第1章 优化设计的基本概念(1)
优化设计概述
z第1章
内容
优化设计概述 优化方法的数学基础 一维搜索方法 无约束优化方法 约束优化方法 多目标优化 机械设计优化实例 MATLAB基础 MATLAB优化计算
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第1篇 优化设计方法 Optimization
z第2章 z第3章 z第4章 z第5章 z第6章 z第7章 z第8章 z第9章
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x2 ≥ 0 x3 ≥ 0 x1 x2 x3 = 100
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数学模型
设计参数： 设计目标： 约束条件：
例3：直齿圆柱齿轮副的优化设计
x A , xB
max P = PA xA + PB xB
已知：传动比i, 转速n, 传动功率P，大小齿轮的材料，设 计该齿轮副，使其重量最轻。 分析： （1）圆柱齿轮的体积(v)与重量(w)的表达； （2）设计参数确定：模数m，齿宽b，齿数z1； （3）设计约束条件： （a）大齿轮满足弯曲强度要求； （b）小齿轮满足弯曲强度要求； （c）齿轮副满足接触疲劳强度要求； （d） 齿宽系数要求； （e） 最小齿数要求。 14
h( x ) = 0
(2)不等式约束
g ( x) ≤ 0
可行域 :凡满足所有约束 条件的设计点，它在设计 空间中的活动范围 . 约束函数有的可以表示成显式形式，即反映设 计变量之间明显的函数关系，有的只能表示成隐 式形式 ,如例中的复杂结构的性能约束函数（变 形、应力、频率等） 复杂结构的性能约束函数（变形、应力、固有 22 频率等）需要通过有限元等方法计算求得
图1-1 设计变量所组成的设计空间 （a）二维设计问题 （b）三维设计问题
目前已能解决200个设计变量的大型最优化设计问题。
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2、约束条件
现代设计方法第1章 优化设计概述
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现代设计方法——第1章 优化设计概述
1.2 目标函数
• 目标函数又称评价函数，是用来评价设计方案好坏的标准。任何一项 机械设计方案的好坏，总可以用一些设计指标来衡量，而这些设计指 标可以用设计变量的函数的取值大小加以表征，该函数就称为优化设 计的目标函数。
• 目标函数是一个标量函数。目标函数取值的大小，是衡量设计质量优 劣的指标。
• 设计变量类型 : 连续、离散。 • 根据设计变量 的多少优化问题可 分为：小型、中型、大型问题。
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现代设计方法——第1章 优化设计概述
x2
x2
x (k) 2
x (k) 2
O
O
x (k) 1
x1
(a)
x (k) 3
x3
(b)
图1-1 设计空间
x (k) 1 x1
设计空间是所有设计方案的集合，用符号 X Rn 表示。任何一个设计
gu ( X ) 0 (u 1,2, , m)
或
gu ( X ) 0 (u 1,2, , m)
式中 X——设计变量； p——等式约束的数目； m——不等式约束的数目。 在上述数学表达式式中 hv (X ) 0, gu (X ) 0 为设计变量的约束方
程，它们规定了设计变量的允许取值范围。优化设计，即是在设计变量 允许范围内，找出一组最优参数 X * [x1* x2* xn*]T , 使目标函数 f (X )
达到最优值 f ( X *) 。
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现代设计方法——第1章 优化设计概述
• 约束边界和可行域
x1 规定的 x1的下限
x1
现代设计方法---优化设计
