辅助角公式的推导
巧用辅助角公式解三角函数题
辅助角公式是解答三角函数问题的一种常用工具.运用该公式，可以将不同的三角函数名称和角统一.因此掌握辅助角公式的推导过程和应用技巧，对于解答复杂的三角函数问题是非常有必要的.一、辅助角公式的推导过程对于形如y =a sin x +b cos x (a ≠0、b ≠0)的三角函数，可以变形为：y =a 2+b 2()a a 2+b2∙sin x +b a 2+b2∙cos x .设aa 2+b 2=cos φ，ba 2+b 2=sin φ，则tan φ=b a ，由两角和与差的正弦公式可得：y =a 2+b 2()cos φ∙sin x +sin φ∙cos x ，即y =a 2+b 2sin ()x +φ.若a a 2+b 2=sin θ，b a 2+b 2=cos θ,tan θ=ab ，由两角和与差的余弦公式可得：y =a 2+b 2()sin θ∙sin x +cos θ∙cos x ，即y =a 2+b 2cos ()x -θ.从以上的推导过程可以发现，辅助角公式有两种表达形式，即a sin x +b cos x =a 2+b 2sin ()x +φ=a 2+b 2⋅cos ()x -θ，其中tan φ=b a 、tan θ=ab.二、辅助角公式的应用技巧运用辅助角公式，能将含有sin x 和cos x 的三角函数式转化为只含有正弦或余弦函数的式子.这有助于化简三角函数式，进一步探索函数的性质、最值.例题：已知函数f ()x =2cos ()π3+x ∙cos ()π3-x -3sin2x .（1）求f ()x 的最小正周期；（2）若x ∈()0,π2，求f ()x 的最小值和最大值；（3）判断函数f ()x 在区间éëêùûú-π6,7π12上的单调性.解：(1)f ()x =2()cos π3∙cos x -sin π3∙sin x æèçcos π3∙cos xöø÷+sin π3∙sin x-3sin2x=2()12cos xx ()12cos x x -3sin2x=2éëêêùûúú()12cos x 2-)x 2-3sin2x=cos2x -3sin2x -12=2sin ()2x -π6-12.则T =2π||ω=2π2=π，故该函数的最小正周期为π.(2)从上述式子可知，f ()x =2sin ()2x -π6-12，因为x ∈()0,π2，所以-π6≤2x -π6≤5π6.当2x -π6=π2，即x =π3时，sin ()2x -π6取得最大值1，可得f ()x max =32；当2x -π6=-π6，即x =0时，sin ()2x -π6取得最小值-12，可得f ()x min =-1.故该函数的最大值为32，最小值为-1.(3)由题意可知，-π6≤x ≤7π12，所以-π2≤2x -π6≤π.令t =2x -π6，设y =2sin t ，t ∈éëêùûú-π2,π，则y 在éëêùûú-π2,π2上单调递增，在éëêùûúπ2,π上单调递减.所以f ()x 在区间éëêùûú-π6,π3上单调递增，在区间éëêùûúπ3,7π12上单调递减.该三角函数式较为复杂，需首先将特殊角的三角函数值代入，并运用二倍角公式将函数式化为cos2x -3sin2x -12.该式中含有正弦函数式和余弦函数式，需运用辅助角公式将函数名称统一，将其化为2sin ()2x -π6-12，此时a 2+b 2=2，tan φ=b a =-π6，那么函数式就化为只含有正弦函数的式子.根据正弦函数的周期公式T =2π||ω、单调性、图象，即可快速求得函数的最小正周期、最大值、最小值和单调区间.综上所述，利用辅助角公式解题，需明确辅助角公式的推导过程，知晓其中的a 、b 、tan φ=ba的对应值，才能顺利化简三角函数式，运用三角函数的性质、图象解题.（作者单位：江苏省大丰高级中学）48Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
辅助角公式的推导
利用三角函数的倍角公式推导
三角函数的倍角公式也是推导辅助角 公式的重要工具，通过将复杂的三角 函数表达式转化为简单的三角函数倍 角形式，可以进一步简化计算。
利用三角函数的倍角公式，可以将形如 $sin(2x)$或$cos(2x)$的表达式转化为 $2sinx*cosx$或$cos^2x-sin^2x$的形式 ，从而将问题简化为已知的三角函数形式 。
在现代数学和工程领域，辅助角公式已经成为解决各种复杂问
题的基本工具之一，其应用范围不断扩大。
02
