第21章 二次根式复习
21章 二次根式复习要点
第21章 二次根式1.二次根式概念理解：一个数可以进行平方运算，3的平方=9；反过来可以进行开平方运算,9开平方得±3，我们用式子表示为39±=±，它表示9的平方根是±3，这里我们引用了一个符号根号。
a 这个式子我们称为二次根式，a 叫被开方数。
因为只有非负数才有平方根，即非负数才能开方，所以0≥a 。
注意：被开方数既可以是单项式，也可以是多项式．．．。
a 表示非负数的算术平方根，则有0≥a若3)3(2-=-a a ，则a 的取值范围是3-a ≥0，解得a ≥3 2.二次根式的性质（用来对式子进行化简）：①一个非负数．．．先开方，再平方得本身()a a =2 ②一个数．先平方，再开方取绝对值a a =2 3.二次根式的乘法：①根号不变，被开方数相乘，再化简．．．。
不能被平方数整除，则不能化简。
如：22能分成2×11 但2和11都不是平方数。
6。
32分成16×2，不能分成4×8平方数的开方： 981416,39,24==== 非平方数的开方：5220,2318,3212===，被开方数能分成4的多少倍，结果2倍根号多少。
以此类推，如45，45分成9的5倍，得534.二次根式的除法:如5315315==，也可以5335315=⨯=（1）分母是平方数，分子分母分别开方，再化简。
3294=，5112511=，22422168== （2）分母不是平方数，先约分，再把分母变成最小平方数．．．．．。
分子分母分别开方。
642666767=⨯⨯=，410282585=⨯⨯=，2747814== ③分母中有根号的化简：先约分．．．，把分母根号里的数变成最小平方数．．．．．，再开方。
335333535=⨯⨯=，10625023503=⨯⨯=, 363332322416=⨯⨯== ()()()()()2532532525253253+=+=+-+=-6.二次根式的加减。
第21章 二次根式单元复习
4．设a,b,c为△ ABC的三边，化简
(a b c) (a b c)
2
2 2
2
5．若 a ( a ) ，则a的取值范围是（） a Ａ． 0 Ｂ．a 0 Ｃ． 0 Ｄ．a 为任意数 a
6．若
x 1
求
y 1 0
2
x y
2
2
的值
2
7． 求下列各式的值 （１）( 3)
2 2 2 2 , 3 3
3 3 3 3 8 8
4 4 4 4 , 15 15
5 5 5 5 24 24
（2）你判断完以上各题之后，能猜想这类式子具有什么 规律？
（3）试用数学知识说明你所提出的猜想是正确的吗？
必做题：随堂优化
P6-7 第二课时
7． 求下列各式的值 （１）( 3)
D )
D.-1
6．若 a ( a ) ，则a的取值范围是（） a Ａ． 0 Ｂ．a 0 Ｃ． 0 Ｄ．a 为任意数 a
2 2
7. 若 ( x 7) 2 x 7, 则x的
取值范围是：_________
8．在实数范围内分解因式 4
（１）
x 9
2
（２）
x 2 3x 3
二 次 根 式
三个性质
两个公式
四种运算
例5:二次根式的性质的应用.
