辅助角公式
辅助角公式使用条件
辅助角公式使用条件好的，以下是为您生成的关于“辅助角公式使用条件”的文章：咱先来说说啥是辅助角公式哈。
辅助角公式是个在数学中挺重要的家伙，它长这样：$a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(x + \varphi)$，其中$\tan\varphi = \frac{b}{a}$。
那这辅助角公式啥时候用呢？首先啊，如果咱们碰到一个式子，里面既有正弦又有余弦，而且系数还不太一样，这时候辅助角公式就可能派上用场啦。
比如说，给您一个式子$3\sin x + 4\cos x$，这就适合用辅助角公式来化简。
咱来仔细讲讲这使用条件。
要想用辅助角公式，得保证式子中的正弦和余弦的角是一样的哦，要是一个是$x$，另一个是$2x$，那可就不行啦。
我记得有一次给学生们讲这个知识点，有个小家伙就迷糊了。
当时我在黑板上写了个例子：$2\sin 2x + 3\cos x$，然后问他们能不能用辅助角公式。
结果那小家伙立刻举手说能，我就笑着问他为啥呀。
他支支吾吾半天，说感觉能。
我就耐心跟他解释，这角都不一样，咋用辅助角公式呢。
看着他恍然大悟的样子，我心里也挺乐呵。
还有哦，用辅助角公式的时候，得注意系数不能是零。
要是$a = 0$，那式子就变成$b\cos x$，这就没法用辅助角公式化简成那种标准形式啦。
同理，$b = 0$的时候也不行。
另外，在使用辅助角公式的时候，还得注意正负号。
有时候一不留神，正负号搞错了，那可就全错啦。
总之啊，用辅助角公式得看准了条件，角要相同，系数不能为零，正负号也不能弄错。
多做几道题，多练练手，就能熟练掌握啦。
就像学走路一样，一开始可能摇摇晃晃，但走得多了，自然就顺溜了。
数学也是这样，刚开始接触辅助角公式可能会觉得有点头疼，但只要多琢磨，多练习，就能把它用得得心应手。
希望同学们在面对这类问题的时候，都能轻松应对，把难题一个个攻克掉！。
辅助角公式正弦形式
辅助角公式正弦形式
辅助角公式指的是通过辅助角来简化三角函数的计算。
对于正弦函数，辅助角公式的正弦形式为：
sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
其中，a和b为任意角度。
这个公式可以通过三角函数的和角公式推导得到。
如需计算sin(α+β)，可取任意一边为直角边，一边为斜边的直角三角形，设辅助角θ=⟨α，β⟩。
根据三角函数定义：sin(α) = B/C ，cos(α) = A/C。
辅助角θ的正弦和余弦分别为sin(θ) = c/C = c/H，cos(θ) = a/C = a/H。
其中，a，b，c分别为直角边的长度，C为斜边的长度，H为斜边的长度。
使用辅助角求解sin(α+β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)。
sin(α)cos(β) = (B/C)(a/H) = AB/CH ，cos(α)sin(β) = (A/C)(b/H) = AB/CH。
因此，sin(α+β) = (AB/CH) + (AB/CH) = 2AB/CH。
根据直角三角形的关系，可得CH = A / cos(θ) = A /(a/H) = AH/a。
代入sin(α+β) = 2AB/CH，得sin(α+β) = 2AB/(AH/a) =
2ABa/AH= 2sin(α)cos(β)。
因此，sin(α+β) = 2sin(α)cos(β)。
辅助角公式的 φ 范围
辅助角公式的φ 范围
辅助角公式中，φ 通常取值在 -π/2 到π/2 的范围内，但是也可
以通过周期性地添加或减去2π 的方式将φ 被限制在此范围内。
在三角函数的求解过程中，通常需要使用到辅助角公式来简化计算。
常用的辅助角公式包括：
1. 正弦函数的辅助角公式：sin(x + y) = sin(x)cos(y) +
cos(x)sin(y)
2. 余弦函数的辅助角公式：cos(x + y) = cos(x)cos(y) -
sin(x)sin(y)
3. 正切函数的辅助角公式：tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 -
tan(x)tan(y))
此外，还有一些特殊的辅助角公式，例如：
1. 倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)；cos(2x) = cos2(x) - sin2(x)
2. 半角公式：sin(x/2) = ±√[(1 - cos(x)) / 2]；cos(x/2) = ±√[(1 + cos(x)) / 2]
在使用这些辅助角公式时，需要注意角度单位的转换和符号的考虑，以确保计算的正确性。
辅助角公式
辅助角公式Revised on November 25, 2020推导对于f(x)=asinx+bcosx(a>0)型函数，我们可以如此变形，设点(a,b)为某一角φ(-π/2<φ<π/2)终边上的点，则，因此就是所求辅助角公式。
又因为，且-π/2<φ<π/2，所以，于是上述公式还可以写成该公式也可以用余弦来表示（针对b>0的情况），设点(b,a)为某一角θ(-π/2<θ<π/2)终边上的点，则，因此同理，，上式化成若正弦和余弦的系数都是负数，不妨写成f(x)=-asinx-bcosx，则再根据得记忆很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。