辅助角公式的推导过程
利用三角函数的和差化积公式推导
三角函数的和差化积公式是推导辅助 角公式的重要基础，通过将复杂的三 角函数表达式转化为简单的三角函数 和差形式，可以进一步简化计算。
VS
利用三角函数的和差化积公式，可以 将形如$sin(x+y)$或$cos(x+y)$的表 达式转化为$sinx*cosy+cosx*siny$ 的形式，从而将问题简化为已知的三 角函数形式。
辅助角公式推导
• 辅助角公式简介 • 辅助角公式的推导过程 • 辅助角公式的应用举例 • 辅助角公式的扩展与推广 • 辅助角公式的注意事项与限制条
件
目录
01
辅助角公式简介
辅助角公式的定义
辅助角公式是三角函数中用于 将一个复杂三角函数式转化为 简单三角函数式的一组公式。
它通过添加或减去一个或多个 角，将给定的角转换到易于处 理的位置，从而简化计算过程。
辅助角公式通常以正弦、余弦、 正切等基本三角函数形式表示。
辅助角公式的应用场景
解决三角函数问题
辅助角公式在解决涉及三角函数 的数学问题中非常有用，例如求 解三角函数的值、化简复杂的三 角函数表达式等。
辅助角公式证明
辅助角公式证明辅助角公式是用于计算两个角的和或差的一种公式。
下面是对辅助角公式的证明：设角A和角B分别是平面xy上的两个角。
我们可以通过以下步骤证明辅助角公式：1. 我们将角A和角B转化为单位向量a和b。
设角A的终边上一点为P(x1, y1)，则向量a的坐标表示为a = (x1, y1)。
同样地，设角B的终边上一点为Q(x2, y2)，则向量b 的坐标表示为b = (x2, y2)。
2. 接下来，我们将向量a和b进行标准化，即使它们的模长等于1。
标准化后的向量分别表示为a'和b'，其计算公式为：a' = a / |a|，b' = b / |b|，其中|a|和|b|分别为向量a和b的模长。
3. 现在，我们得到了向量a'和b'，我们可以通过向量的点积来计算角A和角B的夹角的余弦值。
角A和角B的夹角的余弦值可以表示为：cos(ω) = a' · b'，其中"·"表示向量的点积。
4. 根据余弦值的定义，我们可以得到：cos(ω) = (x1, y1) · (x2, y2) / (|a| * |b|)，即：cos(ω) = x1 * x2 + y1 * y2 / (sqrt(x1^2 + y1^2) * sqrt(x2^2 + y2^2))。
5. 接下来，我们将角A和角B的和（差）转化为向量的和（差）。
设角A + 角B的终边上一点为R(x3, y3)，则向量a + b的坐标表示为a + b = (x3, y3)。
6. 同样地，设角A - 角B的终边上一点为S(x4, y4)，则向量a - b的坐标表示为a -b = (x4, y4)。
7. 我们可以计算向量a + b和向量a - b的模长，分别表示为|r|和|s|。
根据向量模长的定义，我们有：|r| = sqrt(x3^2 + y3^2)，|s| = sqrt(x4^2 + y4^2)。
3关于辅助角公式的一个定理及其应用
3关于辅助角公式的一个定理及其应用定理：辅助角公式在三角形ABC中，设∠A=α，∠B=β，∠C=γ，辅助角公式指出：sin α = sin(β+γ)sin β = sin(α+γ)sin γ = sin(α+β)证明：由三角形的内角和可知：α+β+γ=180°根据三角函数的定义：sin α = BC / AC，sin β = AC / BC，sin γ = BC / AC而辅助角公式又可以写作：sin α = sin(β+γ)，sin β =sin(α+γ)，sin γ = sin(α+β)因此，我们只需要证明两个三角形的对边与邻边比值相等即可。
以辅助角公式的第一个式子sin α = sin(β+γ)为例：根据三角函数的定义，我们有：BC / AC = sin α = sin(β+γ)进一步展开，sin(β+γ) = sin β cos γ + cos β sin γ代入三角形 ABC 中的对应边长关系，得到：BC/AC = AC/BC * cos γ + BC/AC * sin γ得出两边通分，化简得：(BC^2 - AC^2) / AC * BC = 2 * BC * AC * sin γ进一步变换为：AC^2 - BC^2 = 2 * AC * BC * sin γ再将γ角所对的边记为a，则有：AC^2 - BC^2 = 2 * AC * BC * sin a我们知道在三角形ABC中，AC和BC是确定的，而辅助角公式表明，只要两个角度α、β或γ中的一个改变，那么第三个角度的值也会发生相应改变。
