辅助角公式ppt课件
辅助角公式
b ，a 0 来求角 的值。 a
。 3 如果用正切值去求 , 则 t an 3 , 此时由的象限与a, b 的象限相同， 可知是第一象限角，所以
3
新知形成：
辅助角公式：
b a sin b cos a b sin ，其中 tan , (a 0) a
2 2
＜ , 的象限与（ a, b）的象限相同
例题讲解：
例：将代数式 3sin 化成正弦型的形式。 3 cos
3 解析：观察式子可以发现辅助角公式中的 a 3, b ，所以直接利用辅助角公式可得 结果，解题过程如下：
解： 3sin 3 cos 2 3 sin , 其中tan 3
1 1 3 sin cos 2 2
谢谢观看
3 因为的取值范围是 ＜ ， 而且的象限与（ 3, 3）的象限相同 , 所以
6
所以3sin 3 cos 2 3sin 6
课上练习：
练：将下列各式化成正弦型的形式
1sin cos 2 3 cos sin
a 2 b 2 sin
到这里我们发现公式已经成型，但是引入的角 如何去求呢？
探究：
我们发现可以由推导过程中的
a a 2 b2 sin 来去求解角 。但是在求 a b
2 2
cos ,
b
2 解过程中，因为正余弦函数的周期是 ，所以一般我们限制角 的取
值范围为
＜ 的象限和点 所在的象限是相 。而且我们还发现了角
同的。 a, b
同时为了进一步书写方便，我们可以用tan
这里举例说明的求法：
人教A版高中数学必修一课件 《三角恒等变换》三角函数PPT(第5课时简单的三角恒等变换)
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤 运用和、差、倍角公式化简 ↓
统一化成f（x）＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式 ↓
利用辅助角公式化为f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋k 的形式，研究其性质
1．已知函数 f(x)＝cos2x－1π2＋sin2x＋1π2－1，则 f(x)(
)
A．是奇函数
＝79×－13－－4
9
2×2
3
2＝13.
本部分内容讲解结束
α ＝cos
α.
(变条件)若本例中式子变为
（1＋sin θ＋cos θ）sin
θ2－cos
θ
2
2＋2cos θ
(0＜θ＜π)，则化简后的结果是什么？
2sin 解：原式＝
θ 2cos
θ2＋2cos2
θ
2
sin
θ2－cos
θ 2
4cos2
θ 2
cos ＝
θ2sin2
θ2－cos2
θ 2
θ
cos
2
2sin2
α 2
α
2sin
2
αα
2 ＝－
2sin 2cos
sin
α
2
2.
因为 0＜α＜π，
所以 0＜α2＜π2.所以 sin α2＞0.
所以原式＝－2 2cos α2.
与三角函数性质有关的问题
已知函数 f(x)＝cos(π＋x)cos 32π－x－ 3cos2x＋ 23. (1)求 f(x)的最小正周期和最大值；
(2)因为 0≤x≤23π， 所以π3≤x＋π3≤π. 当 x＋π3＝π， 即 x＝23π时，f(x)取得最小值． 所以 f(x)在区间0，23π上的最小值为 f23π＝－ 3.