4.已知：
x4 +
2x y
=0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 解得 5.已知x,y为实数,且
x-4=0 且 2x+y=0 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( x 1 A.3 B.-3 C.1
第二十一章__二次根式_复习提纲
清水中学九年级数学人教版 第二十一章 二次根式 复习提纲一、知识结构二、知识点归纳(一)二次根式的概念：（1）二次根式：式子a (a ≥0)叫做二次根式．（2）最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．把满足这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
(3)同类二次根式：化成最简二次根式后，如果被开方数相同。
，这几个二次根式就叫做同类二次根式．(4)分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
(5)有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积为有理式，我们说这两个代数式互为有理化因式．（6）代数式：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式。
（二）二次根式的性质．20)(0);,(0)0,(0),(0)0,0)____(0,0);a a a a a a a a a a b a b ≥=≥>⎧⎪===⎨⎪-<⎩=≥≥=≥>是一个非负数；（*）（三）二次根式的运算：（1）二次根式的加减：先将二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式。
（20,0,0)a b a b =≥≥=≥>注意：做乘法时要灵活运用乘法分式；做除法时，有时要写为分数形式，然后分母有理化； 化简时要注意a 的正负性，尤其是隐含的正负性．三、典型习题（一）二次根式的概念1．（06泸州）要使二次根式1-x 有意义，字母x 的取值必须满足的条件是( ) (A)x≥1(B)x≤1(C)x>1(D)x<12．(06眉山) 若 2-x 有意义，则X 的取值范围（ ） A 、x > 2 B 、x ≥ 2 C、x < 2 D 、x ≤ 23．（05x 的取值范围是（ ） A 、2x ≠ B 、2x ≥ C 、2x > D 、2x ≤ 4．（05福州）如果代数式1-x x有意义，那么x 的取值范围是（ ） A 、0≥x B 、1≠x C 、0>x D 、10≠≥x x 且5．（05 Ａ、a<1 Ｂ、a ≤1 Ｃ、a ≥1 Ｄ、a>16．（04x 必须满足的条件是 A ．x ≥1 B ．x ＞－1 C ．x ≥－1 D ．x ＞1 7．（05荆门）如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 8．（02哈尔滨）如果式子x341-在实数范围内有意义，那么x 的取值范围是 。
章复习 第21章 二次根式
章复习第21章二次根式一、二次根式1、二次根式的概念一般地，把形如______的式子叫做二次根式，“______”叫做二次根号，______叫做被开方数.注：被开方数a可以是数，也可以是代数式（整式、分式），但a必须____________.2、二次根式的意义与性质⑴意义：二次根式实际上就是指非负数a的____________．a≥是一个______数；②____________；③____________．(0)注：①2(0)=≥可逆用平方根定义得出；②注意0a aa<时，a-．二、二次根式的乘除1、二次根式的乘法规定：__________________即：____________________________________．注：①此规定可推广到多个二次根式的情况；②此规定是积的算术平方根的性质____________的逆用；③公式中的a，b既可以是数，也可以是代数式，但都必须是______数，因为负数____________.2、二次根式的除法规定：__________________即：______________________________.注：①一般地，两个二次根式相除，如果被开方数不能恰好整除时，应将分母有理化.分母有理化的依据是分式的基本性质和2(0)=≥；②商的算术平方根的性质的限制条a a件“(00)，”与积的算术平方根的性质的限制条件类似，但也有区别，因为分母不能为零，a b≥>所以被除式a必须是非负数，除式b必须是正数，否则性质不成立.3、最简二次根式满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：①被开方数不含______；②被开方数中不含____________的因数或因式.注：①判断最简二次根式，应紧紧抓住最简二次根式的定义；②如果被开方数是多项式时，应先因式分解，再来判断；③被开方数中每一个因式的指数都小于根指数2，即每个因式的指数都为1．三、二次根式的化简化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：①如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分数或分式的形式，然后利用分母有理化进行化简；②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来．