辅助角公式的推导

i 辅助角公式的推导

sin cos )a b θθθϕ+=+ 在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化为一个角

sin cos a b θ

θ+的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学

生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式=

sin cos a b θθ+或)θϕ+sin cos a b θθ+,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个

cos()θϕ-学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式.一.教学中常见的的推导方法

教学中常见的推导过程与方法如下1.引例例1 +cos =2sin （+

）=2cos （-

）.

ααα6

π

α3

π

其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论:

可见+cos 可以化为一个角的三角函数形式.

αα 一般地,asin +bcos 是否可以化为一个角的三角函数形式呢?

θθ 2.辅助角公式的推导例2 化为一个角的一个三角函数的形式.

sin cos a b θ

θ+ 解: asin +bcos sin cos ),

θθθθ①=cos =sin ,

ϕϕ则asin +bcos cos +cos sin )

θθθϕθϕ+),(其中tan =)

θϕϕb

a

e a

n

②=sin =cos ,则asin +bcos =

ϕϕθθsin +cos cos -),(其中

θϕθϕθϕtan =

)ϕa b

其中的大小可以由sin 、cos 的符号确定的象限,再由tan 的值ϕϕϕϕϕ求出.或由tan =

和(a,b)所在的象限来确定.ϕb

a

推导之后,是配套的例题和大量的练习.但是这种推导方法有两个问题:=cos ,

ϕ=sin ?让学生费解.二是这种 “规定”式的推导,学生难记易忘、

ϕ易错!

二.让辅助角公式来得更自然

sin cos a b θ

θ+)θϕ+能否让让辅助角公式来得更自然些?这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.

首先要说明，若a=0或b=0时，已经是一个角的一个三角

sin cos a b θ

θ+函数的形式，无需化简.故有ab≠0.

1.在平面直角坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角,它的终边经过点P.设OP=r,r=

ϕ由三角函数的定义知

sin =,

ϕb r cos =

.

ϕa r

=所以asin +bcos sin cos

θθϕθϕθ

g s

.(其中tan =)

)θϕ+ϕb

a

2.若在平面直角坐标系中,以b 为

横坐标,以a 为纵坐标可以描点P(b,a),

如图2所示,则总有一个角的终边经过

ϕ点P(b,a),设OP=r,则由

三角函数的定义知

sin =,

ϕa r cos =.

ϕb r asin +bcos θθsin cos cos ϕθϕθ

+. (其中tan =)

s()θϕ-ϕa

b

例3 为一个角的一个三角函数的形式.

sin cos θθ+ 解:在坐标系中描点设角的终边过点P,则OP

=r=

ϕ=,cos .ϕ1

2

ϕ =2cos sin +2sin cos =2sin().tan =

cos θθ+ϕθϕθθϕ+ϕ=2sin().

26

k π

ϕπ=

+cos θθ+6

π

θ+

经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式asin +bcos sin cos )=

θθθθ,(其中tan =).或者

)θϕ+ϕb

a

asin +bcos θθ

sin cos,(其中tan=)

θθ

cos()

θϕ

-ϕ

a

b 我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解

asin+bcos sin cos)的道理,以θθ

θθ

及为什么只有两种形式的结果.

例4 化为一个角的一个三角函数的形式.

sin cos

αα

-

解法一:点在第四象限.OP=2.设角过P点.则,

ϕsinϕ=-

.满足条件的最小正角为,

1

cos

2

ϕ=

5

3

π

5

2,.

3

k k Z

ϕππ

=+∈

1

sin cos2(sin)2(sin cos cos sin)

2

55

2sin()2sin(2)2sin().

33

k

αααααϕαϕ

αϕαππαπ

∴-=-=+

=+=++=+

解法二:点在第二象限,OP=2,设角过P点.则,

ϕ

1

sin

2

ϕ=

.满足条件的最小正角为,

cosϕ=-

5

6

π

5

2,.

6

k k Z

ϕππ

=+∈

1

sin cos2(sin cos)2(sin sin cos cos)

2

55

2cos()2cos(2)2cos().

66

k

αααααϕαϕ

αϕαππαπ

∴-=-=+

=-=--=-

三.关于辅助角的范围问题

由中,点P(a,b)的位置可知,终sin cos)

a b

θθθϕ

+=+

边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象

限).

设满足条件的最小正角为,则.由诱导公式(一)知

1

ϕ

1

2k

ϕϕπ

=+

．其

1 sin cos)sin()

a b

θθθϕθϕ

+=+=+