精品辅助角公式及应用
在学习过程中，我发现自己在某些方面还存在不足，如对某些复杂问题的理解不够深入、解题速度不够 快等。为了改进这些不足，我将继续加强学习，多做练习题，提高自己的解题能力和思维水平。
对未来学习的建议
01
深入学习相关数学知识
为了更好地理解和应用辅助角公式，建议同学们深入学习相关的数学知
识，如三角函数的基本性质、三角恒等式等。
辅助角公式推导过程
推导思路
通过三角函数的基本性质和变换公式，逐步推导出辅助角公 式。
具体步骤
首先，根据三角函数的基本性质，将原函数表达式进行化简 ；然后，通过引入辅助角，将化简后的表达式进一步转化为 简单的三角函数形式；最后，根据已知条件求解辅助角，从 而得到原函数的解。
02
辅助角公式在三角函数中的应用
03
辅助角公式在解三角形中的应用
利用辅助角求三角形内角
辅助角公式
通过引入辅助角，将三角形的内 角和公式转化为与辅助角相关的 表达式，从而求解三角形内角。
应用场景
在已知三角形两边及夹角或已知三 角形三边长度的情况下，可以利用 辅助角公式求解三角形的内角。
求解步骤
首先根据已知条件选择合适的辅助 角，然后利用三角函数性质及三角 形内角和定理，构建方程并求解。
THANKS
感谢观看
求解三角函数值
已知三角函数值求角度
利用辅助角公式，可以将复杂的三角 函数表达式转化为简单的形式，从而 方便求解对应角度。
已知角度求三角函数值
通过辅助角公式，可以将角度转化为 与特殊角相关的表达式，进而求出对 应的三角函数值。
判断三角函数单调性
判断单调增区间
利用辅助角公式，可以确定三角函数在哪些区间内是单调增加的，从而方便进行 相关的数学分析和计算。
3.1.3辅助角公式 3
化 a sin x b cos x 为单名三角函数形式
a sin x b cos x
2 2
a b a b sin x cos x 2 2 2 2 a b a b
令
cos sin
2 2
a
a 2 b2 b a 2 b2
a b
2 2
sin x cos cos x sin
2 2
a b sin x a b cos x
统一函数名也即化单名三角函数 ,
a sin x b cos x a b sin( x )
2 2
其中
a a b
2 2
cos ,
3.1.2 两角和与差的 正弦、余弦、正切公式
辅助角公式
已知函数 y sin x cos x, x (0, 求该函数的值域
式化为一个角的三角函数形式
3 1 (1) cos sin sin cos (2) sin cos 6 6 2 2
2 cos sin 1 6 6
cos sin sin cos
cos sin 1
2 2
引例
把下列各式化为一个角的三角函数形式
(1) 3 sin cos
(2) sin cos
3 1 sin cos 2 2 2 2 sin cos 2 2
(3)a sin b cos
2
3 2 1 2 ( ) ( ) 1 2 2
2 2 3 4 (3) sin cos (4) sin cos 5 5 2 2
2 2 2 2 ( ) ( ) 1 2 2
简单的三角恒等变换课件
【例 3】
求证：sins2inα＋α β－2cos
(α＋β)＝ssiinn
β α.
[思路探索] 式中涉及角 α、β、α＋β，2α＋β，因此可以把 2α＋
β 化为(α＋β)＋α，再进行证明．
证明 ∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α
题型四 三角函数的实际应用 【例 4】 点 P 在直径 AB＝1 的半圆上移动，过 P 作圆的切线 PT 且 PT＝1，∠PAB＝α，问α为何值时，四边形 ABTP 面积最 大？ 审题指导 先画图 ――用―α―→ 表示出四边形 ABTP 的面积 ―三―利角―用公――式→ 求最值 ――得―出――→ α值
α2＝ sin
2α＝ sin
2·2sin α
2α＝1－sincoαs α，
cos 2 cos 2ห้องสมุดไป่ตู้2sin 2
αα
α
sin α＝2sin
α 2cos
α2＝s2isni2nα2＋2ccooss22α2＝12＋tatnan22α2.
cos α＝cos2α2－sin2α2，
＝ccooss22αα22－ ＋ssiinn22αα22＝11－ ＋ttaann22αα22.
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)－α]＝sin β，
两边同除以
sin
α，得sins2inα＋α β－2cos(α＋β)＝ssiinn
β α
规律方法 证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征， 通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方 法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为 整式来证．
简单的三角恒等变换课件
解：如图所示，连接 AP，设∠PAB＝ θ0≤θ≤π2， 延长 RP 交 AB 于 M， 则 AM＝90cos θ，MP＝90sin θ. 所以 PQ＝MB＝100－90cos θ，
PR＝MR－MP＝100－90sin θ. 所以 S 矩形 PQCR＝PQ·PR＝(100－90cos θ)(100－90sin θ)＝ 10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ.