E=2×105MPa。现要求在满足使用要求的条件下，试设计一个用
料最省的方案。
优化目标
用料最省
V 1 d 2L
4
d
F M
L
强度条件
max
FL 0.1d 3
w
M
0.2d 3
条件 刚度条件
f
FL3 3EJ
64FL3
3Ed 4
f
边界条件 L Lmin 8c14m
例3 设某车间生产A和B两种产品，每种产品各有两道工序，分 别由两台机器完成这两道工序，其工时列于表中。若每台机器每 周至多工作40小时。产品A的单价为200元，产品B的单价为500 元。问每周A、B产品应各生产多少件，可使总产值为最高。 （这是生产规划的最优化问题）
F —弹簧在负荷P作用下所产生的变形量
n —弹簧的有效圈数
d —弹簧材料的直径
G —弹簧材料的切变模量
3
• 根据上式，如己知或先预定 D2、n、d、G 各参数，通过多次试算、
修改，就有可能得到压簧刚度等于或接近于 的设P计参数。
• 刚度公式也可以写成一般的多元函数表达式，即
• 式中 代表性y能指f 标(xi ) ， 是i 设 1计,2参,量,，N分别代 表 、y 、 、 ，所以P xi 。
0 x L
x b
图1－2
这一优化设计问题是具有两个设计变 量(即x和α)的非线性规划问题。
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例2：有一圆形等截面的销轴，一端固定，一端作用着集中载荷
F=1000N和扭矩M=100N·m。由于结构需要，轴的长度L不得小于
8cm，已知销轴材料的许用弯曲应力[σW]=120MPa，许用扭转切 应力[τ]=80MPa，允许挠度[f]=0.01cm，密度ρ=7.8t/m3，弹性模量
第一章 优化设计概述
绪论
二、从传统设计到优化设计：
优化设计与传统设计相比有以下三点特点：
• 设计的思想是最优设计，需要建立一个能够正确 反映实际设计问题的优化数学模型； • 设计的方法是优化方法，一个方案参数的调整是 计算机沿着使方案更好的方向自动进行的，从而选 出最优方案； • 设计的手段是计算机，由于计算机的运算速度快， 分析和计算一个方案只需要几秒甚至千分之一秒， 因而可以从大量的方案中选出“最优方案”。
由图中数据得：D*=6.43cm，h*=76cm，在极值点处m*=8.47kg
第一章 优化设计概述
第二节 机械优化设计问题实例
要用薄钢板制造一体积为5m3 的长方形汽车货箱(无上盖), 其长度要求不超过4m.问如何设计可使耗用的钢板表面积最小?
分析：
（1）目标：用料最少，即货箱的表面积最小。 （2）设计参数确定：长x1 、宽x2 、高x3； （3）设计约束条件： （a）体积要求 （b）长度要求
1 2 2
θ
θ
L
A 2 (T D 2 ) 4 8 A是钢管截面面积A ( R 2 r 2 ) TD (R4 r 4 ) r和R分别是钢管的内半径和外半径 D=r+R而T=R-r
第一章 优化设计概述
第一节 人字架的优化设计
F1 F ( B h ) A TDh Fe 2 E (T 2 D 2 ) 钢管的临界应力是 e A 8( B 2 h 2 ) 钢管所受的压应力是
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
一个优化设计问题一般包括三个部分： 1.需要合理选择的一组独立参数，称为设计变量； 2.需要最佳满足的设计目标，这个设计目标是设计变量的 函数，称为目标函数； 3.所选择的设计变量必须满足一定的限制条件，称为约束 条件（或称设计约束）。
优化设计的概念和原理
优化设计的概念和原理优化设计的概念和原则概念1前言对于任何设计者来说，其目的都是为了制定最优的设计方案，使所设计的产品或工程设施具有最佳的性能和最低的材料消耗和制造成本，以获得最佳的经济效益和社会效益。
因此，在实际设计中，科技人员往往会先提出几种不同的方案，并通过比较分析来选择最佳方案。
然而，在现实中，由于资金限制，选定的候选方案的数量往往非常有限。
因此，迫切需要一种科学有效的数学方法，于是“优化设计”理论应运而生。
