辅助角公式公开课优质课PPT课件
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简单的三角恒等变换第二课时辅助角公式课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
5.5.2简单的三角恒等变换 （2）
辅助角公式
学习目标：通过两角和与差的正弦、余弦公式的变形，会把形如
= + 的三角函数转化成一个角的一个
三角函数的形式，并能解决有关周期、最值等题。
重点：通过两角和与差的正弦、余弦公式的变形，会把形如
= + 的三角函数转化为 = ( + )
2
a
2
b
b
其中：
cos =
，
sin =
（tan = )。
2
2
2
2
a
a b
a b
注意点：(1)该函数的最大值为 a2＋b2，最小值为－ a2＋b2；
(2)y＝asin x＋bcos x＝ a2＋b2cos(x－θ).
例1.求 = + 的周期，最大值和最小值
练习1：求 = + 的周期，最大值和最小值。
, =
其中 =
+
+
得到 a2＋b2(cos φsin x＋sin φcos x)；
第三步：逆用公式化简得： asin x＋bcos x=
+ ( + )
知识点
a sin x b cos x a b sin( x )
解：原式=
=
=
（ + ）
（ + ）
( + )
= =
最大值为 ，最小值为-
例2.求 = 3 − 的单调递增区间
解：方法一
原式=2（
辅助角公式
学习目标：通过两角和与差的正弦、余弦公式的变形，会把形如
= + 的三角函数转化成一个角的一个
三角函数的形式，并能解决有关周期、最值等题。
重点：通过两角和与差的正弦、余弦公式的变形，会把形如
= + 的三角函数转化为 = ( + )
2
a
2
b
b
其中：
cos =
，
sin =
（tan = )。
2
2
2
2
a
a b
a b
注意点：(1)该函数的最大值为 a2＋b2，最小值为－ a2＋b2；
(2)y＝asin x＋bcos x＝ a2＋b2cos(x－θ).
例1.求 = + 的周期，最大值和最小值
练习1：求 = + 的周期，最大值和最小值。
, =
其中 =
+
+
得到 a2＋b2(cos φsin x＋sin φcos x)；
第三步：逆用公式化简得： asin x＋bcos x=
+ ( + )
知识点
a sin x b cos x a b sin( x )
解：原式=
=
=
（ + ）
（ + ）
( + )
= =
最大值为 ，最小值为-
例2.求 = 3 − 的单调递增区间
解：方法一
原式=2（
辅助角公式及应用
6
6
（2）
3 sin 1 cos
2
2
sin cos 5 cos sin 5
6
6
（3）
3 sin 1 cos
2
2
sin cos 5 cos sin 5
6
6
（4）
3 2
sin
1 2
cos
sin cos cos sin
6
6
辅助角公式的推导及简单应用
导学达标
引例 例1:求证：
分析：其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右
个角 ,它的终边经过点P.设
的终边
y
• P(a,b)
r
OP=r,r= a2 b,2由三角函数 的定义知
O 图1
x
sin b b
r a2 b2
所以 asin x bcos x
a2 b2 cos sin x a2 b2 sin cos x
cos a a
r a2 b2
a2 b2 sin(x ) (其中，tan b)
两个应用：
⒈利用辅助角公式将三角函数化成正弦型，然后用正弦型函数的性质 解决函数问题 ⒉三角函数解决几何问题中利用辅助角公式求最值问题
sin
6
sin
5
6
sin cos cos sin
6
6
sin cos 5 cos sin 5
6
6
sin
5
6
sin
6
sin cos 5 cos sin 5
6
6
sin cos cos sin
6
6
3 sin 1 cos
2
2
3 sin 1 cos
3.1辅助角公式及应用的公开课比赛课件
三角函数形式 ，无需化简，故有ab≠0.
②从三角函数的定义出发进行推导
2019/10/10
小池中学 方国华
公式推导
在平面直角坐标系中,以a为 横坐标,b为纵坐标描一点 P(a,b)如图1所示,则总有一
个角 ,它的终边经过点P.设
的终边
y
P(a,b)
r
OP=r,r= a2 b2 ,由三角函数 的定义知
小池中学 方国华
辅助角公式
a sin x bcos x a2 b2 sin( x )
(其中tan = b )
a
因为上述公式引入了辅助角 ，所以把 上述公式叫做辅助角公式
2019/10/10
小池中学 方国华
注意问题
①由点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角 可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三
2019/10/10
小池中学 方国华
课后作业
P.132 练习6
2019/10/10
小池中学 方国华
谢谢指导！
2019/10/10
小池中学 方国华
可见， 3 sin x cos x 可以化为一个角的三角函数形式
思考：一般地，asin x bcos x 是否可以化为 一个角的三角函数形式呢?
