辅助角公式的推导讲解学习
辅助角公式
推导对于f(x)=asinx+bcosx(a>0)型函数，我们可以如此变形，设点(a,b)为某一角φ(-π/2<φ<π/2)终边上的点，则，因此就是所求辅助角公式。
又因为，且-π/2<φ<π/2，所以，于是上述公式还可以写成该公式也可以用余弦来表示（针对b>0的情况），设点(b,a)为某一角θ(-π/2<θ<π/2)终边上的点，则，因此同理，，上式化成若正弦和余弦的系数都是负数，不妨写成f(x)=-asinx-bcosx，则再根据得记忆很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。
其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，的位置永远是你用来表示函数名称的系数。
例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a（即正弦的系数a在分母）。
如果用余弦来表示,那反正切就要变成a/b（余弦的系数b在分母）。
疑问为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2)？其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了，此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k是整数)。
而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变，况且在(-π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。
提出者，原名李心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔。
出身于读书世家，其先祖可上溯至南宋末年汴梁（今）人李伯翼。
生于1811年 1月22日，逝世于1882年12月9日，人，是中国近代着名的数学家、天文学家、力学家和，创立了二次的幂级数展开式。
[1]?（就是现在的）他研究各种，和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就。
[1]?在19世纪把西方近代知识翻译为中文的传播工作中﹐李善兰作出了重大贡献。
他的译书也为中国近代物理学的发展起了启蒙作用。
巧用辅助角公式解三角函数题
辅助角公式是解答三角函数问题的一种常用工具.运用该公式，可以将不同的三角函数名称和角统一.因此掌握辅助角公式的推导过程和应用技巧，对于解答复杂的三角函数问题是非常有必要的.一、辅助角公式的推导过程对于形如y =a sin x +b cos x (a ≠0、b ≠0)的三角函数，可以变形为：y =a 2+b 2()a a 2+b2∙sin x +b a 2+b2∙cos x .设aa 2+b 2=cos φ，ba 2+b 2=sin φ，则tan φ=b a ，由两角和与差的正弦公式可得：y =a 2+b 2()cos φ∙sin x +sin φ∙cos x ，即y =a 2+b 2sin ()x +φ.若a a 2+b 2=sin θ，b a 2+b 2=cos θ,tan θ=ab ，由两角和与差的余弦公式可得：y =a 2+b 2()sin θ∙sin x +cos θ∙cos x ，即y =a 2+b 2cos ()x -θ.从以上的推导过程可以发现，辅助角公式有两种表达形式，即a sin x +b cos x =a 2+b 2sin ()x +φ=a 2+b 2⋅cos ()x -θ，其中tan φ=b a 、tan θ=ab.二、辅助角公式的应用技巧运用辅助角公式，能将含有sin x 和cos x 的三角函数式转化为只含有正弦或余弦函数的式子.这有助于化简三角函数式，进一步探索函数的性质、最值.例题：已知函数f ()x =2cos ()π3+x ∙cos ()π3-x -3sin2x .（1）求f ()x 的最小正周期；（2）若x ∈()0,π2，求f ()x 的最小值和最大值；（3）判断函数f ()x 在区间éëêùûú-π6,7π12上的单调性.解：(1)f ()x =2()cos π3∙cos x -sin π3∙sin x æèçcos π3∙cos xöø÷+sin π3∙sin x-3sin2x=2()12cos xx ()12cos x x -3sin2x=2éëêêùûúú()12cos x 2-)x 2-3sin2x=cos2x -3sin2x -12=2sin ()2x -π6-12.则T =2π||ω=2π2=π，故该函数的最小正周期为π.(2)从上述式子可知，f ()x =2sin ()2x -π6-12，因为x ∈()0,π2，所以-π6≤2x -π6≤5π6.当2x -π6=π2，即x =π3时，sin ()2x -π6取得最大值1，可得f ()x max =32；当2x -π6=-π6，即x =0时，sin ()2x -π6取得最小值-12，可得f ()x min =-1.