辅助角公式教案
辅助角公式_教案
辅助角公式一、教学目标1、会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有正弦的一个三角比的形式2、能够正确选取辅助角和使用辅助角公式二、教学重点与难点 辅助角公式的推导与辅助角的选取三、教学过程1、复习•引入 两角和与差的正弦公式()sin αβ+=_________________________________()sin αβ-=_________________________________ 口答：利用公式展开sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=_____________________ 反之,αα化简为只含正弦的三角比的形式，则可以是αα=_____________________________ 尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式（11cos 2αα+ （2）sin αα2、辅助角公式•推导对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？sin cos ))a b αααααβ+==+其中辅助角β由cos sin ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩β（通常πβ20<≤）的终边经过点(,)a b------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角。
3、例题•反馈例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式.（11cos 2αα- （2）ααcos sin +（3αα （4）ααcos 4sin 3-例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式.（1）sin cos αα-（2）ααsin cos - （3）cos αα-例3、若sin(50)cos(20)3x x +++=，且0360x ≤<，求角x 的值。
例42)cos()12123x x ππ+++=，且 02x π-<<，求sin cos x x -的值。
辅助角公式教学设计22
辅助角公式sin cos )a b θθθϕ+=+教学应注意的的几个问题在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式sin cos a b θθ+)θϕ+或sin cos a b θθ+cos()θϕ-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式.一.教学中常见的的推导方法教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1α+cos α=2sin （α+6π）=2cos （α-3π）.其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论: 可见α+cos α可以化为一个角的三角函数形式.一般地,asin θ+bcos θ 是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2.辅助角公式的推导 例2 化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式.解: asin θ+bcos θsin θcos θ),①ϕ=sin ϕ,则asin θ+bcos θθcos ϕ+cos θsin ϕ)=θ+ϕ),(其中tan ϕ=b a) ②ϕ=cos ϕ,则asin θ+bcos θθsin ϕ+cos θcos ϕθ-ϕ),(其中tan ϕ=a b) 其中ϕ的大小可以由sin ϕ、cos ϕ的符号确定ϕ的象限,再由tan ϕ的值求出.或由tan ϕ=ba和(a,b)所在的象限来确定.推导之后,是配套的例题和大量的练习.但是这种推导方法有两个问题:=cos ϕ=sin ϕ?让学生费解.二是这种 “规定”式的推导,学生难记易忘、易错! 二.让辅助角公式sin cos a b θθ+)θϕ+来得更自然能否让让辅助角公式来得更自然些?这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法. 首先要说明，若a=0或b=0时，sin cos a b θθ+已经是一个角的一个三角函数的形式，无需化简.故有ab ≠0.1.在平面直角坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角ϕ,它的终边经过点P.设由三角函数的定义知sin ϕ=b r ,cos ϕ=a r =所以asin θ+bcos θϕ sin θϕcos θ)θϕ+.(其中tan ϕ=ba) 2.若在平面直角坐标系中,以b 为横坐标,以a 为纵角ϕ的坐标可以描点P(b,a),如图2所示,则总有一个终边经过点P(b,a),设OP=r,则由三角函数的定义知sinϕ=ar,cosϕ=br.asinθ+bcosθsin cos ϕθϕθ+s()θϕ-. (其中tanϕ=ab)例3cosθθ+为一个角的一个三角函数的形式.解:在坐标系中描点P(,1),设角ϕ的终边过点P,则OPϕ=12,cosϕ=2.cosθθ+=2cosϕsinθ+2sinϕcosθ=2sin(θϕ+).tanϕ=3.26kπϕπ=+,cosθθ+=2sin(6πθ+).