2019/10/10
小池中学 方国华
公式推导
例2：将 asin x bcos x 化为一个角的三角函数形式
解：①若a=0或b=0时，asin x bcos x已经是一个角的
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合； （2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经
过怎样的平移和伸缩变换得到?
2019/10/10
②从三角函数的定义出发进行推导
2019/10/10
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公式推导
在平面直角坐标系中,以a为 横坐标,b为纵坐标描一点 P(a,b)如图1所示,则总有一
个角 ,它的终边经过点P.设
的终边
y
P(a,b)
r
OP=r,r= a2 b2 ,由三角函数 的定义知
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辅助角公式
a sin x bcos x a2 b2 sin( x )
(其中tan = b )
a
因为上述公式引入了辅助角 ，所以把 上述公式叫做辅助角公式
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注意问题
①由点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角 可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三
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课后作业
P.132 练习6
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谢谢指导！
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可见， 3 sin x cos x 可以化为一个角的三角函数形式
思考：一般地，asin x bcos x 是否可以化为 一个角的三角函数形式呢?
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公式推导
例2：将 asin x bcos x 化为一个角的三角函数形式
解：①若a=0或b=0时，asin x bcos x已经是一个角的
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合； （2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经
过怎样的平移和伸缩变换得到?
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辅助角公式11579
[合作探究·提认知] 电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家， 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。 提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展； 政府及各阶层人士的提倡与推动。
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政 (1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设 ， 邮传邮正传式部脱离海关。 (2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国。邮联大会
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在 架台设湾第一条电报线，成为中国自 办电报的开端。
动了经济与社会的发展。
关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应
时
代潮流
图说历史
主旨句归纳
(1)1911年，革命党人发动武昌起义，辛亥
革命
爆发，随后建立了中华民国，颁布了《中
华
民国临时约法》；辛亥革命是中国近代化
进
程的里程碑。
(2)1924年国民党“一大”召开，标志着第 一
历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯 的变化资料
2．特点 (1)近代中国交通业逐渐开始近代化的进程，铁路、水运和 航空都获得了一定程度的发展。 (2)近代中国交通业受到西方列强的控制和操纵。 (3)地域之间的发展不平衡。 3．影响 (1)积极影响：促进了经济发展，改变了人们的出行方式， 一定程度上转变了人们的思想观念；加强了中国与世界各地的 联系，丰富了人们的生活。 (2)消极影响：有利于西方列强的政治侵略和经济掠夺。
三角函数的叠加之辅助角公式【公开课教学PPT课件】
计算：
（1）sin(x
4
)
sin
x
cos
4
cos
x
sin
4
2 sin x 2
2 cos x 2
（2）sin(x )
3
（3）sin(x )
6
（4）2 s in( x
3
)
sin x
sin x
2sin
cos
cos3
cos x sin
cosx sin3
例1:将以下格式化成Asin( ωx+φ ),(ω>0)
（1）1 sin x 3 cos x
2
2
（2）sin x cos x
（3） 6 sin x 2 cos x
（4） 3 sin(x ) cos(x )
3
3
答案：
（1）sin(x )
3
(2) 2 sin(x )
谢谢大家！
参阅原始资料
1.2018年部级优课 阅读材料:三角函数叠加
授课教师：陕西师范大学附属中学 马翠
2.2016-2017年部级优课 阅读材料：三角函数叠加
授课教师：江西省赣州市于都第二中学 钟文华
形弧上的动点，四边形CDEF是扇形的内接矩形，记为∠COA=α （1）求出面积S与角α关系式
（2）请问当α取何值时，矩形CDEF的面积S最大？并求出这最大 面积
小结提升
一次数学的探究之旅
声波的合成
数学化
三角函数的叠加
推导出
三角函数应用
辅助角公式
形 特殊
2023届高考数学复习微难点6 辅助角公式(共13张PPT)
＋
sin2
x＋π4
＝
1－cos2x＋6π 2
＋
1－cos2x＋2π 2
＝
1
－
1 2
23cos2x－32sin2x ＝ 1 －
3 2
cos
2x＋π3
.