故该函数的最大值为32，最小值为-1.(3)由题意可知，-π6≤x ≤7π12，所以-π2≤2x -π6≤π.令t =2x -π6，设y =2sin t ，t ∈éëêùûú-π2,π，则y 在éëêùûú-π2,π2上单调递增，在éëêùûúπ2,π上单调递减.所以f ()x 在区间éëêùûú-π6,π3上单调递增，在区间éëêùûúπ3,7π12上单调递减.该三角函数式较为复杂，需首先将特殊角的三角函数值代入，并运用二倍角公式将函数式化为cos2x -3sin2x -12.该式中含有正弦函数式和余弦函数式，需运用辅助角公式将函数名称统一，将其化为2sin ()2x -π6-12，此时a 2+b 2=2，tan φ=b a =-π6，那么函数式就化为只含有正弦函数的式子.根据正弦函数的周期公式T =2π||ω、单调性、图象，即可快速求得函数的最小正周期、最大值、最小值和单调区间.综上所述，利用辅助角公式解题，需明确辅助角公式的推导过程，知晓其中的a 、b 、tan φ=ba的对应值，才能顺利化简三角函数式，运用三角函数的性质、图象解题.（作者单位：江苏省大丰高级中学）48Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
辅助角公式的推导
利用三角函数的倍角公式推导
三角函数的倍角公式也是推导辅助角 公式的重要工具，通过将复杂的三角 函数表达式转化为简单的三角函数倍 角形式，可以进一步简化计算。
利用三角函数的倍角公式，可以将形如 $sin(2x)$或$cos(2x)$的表达式转化为 $2sinx*cosx$或$cos^2x-sin^2x$的形式 ，从而将问题简化为已知的三角函数形式 。
在现代数学和工程领域，辅助角公式已经成为解决各种复杂问
题的基本工具之一，其应用范围不断扩大。
02
辅助角公式的推导过程
利用三角函数的和差化积公式推导
三角函数的和差化积公式是推导辅助 角公式的重要基础，通过将复杂的三 角函数表达式转化为简单的三角函数 和差形式，可以进一步简化计算。
VS
利用三角函数的和差化积公式，可以 将形如$sin(x+y)$或$cos(x+y)$的表 达式转化为$sinx*cosy+cosx*siny$ 的形式，从而将问题简化为已知的三 角函数形式。
辅助角公式推导
• 辅助角公式简介 • 辅助角公式的推导过程 • 辅助角公式的应用举例 • 辅助角公式的扩展与推广 • 辅助角公式的注意事项与限制条
件
目录
01
辅助角公式简介
辅助角公式的定义
辅助角公式是三角函数中用于 将一个复杂三角函数式转化为 简单三角函数式的一组公式。
它通过添加或减去一个或多个 角，将给定的角转换到易于处 理的位置，从而简化计算过程。
辅助角公式通常以正弦、余弦、 正切等基本三角函数形式表示。
辅助角公式的应用场景
解决三角函数问题
辅助角公式在解决涉及三角函数 的数学问题中非常有用，例如求 解三角函数的值、化简复杂的三 角函数表达式等。
三角函数的辅助角计算方法
三角函数的辅助角计算方法三角函数是数学中一个重要且广泛应用的概念。
它们的求值在解决各种几何和物理问题中起着关键作用。
然而，有时候我们遇到的角度不在常用角度范围内，这就需要用到辅助角计算方法。
辅助角计算方法可以帮助我们将任意角度转化为一个介于0到90度之间的角度，从而方便我们使用常见的三角函数公式进行计算。
以下是几种常用的辅助角计算方法。
一、补角法补角法是利用补角的性质，将大于90度的角转化为小于90度的角。
具体操作如下：1. 角A是大于90度的角，记为A=α+β，其中α是与角A的补角，α+β=90度。
2. 利用三角函数的定义：sin(A) = sin(α+β) = sinα * cosβ + cosα * sinβ。
通过补角法，我们可以将大于90度的角转换成小于90度的角，并以此计算出对应的三角函数值。
二、合成角法合成角法是将一个角度分解成两个较小角度的和，以便利用已知的较小角度的三角函数值求得未知角度的三角函数值。
具体操作如下：1. 角A是一个未知角，我们将其分解为两个已知的角α和β，即A = α - β。
2. 根据角度和差公式：sin(A) = sin(α - β) = sinα * cosβ - cosα * sinβ。
通过合成角法，我们可以利用已知的角度的三角函数值来计算未知角度的三角函数值，从而实现对三角函数的辅助计算。
三、角度相等法角度相等法是通过将两个角度相等的三角函数公式进行转换，使求解目标角度变得容易。
具体操作如下：1. 假设角A与角B相等，即A = B。
2. 利用三角函数的定义：sin(A) = sin(B)、cos(A) = cos(B)、tan(A) = tan(B)。
通过角度相等法，我们可以通过已知的角度来计算与之相等的目标角度的三角函数值。
以上是三角函数的几种常用辅助角计算方法。
它们能够帮助我们将任意角度转化为标准的0到90度范围内的角度，从而方便我们进行三角函数的求解。