优化设计是在计算机广泛应用的基础上发展起来的新技术。
这是一种现代设计方法，它根据优化原理和方法将各种因素结合起来，在计算机上以人机合作或“自动探索”的方式进行半自动或自动设计，以选择现有工程条件下的最佳设计方案。
其设计原则是优化设计:设计手段是电子计算机和计算程序；设计方法是采用最优化数学方法。
本文将简要介绍优化设计中常用的概念，如设计变量、目标函数、约束条件等。
2设计变量设计变量是独立参数，必须在设计过程的最终选择中确定它们是选择过程中的变量，但是一旦确定了变量，设计对象就完全确定了。
优化设计是研究如何合理优化这些设计变量值的现代设计方法。
机械设计中常用的独立参数包括结构的整体构型尺寸、部件的几何尺寸和材料的机械物理性能等。
在这些参数中，根据设计要求可以预先给出的不是设计变量，而是设计常数。
最简单的设计变量是元件尺寸，例如杆元件的长度、横截面积、弯曲元件的惯性矩、板元件的厚度等。
3目标函数目标函数是设计中要达到的目标在优化设计中，所追求的设计目标(最优指标)可以用设计变量的函数来表示。
这个过程被称为建立目标函数。
一般目标函数表示为f(x)=f(xl，xZ，？，x)此功能代表设计的最重要特征，如设计组件的性能、质量或体积以及成本。
最常见的情况是使用质量作为一个函数，因为质量的大小是最容易量化的价值度量。
尽管费用具有更大的实际重要性，但通常需要有足够的数据来构成费用的目标函数。
目标函数是设计变量的标量函数。
第1章优化设计概述
第1章优化设计概述
优化设计是一种设计方法，它以把有限资源转化为最大的效益和最佳
性能为目标。
它将工程分析、设计过程中的优化机制应用于有效地解决工
程问题，使工程产品能够满足质量要求，把其成本最低化，重视设计方法
和设计的灵活性，采用多种优化技术实现优化设计目标。
优化设计分为定量优化和定性优化两大类。
定量优化可用于定量评价
和选择设计方案，通过量化描述和比较实际效果来最优解。
定性优化着重
于用经验法则或计算模型对设计变量的感性描述，使其达到最佳状态，可
用于把设计中的复杂步骤逐渐简化，以实现设计变量之间的有效调整。
优化设计的过程是通过有限的解空间，以找到能够满足要求的最佳解；它强调设计方法，以优化复杂系统的特性，提高系统的性能，而不是以增
加元件的数量为目标；通过求解优化问题，可以缩小空间，给出最佳解；
同时，它可以考虑其他技术参数，加以分析，以获得最佳的解决方案，从
而避免系统升级改造所引起的工程风险。
优化设计必须综合考虑性能参数，从而尽可能地提高系统效率，有效
地消除系统易受干扰的问题；。
优化设计的概念和原理
优化设计的概念和原理概念1 前言对任何一位设计者来说,其目的是做出最优设计方案,使所设计的产品或工程设施,具有最好的使用性能和最低的材料消耗与制造成本,以便获得最佳的经济效益和社会效益。
因此,在实际设计中,科技人员往往首先拿出几种不同的方案,通过对比分析以选取其中的最优方案。
但在现实中,往往由于经费限制,使所选择的候选方案数目受到很大的限制,因此急需一种科学有效的数学方法,于是诞生了“最优化设计”理论。
最优化设计是在计算机广泛应用的基础上发展起来的一项新技术,是根据最优化原理和方法综合各方面因素,以人机配合方式或“自动探索”方式,在计算机上进行的半自动或自动设计,以选出在现有工程条件下的最佳设计方案的一种现代设计方法。
其设计原则是最优设计:设计手段是电子计算机及计算程序;设计方法是采用最优化数学方法.本文将就最优化设计常用的概念如:设计变量、目标函数、约束条件等做简要介绍。
2设计变量设计变量是在设计过程中进行选择最终必须确定的各项独立参数。
在选择过程中它们是变量,但当变量一旦确定以后,设计对象也就完全确定。
最优化设计就是研究如何合理地优选这些设计变量值的一种现代设计方法。
在机械设计中常用的独立参数有结构的总体配置尺寸,元件的几何尺寸及材料的力学和物理特性等。
在这些参数中,凡是可以根据设计要求事先给定的,则不是设计变量,而称之为设计常量。
最简单的设计变量是元件尺寸,如杆元件的长度,横截面积,抗弯元件的惯性矩:板元件的厚度等。
