工程数学离线作业解答

浙江大学远程教育学院 《工程数学》课程作业解答

姓名： 陈汉忠 学 号： 715073204002 年级：

2015春

学习中心：

厦门学习中心

《复变函数与积分变换》

第一章

1.1计算下列各式： （2）（a-b i ）3 解(a-bi)

（3）

i

(i 1)(i 2)

--

1.2证明下列关于共轭复数的运算性质： （1）1212()z z z z ±=±

（2）1212()z z z z =

（3）11

22

2

()(0)z z z z z =

≠

1.4将直线方程ax+by+c=0(a 2+b 2≠0)写成复数形式.[提示：记x+i y=z.]

1.5将圆周a(x 2+y 2)+bx+cy+d =0(a ≠0)写成复数形式(即用z 与z 来表示，其中z=x+iy ).

1.6求下列复数的模与辐角主值：（1）3 i

1.8将下列各复数写成三角表示式：（2）sin a+I cos a

1.10解方程：z3+1=0.

1.11指出下列不等式所确定的区域与闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连通区域还是多连通区域？ （1）2<|z|<3

（3）4

π

π；且1<|z|<3

（5）Re z 2<1

（7）|arg z |<3

π

第二章

2.2下列函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？

（1）f(z)=z z 2

（2）f(z)=x 2+iy 2

2.3确定下列函数的解析区域和奇点，并求出导数： （1）

21

1

z

2.9由下列条件求解析函数f(z)=u+i v . （1）u(x-y)(x 2+4xy+y 2)

（3）u=2(x-1)y, f(0)=-i

（4）u=e x(x cos y - y sin y),f(0)=0

2.13试解方程：（1）e z=1+3i

（4）sin z+cos z=0

2.14求下列各式的值： （1）cos i

（3）(1-i)1+i

第三章

3.1计算积分120[()]d i

x y ix z +-+⎰.积分路径为（1）自原点至1+i 的直线段；（2）自原点沿实轴至1，再由1铅直向上至1+i ；（3）自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至1+i.

3.2计算积分d ||

c

z

z z ⎰的值，其中C 为（1）|z|=2；（2）|z|=4.

3.6计算21

d c

z z z

-⎰ ，其中为圆周|z|=2

3.8计算下列积分值： （1）0sin xi

⎰z d z

（3）0(32)d i

z e z z +⎰

3.10计算下列积分：

（1）|2|1

d 2

z

z e z z -=-⎰

（2）2||2

21

d 1

z z z z z =-+-⎰

（4）||d (1)(1)n

z r z

r z =≠-⎰

3.11计算I=d (21)(2)c z z z z +-⎰，其中C 是（1）|z |=1；（2）|z -2|=1；（3）|z -1|=1

2；

（4）|z |=3

.

3.13计算下列积分： （2）||2

2

sin

d ()

2

z z z z π

=-⎰

（3）1

23

cos d C C C

z

z z -

=+

⎰，其中C 1：|z |=2，C 2：|z |=3.

第四章

4.2下列级数是否收敛？是否绝对收敛？

（1）

1

1i ()

2n

n

n

∞

=

+

∑

（2）

1

i

!

n

n

n

∞

=

∑

4.4试确定下列幂级数的收敛半径：

（1）1

1

n

n

nz

∞

-

=

∑

（2）2

1

1

(1)n n

n

z

n

∞

=

+

∑

4.5将下列各函数展开为z的幂级数，并指出其收敛区域：

（1）

3

1

1z

+

（3）

22

1

(1)z

（5）sin 2 z

4.7求下列函数在指定点z 0处的泰勒展式： （1）

2

1

z ，z 0=1

（2）sin z ，z 0=1

4.8将下列各函数在指定圆环内展开为洛朗级数： （1）

2

1

(1)

z z z +- ，0<|z |<1,1<|z |<+∞

（3）22

25

(2)(1)

z z z z -+-+ ，1<|z |<2