高中三角函数的辅助角解析
高中三角函数的辅助角解析三角函数是高中数学中的重要内容，它们在解决几何问题、计算机算法、物理学等多个领域中具有广泛的应用。
在学习三角函数时，我们通常会遇到一些复杂的角度，这时候辅助角解析就成为了一个非常有用的工具。
本文将详细介绍高中三角函数中辅助角解析的方法和应用。
一、正弦函数的辅助角解析我们先来看正弦函数的辅助角解析方法。
对于一个锐角α，可以通过辅助角β(β = 90° - α) 来解析正弦函数。
示例1：考虑一个锐角α = 30°，辅助角β = 90° - α= 90° - 30° = 60°。
根据辅助角解析，sin(α) = sin(β) = sin(60°) = √3/2。
二、余弦函数的辅助角解析接下来我们来讨论余弦函数的辅助角解析。
对于一个锐角α，可以通过辅助角β(β = α)来解析余弦函数。
示例2：考虑一个锐角α = 45°，辅助角β = α=45°。
根据辅助角解析，cos(α) = cos(β) = cos(45°) = √2/2。
三、正切函数的辅助角解析再来介绍正切函数的辅助角解析。
对于一个锐角α，可以通过辅助角β(β = 45° - α)来解析正切函数。
示例3：考虑一个锐角α = 60°，辅助角β = 45° - α = 45° - 60° = -15°。
根据辅助角解析，tan(α) = tan(β) = tan(-15°)。
四、割、余割和正割函数的辅助角解析割函数、余割函数和正割函数都可以通过三角函数之间的关系和辅助角来解析。
示例4：考虑一个锐角α = 45°，辅助角β = α=45°。
根据辅助角解析，sec(α) = sec(β) = sec(45°) = √2。
示例5：考虑一个锐角α = 30°，辅助角β = 90° - α= 90° - 30° = 60°。
辅助角公式
辅助角公式Revised on November 25, 2020推导对于f(x)=asinx+bcosx(a>0)型函数，我们可以如此变形，设点(a,b)为某一角φ(-π/2<φ<π/2)终边上的点，则，因此就是所求辅助角公式。
又因为，且-π/2<φ<π/2，所以，于是上述公式还可以写成该公式也可以用余弦来表示（针对b>0的情况），设点(b,a)为某一角θ(-π/2<θ<π/2)终边上的点，则，因此同理，，上式化成若正弦和余弦的系数都是负数，不妨写成f(x)=-asinx-bcosx，则再根据得记忆很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。
其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，的位置永远是你用来表示函数名称的系数。
例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a（即正弦的系数a在分母）。
如果用余弦来表示,那反正切就要变成a/b（余弦的系数b在分母）。
疑问为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2)其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了，此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k是整数)。
而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变，况且在(-π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。
提出者，原名李心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔。
出身于读书世家，其先祖可上溯至南宋末年汴梁（今）人李伯翼。
生于1811年 1月22日，逝世于1882年12月9日，人，是中国近代着名的数学家、天文学家、力学家和，创立了二次的幂级数展开式。
[1]（就是现在的）他研究各种，和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就。
[1]在19世纪把西方近代知识翻译为中文的传播工作中﹐李善兰作出了重大贡献。
辅助角公式
辅助角公式集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）推导对于f(x)=asinx+bcosx(a>0)型函数，我们可以如此变形，设点(a,b)为某一角φ(-π/2<φ<π/2)终边上的点，则，因此就是所求辅助角公式。
又因为，且-π/2<φ<π/2，所以，于是上述公式还可以写成该公式也可以用余弦来表示（针对b>0的情况），设点(b,a)为某一角θ(-π/2<θ<π/2)终边上的点，则，因此同理，，上式化成若正弦和余弦的系数都是负数，不妨写成f(x)=-asinx-bcosx，则再根据得记忆很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。