经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式asinθ+bcosθ=(sinθ+cosθ)= )θϕ+,(其中tanϕ=ba).或者asinθ+bcosθ=(sinθ+cosθ)= )θϕ-,(其中tanϕ=ab)我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解asinθ+bcosθ凑成sinθ+θ)的道理,以及为什么只有两种形式的结果.例4 化sinαα-为一个角的一个三角函数的形式.解法一:点在第四象限.OP=2.设角ϕ过P点.则sin2ϕ=-,1cos2ϕ=.满足条件的最小正角为53π,52,.3k k Z ϕππ=+∈1sin2(sin)2(sin cos cos sin)2552sin()2sin(2)2sin().33kαααααϕαϕαϕαππαπ∴-=-=+=+=++=+解法二:点在第二象限,OP=2,设角ϕ过P点.则1sin2ϕ=,cosϕ=满足条件的最小正角为56π,52,.6k k Zϕππ=+∈1sin2(sin)2(sin sin cos cos)2552cos()2cos(2)2cos().66kαααααϕαϕαϕαππαπ∴-==+=-=--=-三.关于辅助角的范围问题由sin cos)a bθθθϕ+=+中,点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).设满足条件的最小正角为1ϕ,则12kϕϕπ=+.由诱导公式(一)知1sin cos))a bθθθϕθϕ+=+=+．其中1(0,2)ϕπ∈，1tanbaϕ=，1ϕ的具体位置由1sinϕ与1cosϕ决定，1ϕ的大小由1tanbaϕ=决定．类似地，sin cos)a bθθθϕ+=-，ϕ的终边过点Ｐ（ｂ，ａ），设满足条件的最小正角为2ϕ，则22.kϕϕπ=+由诱导公式有2sin cos))a bθθθϕθϕ+=-=-，其中2(0,2)ϕπ∈，2tanabϕ=，2ϕ的位置由2sinϕ和2cosϕ确定，2ϕ的大小由2tanabϕ=确定．注意：①一般地，12ϕϕ≠；②以后没有特别说明时，角1ϕ（或2ϕ）是所求的辅助角．四．关于辅助角公式的灵活应用引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式．在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为1sin cos )a b θθθϕ+=+的形式或2sin cos )a b θθθϕ+=-的形式．可以利用两角和与差的正、余弦公式灵活处理．例５ 化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式．cos αα-；)cos()33ππαα-+-．解：1cos cos )22(sin coscos sin )2sin()666ααααπππααα-=-=-=-（２）)cos()331[sin()cos()]3233[sin()cos cos()sin ]33332)3ππααππααππππααπα-+-=-+-=-+-=-在本例第（１）小题中，a =1b =-，而取的是点Ｐ１）．也就是说，当a 、b 中至少有一个是负值时．我们可以取Ｐ（a ，b ），或者Ｐ（b ，a）．这样确定的角1ϕ（或2ϕ）是锐角，就更加方便． 例6 已知向量(cos(),1)3ax π=+,1(cos(),)32b x π=+-,(sin(),0)3c x π=+,求函数()h x =2a b b c ⋅-⋅+的最大值及相应的x 的值.解:21()cos ()sin()cos()23233h x x x x πππ=+--+++ =21cos(2)1233sin(2)2232x x ππ++-++ =1212cos(2)sin(2)22323x x ππ+-++=22[cos(2)sin(2)]222323x x ππ+-++=11cos(2)2212x π++max()22h x ∴=+这时111122,.1224x k x k k Z ππππ+==-∈.此处,若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁,而且易错,请读者一试. 五.与辅助角有关的应用题与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见,而且涉及辅角的范围,在相应范围内求三角函数的最值往往是个难点.例7 如图3,记扇OAB 的中心角为45︒,半径为1,矩形PQMN 内接于这个扇形,求矩形的对角线l 的最小值.解:连结OM,设∠AOM=θ.则MQ=sin θ,OQ=cos θ,OP=PN=sin θ. PQ=OQ-OP=cos sin θθ-.222l MQ PQ =+=22sin(cos sin )θθθ+-=31(sin 2cos 2)22θθ-+=13)2θϕ-+,其中11tan 2ϕ=,1(0,)2πϕ∈,11arctan 2ϕ=. 04πθ<<,111arctan 2arctan .222πθϕ∴<+<+2min 322l ∴=-,min 12l -=. 所以当11arctan 422πθ=-时, 矩形的对角线lθNB MAPO图3。
辅助角公式及应用
6
6
（2）
3 sin 1 cos
2
2
sin cos 5 cos sin 5
6
6
（3）
3 sin 1 cos
2
2
sin cos 5 cos sin 5
6
6
（4）
3 2
sin
1 2
cos
sin cos cos sin
6
6
辅助角公式的推导及简单应用