因
此
，
该
函
数
的
值
域
是
1－ 23，1＋ 23.
与解三角形有关的辅助角公式 1
设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 acosC－2c＝b. (1) 求角 A 的大小； 【解答】由 acosC－12c＝b 得 sinAcosC－12sinC＝sinB.又 sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC，所以12sinC＝－cosAsinC.因为 sinC≠0，所以 cosA＝－12.又因为 0<A<π，所 以 A＝23π.
与三角变换有关的辅助角公式
π 已知 f(x)＝4tanxcosxcosx－3－ 3.
(1) 求 f(x)的定义域与最小正周期； 【 解 答 】 f(x) 的 定 义 域 为 x|x≠π2＋kπ，k∈Z .f(x) ＝ 4tanxcosxcos x－π3 － 3 ＝
4sinxcos
x－π 3
－
3＝4sinx 12cosx＋ 23sinx －
主题二 函数 第四章 三角函数与解三角形
微难点6 辅助角公式
与向量有关的辅助角公式
已知向量 a＝(m，cos2x)，b＝(sin2x，n)，函数 f(x)＝a·b，且 y＝f(x)的图象
π
2π
过点12， 3和点 3 ，－2.
(1) 求 m，n 的值； 【解答】 已知 f(x)＝a·b＝msin2x＋ncos2x.因为 y＝f(x)过点1π2， 3，23π，－2，所
【公开课】辅助角公式
辅助角公式——和差公式的逆用学习目标：1.利用辅助角公式将三角函数化成正弦型，然后用正弦型函数的性质解决函数问题；2.掌握三角函数解决几何问题中利用辅助角公式求最值问题。
学习重点：利用辅助角公式将三角函数化成正弦型，然后用正弦型函数的性质解决函数问题； 学习难点：三角函数解决几何问题中利用辅助角公式求最值问题。
一．知识回顾1.两角和与差的正弦公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-2.两角和与差的正弦公式的应用ααπαπαπαcos 21sin 236sin cos 6cos sin )6sin(+=+=+ ααπαπαπαcos 21sin 2365sin cos 65cos sin )65sin(+-=+=+ ααπαπαπαcos 21sin 2365sin cos 65cos sin )65sin(--=-=- ααπαπαπαcos 21sin 236sin cos 6cos sin )6sin(-=-=- 思考：以上四例，从右向左，把异名的函数化成单名函数，你会吗？)6sin(6sin cos 6cos sin cos 21sin 23παπαπααα+=+=+ )65sin(65sin cos 65cos sin cos 21sin 23παπαπααα+=+=+- )65sin(65sin cos 65cos sin cos 21sin 23παπαπααα-=-=-- )6sin(6sin cos 6cos sin cos 21sin 23παπαπααα-=-=- 二．合作探究辅助角公式的推导及简单应用例1：求证)6sin(2cos sin 3π+=+x x x分析：其证法是从右向左展开证明，也可以从左往右“凑”，使等式得到证明，并得出结论。
可见x x cos sin 3+可以化为一个角的三角函数形式思考：一般的，x b x a sin sin +是否可以化为一个角的三角函数形式呢？例2：将x b x a sin sin +化为一个角的三角函数形式解：①若a=0或b=0时，x b x a sin sin +已经是一个角的三角函数形式，无序化简，故有ab ≠0. ②从三角函数的定义出发进行推导在平面直角坐标系中，以a 为横坐标，b 为纵坐标，p(a,b)如图所示，则总有一个角ϕ，它的终边经过点p,设op=r,r=22b a +,由三角函数的定义知22sin b a b r b +==ϕ，22cos b a a r a +==ϕ 所以)sin(cos sin sin cos sin sin 222222ϕϕφ++=+++=+x b a x b a x b a xb x a （其中a b =ϕtan ） 辅助角公式：)sin(sin sin 22ϕ++=+x b a x b x a （ab =ϕtan ） 因为上述公式引入了辅助角ϕ，所以把上述公式叫做辅助角公式。