类型 4 三角恒等变换的实际应用
[典例 4] 如图所示，ABCD 是一块边长为 100 m 的 正方形地皮，其中 AST 是半径为 90 m 的扇形小山，其余部分都是平地．一开 发商想在平地上建一个矩形停车场，使 矩形的一个顶点 P 在 ST 上，相邻两边 CQ，CR 正好落在正方形的边 BC，CD 上，求矩形停车 场 PQCR 面积的最大值和最小值．
4．分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等 式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以 判定原等式成立．
类型 3 关于三角函数性质的综合问题(规范解答)
[典例 3] (本小题满分 12 分)已知函数 f(x) ＝4cos
ωx·sinωx＋π4(ω＞0)的最小正周期为 π.
(1)求 ω 的值； (2)讨论 f(x)在区间0，π2上的单调性．
从而原式＝－2cos 4－2sin 4＋2cos 4＝－2sin 4. 答案：(1)C (2)－2sin 4
归纳升华 对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于 三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于 二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切割 化弦、变量代替、角度归一等方法．
t2－1 令 t＝sin θ＋cos θ(1≤t≤ 2)，则 sin θcos θ＝ 2 ，
三角恒等变换之辅助角公式
辅助角公式sin cos )a b θθθϕ+=+在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式sin cos a b θθ+)θϕ+或sin cos a b θθ+cos()θϕ-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式. 一.教学中常见的的推导方法 教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1α+cos α=2sin （α+6π）=2cos （α-3π）. 其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论: 可见,α+cos α可以化为一个角的三角函数形式.一般地,asin θ+bcos θ 是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2.辅助角公式的推导例2 化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式.解: asin θ+bcos θsin θcos θ),①=cos ϕϕ,则asin θ+bcos θθcos ϕ+cos θsin ϕ)θ+ϕ),(其中tan ϕ=b a) ②=sin ϕ=cos ϕ,则asin θ+bcos θθsin ϕ+cos θcos ϕ(θ-ϕ),(其中tan ϕ=a b) 其中ϕ的大小可以由sin ϕ、cos ϕ的符号确定ϕ的象限,再由tan ϕ的值求出.或由tan ϕ=ba和(a,b)所在的象限来确定.推导之后,是配套的例题和大量的练习. 但是这种推导方法有两个问题:一是为什么要令=cos ϕϕ?让学生费解.二是这种 “规定”式的推导,学生难记易忘、易错! 二.让辅助角公式sin cos a b θθ+)θϕ+来得更自然能否让让辅助角公式来得更自然些?这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.首先要说明，若a=0或b=0时，sin cos a b θθ+已经是一个角的一个三角函数的形式，无需化简.故有ab ≠0. 1.在平面直角坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角ϕ,它的终边经过点P .设OP=r,r=由三角函数的定义知sin ϕ=b rcos ϕ=a r=.所以asin θ+bcos θϕ sin θϕcos θ)θϕ+.(其中tan ϕ=ba)2.若在平面直角坐标系中,以b 为横坐标,以a 为纵坐标可以描点P(b,a),如图2所示,则总有一个角ϕ的终边经过点P(b,a),设OP=r,则由三角函数的定义知sin ϕ=ar,cos ϕ=br.asin θ+bcos θsin cos ϕθϕθ+s()θϕ-. (其中tan ϕ=ab)例3cosθθ+为一个角的一个三角函数的形式.解:在坐标系中描点P(,1),设角ϕ的终边过点P,则OPϕ=12,cosϕ=2.∴cosθθ+=2cosϕsinθ+2sinϕcosθ=2sin(θϕ+).tanϕ=3.26kπϕπ=+,cosθθ+=2sin(6πθ+).经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式asinθ+bcosθ=(sinθ+cosθ)=)θϕ+,(其中tanϕ=ba).或者asinθ+bcosθ=(sinθ+cosθ)=)θϕ-,(其中tanϕ=ab)我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解asinθ+bcosθsinθcosθ)的道理,以及为什么只有两种形式的结果.