辅助角公式的推导

1 辅助角公式22sincossin()abab的推导 在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sincosab为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式

sincosab=22sin()ab或sincosab=22ab·

cos(),让

一.教学中常见的的推导方法 教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例

例1 求证：3sin+cos=2sin（+6）=2cos（-3）. 其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论:

可见, 3sin+cos可以化为一个角的三角函数形式. 一般地,asin+bcos 是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2.辅助角公式的推导 例2 化sincosab为一个角的一个三角函数的形式.

解: asin+bcos=22ab(22aabsin+22babcos),

① 令22aab=cos,22bab=sin, 则asin+bcos=22ab(sincos+cossin) =22absin(+),(其中tan=ba) ② 令22aab=sin,22bab=cos,则asin+bcos=22ab(sinsin+coscos)=22abcos(-),(其中tan=ab) 2

其中的大小可以由sin、cos的符号确定的象限,再由tan的值求出.或由tan=ba和(a,b)所在的象限来确定. 推导之后,是配套的例题和大量的练习. 但是这种推导方法有两个问题:一是为什么要令

22aab=cos,22b

ab=sin?让学生费解.二是这种 “规定”式的推

导,学生难记易忘、易错! 二.让辅助角公式sincosab=22sin()ab来得更自然 能否让让辅助角公式来得更自然些?这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.

首先要说明，若a=0或b=0时，sincosab已经是一个角的一个三角函数的形式，无需化简.故有ab≠0. 1.在平面直角坐标系中,以a为横坐标,b为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,

则总有一个角,它的终边经过点P.设

OP=r,r=22ab,由三角函数的定义知 sin=br=22bab,

cos=22aarab. 所以asin+bcos==22abcos sin+22absincos =22sin()ab.(其中tan=ba) 2.若在平面直角坐标系中,以b为横坐标,以a为纵坐标可以描点P(b,a),

如图2所示,则总有一个角的终边经过

点P(b,a),设OP=r,则r=22ab.由三角函数的定义知

r 图1 O

的终边

P(a,b) y

x •

图2 r O x

y 的终边

P(b,a) • 3

sin=ar=22aab, cos=br=22bab. asin+bcos=2222sincoscosabsinab =22s()abco. (其中tan=ab) 例3 化3sincos为一个角的一个三角函数的形式. 解:在坐标系中描点P(3,1),设角的终边过点P,则OP

=r=2231=2.sin=12,cos=32. ∴3sincos=2cossin+2sincos=2sin().tan=33.

26k,∴3sincos=2sin(6).

经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式 asin+bcos=22ab(22aabsin+22babcos)=

22sin()ab

,(其中tan=ba).或者

asin+bcos=22ab(22aabsin+22babcos)=22cos()ab

,(其中tan=ab)

我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解asin+bcos凑成22ab(22aabsin+22babcos)的道理,以及为什么只有两种形式的结果. 例4 化sin3cos为一个角的一个三角函数的形式. 4

解法一:点(1,-3)在第四象限.OP=2.设角过P点.则3sin2,1cos2.满足条件的最小正角为

53,52,.3kkZ

13sin3cos2(sincos)2(sincoscossin)22552sin()2sin(2)2sin().33k

解法二:点P(-3,1)在第二象限,OP=2,设角过P点.则1sin2,3cos2.满足条件的最小正角为

56,52,.6kkZ

13sin3cos2(sincos)2(sinsincoscos)22552cos()2cos(2)2cos().66k



三.关于辅助角的范围问题 由22sincossin()abab中,点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限). 设满足条件的最小正角为1,则12k.由诱导公式(一)知

22221sincossin()sin()ababab

．其

中1(0,2)，1tanba，1的具体位置由1sin与1cos决定，1的大

小由1tanba决定． 5

类似地，22sincoscos()abab，的终边过点Ｐ（ｂ，ａ），设满足条件的最小正角为2，则22.k由诱导公式有 22222sincoscos()cos()ababab

，其

中2(0,2)，2tanab，2的位置由2sin和2cos确定，2的大小

由2tanab确定． 注意：①一般地，12；②以后没有特别说明时，角1（或2）是所求的辅助角． 四．关于辅助角公式的灵活应用 引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式．在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为

221sincossin()abab

的形式或

222sincoscos()abab

的形式．可以利用两角和与差的正、

余弦公式灵活处理． 例５ 化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式．

（１）3sincos；

（２）26sin()cos()6363．

解： （１）313sincos2(sincos)222(sincoscossin)2sin()666 6

（２）26sin()cos()6363213[sin()cos()]323232[sin()coscos()sin]3333322sin()33 在本例第（１）小题中，3a，1b，我们并没有取点Ｐ（3，－１），而取的是点Ｐ（3，１）．也就是说，当a、b中至少有一个是负值时．我们可以取Ｐ（a，b），或者Ｐ（b，a）．这样确定的角1（或2）是锐角，就更加方便．

例6 已知向量(cos(),1)3ax,1(cos(),)32bx,

(sin(),0)3cx,求函数()hx=2abbc的最大值及相应的x

的值. 解:21()cos()sin()cos()23233hxxxx

=21cos(2)1233sin(2)2232xx =1212cos(2)sin(2)22323xx =22222[cos(2)sin(2)]222323xx =211cos(2)2212x max2()2.2hx 7

这时111122,.1224xkxkkZ. 此处,若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁,而且易错,请读者一试. 五.与辅助角有关的应用题 与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见,而且涉及辅角的范围,在相应范围内求三角函数的最值往往是个难点. 例7 如图3,记扇OAB的中心角为

45,半径为1,矩形PQMN内接于这个扇

形,求矩形的对角线l的最小值. 解:连结OM,设∠AOM=.则MQ=sin,OQ=cos,OP=PN=sin. PQ=OQ-OP=cossin. 222lMQPQ

=22sin(cossin) =31(sin2cos2)22

=135sin(2)22,其中11tan2,1(0,)2,11arctan2. 04,111arctan2arctan.222 2min

35

22l,min512l.

所以当11arctan422时, 矩形的对角线l的最小值为512.

 N B M

A Q P

O

图3