四、二次根式的加减1、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．注：①几个根式是否是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，而与根号前面的“系数”无关；②判断几个二次根式是否是同类二次根式，应先化成最简二次根式，再进行判断．2、二次根式的加减二次根式的加减，就是合并同类二次根式，二次根式加减运算的一般步骤：①将每一个二次根式化为最简二次根式；②找出其中的同类二次根式，合并同类二次根式．注：合并同类二次根式的方法是，把根号外面的因式相加，根指数和被开方数不变，其理论依据是逆用乘法对加法的分配律． 如：.3473)412(34132=-=- 五、重难专攻 综合方法专攻1 二次根式的化简在二次根式的运算中，二次根式的化简是必不可少的步骤．化二次根式为最简二次根式的方法：(1)如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用00)a b =≥>，把它写成分数或分式的形式，然后利用分母有理化进行化简．(2)如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽的因数或因式开出来．专攻2 二次根式的运算技巧(1)巧移因式，避繁就简【例1】计算：⋅-+)3418)(4823( 解：原式=)3418)(4823(22⨯-+⨯)4818)(4818(-+=304818-=-=(2)巧换元，干净利索【例2】计算：n n n n n n n n n (424242422222-++--++--+-++>2)． 【解】设42,4222--+=-++=n n y n n x ，则原式=(3)巧用因式分解，手到擒来【例3】化简：622633++++【解】原式=⋅==++++2623)312(2)213(3另外，还有配方、整体代入、拆项等方法，进行二次根式运算时，要灵活应用这些方法，以达到事半功倍的目的．六、中考能力提升重要例题分类解析题例1 二次根式【例1】【解】3．【点拨】考查二次根式运算，同时考查平方与开方的互逆关系．【例2】 （上海中考）计算：【例3】 （广东中考）化简：【分析【分析【解题蜘2二次根式的乘除.171-.3)3(2=J .177777777-=-=- =-777 =2)3(题刨±∝=R 、3的加R【例4】 （重庆中考）计算^／8=∞-/2A ．6B ．厢C ．2D ．厄【解】D ．简再计算，【分析】.33312,3212-=-∴=【解】一万．【点拨中考最新动析置击1化简探讨题【例1】 （镇江中考）若为( )．A ．o 万B ．口 ~-b-b a C -.b a D --.P 、1．（襄樊中考）与怕是A.~/8B.√27C. 2√S212.-A2.±B2.C4.DrH r*.(3Λ 中考．2009）下面计算正确的是( )．3333.=+A3327.=÷B532.=⋅C 24.±=D的取值范围是( )．3.-≥x A 3.->x B 3.-≤x C 3.-<x D )%(5Lhs Φ=⋅ 下列计算正确的是( )．A ．√822=- 14931227.=-=-B1)52)(52(=+-⋅C 23226.=-D、-填空6．（上海中考）函数≡⨯-=R hR x y 、27．（芜湖中考）式子≡-=≡+hhL N TKRL r a 128．（曲靖中考）9．（湘西10．（温州【分析ab b a b a ab ∴><∴><,0,0,0,012 .b a -=【解】C ．【点拨】渎探究题【例观察下列各式：=+=+=+513,413412,312311.,514请你将发现自然数n(n≥1)的等式【分析】比较等式的左边及右边， ⋅++=++21)1(21n n n n 【解】⋅++=++21)1(21n n n n 【点拨】11.（内江中考）化简：.45sin 2321+- 12.（江西中考）已知：以0凡是整数， 数n 为( )．A ．2B ．3C ．4D ．5 且、-F 放j 宋ji 毯z .(/13阳+-=++-=++-=+3431,32321,21211 ,20022001200220011,,4.+-=+.20032002200320021+-=+ +++++++++200220011431321211( ⋅+⨯+)20031()200320021题14．（内江中考）实数上的位置如图kk ,110-=-+-22)2()1(P P110-ru k ML L *、)(15*≡≡-Φ-⋅⋅先化n JN x J x x x ∏≡⋅-=Φ±---~22/,.,,2007,91:)96 学做题时把“,,2007-=x 错抄成了“≡=HTk x 1,,,2007的计算结果也是正确的，。
第21章 二次根式 复习课件
1．二次根式的概念 一般地，形如
a
(a≥0)的式子叫做二次根式；
(1)对于二次根式的理解：①带有根号；②被开方数是非负数． (2) a是非负数，即 a≥0. [易错点] (1)二次根式中， 被开方数一定是非负数， 否则就没有 意义； (2) 9是二次根式，虽然 9＝3，但 3 不是二次根式．因此二次 根式指的是某种式子的“外在形态”．
a a>0， 0 a＝0， -a a<0.