其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，的位置永远是你用来表示函数名称的系数。
例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a（即正弦的系数a在分母）。
如果用余弦来表示,那反正切就要变成a/b（余弦的系数b在分母）。
疑问为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2)其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了，此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k是整数)。
而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变，况且在(-π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。
提出者，原名李心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔。
出身于读书世家，其先祖可上溯至南宋末年汴梁（今）人李伯翼。
生于1811年 1月22日，逝世于1882年12月9日，人，是中国近代着名的数学家、天文学家、力学家和，创立了二次的幂级数展开式。
[1]（就是现在的）他研究各种，和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就。
[1]在19世纪把西方近代知识翻译为中文的传播工作中﹐李善兰作出了重大贡献。
辅助角公式
辅助角公式集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）推导对于f(x)=asinx+bcosx(a>0)型函数，我们可以如此变形，设点(a,b)为某一角φ(-π/2<φ<π/2)终边上的点，则，因此就是所求辅助角公式。
又因为，且-π/2<φ<π/2，所以，于是上述公式还可以写成该公式也可以用余弦来表示（针对b>0的情况），设点(b,a)为某一角θ(-π/2<θ<π/2)终边上的点，则，因此同理，，上式化成若正弦和余弦的系数都是负数，不妨写成f(x)=-asinx-bcosx，则再根据得记忆很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。
其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，的位置永远是你用来表示函数名称的系数。
例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a（即正弦的系数a在分母）。
如果用余弦来表示,那反正切就要变成a/b（余弦的系数b 在分母）。
疑问为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2)？其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了，此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k是整数)。
而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变，况且在(-π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。
提出者，原名李心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔。
出身于读书世家，其先祖可上溯至南宋末年汴梁（今）人李伯翼。
生于1811年 1月22日，逝世于1882年12月9日，人，是中国近代着名的数学家、天文学家、力学家和，创立了二次的幂级数展开式。
[1]（就是现在的）他研究各种，和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就。
辅助角公式
辅助角公式
辅助角公式是三角函数中的一个重要概念，它用于求解具有特殊关系的角的正弦、余弦和正切值。
辅助角公式是数学的基础知识之一，它在解决三角函数相关问题时非常有用。
辅助角公式的基本形式为：
对于任意角x，有以下关系成立：
1. 正弦公式：sin(x + 2πk) = sin(x)
2. 余弦公式：cos(x + 2πk) = cos(x)
3. 正切公式：tan(x + πk) = tan(x)
在这些公式中，k为任意整数。
辅助角公式的作用是将求解角的问题转化为求解其辅助角的问题，从而简化计算步骤。
除了基本的辅助角公式，还有一些相关的扩展公式可以用于更复杂的三角函数计算。
例如，可以通过辅助角公式推导出双角公式、半角公式等，进一步扩展了辅助角公式的应用范围。
辅助角公式在数学和物理等学科中有广泛的应用。
通过利用这些公式，可以简化复杂的三角函数计算，解决各种与角度相关的问题。
例如，在几何学中，可以利用辅助角公式计算平面图形中的角度关系；在物理学中，可以利用辅助角公式计算物体在斜面上的运动。
总结起来，辅助角公式是解决三角函数相关问题的重要工具。
它能够简化计算步骤，提高解题效率，并有广泛的应用领域。
掌握辅助角公式对于学习和理解三角函数的性质和应用非常重要。
常用辅助角公式6个
常用辅助角公式6个辅助角公式在数学的三角函数学习中可是相当重要的利器哦！咱们一起来瞧瞧常用的 6 个辅助角公式。
