112[+++++-+=k k k k k ()()()()()()22222321218323212+++++-++=k k k k k k ()()()()()222223212123212+++-++=k k k k k ()()2232132+-+=k k ()()22]112[1]112[++-++=k k ，a /d c b a P βαy N a 2a 1Q b a A BCP βMαy由此可知，当1n k =+时等式也成立． 根据①②可知，等式对任何n N ∈都成立． 27.本小题考查直线与平面的平行、垂直和两平面垂直的基础知识，及空间想象能力和逻辑思维能力（满分12分） 证法一：(Ⅰ)设α∩γ=AB ，β∩γ=AC ．在γ内任取一点P ，并在γ内作直线PM ⊥AB ，PN ⊥AC 交AB ，AC 于点,M N ．∵γ⊥α，∴PM ⊥α． 而 a ⊂α，∴PM ⊥a ． 同理PN ⊥a ．又PM ⊂γ，PN ⊂γ，∴ a ⊥γ．(Ⅱ)在直线a 上任取点Q ，过b 与Q 作一平面交α于直线1a ，交β于直线2a ． ∵b ∥α，∴b ∥1a ． 同理b ∥2a ． ∴ 1a ∥2a ． ∵12a a Q =，∴1a 与2a 重合． 又1a ⊂α，2a ⊂β，∴1a ，2a 都是α，β的交线，即都重合于a ．∵b ∥1a ，∴ b ∥a ． 而a ⊥γ，∴b ⊥γ．证法二：(Ⅰ.在a 上任取一点P ，过P 作直线a '⊥γ．∵α⊥γ，P ∈α，∴a '⊂α． 同理a '⊂β．∴ a '是α，β的交线，即a '重合于a ．又a '⊥γ，∴ a ⊥γ．(Ⅱ.于α内任取不在a 上的一点，过b 和该点作平面与α交于直线c ．同理过b 作平面与β交于直线d ．∵b ∥α，b ∥β．∴b ∥c ，b ∥d ． 又c ⊄β，d ⊂β，∴c 与d 不重合，且c ∥d ． ∴c ∥β．∵c ∥β，c ⊂α，α∩β=a ， ∴c ∥a ．∵b ∥c ，a ∥c ，b 与a 不重合(b ⊄α，a ⊂α.， ∴b ∥a ．而a ⊥γ，∴b ⊥γ．28.本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力（满分12分）解法一：如图，以MN 所在直线为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，设以,M N 为焦点且过点P 的椭圆方程为12222=+by a x ，且焦点为(,0),(,0)(0)M c N c c ->．由tan ,tan 22PMN MNP ∠=∠=-知，直线PM 和直线PN 的斜率分别为1,22，直线方程分别为1(),2()2y x c y x c =+=-．由1(),22()y x c y x c ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩解得54,33x c y c ==，即54,33P c c ⎛⎫⎪⎝⎭． 在PMN ∆中，|MN |=2c ，MN 上的高为点P 的纵坐标，∴214421233MNP S c c c ∆=⋅⋅==，∴c =P 点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332635，． 由椭圆过点P 得2a PM PN =+=，∴a =． ∴222153344b a c =-=-=， ∴所求椭圆方程为1315422=+y x ． 解法二：同解法一得23=c ，P 点的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛332635，．∵ 点P 在椭圆上，且222a b c =+，∴ 13322363522222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b b ，即 423830b b --=，解得23b =，或213b =- (舍去.．∴222154a b c =+=，∴所求椭圆方程为1315422=+y x ． 说明：本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力．本题也可用正弦定理求解．1994年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题(本题考查基本知识和基本运算第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分)1-15 CDBAB DBAAC CBDDC第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题(本题考查基本知识和基本运算.每空格4分，共24分)16．－189 17．223,(2)1x x y =-+= 18．43- 19．322π 20．121(a a n++…)n a + 三、解答题21.本小题考查利用有关三角公式并借助辅助角求三角函数最小值的方法及运算能力，满分11分.解：332sin3sin cos3cos sin 2cos 2x x x xy x x+=+ 222sin3sin sin cos3cos cos sin 2cos 2x x x x x x x x+=+ 222(cos2cos4)sin (cos2cos4)cos 2cos 2x x x x x x x-++=sin 2x +2cos 2(1cos 4)sin 22cos 2x x x x +=+ 222cos 2cos 2sin 22cos 2x x x x=+cos 2sin 2x x =+)4x π=+．当sin(2)14x π+=-，即3()8x k k Z ππ=-∈时，函数y 取得最小值22.本小题考查对数函数性质、平均值不等式等知识及推理论证的能力.满分12分.解：∵+12,R x x ∈，∴212122x x x x +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(当且仅当12x x =时取“=”号) ．当1a >时，21212log ()log 2a a x x x x +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴12121log ()log 22a a x x x x +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即 []12121()()()22x x f x f x f ++≤ (当且仅当12x x =时取“=”号) ． 