导学达标
引例 例1:求证：
分析：其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右
个角 ,它的终边经过点P.设
的终边
y
• P(a,b)
r
OP=r,r= a2 b,2由三角函数 的定义知
O 图1
x
sin b b
r a2 b2
所以 asin x bcos x
a2 b2 cos sin x a2 b2 sin cos x
cos a a
r a2 b2
a2 b2 sin(x ) (其中，tan b)
两个应用：
⒈利用辅助角公式将三角函数化成正弦型，然后用正弦型函数的性质 解决函数问题 ⒉三角函数解决几何问题中利用辅助角公式求最值问题
sin
6
sin
5
6
sin cos cos sin
6
6
sin cos 5 cos sin 5
6
6
sin
5
6
sin
6
sin cos 5 cos sin 5
6
6
sin cos cos sin
6
6
3 sin 1 cos
2
2
3 sin 1 cos
化一公式,辅助角公式教案
化一公式（第一课时）一、教材剖析化一公式在必修 4 的教材中并无出现特意的一节进行解说，是由于化一公式的实质其实就是两角和的正弦公式的逆应用。
二、教课要点对特别角的化一公式的应用，两角和正弦的逆应用。
知道要从系数中提出a 2b2 .三、教课难点对a2b2的研究，理解为何要提这个出来。
四、教课过程（一）、知识回首引入前方我们学习了两角和的正弦公式，大家回首一下应当等于：sin() sin cos sin cos那我们看一下sin=sin cos cos sin 3cos1 sin33322则那么请同学看下边两个题应当等于多少例一：化简下边式子（ 1）2sin2cos 22（ 2）1sin3cos 22解说：第一个式子中的2能够当作 sin, cos, 变式后利用两角和正弦的逆应244用课进行化简。
第二个式子中的 1 和3能够当作 cos , sin。
2233（二）、新授知识那么此刻我们来看下一个题：例二：化简下边式子（ 1） 2 sin 2 cos（ 2）sin 3 cos（提示学生和例一的关系，让学生自己转变到例一去）解答：（1）22sin2cos2sin224（2） 2 1sin3cos2sin3 22为何要提 2 出来呢？由于提出来后能够在里面创建出特别角的三角函数，是我们想要的那么方才的这些题我们都比较简单看出他们和特别角之间的关系，那么假如碰到较为复杂的系数我们该提多少出来呢？例三：化简下边式子a sin xb cosx（让学生思虑并议论）学生议论后指出这里应当提出 a 2b2，由于里面剩下的a,b恰好a 2b2a2b2能够构一个角的正弦与余弦。
因此 a sin x b cosx a2b2sin(x) ，我们把这类把两三角函数变成一个三角函数的公式称为化一公式。
由此我们就能够办理任何近似的式子了例三：化简下边式子3 15 sin x 3 5 cos x解答：先察看，把315 与3 5 的公因式 35先提出来，变成 3 sin x cos x ，再利用公式，提出32 2 ，能够变成 653sin x1cos x65 sin x12226练习：化简下边式子：（ 1）3cos x3sin x（2） 3 sin x cos x（ 3）2sin x6cos x 2244（让学生上来做并解说）（三）总结同学们你们来谈谈这节课你收获到了什么？1，化一公式 2 ，逆向思想3，化归的思想（四）作业练习册。
03高一数学辅助角公式及其应用闵行-培训机构-新王牌
同步：辅助角公式及其应用(★★★★)教学目标辅助角公式是三角函数中的两角和与差的正弦或预先公式的变形，是求与三角有关的函数的周期、单调区间、图像变换及最值的重要变换手段。
灵活地使用它对理解三角函数的知识有着重要的意义，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为()sin y A x k ωϕ=++的形式.本节课教学目标是熟练运用辅助角公式.导入辅助角公式的另一个种推到方案：首先要说明，若0a =或0b =时，sin cos a b θθ+已经是一个角的一个三角函数的形式，无需化简.故有0ab ≠.1.在平面直角坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描一点P(a ,b )如右图所示,则总有一个角ϕ,它的终边经过点P.设OP =r ,r=r =sin br ϕ==cos a rϕ==.所以sin cos a b θθ+sin cos ϕθϕθ+()θϕ+.(其中tan b aϕ=)知识梳理1.辅助角公式：sin cos )a xb x x ϕ+=+（其中sin ϕ=,cos ϕ=,tan baϕ=,）2.应用辅助角公式的步骤：一、）sin cos cos a x b x +=+二、“定”ϕ值rOϕ的终边P(a ,b )yx∙令sin ϕ=,cos ϕ=sin cos )a xb x x ϕ+=+三、“用”处多应用公式sin cos )a x b x x ϕ+=+可求最值（值域）、周期、单调区间、对称轴及对称点等。
可以将步骤归纳为“提——定——用”典例精讲例1（★★★）求函数f x k x k x x ()cos()cos()sin()=+++--++613261322332πππ(,)x R k Z ∈∈的值域。