(a≥0，b>0)．
4.二次根式的非负性
二次根式 a的两个非负特性： ① a 0 ；② a 0
方法技巧
初中阶
若干个非负数的和为 0， 那么这若干个非负数都必为 0.即由 a≥0， b≥0，c≥0 且 a＋b＋c＝0，一定得到 a＝b＝c＝0，这是求一个 方程中含有多个未知数的有效方法之一．
2．最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． (1)被开方数不含 分母 (2)被开方数中不含能 3．二次根式的性质 ；
开得尽方
的因数或因式．
( a)2＝
a
a· b＝
ab
2 (a≥0) ； a ＝a＝ a a (a≥0，b≥0)； = b b
5．二次根式的运算 二次根式加减时，可以先将二次根式化成 最简二次根式 ， 再将
被开方数相同
的二次根式进行合并．
课堂小结
【针对训练 】
1．若 a、b 为实数，且满足│a－2│＋ －b2＝0，则 b－a 的值 为( C ) A．2 C．－2 B．0 D．± 2
0 2．化简： x－2－ 2－x＝________.
6．化简： 1－ 2 .
2
7．计算：
第二十一章二次根式课件复习
三、二次根式的加减
二次根式的加减法的一般步骤： 最简二次 首先将每个二次根式化为_______根式, 其次找出其中_________ 同类二次根式 同类二次根式 最后合并_________
课后反思及感悟
1.你知道使二次根式有意义的条件吗? 被开方数是非负数,而分母不为0 ________________________
被开方数的取值范围 2.利用二次根式的性质解题需要注意什么? ____________________
3.二次根式的加减运算过程中应注意什么? 不是同类二次根式不能合并 ____________________
第二十一章 二次根式
复习目标： 1.理解二次根式的概念,了解被开方数必 须是非负数 的理由； 2.理解二次根式加减乘除运算法则，会用它们进行 有关实数的简单四则运算； 3.掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字 母的取值问题； 4.能灵活应用二次根式的性质,通过二次根式的计算 提高逻辑思维能力与运算能力。
一、二次根式的概念及性质 • ①形如说 a a ≥0 ）的式子叫做二次根式。 （ • ②当a ≥0时， • ③
二、二次根式的乘除
①二次根式的乘法法则 a × ②二次根式的除法法则
பைடு நூலகம்a b
b =____ (a≥0,b≥0) ab
ab =____ (a≥0, b＞0)
③我们规定在二次根式运算中，最后结果要符合如下两个特点： 分母 （1）被开方数不含_____； （2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式。
第21章《二次根式》复习课课件
时，x的取值范围是___________
知识点4：二次根的乘除
1、二次根式的乘法法则
a b ab(a 0, b 0)
反过来：
ab a b (a 0, b 0)
2、二次根式的除法法则
a a (a 0, b 0) b b
反过来：
a a (a 0, b 0) b b
a 3 a 2 4a 4
2、式子
0
1
2 a3
1 (a 1) 2 a 成立的条件是（ D ）
A.a 1 B.a 1 C .a 1
D.a 1
3、 已知a, b, c为△ABC的三边长, 化简 (a b c) (b a c)
2 2
4、当
(6 x)( x 3) (3 x) 6 x
1、下列式子中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？
1 4 2 x 3 2 4 √ √
x 2 5 6a 6 3
2
2
√
二次根式必须具备以下2个条件： （1）必须有二次根号； （2）被开方数必须保证大于或等于0。
√
2、x取什么实数时，下列式子有意义？
1
2 x 2
括号前面是负号，去括号时每一项要改变符号。
例7：计算
解：原式=
6 ( 2 3)
6 2 6 3 3 2
错误原因：没有按运算顺序
运算技巧 1 、 已知x
2
2 7 3
,y
2
2 7 3
,
求x xy y 的值。
2、计算 ( x 2 xy y) ( x
1、计算： 2、化简
1
2 8
第21章 二次根式复习