当01a <<时，21212log ()log 2a a x x x x +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，∴12121(log log )log 22a a a x x x x ++>， 即[]12121()()()22x x f x f x f ++≥ (当且仅当12x x =时取“=”号) ．23.本小题考查空间线面关系，正棱柱的性质，空间想象能力和逻辑推理能力.满分12分.(1)证明：∵A 1B 1C 1－ABC 是正三棱柱， ∴四边形B 1BCC 1是矩形.连接B 1C ，交BC 1于E ，则B 1E =EC . 连结DE .在△AB 1C 中，∵AD =DC ， ∴DE ∥AB 1．又AB 1⊄平面DBC 1，DE ⊂平面DBC 1 ∴AB 1∥DBC 1．(2)解：作AF ⊥BC ，垂足为F . ∵面ABC ⊥面B 1BCC 1， ∴AF ⊥B 1BCC 1平面.连接B 1F ，则B 1F 是AB 1在平面B 1BCC 1内的射影．∵BC 1⊥AB 1， ∴BC 1⊥B 1F . ∵四边形B 1BCC 1是矩形， ∴∠B 1BF =∠BCC 1=90º；∠FB 1B =∠C 1BC ，∴△B 1BF ∽△BCC 1， ∴BB BFC C BF BC B B 111==． 又F 为正三角形ABC 的BC 边中点， ∴B 1B 2=BF ·BC =1×2=2， ∴B 1F 2= B 1B 2+ BF 2=3，∴B 1F =3，即线段1AB 在平面11BCC B 内射影长为3．24.本小题考查曲线与方程的关系，轨迹的概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力.满分12分.解：如图，设MN 切圆于N ，动点M 的坐标为(,)x y ，则由已知条件得22222(1)()4(14)0x y x λλλ-+-++=． ∴动点M 的轨迹方程是22222(1)()4(14)0x y x λλλ-+-++=．当1λ=时，动点M 的轨迹方程是54x =，它表示一条直线；当1λ≠时，动点M 的轨迹方程是()222222221311x y λλλλ⎛⎫+-+= ⎪-⎝⎭-，它表示以点222,01λλ⎛⎫⎪-⎝⎭为圆心，13122-+λλ为半径的圆．25.本小题考查等差数列的基础知识，数学归纳法及推理论证能力.满分14分. 证法一：令21d a a =-．下面用数学归纳法证明．1(1)()n a a n d n N =+-∈．(1)当1n =时，上述等式为恒等式11a a =； 当2n =时，1121(21)()a d a a a +-=+-2a =，等式成立.(2)假设当(2)n k k =≥时命题成立，即1(1)k a a k d =+-．由已知条件有()12k k k a a S +=， ()()11112k k k a a S ++++=， ∴11k k k a S S ++=-()()111(1)22k k k a a k a a ++++=-，整理得11(1)(1)(1)k k a k a k k d +-=-+-． ∵2k ≥，∴11k a a kd +=+，即 当1n k =+时等式成立． 由(1)和(2)，等式对所有的自然数n 成立，从而{}n a 是等差数列．证法二：当n ≥2时，由已知条件()()21111--+-=n n a a n S ，()21n n a a n S +=， ∴1n n n a S S -=- ()()111(1)22n n n a a n a a -+-+=-；同理可得11n n n a S S ++=-()()111(1)22n n n a a n a a ++++=-，∴()()11111()2n n n nn a a a a n a a ++++-=-+()()1112n n a a --++，整理得 11n n n n a a a a +--=-， ∴{}n a 是等差数列．1995年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题(本题考查基本知识和基本运算第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分)1-15 BDCBD CACAA BDDCA第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题(本题考查基本知识和基本运算，本大题共5小题，每小题4分，共20分) 16．3 17．3237 18．3 19．4 20．144三、解答题（本大题共6小题，共65分） 21．本小题主要考查指数方程的解法及运算能力，本小题满分7分.解：设30x y =>，则原方程可化为098092=--y y ，解得：91=y ，912-=y （舍去）由93=x得2=x ， ∴原方程的解为2=x ．22．本小题主要考查复数的有关概念，三角公式及运算能力，本小题满分12分． 解：由已知条件得)sin (cos )sin (cos 22θθθθi i z z +++=+θθθθs i n c o s 2s i n 2c o s i i +++= )2c o s 23(s i n 2c o s 23c o s 2θθθθi +=)23s i n 23(c o s 2c o s 2θθθi +=)23sin()23[cos(2cos 2θπθπθ+-++--=i ∵)2,(ππθ∈，∴(,)22θππ∈，∴0)2cos(2>-θ．∵复数z z +2的模为2cos 2θ-，辐角)(23)12(z k k ∈+-θπ． 23.本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识以及逻辑推理能力，本小题满分10分.证：设}{n a 的公比为q ，由题设知01>a ，0>q ，(1)当1=q 时，1na S n =，从而22111(2)n n n S S S na n a ++⋅-=+22211(1)0n a a -+=-<.(2) )当1≠q 时，()qq a S nn --=111，从而221n n n S S S ++⋅-()()()()()22221112211111n n n a q q a q q q ++---=---021<-=n q a ．由(1)和(2)得212++<⋅n n n S S S ．根据对数函数的单调性，得215.025.0log )(log ++>⋅n n n S S S ，即 15.025.05.0log 2log log ++>+n n n S S S ．24．本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力，本小题满分12分．解：(1)根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ． ∵EB ⊂平面ABE ，∴DA ⊥EB ．