其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，的位置永远是你用来表示函数名称的系数。
例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a（即正弦的系数a在分母）。
如果用余弦来表示,那反正切就要变成a/b（余弦的系数b 在分母）。
疑问为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2)？其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了，此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k是整数)。
而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变，况且在(-π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。
提出者，原名李心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔。
出身于读书世家，其先祖可上溯至南宋末年汴梁（今）人李伯翼。
生于1811年 1月22日，逝世于1882年12月9日，人，是中国近代着名的数学家、天文学家、力学家和，创立了二次的幂级数展开式。
[1]（就是现在的）他研究各种，和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就。
辅助角公式讲解
辅助角公式讲解辅助角公式是在解决三角函数运算的过程中常用的一种方法，可以帮助我们简化一些复杂的三角函数式子，使其更易于计算。
本文将对辅助角公式进行详细的讲解，包括其定义、性质、应用等方面的内容。
一、辅助角公式的定义辅助角公式是指在三角函数运算过程中，通过引入一个新的角度来简化三角函数式子的方法。
这个角度通常是由原来的角度加上或减去一个固定的值，使得三角函数式子变得更容易计算。
具体来说，辅助角公式有以下几种形式：① sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)② cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)③ tan(a+b) = (tan(a) + tan(b)) / (1 - tan(a)tan(b))④ cot(a+b) = (cot(a)cot(b) - 1) / (cot(a) + cot(b))其中，a和b均为任意角度。
二、辅助角公式的性质1. 余角公式：若a+b=90°，则sin(a+b)=cos(a)，cos(a+b)=sin(a)，tan(a+b)=cot(a)，cot(a+b)=tan(a)。
2. 差角公式：sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)，cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)，tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))，cot(a-b)=(cot(a)cot(b)+1)/(cot(b)-cot(a))。
3. 和差角公式：sin(a+b)+sin(a-b)=2sin(a)cos(b)，cos(a+b)+cos(a-b)=2cos(a)cos(b)，tan(a+b)-(tan(a-b))=2tan(a)tan(b)，cot(a+b)+cot(a-b)=2cot(a)cot(b)。
4. 二倍角公式：sin2a=2sinacos(a)，cos2a=cosa-sina，tan2a=(2tana)/(1-tana)，cot2a=(cota-1)/(2cot(a))。
辅助角公式及应用课件
利用代数方法推导
总结词
通过代数方法，我们可以将三角函数问 题转化为代数问题，从而推导出辅助角 公式。
VS
详细描述
利用代数方法，我们可以将三角函数问题 转化为代数问题。通过设置方程并求解， 我们可以得到辅助角公式的一般形式。这 种方法需要一定的代数基础和技巧，但适 用范围较广，可以处理各种复杂的三角函 数问题。
等。
在三角函数求值中的应用
辅助角公式可以用于求解某些特定类型的三角函数值，例如求正弦、余弦或正切值 。
通过使用辅助角公式，可以将复杂的三角函数问题转化为更易于解决的形式，从而 快速准确地找到答案。
辅助角公式还可以用于求解一些特殊角度的三角函数值，例如30度、45度或60度等 。
在三角函数图像变换中的应用
辅助角公式及应用课 件
汇报人：
202X-01-04
目录
CONTENTS
• 辅助角公式简介 • 辅助角公式的推导 • 辅助角公式的应用 • 辅助角公式的注意事项 • 辅助角公式的扩展 • 习题与解答