而当γ角度改变时，我们可以由辅助角公式推导得到较为简洁的表达式：AC^2 - BC^2 = 2 * AC * BC * sin γ应用：辅助角公式在解决三角形问题时有广泛的应用。
以下是三个辅助角公式的一些具体应用。
应用1：角度相同的三角形当两个三角形的一个角度相等时，可以利用辅助角公式求解对应的边长。
辅助角公式的推导
辅助角公式sin cos )a b θθθϕ+=+的推导在三角函数中,有一种常见而重要的题型,即化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式,进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式sin cos a b θθ+)θϕ+或sin cos a b θθ+cos()θϕ-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式. 一.教学中常见的的推导方法教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1α+cos α=2sin α+6π=2cos α-3π. 其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论: 可见α+cos α可以化为一个角的三角函数形式.一般地,asin θ+bcos θ 是否可以化为一个角的三角函数形式呢 2.辅助角公式的推导 例2 化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式.解: asin θ+bcos θsin θcos θ,①=cos ϕ=sin ϕ,则asin θ+bcos θθcos ϕ+cos θsin ϕθ+ϕ,其中tan ϕ=b a②=sin ϕ=cos ϕ,则asin θ+bcos θθsin ϕ+cos θcos ϕθ-ϕ,其中tan ϕ=a b其中ϕ的大小可以由sin ϕ、cos ϕ的符号确定ϕ的象限,再由tan ϕ的值求出.或由tan ϕ=ba和a,b 所在的象限来确定. 推导之后,是配套的例题和大量的练习.但是这种推导方法有两个问题:一是为什么要令=cos ϕ=sin ϕ让学生费解.二是这种 “规定”式的推导,学生难记易忘、易错 二.让辅助角公式sin cos a b θθ+)θϕ+来得更自然能否让让辅助角公式来得更自然些这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.首先要说明,若a=0或b=0时,sin cos a b θθ+已经是一个角的一个三角函数的形式,无需化简.故有ab ≠0.1.在平面直角坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描一点Pa,b 如图1所示,则总有一个角ϕ,它的终边经过点P.设由三角函数的定义知 sin ϕ=b rcos ϕ=a r=.所以asin θ+bcos θϕ sin θϕcos θ)θϕ+.其中tan ϕ=ba2.若在平面直角坐标系中,以b为横坐标,以a为纵坐标可以描点Pb,a,如图2所示,则总有一个角ϕ的终边经过点Pb,a,设OP=r,则由三角函数的定义知sinϕ=ar,cosϕ=b rasinθ+bcosθsin cos cos ϕθϕθ+s()θϕ-. 其中tanϕ=ab例3cosθθ+为一个角的一个三角函数的形式.解:在坐标系中描点P,1,设角ϕ的终边过点P,则OPϕ=12,cosϕ=2.∴cosθθ+=2cosϕsinθ+2sinϕcosθ=2sinθϕ+.tanϕ=3.26kπϕπ=+,cosθθ+=2sin6πθ+.经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式asinθ+bcosθ=sinθ+cosθ=)θϕ+,其中tanϕ=ba.或者asinθ+bcosθ=sinθ+cosθ=)θϕ-,其中tanϕ=ab我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解asinθ+bcosθ凑成sinθ+cosθ的道理,以及为什么只有两种形式的结果.例4化sinαα-为一个角的一个三角函数的形式.解法一:点1,-在第四象限.OP=2.设角ϕ过P点.则sin2ϕ=-,1cos2ϕ=.