∵AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上， ∴AE ⊥EB ． 又AE ∩AD =A ， ∴EB ⊥平面DAE ． ∵AF ⊂平面DAE ， ∴EB ⊥AF ． 又AF ⊥DE ，且 EB ∩DE =E ，∴AF ⊥平面DEB ．∵DB ⊂平面DEB ，∴AF ⊥DB ．(2)设点E 到平面ABCD 的距离为d ，记AD =h ．∵圆柱轴截面ABCD 是矩形，∴AD ⊥AB ．∴221ahAD AB S ABD =⋅=∆，∴dah S d V V ABD ABD E ABE D 613===∆--．又h a AD AB V 2242ππ=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=圆柱， 由题设知ππ36142=dah ha ，即2a d =． 25．本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力，以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法，本小题满分12分． 解：解：(1)由 Q P =有()2840500)8(1000--=-+x t x ，即0)280644)808(522=+-+-+t t x t x （．当判别式0168002≥-=∆t，即 0t ≤≤25052548t t x -±-=．由0≥∆，0≥t ，148≤≤x ，得不等式组：①0488145t t ⎧≤≤⎪⎨≤-+⎪⎩或 ②048814.5t t ⎧≤≤⎪⎨≤-≤⎪⎩解不等式组①，得100≤≤t ，不等式组②无解．∴所求的函数关系式为25052548t t x -+-=．函数的定义域为]10,0[． (2)为使10≤x ，应有8105052542≤-+-t t ，即 0542≥-+t t ．解得1≥t 或5-≤t ，由0≥t 知1≥t ． 从而政府补贴至少为每千克1元．26．本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法，利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力，本小题满分12分．解：设点P 、Q 、R 的坐标分别为),12(P y ，),(y x ，),(R R y x ，由题设知0>R x ，0>x ，由点R 在椭圆上及点O 、Q 、R 共线，得方程组221,2416,R RR R x y y y x x⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2222222248, (1)2348. (2)23R R x x x y y y x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩由点O ，Q ，P 共线，得xyy P =12，即xy y P 12=．（3）由题设|OQ |·|OP |=|OR |2得()222222212RRpyxy y x +=+⋅+将（1），（2），（3）式代入上式，整理得点Q 的轨迹方程132)1(22=+-y x )0(>x ． 所以点Q 的轨迹是以(1，0)为中心，长、短半轴长分别为1和36，且长轴在x 轴上的椭圆，去掉坐标圆点．1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答 第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第1－10题每小题4分，第11－15题每小题5分．满分65分．1-15 CADBC DADAC BDCAB第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 16．4 17．32 18．3 19．42 三、解答题20．本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力． 解：（Ⅰ）当1>a 时，原不等式等价于不等式组：⎩⎨⎧>-+>-+.1,01a a x a x 解得12->a x ． (Ⅱ)当10<<a 时，原不等式等价于不等式组10,1.x a x a a +->⎧⎨+-<⎩ 解得 121-<<-a x a ．综上，当1>a 时，不等式的解集为 }12|{->a x x ;当10<<a 时，不等式的解集为 }121|{-<<-a x a x ．21．本小题主要考查等比数列的基础知识，逻辑推理能力和运算能力．解：若1=q ，则有133a S =，166a S =，199a S =．由9632S S S =+得1113618a a a +=，解得 10a =，与01≠a 相矛盾， ∴1≠q ．由9632S S S =+得qq a q q a q q a --=--+--1)1(21)1(1)1(916131 整理得 0)12(363=--q q q ．由0≠q 得方程 01236=--q q ．0)1)(12(33=-+q q ，∵1≠q ，013≠-q ， ∴0123=+q ，∴243-=q ． 22．本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算能力．满分12分．解：由题设条件知B =60°，A +C =120°．∴11cos cos cos60A C +==-，即 C A C A cos cos 22cos cos -=+，2coscos 22A C A C +-)cos()]A C A C =++-，2cos 60cos 2A C-︒cos()]A C =︒+-，1cos cos()]22A C A C -=-+-，023)2cos(2)2(cos 242=--+-CA C A ，,0)32cos 22)(22cos 2(=+---C A C A∵,032cos 22≠+-CA ∴.022cos 2=--CA 从而得.222cos =-C A 23．本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力运算能力．满分12分． (Ⅰ)②∵BE :CF =1:2， ∴ DC =2BD ， ∴ DB =BC ，③∵△ABD 是等腰三角形， 且∠ABD =120º，∴∠BAD =30º，∴∠CAD =90º， ④∵FC ⊥面ACD ，∴CA 是F A 在面ACD 上射影， 且DA ⊥AC ，GB 1C 1F AB C E DA 1⑤∵F A ∩AC =A ，DA ⊥面ACF ， DA ⊂面ADF ．(Ⅱ)解：∵ F AA E AEF A V V 11--=． 