3目标函数目标函数即设计中要达到的目标。
在最优化设计中,可将所追求的设计目标(最优指标)用设计变量的函数形式表示出来,这一过程称为建立目标函数,一般目标函数表达为f(x)=f(xl,xZ,…,x。
)此函数式代表设计的某项最重要的特征,例如所设计元件的性能、质量或体积以及成本等。
最常见的情况是以质量作为函数,因为质量的大小是对价值最易于定量的一种量度。
虽然,费用有更大的实际重要性,但通常需有足够的资料方能构成以费用做为目标函数。
优化设计方法
3、目标函数
在所有的可行设计中，有些设计比另一些要“好些”，如果确实是这样，则
“较好”的设计比“较差”的设计必定具备某些更好的性质。倘若这种性质可以
表示成设计变量的一个可计算函数，则我们就可以考虑优化这个函数，以得到
xk1 xk kd k (k 0,1,2, )
f ( xk 1) min f ( xk kd k )
d0 x0
d2
x3
x2
d1
x1
xk
x k＋1
dk
1、确定搜索区间的外推法
在一维搜索时，我们假设函数 f () 具有如图所示的单谷性。即在所考虑的区 间内部，函数 f () 有唯一的极小点。
=0.618，按照这样的取点原则，为了使最终区间收缩到预定的迭代精度ε以内，区间缩短
的次数N必须满足：
0.618N (b a)
N ln /(b a)
ln 0.618
2)黄金分割法的迭代步骤
（1）给出初始搜索区间[a，b]及收敛精度ε ，将赋以0.618。
（2）按式(2-21)计算 1、2 ，并计算其对应的函数值 f (1)、f (2) 。 （3）根据区间消去法原理缩短搜索区间。 （4）检查区间是否缩短到足够小和函数值收敛到足够近，如果条件不满足则返回 到步骤(2)。 （5）如果条件满足，则取最后两试验点的平均值作为极小点的数值近似解。
具有极大的审美价值和实用价值，故又被称为黄金分割。在自然界和我们的日常生活 中，这个美的数字例子随处可见。
当气温为23°C度时，你的身心会感到最舒服，这时的气温与体温（37°C度）之 比为0.618。
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最优化设计是在数学规划方法的基础上发展起来的，是6O年 代初电子计算机引入结构设计领域后逐步形成的一种有效的设计 方法。利用这种方法，不仅使设计周期大大缩短，计算精度显著 提高，而且可以解决传统设计方法所不能解决的比较复杂的最优 化设计问题。大型电子计算机的出现，使最优化方法及其理论蓬 勃发展，成为应用数学中的一个重要分支，并在许多科学技术领 域中得到应用。
陈伦军等编著,机械优化设计遗传算法 ,机械工业出版社
智能优化算法及其应用， 王 凌著 清华大学出版社
邢文训, 谢金星. 现代优化计算方法. 北京: 清华大学出版社, 2005.
王凌. 智能优化算法及其应用. 北京: 清华大学出版社, 2001.
黄席樾等. 现代智能算法理论及应用. 北京：科学出版社, 2005
第四阶段 现代优化方法：如遗传算法、 模拟退火算法、 蚁群算法、 神经网络算法等，并采用专家系统技术实现寻优 策略的自动选择和优化过程的自动控制，智能寻优策略迅速发 展。
例如，工厂在安排生产计划时，首先要考虑在现有原材料、设备、人力等资源条件下，如何安排生产，使 产品的产值最高，或产生的利润最大；又如，在多级火箭发射过程中，如何控制燃料的燃烧速率，从而用 火箭所载的有限燃料使火箭达到最大升空速度；再如，在城市交通管理中，如何控制和引导车辆的流向， 尽量减少各个交叉路口的阻塞和等待时间、提高各条道路的车辆通行速度，在现有道路条件下取得最大的 道路通行能力。
的过程；
（2）优化过程：是寻找约束空间下给定函数取极大值（以max表示)或 极小(以min表示)的过程。优化方法也称数学规划，是用科学方法和手段进 行决策及确定最优解的数学；
（3）优化设计：根据给定的设计要求和现有的技术条件，应 用专业理论和优化方法，在电子计算机上从满足给定的设计要求 的许多可行方案中，按照给定的目标自动地选出最优的设计方案。