01
辅助角公式简介
辅助角公式的定义
辅助角公式是三角函数中用于将一个复杂的三角函数式转化 为易于处理的形式的公式。它通过引入一个辅助角，将原函 数表示为简单三角函数的组合。
辅助角公式可以用于对三角函 数图像进行平移、伸缩或翻转 等变换操作。
通过使用辅助角公式，可以将 图像变换问题转化为数学表达 式，从而更方便地进行图像处 理和操作。
辅助角公式还可以用于研究三 角函数图像的性质和特点，例 如周期性、对称性或极值点等 。
04
辅助角公式的注意 事项
公式的适用范围
适用角度范围
公式的误差分析
近似误差
辅助角公式在应用过程中会产生近似误差，主要来源于将复杂的 三角函数转化为简单的三角函数。
辅助角公式的推导讲解学习
辅助角公式的推导讲解学习辅助角公式的推导辅助角公式sin cos )a b θθθ?+=+的推导在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式sin cos a b θθ+)θ?+或sin cos a b θθ+cos()θ?-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式. 一.教学中常见的的推导方法教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例例1α+cos α=2sin （α+6π）=2cos （α-3π）.其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论: 可见α+cos α可以化为一个角的三角函数形式.一般地,asin θ+bcos θ是否可以化为一个角的三角函数形式呢2.辅助角公式的推导例2化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式.解:asin θ+bcos θsin θcos θ),①=cos ?=sin ?,则asin θ+bcos θθcos ?+cos θsin ?)θ+?),(其中tan ?=ba)②=sin ?=cos ?,则asin θ+bcos θθsin ?+cos θcos ?θ-?),(其中tan ?=a b) 其中?的大小可以由sin ?、cos ?的符号确定?的象限,再由tan ?的值求出.或由tan ?=ba和(a,b)所在的象限来确定. 推导之后,是配套的例题和大量的练习.但是这种推导方法有两个问题:一是为什么要令=cos ?=sin ?让学生费解.二是这种“规定”式的推导,学生难记易忘、易错! 二.让辅助角公式sin cos a b θθ+)θ?+来得更自然能否让让辅助角公式来得更自然些这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.首先要说明，若a=0或b=0时，sin cos a b θθ+已经是一个角的一个三角函数的形式，无需化简.故有ab ≠0. 1.在平面直角坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角?,它的终边经过点P.设由三角函数的定义知 sin ?=b rcos ?=a r=.所以asin θ+bcos θsin θcos θ)θ?+.(其中tan ?=ba)2.若在平面直角坐标系中,以b 为横坐标,以a 为纵坐标可以描点P(b,a),如图2所示,则总有一个角?的终边经过点P(b,a),设OP=r,则由三角函数的定义知sin ?=ar,cos ?=b rasin θ+bcos θsin cos cos ?θ?θ+s()θ?-.(其中tan ?=a b)例3cos θθ+为一个角的一个三角函数的形式.解:在坐标系中描点设角?的终边过点P,则=12,cos ?=2.cos θθ+=2cos ?sin θ+2sin ?cos θ=2sin(θ?+).tan ?=3.26k ππ=+,cos θθ+=2sin(6πθ+).经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式asinθ+bcos θsin θcos θ)=)θ?+,(其中tan ?=ba).或者asinθ+bcos θsin θcos θ)=)θ?-,(其中tan ?=ab)我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解asinθ+bcosθsinθcosθ)的道理,以及为什么只有两种形式的结果.例4化sinαα-为一个角的一个三角函数的形式. 解法一:点在第四象限.OP=2.设角?过P点.则sin2=-,1cos2=.满足条件的最小正角为53π,52,.3k k Zππ=+∈1sin2(sin cos)2(sin cos cos sin) 22552sin()2sin(2)2sin().33kααααα?α?α?αππαπ∴-=-=+=+=++=+解法二:点在第二象限,OP=2,设角?过P点.