在面A 1B 1C 1内作B 1G ⊥A 1C 1，垂足为G ，则231aG B =．∵面A 1B 1C 1⊥面A 1 C ，B 1G ⊥A 1C 1， ∴B 1G ⊥面A 1 C ．∵ E ∈B B 1，而B B 1∥面A 1 C ， ∴ 三棱柱E －AA 1F 的高为23a ， ∴ 1211322AA F a S AA AC ∆=⋅=，∴43311a V V F AA E AEF A ==--．24．本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．解：设耕地平均每年至多只能减少x 公顷，又设该地区现有人口为P 人，粮食单产为M 吨/公顷．依题意得不等式4410(10.22)(1010)10(10.1)(10.01)M x Mp p+-≥++，化简得]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯≤x ． ∵]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯ 3122101011010[1(10.010.01122C C =-+⋅+⋅+…)]]1045.122.11.11[103⨯-⨯≈ 1.4≈，∴4≤x （公顷）．答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷．25．本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．解：（I ）依题设，直线12,l l 的斜率都存在，且设直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，，则121k k =-，且直线12,l l 的方程分别为11(0)y k x k =≠， ①22(0)y k x k =≠． ②将①代入双曲线方程得221(1k x x ⎡⎤-=⎣⎦，即 01222)1(2121221=-++-k x k x k ．③由题设条件知0121≠-k ，且22221111)4(1)(21)k k ∆=--- 214(31)0k =->．将②代入双曲线方程得222(1k x x ⎡⎤-=⎣⎦，即 01222)1(2222222=-++-k x k x k ．④由题设条件知2210k -≠，且2224(31)0k ∆=->，即21110k -≠，且22134(1)0k ∆=->． ∴1l ，2l 与双曲线各有两个交点，等价于21211310,310,1.k k k ⎧->⎪⎪->⎨⎪⎪≠⎩解得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<.1,33311k k ∴)3,1()1,33()33,1()1,3(1 ----∈k ． (Ⅱ)双曲线122=-x y 的顶点(0,1),(0,1)-．取1(0,1)A 时，有1)20(1=+k ，解得221=k ． 从而2112-=-=k k ． 将22-=k 代入方程④得03242=++x x ． ⑤令2l 与双曲线的两交点为),(112y x A ，),(222y x B ，则12,x x 是方程⑤的两个根，且12123x x x x +=-=， ∴222221212||()()A B x x y y =-+-221212123()3[()4]x x x x x x =-=+-，∴ 60||222=B A ， 152||22=B A ． 当取1(0,1)A -时，由双曲线221y x -=关于x 轴的对称性，知152||22=B A ， ∴1l 过双曲线的一个顶点时，152||22=B A ．1997年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答 第Ⅰ卷（选择题共65分）一、选择题：本大题共15小题；第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(15)题每小题5分，共65分．1-12 BBACB CDCAB ADCCB第Ⅱ卷(非选择题 共85分)二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．16．4 17．(4，2) 18．32- 19．①，④ 三、解答题：本大题共6小题；共69分． 20．(本小题满分10分)本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算等基础知识，考查利用三角公式进行变形的技能和运算能力． 解一：∵3sin 3cos 2321ππi i z +=+=，i 2222+=ω4sin 4cos ππi +=．由题意得377(cossin )1212zw zw i ππ+=+ 1313(cos sin )1212i ππ++)1213sin 127(sin )1213cos 127(cosππππ+++=i55sin )66i ππ=+，∴复数3zw zw +的模为2，辐角主值为65π． 解二：3zw zw +)1(2w zw += )1)(2222)(2321(i i i +++= )2123(2i i +-=55sin )66i ππ=+，， ∴复数3zw zw +的模为2，辐角主值为65π． 21．(本小题满分11分)本小题主要考查等差数列、等比数列、方程组等基础知识，考查运算能力．解：设等差数列}{n a 的公差为d ，则3133S a d =+，4146S a d =+， 51510S a d =+．由已知条件得234534111,345112,34S S S S S ⎧⎛⎫⋅=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩其中05≠S ，即 2111113()()(2),23()()2,2a d a d a d a d a d ⎧++=+⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩ 整理得211350,52 2.2a d d a d ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得11,0a d ==，或1124,5a d ==-，∴1n a =，或1232124(1)555n a n n =--=-．当1n a =时，55=S ；当321255n a n =-时，54S =-． ∴等差数列}{n a 的通项为1=n a ，或n a n 512532-=．22．(本小题满分12分)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力． 