孙靖民. 机械优化设计. 北京：机械工业出版社，2002
陈立周，机械优化设计方法，北京：冶金工业出版社， 1997
刘惟信. 机械最优化设计. 北京：清华大学出版社，1994
第一章 优化设计的基本概念
§1-1 绪论 §1-2 优化设计问题的示例 §1-3 优化设计的数学模型 §1-4 优化问题的几何解释和基本解法
机械优化设计 就是把机械设计与优化设计理论及方法相结合， 借助电子计算机，自动寻找实现预期目标的最优设计方案和 最佳设计参数。
常规设计流程
优化设计流程
2.优化设计的发展概况
历史上最早记载下来的最优化问题可追溯到古希腊的欧几 里得（Euclid，公元前300年左右），他指出：在周长相同的一 切矩形中，以正方形的面积为最大。十七、十八世纪微积分的 建立给出了求函数极值的一些准则，对最优化的研究提供了某 些理论基础。然而，在以后的两个世纪中，最优化技术的进展 缓慢，主要考虑了有约束条件的最优化问题，发展了变分法。
优化设计方法
颜建军 虚拟样机与系统仿真研究室
电话：64252074 Email：jjyan@
地址：实验17楼435室
课程定位
解决的问题：优化问题 解决的方法：智能方法 数学工具 实用方法
考核方式
课堂讨论 报告 作业（编程，1-2次） 开卷考试
参考教材
孙靖民
机械优化设计（第三版） 机械工业出版社
第一阶段 人类智能优化：与人类史同步，直接凭借人类的 直觉或逻辑思维，如黄金分割法、穷举法和瞎子爬山法等。
第二阶段 数学规划方法优化：从三百多年前牛顿发明微积 随着人类对自然界认识的不断深入，寻找最优逐渐从下意识的、缺乏系统性的行为发展到目的明确的有意识活动，并
在数学工具日渐完善的基础上，对各种寻找最优的活动进行数学描述和分析，指导寻优活动更有效地进行，从而形成
近十几年来，最优化设计方法已陆续用到建筑结构、化工、 冶金、铁路、航天航空、造船、机床、汽车、自动控制系统、 电力系统以及电机、电器等工程设计领域，并取得了显著效果。 其中在机械设计方面的应用虽尚处于早期阶段，但也已经取得 了丰硕的成果。一般说来，对于工程设计问题，所涉及的因素 愈多，问题愈复杂，最优化设计结果所取得的效益就愈大。
分了算最优起化理，论与电方法子这一计应用算数学机理论的分支出现推动数学规划方法在近五十年来得 到迅速发展。
第三阶段 工程优化：近二十余年来，计算机技术的发展给 解决复杂工程优化问题提供了新的可能，非数学领域专家开发 了一些工程优化方法，能解决不少传统数学规划方法不能胜任 的工程优化问题。在处理多目标工程优化问题中，基于经验和 直觉的方法得到了更多的应用。优化过程和方法学研究，尤其 是建模策略研究引起重视，开辟了提高工程优化效率的新的途 径。
优化设计是在现代计算机广泛应用的基础上发展起来的一项 新技术。是根据最优化原理和方法，以人机配合方式或“自动探 索”方式，在计算机上进行的半自动或自动设计，以选出在现有 工程条件下的最佳设计方案的一种现代设计方法。
优化设计反映出人们对于设计规律这一客观世界认识的深化。
（1）来源：优化一语来自英文Optimization，其本意是寻优
§1-使用同样数量和质量材 料的条件下，圆截面的容器比其他任何截面
的容器能够盛放的谷物都要多，而且容器的
强度也最大。
1.优化、优化设计和机械优化设计的含义
优化是万物演化的自然选择和必然趋势。优化作为一种观 念和意向，人类从很早开始就一直在自觉与不自觉地追求与探索。 而优化作为一门学科与技术，则是一切科学与技术所追求的永恒 主题，旨在从处理各种事物的一切可能的方案中，寻求最优的方 案。优化的原理与方法，在科学的、工程的和社会的实际问题中 的应用，便是优化设计。
直到本世纪40年代初，由于军事上的需要产生了运筹学， 并使优化技术首先应用于解决战争中的实际问题，例如轰炸机 最佳俯冲轨迹的设计等。
50年代末数学规划方法被首次用于结构最优化，并成为优 化设计中求优方法的理论基础。数学规划方法是在第二次世界 大战期间发展起来的一个新的数学分支，线性规划与非线性规 划是其主要内容。