则1sin2=,cos2=-.满足条件的最小正角为56π,52,.6k k Zππ=+∈三.关于辅助角的范围问题由sin cos)a bθθθ?+=+中,点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).设满足条件的最小正角为1,则12kπ=+.由诱导公式(一)知1 sin cos))a bθθθ?θ?+=+=+．其中1(0,2)π∈，1tanba=，1的具体位置由1sin?与1cos?决定，1的大小由1tanba=决定．类似地，sin cos )a b θθθ?+=-，?的终边过点Ｐ（ｂ，ａ），设满足条件的最小正角为2?，则22.k ??π=+由诱导公式有2sin cos cos())a b θθθ?θ?+=-=-，其中2(0,2)?π∈，2tan ab=，2?的位置由2sin ?和2cos ?确定，2?的大小由2tan ab=确定．注意：①一般地，12??≠；②以后没有特别说明时，角1?（或2?）是所求的辅助角．四．关于辅助角公式的灵活应用引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式．在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为1sin cos )a b θθθ?+=+的形式或2sin cos )a b θθθ?+=-的形式．可以利用两角和与差的正、余弦公式灵活处理．例５化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式．cos αα-；（２）sin()cos()6363ππαα-+-．解：（１）1cos sin cos )222(sin coscos sin )2sin()666ααααπππααα-=-=-=-（２）sin()cos()63631[sin()cos()]32323[sin()cos cos()sin ]333332sin()33ππααππααππππααπα-+-=-+-=-+-=-在本例第（１）小题中，a =1b =-a 、b 中至少有一个是负值时．我们可以取Ｐ（a ，b ），或者Ｐ（b ，a）．这样确定的角1?（或2?）是锐角，就更加方便．例6已知向量(cos(),1)3a x π=+r ,1(cos(),)32b x π=+-r ,(sin(),0)3c x π=+r ,求函数()h x =2a b b c ?-?+r r r r 的最大值及相应的x 的值.解:21()cos()sin()cos()23233h x x x x πππ=+--+++=21cos(2)1233sin(2)2232x x ππ++-++=1212cos(2)sin(2)22323x x ππ+-++=22cos(2)sin(2)]222323x x ππ+-++=11cos(2)2212x π++ 这时111122,.1224x k x k k Z ππππ+==-∈.此处,若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁,而且易错,请读者一试. 五.与辅助角有关的应用题与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见,而且涉及辅角的范围,在相应范围内求三角函数的最值往往是个难点.例7如图3,记扇OAB 的中心角为45?,半径为1,矩形PQMN 内接于这个扇形,求矩形的对角线l 的最小值.解:连结OM,设∠AOM=θ.则MQ=sin θ,OQ=cos θ,OP=PN=sin θ. PQ=OQ-OP=cos sin θθ-.=22sin (cos sin )θθθ+-=31(sin 2cos 2)22θθ-+=13sin(2)22θ?-+,其中11tan 2?=,1(0,)2π?∈,11arctan 2=. 04πθ<πθ?∴<+<+2min322l∴=-,min 12l -=. 所以当11arctan 422πθ=-时,矩形的对角线l的最小值为12-. NBMAP O图。
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cos = .
所以asin +bcos == cos sin + sin cos
= .(其中tan = )
2.若在平面直角坐标系中,以b为横坐标,以a为纵坐标可以描点P(b,a),如图2所示,则总有一个角 的终边经过点P(b,a),设OP=r,则r= .由三角函数的定义知
sin = = ,
辅助角公式的推导
辅助角公式 的推导
在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化 为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式 = 或 = ·
,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式.