解：（Ⅰ）由题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vS ， 全程运输成本为)(2bv vaS v S bv v S a y +=⋅+⋅=， ∴所求函数及其定义域为],0(),(c v bv vaS y ∈+=．(Ⅱ)由题意知S ，a ，b ，v 都为正数，∴ab S bv vaS 2)(≥+，当且仅当a bv v =．即bav =时上式中等号成立． 若c b a≤，则当bav =时，全程运输成本y 最小；若c b a>，则当],0(c v ∈时，有 )()(bc c aS bv v a S +-+ )]()[(bc bv c av a S -+-==))((bcv a v c vcS-- ∵0≥-v c ，且2a bc >，∵02>-≥-bc a bcv a ，∴)()(bc caS bv v a S +≥+，且仅当cv =时等号成立，也即当c v =时，全程运输成本y 最小． 综上知，为使全程运输成本y 最小，当c b ab ≤时行驶速度应为b abv =；当c bab>时行驶速度应为c v =． 说明：当c ba>时，可用函数单调性、导数方法求最小值．23．(本小题满分12分)本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，考查逻辑推理和空间想象能力． 解:(Ⅰ)∵AC 1是正方体， ∴AD ⊥面DC 1．又D 1F ⊂面DC 1，∴F D AD 1⊥．(Ⅱ)取AB 中点G ，连接A 1G ，FG ． ∵F 是CD 的中点，∴GF ，AD 平行且相等． 又∵A 1D 1，AD 平行且相等， ∴GF ，A 1D 1平行且相等，∴GFD 1A 1是平行四边形，A 1G ∥D 1F ． 设A 1G 与AE 相交于点H ，则∠AHA 1是AE 与D 1F 所成的角，∵E 是BB 1的中点，∴Rt △A 1AG ≌Rt △ABE ，∠GA 1A =∠GAH ， ∴∠AHA 1=90°，即直线AE 与D 1F 所成角为直角．(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD ⊥D 1F ，由(Ⅱ)知AE ⊥D 1F ，又AD ∩AE =A ，∴D 1F ⊥面AED ．又因为D 1F ⊂面A 1FD 1， ∴面AED ⊥面A 1FD 1． (Ⅳ)∵体积E AA F F AA E V V 11--=，又FG ⊥面ABB 1A 1，三棱锥F －AA 1E 的高21==AA FG ， 面积2221212111=⨯==∆A ABB E AA S S 矩形． ∴ 3422313111=⨯⨯=⨯⨯=∆-FG S V E AA FAA E ． 24．(本小题满分12分)本小题主要考查对数函数图像、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力． 解：(Ⅰ)设点A ，B 的横坐标分别为1x ，2x ，。
1984年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案
1984年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案（这份试题共八道大题，满分120分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X=Y （D ）X ≠Y2.函数y=f(x)与它的反函数y=f -1(x)的图象 （ D ） （A ）关于y 轴对称 （B ）关于原点对称 （C ）关于直线x+y=0对称 （D ）关于直线x-y=0对称 3复数i 2321-的三角形式是 （ A ） （A ）)3sin()3cos(π-+π-i （B ）3sin 3cos π+πi（C ）3sin 3cos π-πi （D ）65sin 3cos π+πi4．直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的 （ C ） （A ）一条直线不相交 （B ）两条直线不相交 （C ）任意一条直线都不相交 （D ）无数条直线不相交 5．方程x 2-79x+1=0的两根可分别作为 （ A ） （A ）一椭圆和一双曲线的离心率 （B ）两抛物线的离心率 （C ）一椭圆和一抛物线的离心率 （D ）两椭圆的离心率 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．已知函数0)32(log 5.0>-x ，求x 的取值X 围答：.223<<x2．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答：ππ43．已知实数m 满足2x 2-(2i-1)x+m-i=0,求m 及x 的值答：m=0,x=-21.4.求)2)(1()()2()1(lim 222--++++++∞→n n n n n n n n 的值 答：15．求6)12(xx -的展开式中x 的一次幂的系数答：2406．要排一X 有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）答：!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．画出方程y 2=-4x 的曲线2．画出函数2)1(1+=x y 的图象 解：四．（本题满分12分）已知等差数列a,b,c 中的三个数都是正数，且公差不为零求证它们的倒数所组成的数列cba1,1,1不可能成等差数列证：如果cba1,1,1成等差数列，那么,,,1111ccbababcbcbbcbabcab-=--=--=-得两边乘以即又因为a,b,c成等差数列，且公差不为零，所以.0≠-=-cbba由以上两式，可知.11ca=两边都乘以a c，得a=c.但由数列a,b,c的公差不为零，知a≠c，这就得出矛盾从而cba1,1,1不可能成等差数列五．（本题满分14分）把α-β-α-422cossin2sin411化成三角函数的积的形式(要求结果最简）)-)sin(sin()2sin2sin2()2cos2(2cos)cos)(coscos(coscoscos)cos(sincoscoscoscossincoscos2sin41)sin1(:2222224222422βαβ+α=α-βα+β-⨯α-βα+β=α-βα+β=α-β=α+αα-β=α-αα-β=α-α-β-=原式解六．（本题满分14分）1X2．