先来说说辅助角公式到底是啥。
其实啊，辅助角公式就是把形如$a\sin x + b\cos x$ 的式子，通过一定的变形，转化成一个更简洁的形式。
这就像是给一团乱麻找到了线头，一下子就清晰明了啦。
第一个常用的辅助角公式是：$\sqrt{a^2 + b^2}\sin(x + \varphi)$ ，其中 $\tan\varphi = \frac{b}{a}$ 。
这个公式用起来就像是给三角函数穿上了一件合身的衣服，让它们的样子变得更整齐。
比如说，有这样一道题：化简 $2\sin x + 2\sqrt{3}\cos x$ 。
这时候辅助角公式就派上用场啦！咱们先计算 $\sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} =\sqrt{4 + 12} = 4$ ，然后 $\tan\varphi = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ ，所以 $\varphi = \frac{\pi}{3}$ ，最后就可以化简为 $4\sin(x +\frac{\pi}{3})$ 。
是不是感觉一下子就简单多啦？还有一次，我在给学生讲这部分内容的时候，有个小家伙怎么都理解不了为什么要这样变形。
我就跟他打了个比方，我说这就像是把一堆七零八落的积木，通过一定的方法拼成一个漂亮的城堡。
这小家伙眼睛一下子亮了，后来做题的时候还做得挺不错呢！第二个辅助角公式是：$\sqrt{a^2 + b^2}\cos(x - \varphi)$ ，这里的$\tan\varphi = \frac{a}{b}$ 。
第三个公式：$\sqrt{a^2 + b^2}\sin(x - \varphi)$ ，其中 $\tan\varphi = -\frac{b}{a}$ 。
第四个：$\sqrt{a^2 + b^2}\cos(x + \varphi)$ ，且 $\tan\varphi = -\frac{a}{b}$ 。
《辅助角公式》 讲义
《辅助角公式》讲义一、引入在三角函数的学习中，我们常常会遇到形如＼（a\sin x ＋b\cos x\）这样的式子。
为了更方便地对其进行分析和处理，我们引入了一个非常重要的公式——辅助角公式。
二、什么是辅助角公式辅助角公式的一般形式为：＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝＼sqrt{a^2 ＋b^2} ＼sin(x ＋＼varphi)＼），其中\（＼varphi\）满足\（＼tan\varphi＝＼frac{b}｛a}＼）。
这个公式的作用在于将两个不同的三角函数\（＼sin x\）和\（＼cos x\）合并成一个单一的三角函数\（＼sin(x ＋＼varphi)＼），从而简化计算和分析。
三、辅助角公式的推导为了推导辅助角公式，我们可以利用三角函数的和角公式：＼（＼sin(＼alpha ＋＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＋＼cos\alpha\sin\beta\）令＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝ R\sin(x ＋＼varphi)＼）则＼（R\sin(x ＋＼varphi) ＝ R(＼sin x\cos\varphi ＋＼cosx\sin\varphi) ＝ R\cos\varphi\sin x ＋ R\sin\varphi\cos x\）所以＼（R\cos\varphi ＝ a\），＼（R\sin\varphi ＝ b\）两边平方相加可得：＼（R^2(＼cos^2\varphi ＋＼sin^2\varphi) ＝a^2 ＋ b^2\）因为\（＼cos^2\varphi ＋＼sin^2\varphi ＝ 1\），所以＼（R ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼）则\（＼tan\varphi ＝＼frac{＼sin\varphi}｛＼cos\varphi} ＝＼frac{b}｛a}＼）这样就得到了辅助角公式：＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝＼sqrt{a^2 ＋b^2} ＼sin(x ＋＼varphi)＼），其中\（＼varphi\）满足\（＼tan\varphi＝＼frac{b}｛a}＼）四、辅助角公式的应用（一）化简三角函数表达式例 1：化简\（＼sqrt{3}＼sin x ＋＼cos x\）首先，＼（R ＝＼sqrt{（＼sqrt{3}）＾2 ＋ 1^2} ＝ 2\）＼（＼tan\varphi ＝＼frac{1}｛＼sqrt{3}｝＝＼frac{＼sqrt{3}｝｛3}＼），所以\（＼varphi ＝＼frac{＼pi}｛6}＼）则\（＼sqrt{3}＼sin x ＋＼cos x ＝ 2\sin(x ＋＼frac{＼pi}｛6}）＼）例 2：化简＼（5\sin x 12\cos x\）＼（R ＝＼sqrt{5^2 ＋（－12)＾2} ＝ 13\）arctan\frac{12}｛5}＼）则＼（5\sin x 12\cos x ＝ 13\sin(x ＼arctan\frac{12}｛5}）＼）（二）求三角函数的最值例 3：求函数＼（y ＝ 2\sin x ＋ 2\sqrt{3}＼cos x\）的最大值和最小值先将其化为辅助角公式的形式：＼（R ＝＼sqrt{2^2 ＋（2\sqrt{3}）＾2} ＝ 4\）＼（＼tan\varphi ＝＼sqrt{3}＼），所以\（＼varphi ＝＼frac{＼pi}｛3}＼）则＼（y ＝ 4\sin(x ＋＼frac{＼pi}｛3}）＼）因为\（＼sin(x ＋＼frac{＼pi}｛3}）＼）的最大值为＼（1\），最小值为\（－1\）所以＼（y\）的最大值为＼（4\），最小值为\（－4\）（三）求解三角函数方程例 4：求解方程＼（3\sin x ＋ 4\cos x ＝ 2\）将左边化为辅助角公式：＼（R ＝＼sqrt{3^2 ＋ 4^2} ＝ 5\）arctan\frac{4}｛3}＼）则＼（3\sin x ＋ 4\cos x ＝ 5\sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＼）原方程变为＼（5\sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＝ 2\）＼（＼sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＝＼frac{2}｛5}＼）则＼（x ＋＼arctan\frac{4}｛3} ＝ k\pi ＋（－1)＾k\arcsin\frac{2}｛5}＼），＼（k\in Z\）＼（x ＝ k\pi ＋（－1)＾k\arcsin\frac{2}｛5} ＼arctan\frac{4}｛3}＼），＼（k\in Z\）五、使用辅助角公式的注意事项（一）正确确定辅助角\（＼varphi\）要根据\（＼tan\varphi ＝＼frac{b}｛a}＼）来确定\（＼varphi\）的值，同时要注意\（＼varphi\）所在的象限。
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练习
课本：1、132页第6题（3）（4） 2、137页第13题（1）（2）
拓展
对一般的形如 a sin x b cos x 的多项式该 如何化简为 A sin( x ) 的形式呢？
提示：构造的角
2
2 2 sin cos 1 必须满足
专题：辅助角公式的应用
学习目标
1、理解并记住辅助角公式；
2、会用辅助角公式进行化简（将 a sin x b cos x
化为 A sin( x ) 的形式
回顾练习
求值：(1)sin347 cos148 sin 77 cos 58 ； (2) sin164 sin 224 sin 254 sin 314 ; (3) sin( ) cos( ) cos( ) sin( )
〖例1〗利用两角和差的正余弦公式化简 下列各式
1 3 (1) cos x sin x 2 2 (3) 3 sin x cos x 2 2 (2) sin x cos x 2 2
1 3 解： (法1) cos x sin x cos60o cos x sin 60o sin x 2 2
3 1 2 2( sin 2 x cos 2 x) 2 2
2 2(cos
6
sin 2 x sin
6
cos 2 x)
2 2 sin(2 x ) 6
3 (2) 2k 2 x 2k , k Z 2 6 2 2 k x k , k Z 6 3 2 f ( x)的单调减区间为[ k , k ], k Z 6 3 (3) x 4 3 5 2x 3 6 6
由图像知f ( x) max 2 2 sin f ( x) min
2
2 2,
3 2 2 sin( ) 2 2 ( ) 6 3 2
巩固练习
已知f ( x) 2 cos 2 x 2 sin 2 x 1 (1)求f ( x)的对称轴方程与对称中心坐标；
cos(x 60 )
o
1 3 (法2) cos x sin x sin 30o cos x cos30o sin x 2 2
sin(30o x)
(3) 3 sin x cos x
我们发现，式中sinx和cosx的两个系数 和 3 和 1 不可以作为某个角的正余弦值 但同时我们发现，如果我们对式子提取2 1 3 后，sinx和cosx的系数变成了 和 2 2 o 就可以看做特殊角30 的正余弦值 3 1 (3) 3 sin x cos x 2( sin x cos x) 2 2 2(cos30o sin x sin 30o cos x)
a sin x b cos x a b (
2
a
a 2 b2 a 2 b2 a 2 b 2 (cos sin x sin cos x)
a 2 b 2 sin( x )
sin x
b
cos x)
b （其中 tan ） a
练习
5 1、函数 y 3sin x 4cos x 的最大值为_____ ， -5 最小值为_______.
(2)求f ( x)在[0, ]的最大值及取最大值时的x的值. 2
回顾小结
一个人在无结果地深思一个真理后能够用迂回的方法 证明它，并且最后找到了它的最简明而又最自然的证 法，那是极其令人高兴的.…假如别人和我一样深刻和 持续地思考数学真理，他会拥有同样的发现.
——高斯
请结合本堂课的学习过程谈一下你对于以上红字部分 的认识。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2、137页13题（1）（2）（3）（4）
例2：已知f ( x ) (1)化简f ( x );
6 sin 2 x
2 cos 2 x
(2)求f ( x )的单调减区间； (3)求f ( x )在[-
, ]的值域. 4 3
解：(1)f ( x)
6 sin 2 x
2 cos 2 x