第21章 二次根式复习【学习目标】1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子； 2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算． 【学习过程】 一、梳理知识1. 二次根式的有关概念（1）式子a （a ≥0）叫做， ，（a 与a 必是非负数）. （2）最简二次根式的条件是 和 . （3） _______________ 叫做同类二次根式. （4） _________________叫做分母有理化. 2. 二次根式的性质：（1）若a ≥0，则=2)(a . （2）==a a 20).(a )0(a <≥．（3）a ab =·b 成立的条件是 . （4）bab a =，则a ，b . 3. 二次根式的运算：（1）二次根式加减法的步骤是 ，后合并 . （2）二次根式乘法的运算公式是 .（3）二次根式的除法通常把算式写成公式的形式，通过分母有理化进行运算，有时也可约分或利用公式 运算.二、例题例1． x 取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：(1)32x x -+-；2(2)1x x-；(3)22x x +-；2(4)3x x +.例2．已知,m n 为实数，且满足229943n n m n -+-+=-，求63m n -的值.三、课堂练习 1．选择题： （1）()22,a a a =--2的取值范围是（ ）A ．a≤2B ．a≥2C ．a≠2D ．a ＜2 （2）当2x <-时，()22x +等于（ ）A ．x+2B ．－x －2C ．－x+2D ．x －2 （3）化简()()22(0)x a x a x a -++<<等于（ ）A ．2xB ．2aC ．－2xD ．－2a （4）把根号外面的因式移入根号内，1m m-=（ ） A ．m B ．m - C ．m -- D ．m - （5）若021x <<+，则()2221x x ++--等于（ ）A ．221--B ．21x -C ．221+D ．221- 2．填空题： (1) 若45x x --有意义，则x 的取值范围是 . （2）若21a a =-，则a 的取值范围是 .（3）化简31a a-= . （4）若2132n m n -+与6是同类最简二次根式，则n = ，m = . （5）化简()2230,0a b a b ><= .（6）若0,0a b ><，则2a b -= .（7）若5260,x x y -+++=则31x y +-= . （8）若12x <<，则()()2221x x ---= .（9）化简()()2244(0)xy x y x y -->>= .3.求112011a a a ---+的值.5.已知1212,22x y -+==，求2222x y xy ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的值.6．x 是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？7．把下列各式化成最简二次根式：（字母都取正数）课外知识1.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．A ．2x 与2yB ．3489a b 与5892a b C ．mn 与n D ．m n +与m n +* 2．互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1－22x x +与x+1+22x x +就是互为有理化因式；x 与1x也是互为有理化因式． 练习：2+3的有理化因式是________； x －y 的有理化因式是_________． －1x +－1x -的有理化因式是_______．* 3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的． 练习：把下列各式的分母有理化 （1）151-； （2）1123+； （3）262-； （4）33423342+-．4．其它材料：如果n 是任意正整数，那么21nn n +-=n 21n n -理由：21n n n +-=332211n n n n n n -+=--=n 21n n - 练习：填空223=_______；338=________；4415=_______．5.化简：（1）x y x y-+ （2）321a a a ---⑶ 2211a a a a ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⑷2a b a b ab a b a b -+----6*. 已知：()()2232,32x y =+=-，求32432232x xy x y x y x y-++的值.7．当x=121-时，求2211x x x x x x ++++-++2211x x xx x x+-++++的值．（结果用最简二次根式表示）*8．计算：（1）5223335631+-++-；（2）2111111xx x⎛⎫⎛⎫+-÷+⎪⎪+⎝⎭-⎝⎭。
第二十一章 二次根式(章节复习)