Y如图，经过正三棱柱底面一边AB ，作与底面成300角的平面，已知截面三角形ABD 的面积为32cm 2，求截得的三棱锥D-ABC 的体积解：因为这个三棱锥是正三棱锥，所以△ABC 是正三角形，且DC 所在直线与△ABC 所在平面垂直如图，作△ABC 的高CE ，连结DE 由三垂线定理，知DE ⊥AB ，所以∠DEC 是二面角α-AB-β的平面角，∠DEC=300 CE=AB AB CE DE AB tg AB =⨯=︒==︒233230cos ,23602 用S 截表示△ABD 的面积，则.8,2121322=∴=⋅==AB AB DE AB S 截 用S 底表示△ABC 的面积，则 S 底=.31643212==⋅AB CE AB ∵∠DEC=300，所以DC=4. ∴)(3364431631312cm DC S V =⨯⨯=⋅=底三棱锥 七．（本题满分14分）某工厂1983年生产某种产品2万件，计划从1984年开始，每年的产量比上一年增长20%问从哪一年开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件（已知lg2=0.3010,lg3=0.4771)解：设a 1为这家工厂1983年生产这种产品的年产量，即a 1=2.D α C 300E A并将这家工厂1984，1985，…年生产这种产品的年产量分别记为a 2,a 3,….根据题意，数列{a n }是一个公比为1.2的等比数列，其通项公式为12.12-⨯=n n a根据题意，设122.121=⨯-n 两边取常用对数，得84.1010791.07781.0112lg 23lg 2lg 2lg 23lg 12.1lg 2lg 12lg .12lg 2.1lg )1(2lg ≈+=+-+-+=+-==-+x x 因为x y 2.12⨯=是增函数，现x 取正整数，可知从1993年开始，这家工厂生产这种产品的产量超过12万台答：略八．（本题满分15分）已知两个椭圆的方程分别是C 1:x 2+9y 2-45=0, C 2:x 2+9y 2-6x-27=0.1．求这两个椭圆的中心、焦点的坐标2．求经过这两个椭圆的交点且与直线x-2y+11=0相切的圆的方程1．解：把C 1的方程化为标准方程，得.102,5,531545:221===∴=+c b a y x C可知椭圆C 1的中心是原点，焦点坐标分别是)0,102(),0,102(-把C 2的方程化为标准方程，得.24,2,61436)3(:222===∴=+-c b a y x C可知椭圆C 2的中心坐标是（3，0），焦点坐标分别0,243(),0,243(-+2．解一：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧-=====--+=-+,2,3,2,3,02769,04592222y x y x x y x y x 或解得 所以两椭圆C 1，C 2的交点坐标是A （3，2），B （3，-2）设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0. 因为A ，B 两点在圆上，所以有⎩⎨⎧--===++-=+++133,0.01323,01323D F E F E D F E D 解得 从而所求圆的方程为x 2+y 2+Dx-3D-13=0由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知方程28,205626006912)422(50133)211(2222-===-+=+-++=--+++D D D D D x D x D Dx x x 或解得就是的判别式为即 从而所求圆的方程是x 2+y 2+2x-19=0,或x 2+y 2-28x+71=0. 解二：同解一，求出两椭圆交点坐标为A （3，2），B （3，-2） 所求圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上即x 轴上，因此可设圆心为（m,0)由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知点（m,0)到直线x-2y+11=0的距离等于点（m,0)与点A （3，2）之间的距离（都等于所求圆的半径），所以01413:,2)3(41|11|222=--+-=++m m m m 化简得整理解得m=-1,或m=14.当m=-1时，圆的半径52=r ，所求圆的方程是x 2+y 2+2x-19=0;当m=14时，圆的半径5r，所求圆的方程是5x2+y2-28x+71=0.。
1993年普通高等学校招生全国统一考试 .文科数学试题及答案
1993年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至9页，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共68分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.一、选择题：本大题共18小题；每小题4分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1)如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么该双曲线的离心率为：( )(A) (B) (C)3/2 (D)2(2)函数y ＝(1－tg 22x)/(1＋tg 22x)的最小正周期是：( )(A)π/4 (B)π/2 (C)π (D)2π(3)当圆锥的侧面积和底面积的比值是时，圆锥的轴截面顶角是：( )(A)45° (B)60° (C)90° (D)120°(4) 当z ＝2i 1 时，z 100＋z 50＋1的值是：( )(A)1(B)-1(C)i(D)-i(5)若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是：()(A)三棱锥(B)四棱锥(C)五棱锥(D)六棱锥(6)在直角三角形中两锐角为A和B,则sinAsinB：()(A)有最大值1/2和最小值0(B)有最大值1/2,但无最小值(C)既无最大值也无最小值(D)有最大值1,但无最小值(7)在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a5a6=9,则log3a1+log3a2+…+log3a10的值为：()(A)12(B)10(C)8(D)2+log35(8)当F(x)＝[1＋2/(2x－1)]f(x)(x≠0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)：()(A)是奇函数(B)是偶函数(C)可能是奇函数也可能是偶函数(D)不是奇函数也不是偶函数(9)设直线2x－y－＝0与y轴的义点为P，把圆(x＋1)2＋y2＝25的直径分为两段,则其长度之比为：()(A)7/3或3/7(B)7/4或4/7(C)7/5或5/7(D)7/6或6/7(10)若a、b是任意实数,且a>b,则：()(A)a2＞b2(B)b/a＜1(C)lg(a－b)＞0(D)(1/2)a＜(1/2)b(11)已知集合E={θ│cosθ<sinθ,0≤θ≤2π},F={θ│tgθ<sinθ},那么E∩F为区间：()(A)(π/2，π)(B)(π/4，3π/4)(C)(π，3π/2)(D)(3π/4，5π/4)(12)一动圆与两圆:x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为：()(A)抛物线(B)圆(C)双曲线的一支(D)椭圆(13)若直线ax+by+c=0在第一、二、三象限,则：()(A)ab>0，bc>0 (B)ab>0，bc<0(C)ab<0，bc>0 (D)ab<0，bc<0(14)如果圆柱轴截面的周长L为定值,那么圆柱体积的最大值是：()(A)(L/6)3π(B)(L/3)3π(C)(L/4)3π(D)[(L/4)3π]/4(15)展开所得的x多项式中，系数为有理数的共有：()(A)50项(B)17项(C)16项(D)15项(16)设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,那么：()(A)1/c＝1/a＋1/b(B)2/c＝2/a＋1/b(C)1/c＝2/a＋2/b(D)2/c＝1/a＋2/b(17)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有：()(A)6种(B)9种(C)11种(D)23种(18)在正方体A1B1C1D1-ABCD中,M、N分别为棱A1A和B1B的中点(如图).若θ为直线CM与D1N所成的角,则sinθ的值为：()(A)1/9(B)2/3(C)(D)二、填空题:把答案填在题中横线上.(19)抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴,若AB的长为，则焦点到AB的距离为________。
2023年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国乙卷、文科数学)
2023年普通高等学校招生全国统一考试乙卷数学（文科）注意事项:1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，只将答题卡交回。
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.|2+i 2+2i 3|=( )A.1B.2C.5D.5 2.设全集U ={0,1,2,4,6,8}，集合M ={0,4,6}，N ={0,1,6}，则U MC N =( ) A .{0,2,4,6,8} B .{0,1,4,6,8} C .{1,2,4,6,8}D .U3、如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为( )A.24B.26C.28D.304.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a cos B －b cos A =c ，且C =5π，则∠B =( )A.10πB.5πC.310πD.25π 5、已知f (x )=1xax xe e -是偶函数，则a =( ) A.－2 B.－1 C.1 D.26.正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则·EC ED =( ) A.5 B.3 C.25 D.57、设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域{(x ,y )|1≤x 2+y 2≤4}内随机取一点A ，则直线OA 的倾斜角不大于4π的概率为( ) A.18 B.16C.14D.12 8.函数f (x )=x 3+ax +2存在3个零点，则a 的取值范围是( ) A.(－∞,－2) B.(－∞,－3) C.(－4,－1) D.(－3,－0)9.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为( ) A.56 B.23 C.12 D.1310.已知函数f (x )=sin(ωx +ϕ)在区间(6π,23π)单调递增,直线x =6π和x =23π为函数y =f (x )的图像的两条对称轴，则f (512π-)=( )A. B.12- C.1211.已知实数x ，y 满足x 2+y 2－4x －2y －4=0，则x －y 的最大值是( )A.1+B.4D.712、设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是( ) A.(1,1) B.(－1,2) C.(1,3) D.(－1,－4)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13、已知点A在抛物线C ：y 2=2px 上，则A 到C 的准线的距离为_______.14.θ∈(0,2π)，tan θ=12，则sin θ－cos θ=_______. 15、若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y -≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则z =2x －y 的最大值为_______.16.已知点S ，A ，B ，C 均在半径为2的球面上，△ABC 是边长为3的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，则SA =_______.三、解答题17、(12分)某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为x i，y i(i=1,2,…10)，试验结果如下记z i=x i－y i(i=1,2,…10)，记z1,z2,…,z10的样本平均数为z，样本方差为s2.(1)求z，s2；(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果z≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高).18、(12分)记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a2=11,S10=40(1)求{a n}的通项公式；(2)求数列{|a n|}的前n项和T n19、(12分)如图在三棱锥P－ABC中AB⊥BC，AB=2，BC，PB=PC，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO.(1)证明：EF//平面ADO；(2)若∠POF=120o，求三棱锥P－ABC的体积.20、(12分)已知函数f (x )=1()ln(1)a x x++.(1)当a =－1时，求曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)(若函数f (x )在(0，+∞)单调递增，求a 的取值范围21、(12分)已知椭圆C ：22221y x a b+=(a >b >0)的离心率为3，点A (－2,0)在C 上。