其中 的大小可以由sin 、cos 的符号确定 的象限,再由tan 的值求出.或由tan = 和(a,b)所在的象限来确定.
推导之后,是配套的例题和大量的练习.
但是这种推导方法有两个问题:一是为什么要令 =cos , =sin 让学生费解.二是这种“规定”式的推导,学生难记易忘、易错!
二.让辅助角公式 = 来得更自然
=
=
= ,其中 , , .
,
, .
所以当 时,矩形的对角线 的最小值为 .
2.辅助角公式的推导
例2化 为一个角的一个三角函数的形式.
解:asin +bcos = ( sin + cos ),
1令 =cos , =sin ,
则asin +bcos = (sin cos +cos sin )
= sin( + ),(其中tan = )
2令 =sin , =cos ,则asin +bcos = (sin sin +cos cos )= cos( - ),(其中tan = )
一.教学中常见的的推导方法
教学中常见的推导过程与方法如下
1.引例
例1求证： sin +cos =2sin（ + ）=2cos（ - ）.
其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论:
可见, sin +cos 可以化为一个角的三角函数形式.
一般地,asin +bcos 是否可以化为一个角的三角函数形式呢
经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式
asin +bcos = ( sin + cos )= ,(其中tan = ).或者
asin +bcos = ( sin + cos )= ,(其中tan = )
我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解asin +bcos 凑成 ( sin + cos )的道理,以及为什么只有两种形式的结果.
cos = = .
asin +bcos =
= .(其中tan = )
例3化 为一个角的一个三角函数的形式.
解:在坐标系中描点P( ,1),设角 的终边过点P,则OP=r= =2.sin = ,cos = .
∴ =2cos sin +2sin cos =2sin( ).tan = .
,∴ =2sin( ).
设满足条件的最小正角为 ,则 .由诱导公式(一)知
．其中 ， ， 的具体位置由 与 决定， 的大小由 决定．
类似地， ， 的终边过点Ｐ（ｂ，ａ），设满足条件的最小正角为 ，则 由诱导公式有
，其中 ， ， 的位置由 和 确定， 的大小由 确定．
注意：①一般地， ；②以后没有特别说明时，角 （或 ）是所求的辅助角．
（２）
在本例第（１）小题中， ， ，我们并没有取点Ｐ（ ，－１），而取的是点Ｐ（ ，１）．也就是说，当 、 中至少有一个是负值时．我们可以取Ｐ（ ， ），或者Ｐ（ ， ）．这样确定的角 （或 ）是锐角，就更加方便．
例6已知向量 , ,
,求函数 = 的最大值及相应的 的值.
解:
=
=
=
=
这时 .
此处,若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁,而且易错,请读者一试.
能否让让辅助角公式来得更自然些这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.
首先要说明，若a=0或b=0时， 已经是一个角的一个三角函数的形式，无需化简.故有ab≠ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
1.在平面直角坐标系中,以a为横坐标,b为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角 ,它的终边经过点P.设OP=r,r= ,由三角函数的定义知
例4化 为一个角的一个三角函数的形式.
解法一:点(1,- )在第四象限.OP=2.设角 过P点.则 , .满足条件的最小正角为 ,
解法二:点P(- ,1)在第二象限,OP=2,设角 过P点.则 , .满足条件的最小正角为 ,
三.关于辅助角的范围问题
由 中,点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).
四．关于辅助角公式的灵活应用
引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式．在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为
的形式或 的形式．可以利用两角和与差的正、余弦公式灵活处理．
例５ 化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式．
（１） ；
（２） ．
解： （１）
五.与辅助角有关的应用题
与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见,而且涉及辅角的范围,在相应范围内求三角函数的最值往往是个难点.
例7如图3,记扇OAB的中心角为 ,半径为1,矩形PQMN内接于这个扇形,求矩形的对角线 的最小值.
解:连结OM,设∠AOM= .则MQ= ,OQ= ,OP=PN= .
PQ=OQ-OP= .