第二十一章 二次根式（章节复习）教学目标1．本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础． 3．知识与技能（1）理解二次根式的概念．（2）理解a （a ≥0）是一个非负数，（a ）2=a （a ≥0），2a =a （a ≥0）．（3）掌握a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0），ab =a ·b ；a b=a b（a ≥0，b>0），a b=a b（a ≥0，b>0）．（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．二次根式的计算与化简。
要求1、熟记8，12，18，20，24，28，32，40，48，50，54，60，72，98，108，128等二次根式的化简结果。
2、熟记形如1212－和＋，2323－与＋之间的倒数关系，看到形如231＋，要能够第一时间反应出来其结果是23－；3、遇到()()22b a b a +-或形式的二次根式，要十分清楚如何判断被开方出来的是a －b 还是b －a ，a ＋b 还是－a －b ；4、要十分熟悉二次根式加减乘除的运算规则及分母有理化的方法，如21＝22，()2232323＋＝－＋等。
一、 典型习题1、在下列各式12+a ，3-x ，4，()21-x ，231⎪⎭⎫⎝⎛-中，是二次根式的有（ ）2、已知－1≤a ≤1，下列各式21-a ，a11-，21a-，aa +-11中是二次根式的是（ ）3、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是 。
4、式子()21--a 有意义，则a 的取值范围是 。
5、若032=-+-b a ，则=-b a 2。
6、若()211y x x x +=---，则x －y 的值为 。
华东师大版九年级上册第21章二次根式单元复习课件(共14张)
三、二次根式运算
乘法：a • b ab(a 0)
次
根
除法：a a (a 0,b 0)
式
bb
运 算
a a (a 0,b 0) bb
加减法：合并同类二次根式
混合 运算
1、计算
（1） 1 108 3
(2) 2a 1 a 8
(3) 6 1 1 7 49
(4)3 1 • 2x3 x
（5） 75 3 （6） 24
23 （7）1 1 1
26 （8） 3a3 a (a 0)
27
2、化简
（1） 300 （2） 200a5b4c3
(3) 292 212 (4) (4) (9)
5、 如图，已知a,b, c在数轴上的位置，化简： a2 (b c)2 ( c )2 (c a)2
ba
0c
6、
当1 x 2时，化简 x2 2x 1 x2 6x 9
7、 已知a满足2009 a a 2010，求a 20092的值
8、 若化简1 x x2 8x 16的结果是2x 5， 则的取值范围_____
2、化简下列各式：
（1）（ 0.3）2；（2）（ 2）2；（3）（ - 2 3）2；（4）（- 5 ）2
7
2
3、
已知 x2 8x 16 x2 -12x 36，化简：（2x 8)2 2 x 6
4、 已知ABC，a,b, c分别是三角形的三边， 试化简： (a b c)2 2 c a b
4x
4、下列各组二次根式中，每一组都有一个二次根式与其他的二次根式不同， 你能把这个二次根式找出来吗？
（1） 2, 3, 8, 13 (2） 2 ，1，2x , 15 22 (3) x y , 2x2 y , x2 y2 , xy (4) 26, 8xy , x2 y , x2 y 4
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第21章 二次根式
1．二次根式：形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式。
2．二次根式的性质：（1）)0(0≥≥a a （2）
()
)0(2
≥=a a a （3）⎩⎨
⎧<-≥=)
0()0(2a a a a a 3．二次根式的乘法：两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘。
4．积的算术平方根：积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积。
主要用于二次根式的化简。
5．二次根式的除法：两个二次根式相除，将它们的被开方数相除。
6．商的算术平方根：商的算术平方根，等于各因式算术平方根的商。
7．最简二次根式：被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，这样的二次根式称为最简二次根式。
8．二次根式化简主要包括两方面
（1）如果被开方数中含有分母，通常可利用分式的基本性质将分母配成完全平方，再“开方”出来。
（2）如果被开方数中含有完全平方的因式（或因数），可利用积的算术平方根的性质，将它“开方”出来。