辅助角公式及应用课件
详细描述
复数方法是一种有效的推导辅助角公式的方法。通过将三角函数表示为复数形式，我们 可以利用复数的基本运算规则和三角函数的性质来推导辅助角公式。这种方法能够直观 地揭示辅助角公式的内在逻辑和数学结构，有助于深入理解辅助角公式的应用和推广。
CHAPTER 03
辅助角公式的应用
在三角函数化简中的应用
详细描述
三角函数的和差化积公式是推导辅助角公式的关键工具之一。通过利用这些公式，我们可以将两个或多个三角函 数的和或差转化为单一的三角函数形式，从而简化问题。例如，我们可以将正弦函数和余弦函数的和或差转化为 正切函数或余切函数，进一步推导出辅助角公式。
利用三角函数的倍角公式推导
总结词
通过三角函数的倍角公式，我们可以将一个角的三角函数值转化为两个角之和或差的三角函数值，从 而推导出辅助角公式。
辅助角公式及应用课件
CONTENTS 目录
• 辅助角公式简介 • 辅助角公式的推导 • 辅助角公式的应用 • 辅助角公式的扩展 • 辅助角公式的注意事项
CHAPTER 01
辅助角公式简介
辅助角公式的定义
01
辅助角公式是三角函数中用于将 一个复杂的三角函数式转化为简 单三角函数式的一组公式。
02
误差大小
误差的大小取决于角度、参数的选择 以及使用的近似方法。
THANKS
[ 感谢观看 ]
辅助角公式的局限性
近似性
辅助角公式通常基于近似 计算，因此结果的精度可 能受到限制。
适用性
辅助角公式可能不适用于 某些特定问题或复杂情况 。
计算复杂性
对于一些复杂问题，辅助 角公式的计算可能较为繁 琐。
辅助角公式的误差分析
误差来源
误差控制
复数方法是一种有效的推导辅助角公式的方法。通过将三角函数表示为复数形式，我们 可以利用复数的基本运算规则和三角函数的性质来推导辅助角公式。这种方法能够直观 地揭示辅助角公式的内在逻辑和数学结构，有助于深入理解辅助角公式的应用和推广。
CHAPTER 03
辅助角公式的应用
在三角函数化简中的应用
详细描述
三角函数的和差化积公式是推导辅助角公式的关键工具之一。通过利用这些公式，我们可以将两个或多个三角函 数的和或差转化为单一的三角函数形式，从而简化问题。例如，我们可以将正弦函数和余弦函数的和或差转化为 正切函数或余切函数，进一步推导出辅助角公式。
利用三角函数的倍角公式推导
总结词
通过三角函数的倍角公式，我们可以将一个角的三角函数值转化为两个角之和或差的三角函数值，从 而推导出辅助角公式。
辅助角公式及应用课件
CONTENTS 目录
• 辅助角公式简介 • 辅助角公式的推导 • 辅助角公式的应用 • 辅助角公式的扩展 • 辅助角公式的注意事项
CHAPTER 01
辅助角公式简介
辅助角公式的定义
01
辅助角公式是三角函数中用于将 一个复杂的三角函数式转化为简 单三角函数式的一组公式。
02
误差大小
误差的大小取决于角度、参数的选择 以及使用的近似方法。
THANKS
[ 感谢观看 ]
辅助角公式的局限性
近似性
辅助角公式通常基于近似 计算，因此结果的精度可 能受到限制。
适用性
辅助角公式可能不适用于 某些特定问题或复杂情况 。
计算复杂性
对于一些复杂问题，辅助 角公式的计算可能较为繁 琐。
辅助角公式的误差分析
误差来源
误差控制
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的形式
⑴ 3 sin 1 cos ⑵ 2 sin 6 cos
2
2
⑶ 3 sin cos ⑷ 2 sin( ) 6 cos( )
63
63
答案：
⑴ sin( ) 6
⑶ 2sin( 5 ) 6
⑵ 2 2 sin( ) 3
⑷ 2 sin(7 ) 36
例4：求函数y = sຫໍສະໝຸດ nx + 3cosx的周期，最大值和最小值。
在平面直角坐标系中,以a为 横坐标,b为纵坐标描一点 P(a,b)如图1所示,则总有一
个角 ,它的终边经过点P.设
的终边
y
• P(a,b)
r
OP=r,r= a2 ,由b2 三角函数 的定义知
O 图1
x
sin b b
r a2 b2
所以 asin x bcos x
a2 b2 cos sin x a2 b2 sin cos x
(3)-2sin
2
cos
(4)-3sin( ) 3 cos( )
6
6
2已知函数 y＝ 3sinx＋cosx，x R.
