(完整版)辅助角公式公开课优质课

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思考：
以上四例，从右往左，把异名的函数化
为单名函数，会吗？
（1）
3 sin 1 cos
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sin cos cos sin
6
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（2） 3 sin 1 cos
2
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sin cos 5 cos sin 5
6
6
（3） 3 sin 1 cos
2
2
sin cos 5 cos sin 5
sin cos cos sin
6
6
sin cos 5 cos sin 5
6
6
sin
5
6
sin
6
sin cos 5 cos sin 5
6
6
sin cos cos sin
6
6
3 sin 1 cos
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3 sin 1 cos
2
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3 sin 1 cห้องสมุดไป่ตู้s
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3 sin 1 cos
r a2 b2
所以 asin x bcos x
a2 b2 cos sin x a2 b2 sin cos x
cos a a
r a2 b2
a2 b2 sin(x ) (其中，tan b)
a
辅助角公式
a sin x bcos x a2 b2 sin( x )
(其中tan = b )
练习与巩固
1.把下列各式化为一个角的三角函数形式
(1) 3 sin 1 cos (2)-sin cos
(3)-2sin
2
cos
(4)-3sin( ) 3 cos( )
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2已知函数 y＝ 3sinx＋cosx，x R.
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合； （2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经
a
因为上述公式引入了辅助角 ，所以把 上述公式叫做辅助角公式
例3：试将以下各式化为 Asin(x ),(A 0, )
的形式
⑴ 3 sin 1 cos ⑵ 2 sin 6 cos
2
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⑶ 3 sin cos ⑷ 2 sin( ) 6 cos( )
63
63
答案：
⑴ sin( ) 6
⑶ 2sin( 5 ) 6
6
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（4） 3 sin 1 cos
2
2
sin cos cos sin
6
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辅助角公式的推导及简单应用
a sin x bcos x a2 b2 sin( x )
引例 例1:求证： 3 sin x cos x 2sin(x )
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分析：其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右
⑵ 2 2 sin( ) 3
⑷ 2 sin(7 ) 36
例4：求函数y = sinx + 3cosx的周期，最大值和最小值。
解：y = sinx + 3cosx
= 2( 1 sinx + 3 cosx)
2
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= 2(sinxcos π + cosxsin π)
= 2sin(x + π3)
3
3
所以，所求函数的周期为2π，最大值为2，最小值为- 2。
辅助角公式—— 和、差角公式的逆用
a sin x bcos x a2 b2 sin( x )
上节要点再回首
1.两角和与差的正弦公式
sin sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
2.两角和与差的正弦公式的应用
sin
6
sin
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过怎样的平移和伸缩变换得到?
课堂小结
一个公式：
a sin x bcos x a2 b2 sin( x )
两个应用：
⒈利用辅助角公式将三角函数化成正弦型，然后用正弦型函数的性质 解决函数问题 ⒉三角函数解决几何问题中利用辅助角公式求最值问题
三角函数形式 ，无需化简，故有ab≠0.
②从三角函数的定义出发进行推导
•
公式推导
在平面直角坐标系中,以a为 横坐标,b为纵坐标描一点 P(a,b)如图1所示,则总有一
个角 ,它的终边经过点P.设
的终边
y
• P(a,b)
r
OP=r,r= a2 ,由b2 三角函数 的定义知
O 图1
x
sin b b
“凑”, 使等式得到证明,并得出结论:
可见， 3 sin x cos x 可以化为一个角的三角函数形式
思考：一般地，asin x bcos x 是否可以化为 一个角的三角函数形式呢?
公式推导
例2：将 asin x bcos x 化为一个角的三角函数形式
解：①若a=0或b=0时，asin x bcos x已经是一个角的