满足条件的最小正角为53π,52,.3k k Zϕππ=+∈1sin2(sin cos)2(sin cos cos sin)22552sin()2sin(2)2sin().33kαααααϕαϕαϕαππαπ∴-=-=+=+=++=+解法二:点P-,1在第二象限,OP=2,设角ϕ过P点.则1sin2ϕ=,cos2ϕ=-.满足条件的最小正角为56π,52,.6k k Zϕππ=+∈三.关于辅助角的范围问题由sin cos)a bθθθϕ+=+中,点Pa,b的位置可知,终边过点Pa,b的角可能有四种情况第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.设满足条件的最小正角为1ϕ,则12kϕϕπ=+.由诱导公式一知1 sin cos))a bθθθϕθϕ+=+=+．其中1(0,2)ϕπ∈,1tanbaϕ=,1ϕ的具体位置由1sinϕ与1cosϕ决定,1ϕ的大小由1tanbaϕ=决定．类似地,sin cos )a b θθθϕ+=-,ϕ的终边过点Ｐｂ,ａ,设满足条件的最小正角为2ϕ,则22.k ϕϕπ=+由诱导公式有2sin cos cos())a b θθθϕθϕ+=-=-,其中2(0,2)ϕπ∈,2tan abϕ=,2ϕ的位置由2sin ϕ和2cos ϕ确定,2ϕ的大小由2tan abϕ=确定．注意：①一般地,12ϕϕ≠；②以后没有特别说明时,角1ϕ或2ϕ是所求的辅助角．四．关于辅助角公式的灵活应用引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式．在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析,还有一个重要问题是,并不是每次都要化为1sin cos )a b θθθϕ+=+的形式或2sin cos )a b θθθϕ+=-的形式．可以利用两角和与差的正、余弦公式灵活处理．例５ 化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式．cos αα-；２sin()cos()6363ππαα-+-． 解：１1cos sin cos )222(sin coscos sin )2sin()666ααααπππααα-=-=-=-２sin()cos()63631[sin()cos()]32323[sin()cos cos()sin ]333332sin()33ππααππααππππααπα-+-=-+-=-+-=-在本例第１小题中,a =1b =-,－１,而取的１．也就是说,当a 、b 中至少有一个是负值时．我们可以取Ｐa ,b ,或者Ｐb ,a ．这样确定的角1ϕ或2ϕ是锐角,就更加方便．例6 已知向量(cos(),1)3a x π=+,1(cos(),)32b x π=+-, (sin(),0)3c x π=+,求函数()h x =2a b b c ⋅-⋅+的最大值及相应的x的值.解:21()cos()sin()cos()23233h x x x x πππ=+--+++=21cos(2)1233sin(2)2232x x ππ++-++ =1212cos(2)sin(2)22323x x ππ+-++=22cos(2)sin(2)]222323x x ππ+-++=11cos(2)2212x π++ 这时111122,.1224x k x k k Z ππππ+==-∈. 此处,若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁,而且易错,请读者一试.五.与辅助角有关的应用题与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见,而且涉及辅角的范围,在相应范围内求三角函数的最值往往是个难点.例7 如图3,记扇OAB 的中心角为45︒,半径为1,矩形PQMN 内接于这个扇形,求矩形的对角线l 的最小值.解:连结OM,设∠AOM=θ.则MQ=sin θ,OQ=cos θ,OP=PN=sin θ. PQ=OQ-OP=cos sin θθ-.=22sin(cos sin )θθθ+-=31(sin 2cos 2)22θθ-+=13sin(2)22θϕ-+,其中11tan 2ϕ=,1(0,)2πϕ∈,11arctan 2ϕ=. 04πθ<<,111arctan 2arctan .222πθϕ∴<+<+2min322l∴=-,min 12l -=. 所以当11arctan 422πθ=-时, 矩形的对角线l的最小值为12-. NBMAQPO图3。