解：()cos 22cos 222333f x k x k x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2cos 2233x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4sin 22x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4cos 2x=所以()f x 的值域为[-4,4]【巩固练习1】1.（★★★★）函数()22sin sin cos f x a x x x b =⋅-⋅⋅+的定义域0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域为[]5,4-，求常数,a b 值.解：()22sin sin cos f x a x x x b=⋅-⋅⋅+cos 2sin 2a a x x b=--+2sin 26a x a bπ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1当0a >时，()[][]2,,2f x a a b a a b a b a b ∈-++++=-++而函数()f x 的值域为[]5,4-，从而53242a b a a b b -+=-=⎧⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩，符合题意；2当0a <时，()[]2,f x a b a b ∈+-+而函数()f x 的值域为[]5,4-，从而43251a b a a b b -+==-⎧⎧⇒⎨⎨+=-=⎩⎩，符合题意；3当0a =，显然不符合题意，舍去.例2（★★★★）已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，（其中0ω>）。
辅助角公式
公式在必修4的教材中并没有出现专门的一节进行讲解，是因为公式的本质其实就是两角和的正弦公式的逆应用。
在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化a sin θ+b cos θ为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,总结出公式22sin cos sin()a b a b θθθφ+=++或22sin cos cos()a b a b θθθφ+=+-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.教师引导：P(a,b)总有一个角φ的终边经过点P ，设OP=r=22a b +由三角函数定义可知： 辅助角公式•推导对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？ 其中辅助角φ由2222cos sin a a b b a b φφ=+=+ 确定，即辅助角φ（通常02φπ≤≤）的终边经过点P (,)a b------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角φ为辅助角。
其中φ的大小可以由sin φ、cos φ的符P号确定φ的象限,再由tanφ的值求出.或和P(a,b)所在的象限来确定. 由tanφ=ba教师指导题目4将下列各式化为一个角的正弦形式教师总结，批阅。
学案一、知识回顾：两角和与差的正余弦公式：二、新课探究：1、利用和差角公式计算下列各式的值：练习：2、求证：cos2sin()6πααα=+3、将sin cosa xb x+化为一个角的正弦形式。
P(a,b)总有一个角φ的终边经过点P，设由三角函数定义可知：b=a=辅助角公式•推导对于一般形式ααcossin ba+（a、b不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？其中辅助角φ由cos__________sin___________φφ==确定，即辅助角φ（通常02φπ≤≤）的终边经过点P (,)a b------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角φ为辅助角。
精品-辅助角公式及应用省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
辅助角公式旳推导及简朴应用
a sin x b cos x a2 b2 sin( x )
认定目的
1、了解辅助角公式 a sin x b cos x a2 b2 sin( x )旳 推导过程
2、 会将 a sin x b cos x（a、b不全为零）化为只具 有一种正弦旳三角形式
6
sin cos 5 cos s sin
6
6
3 sin 1 cos
2
2
3 sin 1 cos
2
2
3 sin 1 cos
2
2
3 sin 1 cos
2
2
思索： 经过前面四个题目我们发觉，是不是任
何一种同角旳异名函数能够转换成一种角旳 三角函数值呢？假如能，那么又是怎么转化 旳呢?那么这节课我们就来研究一下这个问题。
学前测评
1.两角和与差旳正弦公式
sin sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
2.两角和与差旳正弦公式旳应用
sin
6
sin
5
6
sin cos cos sin
6
6
sin cos 5 cos sin 5
6
6
sin
5
6
sin
3、会利用辅助角公式处理三角函数问题
导学达标
引例 例1:求证： 3 sin x cos x 2sin(x )
6
分析：其证法是从右往左展开证明,也能够从左往右
“凑”, 使等式得到证明,并得出结论:
可见， 3 sin x cos x 能够化为一种角旳三角函数形式
思索：一般地，a sin x b cos x 是否能够化为 一种角旳三角函数形式呢?