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合； （2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经
过怎样的平移和伸缩变换得到?
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辅助角公式的推导及简单应用
a sin x bcos x a2 b2 sin( x )
引例 例1:求证： 3 sin x cos x 2sin(x )
6
分析：其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右
“凑”, 使等式得到证明,并得出结论:
可见， 3 sin x cos x 可以化为一个角的三角函数形式
思考：一般地，asin x bcos x 是否可以化为 一个角的三角函数形式呢?
公式推导
例2：将 asin x bcos x 化为一个角的三角函数形式
解：①若a=0或b=0时，asin x bcos x已经是一个角的
三角函数形式 ，无需化简，故有ab≠0.
②从三角函数的定义出发进行推导
•
公式推导
cos a a
r a2 b2
a2 b2 sin(x ) (其中，tan b)
a
辅助角公式
a sin x bcos x a2 b2 sin( x )
(其中tan = b )
a
因为上述公式引入了辅助角 ，所以把 上述公式叫做辅助角公式
例3：试将以下各式化为 Asin(x ),(A 0, )
解：y = sinx + 3cosx
= 2( 1 sinx + 3 cosx)
2
2
= 2(sinxcos π + cosxsin π)
= 2sin(x + π3)
3
3
所以，所求函数的周期为2π，最大值为2，最小值为- 2。
练习与巩固
1.把下列各式化为一个角的三角函数形式
(1) 3 sin 1 cos (2)-sin cos
⑴ 3 sin 1 cos ⑵ 2 sin 6 cos
2
2
⑶ 3 sin cos ⑷ 2 sin( ) 6 cos( )
63
63
答案：
⑴ sin( ) 6
⑶ 2sin( 5 ) 6
⑵ 2 2 sin( ) 3
⑷ 2 sin(7 ) 36
例4：求函数y = sຫໍສະໝຸດ nx + 3cosx的周期，最大值和最小值。
在平面直角坐标系中,以a为 横坐标,b为纵坐标描一点 P(a,b)如图1所示,则总有一
个角 ,它的终边经过点P.设
的终边
y
• P(a,b)
r
OP=r,r= a2 ,由b2 三角函数 的定义知
O 图1
x
sin b b
r a2 b2
所以 asin x bcos x
a2 b2 cos sin x a2 b2 sin cos x
(3)-2sin
2
cos
(4)-3sin( ) 3 cos( )
6
6
2已知函数 y＝ 3sinx＋cosx，x R.
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合； （2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经
过怎样的平移和伸缩变换得到?
辅助角公式公开课优质课
辅助角公式的推导及简单应用
a sin x bcos x a2 b2 sin( x )
引例 例1:求证： 3 sin x cos x 2sin(x )
6
分析：其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右
“凑”, 使等式得到证明,并得出结论:
可见， 3 sin x cos x 可以化为一个角的三角函数形式
思考：一般地，asin x bcos x 是否可以化为 一个角的三角函数形式呢?
公式推导
例2：将 asin x bcos x 化为一个角的三角函数形式
解：①若a=0或b=0时，asin x bcos x已经是一个角的
三角函数形式 ，无需化简，故有ab≠0.
②从三角函数的定义出发进行推导
•
公式推导
cos a a
r a2 b2
a2 b2 sin(x ) (其中，tan b)
a
辅助角公式
a sin x bcos x a2 b2 sin( x )
(其中tan = b )
a
因为上述公式引入了辅助角 ，所以把 上述公式叫做辅助角公式
例3：试将以下各式化为 Asin(x ),(A 0, )
解：y = sinx + 3cosx
= 2( 1 sinx + 3 cosx)
2
2
= 2(sinxcos π + cosxsin π)
= 2sin(x + π3)
3
3
所以，所求函数的周期为2π，最大值为2，最小值为- 2。
练习与巩固
1.把下列各式化为一个角的三角函数形式
(1) 3 sin 1 cos (2)-sin cos