辅助角公式的推导
辅助角公式的推导辅助角公式:()()sin cos (1)tan =(2),a b b a a b θθθϕϕϕϕ⎧++⎪⎪⎫⎨=⎪⎪⎬⎪⎪⎭⎩余弦系数正弦系数确定与点同象限 形式不唯一(自己百度),但个人认为这种形式,记忆方便,容易口算.证明:)()cos sin sin cos sin cos (cos a b ϕθθθθθϕθθϕϕϕ+⎫=⎪⎭=+=+令为什么令sin cos ϕϕ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩,而不是令cos sin ϕϕ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩理由如下:三角函数的定义如图,设点(),P a b 为角ϕ终边上除顶点外任意一点.令||r OP =,则sin cos tan b r a r b a ϕϕϕ⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪⎪=⎪⎩所以当我们令sin cos ϕϕ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩时,可以认为点(),a b 为角ϕ的一点; 这样角ϕ的一个三角函数值(显然选正切较为简单)和所在象限就很容易确定了,从而确定ϕ的值.ϕ的范围可以限制在3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭,这样ϕ的值唯一.举例说明:()((1)sin tan ()3()=2sin 3x xx x ϕπϕϕϕπ⎧=⎪=+∴=⎨⎪⎩⎛⎫+ ⎪⎝⎭与点同象限第一象限()((2)sin tan 2 (=)3()2=2sin 33x xx x πϕϕϕπϕππ-+⎧=⎪=+∴=⎨⎪-⎩⎛⎫+ ⎪⎝⎭-与点同象限第二象限()((3)sin tan 4 (=)31,4=2sin 33x xx x ϕπϕϕϕπππ-⎧=⎪=+∴=⎨⎪-⎩⎛⎫+ ⎪⎝⎭+与点同象限(第三象限)()((4)sin tan ()331,=2sin 3x xx x ϕππϕϕϕπ⎧⎪=+∴==-⎨⎪⎩⎛-⎫- ⎪⎝⎭与点同象限(第四象限)。
《辅助角公式》 讲义
《辅助角公式》讲义一、引入在三角函数的学习中，我们常常会遇到形如＼（a\sin x ＋b\cos x\）这样的式子。
为了更方便地对其进行分析和处理，我们引入了一个非常重要的公式——辅助角公式。
二、什么是辅助角公式辅助角公式的一般形式为：＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝＼sqrt{a^2 ＋b^2} ＼sin(x ＋＼varphi)＼），其中\（＼varphi\）满足\（＼tan\varphi＝＼frac{b}｛a}＼）。
这个公式的作用在于将两个不同的三角函数\（＼sin x\）和\（＼cos x\）合并成一个单一的三角函数\（＼sin(x ＋＼varphi)＼），从而简化计算和分析。
三、辅助角公式的推导为了推导辅助角公式，我们可以利用三角函数的和角公式：＼（＼sin(＼alpha ＋＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＋＼cos\alpha\sin\beta\）令＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝ R\sin(x ＋＼varphi)＼）则＼（R\sin(x ＋＼varphi) ＝ R(＼sin x\cos\varphi ＋＼cosx\sin\varphi) ＝ R\cos\varphi\sin x ＋ R\sin\varphi\cos x\）所以＼（R\cos\varphi ＝ a\），＼（R\sin\varphi ＝ b\）两边平方相加可得：＼（R^2(＼cos^2\varphi ＋＼sin^2\varphi) ＝a^2 ＋ b^2\）因为\（＼cos^2\varphi ＋＼sin^2\varphi ＝ 1\），所以＼（R ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼）则\（＼tan\varphi ＝＼frac{＼sin\varphi}｛＼cos\varphi} ＝＼frac{b}｛a}＼）这样就得到了辅助角公式：＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝＼sqrt{a^2 ＋b^2} ＼sin(x ＋＼varphi)＼），其中\（＼varphi\）满足\（＼tan\varphi＝＼frac{b}｛a}＼）四、辅助角公式的应用（一）化简三角函数表达式例 1：化简\（＼sqrt{3}＼sin x ＋＼cos x\）首先，＼（R ＝＼sqrt{（＼sqrt{3}）＾2 ＋ 1^2} ＝ 2\）＼（＼tan\varphi ＝＼frac{1}｛＼sqrt{3}｝＝＼frac{＼sqrt{3}｝｛3}＼），所以\（＼varphi ＝＼frac{＼pi}｛6}＼）则\（＼sqrt{3}＼sin x ＋＼cos x ＝ 2\sin(x ＋＼frac{＼pi}｛6}）＼）例 2：化简＼（5\sin x 12\cos x\）＼（R ＝＼sqrt{5^2 ＋（－12)＾2} ＝ 13\）arctan\frac{12}｛5}＼）则＼（5\sin x 12\cos x ＝ 13\sin(x ＼arctan\frac{12}｛5}）＼）（二）求三角函数的最值例 3：求函数＼（y ＝ 2\sin x ＋ 2\sqrt{3}＼cos x\）的最大值和最小值先将其化为辅助角公式的形式：＼（R ＝＼sqrt{2^2 ＋（2\sqrt{3}）＾2} ＝ 4\）＼（＼tan\varphi ＝＼sqrt{3}＼），所以\（＼varphi ＝＼frac{＼pi}｛3}＼）则＼（y ＝ 4\sin(x ＋＼frac{＼pi}｛3}）＼）因为\（＼sin(x ＋＼frac{＼pi}｛3}）＼）的最大值为＼（1\），最小值为\（－1\）所以＼（y\）的最大值为＼（4\），最小值为\（－4\）（三）求解三角函数方程例 4：求解方程＼（3\sin x ＋ 4\cos x ＝ 2\）将左边化为辅助角公式：＼（R ＝＼sqrt{3^2 ＋ 4^2} ＝ 5\）arctan\frac{4}｛3}＼）则＼（3\sin x ＋ 4\cos x ＝ 5\sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＼）原方程变为＼（5\sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＝ 2\）＼（＼sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＝＼frac{2}｛5}＼）则＼（x ＋＼arctan\frac{4}｛3} ＝ k\pi ＋（－1)＾k\arcsin\frac{2}｛5}＼），＼（k\in Z\）＼（x ＝ k\pi ＋（－1)＾k\arcsin\frac{2}｛5} ＼arctan\frac{4}｛3}＼），＼（k\in Z\）五、使用辅助角公式的注意事项（一）正确确定辅助角\（＼varphi\）要根据\（＼tan\varphi ＝＼frac{b}｛a}＼）来确定\（＼varphi\）的值，同时要注意\（＼varphi\）所在的象限。
三角函数辅助角公式 推导过程是什么
三角函数辅助角公式推导过程是什么辅助角公式是一种高等三角函数公式，下面小编整理了三角函数辅助角公式公式及推导过程，供大家参考！1 三角函数辅助角公式是什幺辅助角公式是一种高等三角函数公式，使用代数式表达为asinx+bcosx=√(a²+b²)sin[x+\arctan(b/a)]（a>0）。
虽然该公式已经被写入中学课本，但其几何意义却鲜为人知。
设要证明的公式为asinA+bcosA=√(a +b )sin(A+M) (tanM=b/a)以下是证明过程：设asinA+bcosA=xsin(A+M)∴asinA+bcosA=x((a/x)sinA+(b/x)cosA)由题,（a/x) +(b/x) =1,sinM=a/x,cosM=b/x∴x=√(a +b )∴asinA+bcosA=√(a +b )sin(A+M) ,tanM=sinM/cosM=b/a1 三角函数辅助角公式推导过程三角函数辅助角公式推导：asinx+bcosx=√(a²+b²)[asinx/√(a²+b²)+bcosx/√(a²+b²)]令a/√(a²+b²)=cosφ，b/√(a²+b²)=sinφasinx+bcosx=√(a²+b²)(sinxcosφ+cosxsinφ)=√(a²+b²)sin(x+φ)其中，tanφ=sinφ/cosφ=b/a，φ的终边所在象限与点(a,b)所在象限相同. 简单例题：（1）化简5sina-12cosa5sina-12cosa=13(5/13sina-12/13cosa)。