高中数学辅助角公式教案
高中数学辅助角公式教案
一、教学目标
1. 了解辅助角的概念和性质；
2. 掌握辅助角的相关公式和求解方法；
3. 能够运用辅助角公式解决相关问题。
二、教学重点
1. 辅助角的概念和性质；
2. 辅助角公式的掌握；
3. 辅助角公式的应用。
三、教学内容
1. 辅助角的概念和性质；
2. 正弦、余弦、正切、余切辅助角公式；
3. 应用举例与练习。
四、教学过程
1. 辅助角的概念和性质
- 引导学生理解辅助角的概念和性质，解释其在三角函数计算中的作用；- 讲解辅助角的意义和使用方法，引导学生积极思考和互动。
2. 正弦、余弦、正切、余切辅助角公式
- 介绍正弦、余弦、正切、余切辅助角公式的推导和应用；
- 指导学生掌握辅助角公式的应用方法，举例演练解题过程。
3. 应用举例与练习
- 给出一些具体的应用题目，让学生运用所学知识解题；
- 带领学生讨论解题思路和方法，及时纠正错误，加深理解。
五、教学反馈
1. 对学生的练习情况进行检查和评价；
2. 总结学生在辅助角公式运用中存在的问题，并指导学生进行巩固练习；
3. 鼓励学生积极参与课堂讨论和练习，提高解题能力。
六、课后作业
1. 完成课堂练习题和实践题；
2. 针对学生出现的问题进行针对性的练习；
3. 鼓励学生自主学习，准备下节课分享心得。
七、教学效果评估
1. 学生掌握辅助角概念、公式和应用的情况；
2. 学生能否熟练运用辅助角公式解题；
3. 学生对辅助角公式的理解和运用能力。
以上为高中数学辅助角公式教案范本，具体教学内容和安排可根据实际情况进行调整和完善。
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其中辅助角 由 确定，即辅助角 的终边经过点
二、新课探究
利用公式展开 =_____________________
反之,若要将 化简为只含正弦的三角比的形式，则可以是 =_____________________________
尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为 的形式
（1） （2）
练习：试将以下各式化为 （ ）的形式.
（1） （2） （3）
1.试将以下各式化为 （ ）的形式：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ；
（7） ； （8）
2.若 ，求 的值。
3.若 ，且 ，求角x的值。
4、已知函数 ,
1）求函数的最大值，及当函数取最大值时x的集合？
2）该函数的图像可由 图像经过怎样的变换得到？
五、课后作业
课本P132,6
高一数学教案
课题：
辅助角公式
课型：新授课
课时：1
学习目标：
1、能推导出辅助角公式的一般形式
2．运用公式灵活解决综合题目
重点：
辅助角公式的掌握．
难点：
辅助角公式的熟练运用
教 学 过 程
教学内容
设计意图
一、复习引入
两角和与差的正弦公式
=_________________________________
=_________________________________
一般地,asin +bcos 是否可以化为一个角的三角函数形式呢?
合作探究：化 为一个角的一个三角函一个三角函数的形式.
例2、化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式．
（１） ；
（２） ．
变式训练 的值域___________________
四、巩固练习