9．同类二次根式：像33与32-， a 3、 a 2-与 a 4这样的几个二次根式，称为同类二次根式。
10．二次根式的加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并。
典型例题
1、如果
－3
x+5
是二次根式，则x 的取值范围是（ ） A 、x≠－5 B 、x>－5 C 、x<－5 D 、x≤－5
2、等式x 2－1 =x+1 ·x －1 成立的条件是（ ） A 、x>1 B 、x<－1 C 、x ≥1 D 、x ≤－1
3、已知a=
1
5 －2 ,b=1
5 +2 ，则a 2+b 2+7 的值为（ ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、6
4、下列二次根式中，x 的取值范围是x ≥2的是（ ） A 、2－x B 、x+2 C 、x －2 D 、
1
x －2
5、在下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A 、a 2 +1 B 、2x+1 C 、
2b
4
D 、0.1y 6、下面的等式总能成立的是（ ）
A 、a 2
=a B 、a a 2
=a 2
C 、 a · b =ab
D 、ab = a · b 7、m 为实数，则m 2+4m+5 的值一定是（ ） A 、整数 B 、正整数 C 、正数 D 、负数 8、已知xy>0,化简二次根式x
－y
x
2 的正确结果为（ ） A 、y B 、－y C 、－y D 、－－y
9、若代数式(2－a)2 +(a －4)2
的值是常数2，则a 的取值范围是（ ） A 、a ≥4 B 、a ≤2 C 、2≤a ≤4 D 、a=2或a=4 10、下列根式不能与48 合并的是（ ）
A 、0.12
B 、18
C 、
11
3
D 、－75 11、如果最简根式3a －8 与17－2a 是同类二次根式，那么使4a －2x 有意义的x 的范围是（ ） A 、x ≤10 B 、x ≥10 C 、x<10 D 、x>10 12、若实数x 、y 满足x 2+y 2－4x －2y+5=0,则x +y 3y －2x
的值是（ ）
A 、1
B 、3
2 + 2 C 、3+2 2 D 、3－2 2
13、要使
x －1 3－x
有意义，则x 的取值范围是 。
14、若a+4 +a+2b －2 =0，则ab= 。
15、若1－a 2 与a 2－1 都是二次根式，那么1－a 2 +a 2－1 = 。
16、若y=1－2x +2x －1 +(x －1)2 ，则(x+y)2003= 。
17、若 2 x>1+ 3 x ，化简(x+2)2 －3(x+3)3
= 。
18、若(a+1)2 =(a －1)2 ，则a= .
19、比较大小：⑴3 5 2 6 ⑵11 －10 －13 20、若最简根式m 2
－3 与5m+3 是同类二次根式，则m= .
21、已知22
3
=223
,33
8
=338
,4
4
15
=44
15
,…请你用含n 的式子将其中蕴涵的规律表示出来： .
22、若 5 的整数部分是a ，小数部分是b ，则a －1
b = 。
23、已知x =
1a
－ a ，则4x+x 2 = 。
24、已知a=3－ 5 －3+ 5 ，则化简a 得 . 25、计算：（1）、( 3 + 2 )－1+(－2)2 +3
－8 （2）、1
3 +1 + 15 － 3 +1
5 +3
（3）、(1+ 2 － 3 )(1－ 2 + 3 )+2 6 （4）、9a + a
3
1
a
+
1
2a
a3
26、先化简再求值
（1）、已知a=3,b= 4，求[
4
( a + b )( a － b )
+
a + b
ab ( b － a )
]÷
a － b
ab
的值。
（2）、化简：a+2+a2－4
a+2－a2－4 －
a+2－a2－4
a+2＋a2－4
取自己喜爱的a的值计算。
(3)、当a=
3 + 2
3 － 2
，b=
3 － 2
3 ＋ 2
时，求a2－3ab+b2的值。
27、解答下列各题
（1）、已知直角三角形两直角边长分别为a= 1
2 3 －11 ,b=
1
2 3 ＋11
,求斜边的长。
（2）、先阅读下列的解答过程，然后作答：形如m±2n 的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b=m,ab=n，这样( a )2+( b )2=m, a · b =n,那么便有m±2n =( a ± b )2 = a ±b (a>b)
例如：化简7+4 3 解：首先把7+4 3 化为7+212 ，这里m=7,n=12；由于4+3=7,4×3=12,即( 4 )2+( 3 )2=7, 4 · 3 =12 ，∴7+4 3 =7+212 =( 4 + 3 )2 =2+ 3
由上述例题的方法化简：⑴13－242 ⑵7－40 ⑶2－ 3。