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辅助角公式sin cos )a b θθθϕ+=+的推导在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式sin cos a b θθ+)θϕ+或sin cos a b θθ+cos()θϕ-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式. 一.教学中常见的的推导方法教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1α+cos α=2sin （α+6π）=2cos （α-3π）. 其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论: 可见α+cos α可以化为一个角的三角函数形式.一般地,asin θ+bcos θ 是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2.辅助角公式的推导 例2 化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式.解: asin θ+bcos θsin θcos θ),①=cos ϕ=sin ϕ,则asin θ+bcos θθcos ϕ+cos θsin ϕ)θ+ϕ),(其中tan ϕ=b a)②=sin ϕ=cos ϕ,则asin θ+bcos θθsin ϕ+cos θcos ϕθ-ϕ),(其中tan ϕ=a b) 其中ϕ的大小可以由sin ϕ、cos ϕ的符号确定ϕ的象限,再由tan ϕ的值求出.或由tan ϕ=ba和(a,b)所在的象限来确定. 推导之后,是配套的例题和大量的练习.但是这种推导方法有两个问题:一是为什么要令=cos ϕ=sin ϕ?让学生费解.二是这种 “规定”式的推导,学生难记易忘、易错! 二.让辅助角公式sin cos a b θθ+)θϕ+来得更自然能否让让辅助角公式来得更自然些?这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.首先要说明，若a=0或b=0时，sin cos a b θθ+已经是一个角的一个三角函数的形式，无需化简.故有ab ≠0. 1.在平面直角坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角ϕ,它的终边经过点P.设由三角函数的定义知 sin ϕ=b rcos ϕ=a r=.所以asin θ+bcos θϕ sin θϕcos θ)θϕ+.(其中tan ϕ=ba)2.若在平面直角坐标系中,以b为横坐标,以a为纵坐标可以描点P(b,a),如图2所示,则总有一个角ϕ的终边经过点P(b,a),设OP=r,则由三角函数的定义知sinϕ=ar,cosϕ=b rasinθ+bcosθsin cos cos ϕθϕθ+s()θϕ-. (其中tanϕ=ab)例3cosθθ+为一个角的一个三角函数的形式.解:在坐标系中描点P(,1),设角ϕ的终边过点P,则OPϕ=12,cosϕ=2.∴cosθθ+=2cosϕsinθ+2sinϕcosθ=2sin(θϕ+).tanϕ=3.26kπϕπ=+,cosθθ+=2sin(6πθ+).经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式asinθ+bcosθ=(sinθ+cosθ)=)θϕ+,(其中tanϕ=ba).或者asinθ+bcosθ=(sinθ+cosθ)=)θϕ-,(其中tanϕ=ab)我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解asinθ+bcosθsinθcosθ)的道理,以及为什么只有两种形式的结果.例4化sinαα-为一个角的一个三角函数的形式.解法一:点(1,-)在第四象限.OP=2.设角ϕ过P点.则sin2ϕ=-,1cos2ϕ=.满足条件的最小正角为53π,52,.3k k Zϕππ=+∈1sin2(sin cos)2(sin cos cos sin)22552sin()2sin(2)2sin().33kαααααϕαϕαϕαππαπ∴-=-=+=+=++=+解法二:点P(-,1)在第二象限,OP=2,设角ϕ过P点.