2017新版二次函数单元同步讲义教学案

二次函数的概念—知识讲解

【学习目标】

1.理解函数的定义、函数值、自变量、因变量等基本概念；

2.了解表示函数的三种方法——解析法、列表法和图像法；

3.会根据实际问题列出函数的关系式，并写出自变量的取值范围；

4.理解二次函数的概念，能够表示简单变量之间的二次函数关系.

【要点梳理】

要点一、函数的概念

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x，y，对于自变量x在某一范围内的每一个确定值，y都有惟一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数.

对于自变量x在可以取值范围内的一个确定的值a，函数y有惟一确定的对应值，这个对应值叫做当x=a时函数的值，简称函数值.

要点诠释：

对于函数的概念，应从以下几个方面去理解：

（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；

（2）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x允许取的每一个值，y是否都有惟一确定的值与它相对应；

（3）函数自变量的取值范围，应要使函数表达式有意义，在解决实际问题时，还必须考虑使实际问题有意义.

要点二、函数的三种表示方法

表示函数的方法，常见的有以下三种：

（1）解析法：用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式，（或解析式），用数学式子表示函数的方法称为解析法.

（2）列表法：用一个表格表达函数关系的方法.

（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系的方法.

要点诠释：

函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.

对照表如下：

一般地，形如y=ax 2

+bx+c （a, b, c 是常数，a≠0）的函数叫做x 的二次函数.

若b=0，则y=ax 2+c ； 若c=0，则y=ax 2+bx ； 若b=c=0，则y=ax 2

.以上三种形式都是二次函数

的特殊形式，而y=ax 2

+bx+c （a ≠0）是二次函数的一般式. 要点诠释：

如果y=ax 2

+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零． 【典型例题】

类型一、函数的相关概念

1、如图所示，下列各曲线中表示y 是x 的函数的有( )．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

举一反三：

【变式】下列等式中，y 是x 的函数有（ ）个.

22320,1,||,||x y x y y y x x y -=-==

==

A.1

B.2

C.3

D.4

2、求出下列函数中自变量x 的取值范围.

（1）．52

+-=x x y

（2）．423

x

y x =

- （3）．y =

（4）．

y =（5）．y =（6）．y =

3、若y 与x 的关系式为2-+4+5y x x =，当x ＝2时，y 的值为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11

类型二、函数的三种表示方法

4

(1)由记录表推出这5小时中水位高度y （米）随时间t•（时）变化的函数解析式，并画出函数图象．(2)据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？

类型三、二次函数的概念

5、当常数m ≠ 时，函数y=（m 2﹣2m ﹣8）x 2

+（m+2）x+2是二次函数；当常数m= 时，这个函数是一次函数．

举一反三：

【变式1】下列函数中，是二次函数的是（ )

A.2

2x y -= B.x

x y 12

-

= C.22)2(x x y --= D.123

+-=x x y

【变式2】若函数

是二次函数，则m 的值是 ．

二次函数的概念——巩固练习

【巩固练习】 一.选择题

1．如图，表示y 是x 的函数图象是（ ）

2. 当x=4时，函数2231y x x =-+-的值是（ ） A ．-19 B ．-20 C ．-21 D ．-22

3. 在函数

y =

x 的取值范围是（ ） A ．13x <

B ．13x ≠-

C ．13x ≠

D ．13x >

4．矩形的周长为18cm ，则它的面积S （2

cm ）与它的一边长x （cm ）之间的函数关系式是（ ）

A ．(9)(09)S x x x =-<<

B ．(9)(09)S x x x =+<≤

C ．(18)(09)S x x x =-<≤

D ．(18)(09)S x x x =+<<

5．如图，某游客为爬上3千米的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1

小时爬上山顶，游客爬山所用时间t （小时）与山高h （千米）间的函数关系用图象表示是（ ）

6.（2014秋·石城县校级月考）下列函数中是二次函数的有（ ）个. （1）1y x x =+

；（2)y=3(x-1)2＋2；（3)y=(x+3)2-2x 2

；（4) 21y x x

=+ A.4 B.3 C.2 D.1

二.填空题

7. 油箱中有油30kg ，油从管道中匀速流出，1小时流完，•求油箱中剩余油量Q （kg ）与流出时间t （分钟）间的函数关系式为_____________，•自变量的范围是____________．当Q ＝10 kg 时，t ＝__________（分钟）．

8．（2015秋•古田县校级月考）当m= 时，函数y=（m ﹣1）x |m|+1

是二次函数．