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1983年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案
一．（本题满分10分）
1．在直角坐标系内，函数y=|x|的图象 （ D ）
（A）关于坐标轴、原点都不对称
（B）关于原点对称
（C）关于x轴对称
（D）关于y轴对称
2．抛物线x2+y=0的焦点位于 （ A ）
（A）y轴的负半轴上 （B）y轴的正半轴上
（C）x轴的负半轴上 （D）x轴的正半轴上
3．两条异面直线，指的是 （ D ）
（A）在空间内不相交的两条直线
（B）分别位于两个不同平面内的两条直线
（C）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线
（D）不在同一平面内的两条直线
4．对任何2cos,360180的值等于 （ C ）
（A）.2cos1 （B）.2cos1
（C）.2cos1 （D）.2cos1
5．3.0222,3.0log,3.0这三个数之间的大小顺序是 （ C ）
（A）3.0log23.023.02 （B）3.02223.0log3.0
（C）3.02223.03.0log （D）23.023.023.0log
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二．（本题满分10分）
在平面直角坐标系内，表中的方程表示什么图形？画出这些图形
方程 x2+y2=2x x2-y2=0
图形名称 圆 两条相交直线
图形
Y O 1 X Y
O X
解：见上图
三．（本题满分10分）
1求函数)36(log522xxy的定义域
2．一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学要从
小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法
解：1.根据题意，得
,66,5,036,052xxx
x
即
解得 )6,5(.65函数的定义域是x
2．)(1003416242614种CCCCC
或：)(1002012036310种CC
四．（本题满分12分）
已知复数3cos21:,sincos33zziz求证
证：333333)sin(cos)sin(cos1iizzzz
3cos2)3sin()3cos(3sin3cosii
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五．（本题满分14分）
在圆心为O、半径为常数R的半圆板内画内接矩形（如图）当矩
形的长和宽各取多少时，矩形的面积最大？求出这个最大面积
解：设矩形在半圆板直径上的一边长为
2x，α角如图所示，则x=Rcosα,另一
边的长为Rsinα矩形面积S为
S=2R2sinαcosα.
=R2sin2α
当2α=2即α=4时，也即长为RR24cos2，宽为RR224sin时，
矩形面积最大
最大面积是R2
六．（本题满分14分）
如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上选
一基线AB，AB=20米，在A点处测得P点的仰角∠OAP=300，在B点
处测得P点的仰角∠OBP=450，又测得∠AOB=600，求旗杆的高度h（结
果可以保留根号）
解：在直角三角形AOP中，得
OA=OPctg300=h3.
在直角三角形BOP中，得
OB=OPctg450=h
在三角形AOB中，由余弦定理
得
O α
R
P
h
A 300 O
600
20米 450
B
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).(3420,34400,)34(400,60cos)3(2)3(2022222米即hh
h
hhhh
答：略
七．（本题满分16分）
如图，已知一块直角三角形板ABC的BC边在平面α内，
∠ABC=600，∠ACB=300，BC=24cm，A点在平面α内的射影为N，AN=9cm
求以A为顶点的三棱锥A-NBC的体积（结果可以保留根号）
解：自N作NE⊥BC，E为垂足连结AE，
由三垂线定理可知 AE⊥BC
在直角三角形ABC中，
.3660sin30sinBCAE
在直角三角形ANE中，
33621.3322NEBCSNBCANAENE的面积
三棱锥A-NBC的体积)(3108312cmANSV
答：略
八．（本题满分17分）
一个等比数列有三项如果把第二项加上4，那么所得的三项就成
为等差数列;如果再把这等差数列的第三项加上32，那么所得的三项
又成等比数列，求原来的等比数列
A
C
N E
B
α
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解：设所求等比数列为a,aq,aq2,由已知条件得
59232.2)4(,8)12(:).32()4(,)4(22222q
a
q
a
qaqqaaqaaq
aqaaq
或解方程组得
化简得
由a=2,q=3,得所求等比数列是2，6，18;
由5,92qa，得所求等比数列是.950,910,92
经检验均正确
九．（本题满分17分）
如图，已知两条直线L1:2x-3y+2=0,L2:3x-2y+3=0.有一动圆（圆
心和半径都在变动）与L1，L2都相交，并且L1，L2被截在圆内的两条
线段的长度分别是定值26，24求圆心M的轨迹方程，并说出轨迹的
名称
解：设圆心M的坐标为(x,y)，圆的半径为r，
点M到L1，L2的距离分别为d1,d2
根据弦、弦心距、半径三者之间的关系，有
.5.)224(,)226(2212222222221ddrdrd得
根据点到直线的距离公式，得
Y
L2
L1
M
O X
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.16565)1(.651225)13323()13232(,13|323|,13|232|22222221yxyxxyxyxyxdyxd即化简得
得方程
代入上式
轨迹是双曲线