则1sin2ϕ=,cos2ϕ=-.满足条件的最小正角为56π,52,.6k k Zϕππ=+∈1sin2(sin cos)2(sin sin cos cos)22552cos()2cos(2)2cos().66kαααααϕαϕαϕαππαπ∴-=-=+=-=--=-三.关于辅助角的范围问题由sin cos)a bθθθϕ+=+中,点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).设满足条件的最小正角为1ϕ,则12kϕϕπ=+.由诱导公式(一)知1 sin cos))a bθθθϕθϕ+=+=+．其中1(0,2)ϕπ∈，1tan baϕ=，1ϕ的具体位置由1sin ϕ与1cos ϕ决定，1ϕ的大小由1tan baϕ=决定．类似地，sin cos )a b θθθϕ+=-，ϕ的终边过点Ｐ（ｂ，ａ），设满足条件的最小正角为2ϕ，则22.k ϕϕπ=+由诱导公式有2sin cos cos())a b θθθϕθϕ+=-=-，其中2(0,2)ϕπ∈，2tan abϕ=，2ϕ的位置由2sin ϕ和2cos ϕ确定，2ϕ的大小由2tan abϕ=确定．注意：①一般地，12ϕϕ≠；②以后没有特别说明时，角1ϕ（或2ϕ）是所求的辅助角．四．关于辅助角公式的灵活应用引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式．在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为1sin cos )a b θθθϕ+=+的形式或2sin cos )a b θθθϕ+=-的形式．可以利用两角和与差的正、余弦公式灵活处理．例５ 化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式．cos αα-；（２）sin()cos()6363ππαα-+-． 解：（１）1cos sin cos )222(sin cos cos sin )2sin()666ααααπππααα-=-=-=-（２）sin()cos()63631[sin()cos()]32323[sin()cos cos()sin ]333332sin()33ππααππααππππααπα-+-=-+-=-+-=-在本例第（１）小题中，a =1b =-１），而取的是点Ｐ１）．也就是说，当a 、b 中至少有一个是负值时．我们可以取Ｐ（a ，b ），或者Ｐ（b ，a ）．这样确定的角1ϕ（或2ϕ）是锐角，就更加方便．例6 已知向量(cos(),1)3ax π=+,1(cos(),)32b x π=+-,(sin(),0)3c x π=+,求函数()h x =2a b b c ⋅-⋅+的最大值及相应的x的值.解:21()cos()sin()cos()23233h x x x x πππ=+--+++=21cos(2)1233sin(2)2232x x ππ++-++ =1212cos(2)sin(2)22323x x ππ+-++=22cos(2)sin(2)]222323x x ππ+-++=11cos(2)2212x π++max()2.2h x ∴=+这时111122,.1224x k x k k Z ππππ+==-∈. 此处,若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁,而且易错,请读者一试.五.与辅助角有关的应用题与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见,而且涉及辅角的范围,在相应范围内求三角函数的最值往往是个难点.例7 如图3,记扇OAB 的中心角为45︒,半径为1,矩形PQMN 内接于这个扇形,求矩形的对角线l 的最小值.解:连结OM,设∠AOM=θ.则MQ=sin θ,OQ=cos θ,OP=PN=sin θ. PQ=OQ-OP=cos sin θθ-.222l MQ PQ =+=22sin(cos sin )θθθ+-=31(sin 2cos 2)22θθ-+=13sin(2)22θϕ-+,其中11tan 2ϕ=,1(0,)2πϕ∈,11arctan 2ϕ=. 04πθ<<,111arctan 2arctan .222πθϕ∴<+<+2min 322l ∴=-,min 12l -=. 所以当11arctan 422πθ=-时, 矩形的对角线l的最小值为12-.θNBMAQPO图3。