例4 化sinαα-为一个角的一个三角函数的形式.解法一:点(1,-)在第四象限.OP=2.设角ϕ过P点.则sin2ϕ=-,1cos2ϕ=.满足条件的最小正角为53π,52,.3k k Z ϕππ=+∈1sin 2(sin cos )2(sin cos cos sin )22552sin()2sin(2)2sin().33k αααααϕαϕαϕαππαπ∴-=-=+=+=++=+解法二:点P(-,1)在第二象限,OP=2,设角ϕ过P 点.则1sin 2ϕ=,cos 2ϕ=-.满足条件的最小正角为56π,52,.6k k Z ϕππ=+∈1sin 2(sin cos )2(sin sin cos cos )22552cos()2cos(2)2cos().66k αααααϕαϕαϕαππαπ∴-=-=+=-=--=-三.关于辅助角的范围问题由sin cos )a b θθθϕ+=+中,点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).设满足条件的最小正角为1ϕ,则12k ϕϕπ=+.由诱导公式(一)知1sin cos ))a b θθθϕθϕ+=+=+．其中1(0,2)ϕπ∈，1tan baϕ=，1ϕ的具体位置由1sin ϕ与1cos ϕ决定，1ϕ的大小由1tan baϕ=决定．类似地，sin cos )a b θθθϕ+=-，ϕ的终边过点Ｐ（ｂ，ａ），设满足条件的最小正角为2ϕ，则22.k ϕϕπ=+由诱导公式有2sin cos cos())a b θθθϕθϕ+=-=-，其中2(0,2)ϕπ∈，2tan abϕ=，2ϕ的位置由2sin ϕ和2cos ϕ确定，2ϕ的大小由2tan abϕ=确定． 注意：①一般地，12ϕϕ≠；②以后没有特别说明时，角1ϕ（或2ϕ）是所求的辅助角．四．关于辅助角公式的灵活应用引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式．在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为1sin cos )a b θθθϕ+=+的形式或2sin cos )a b θθθϕ+=-的形式．可以利用两角和与差的正、余弦公式灵活处理．例５ 化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式．cos αα-；（２）sin()cos()6363ππαα-+-． 解：（１）1cos sin cos )222(sin coscos sin )2sin()666ααααπππααα-=-=-=-（２）sin()cos()63631[sin()cos()]32323[sin()cos cos()sin ]333332sin()33ππααππααππππααπα-+-=-+-=-+-=-在本例第（１）小题中，a =1b =-１），而取的是点Ｐ１）．也就是说，当a 、b 中至少有一个是负值时．我们可以取Ｐ（a ，b ），或者Ｐ（b ，a ）．这样确定的角1ϕ（或2ϕ）是锐角，就更加方便．例6 已知向量(cos(),1)3ax π=+,1(cos(),)32b x π=+-,(sin(),0)3c x π=+,求函数()h x =2a b b c ⋅-⋅+的最大值及相应的x的值.解:21()cos ()sin()cos()23233h x x x x πππ=+--+++=21cos(2)1233sin(2)2232x x ππ++-++=1212cos(2)sin(2)22323x x ππ+-++=22[cos(2)sin(2)]222323x x ππ+-++=11cos(2)2212x π++max()22h x ∴=+这时111122,.1224x k x k k Z ππππ+==-∈.此处,若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁,而且易错,请读者一试. 五.与辅助角有关的应用题与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见,而且涉及辅角的范围,在相应范围内求三角函数的最值往往是个难点.例7 如图3,记扇OAB 的中心角为45︒,半径为1,矩形PQMN 内接于这个扇形,求矩形的对角线l 的最小值.解:连结OM,设∠AOM=θ.则MQ=sin θ,OQ=cos θ,OP=PN=sin θ.PQ=OQ-OP=cos sin θθ-.222l MQ PQ =+=22sin (cos sin )θθθ+-=31(sin 2cos 2)22θθ-+=13sin(2)22θϕ-+,其中11tan 2ϕ=,1(0,)2πϕ∈,11arctan 2ϕ=. 04πθ<<,111arctan2arctan .222πθϕ∴<+<+2min322l∴=-,min 12l -=. θNBMAQPO图3所以当11arctan 422πθ=-时, 矩形的对角线l的最小值为12-.。
辅助角公式完整版本
(3)
1 1
tan tan
15o 15o
探究：
1.利用公式展开
sin( ) 2sin 2cos
4
2
2
2.将下面式子化为只含正弦的形式：
2sin 2cos sin( )
2
2
4
试一试：
将下面式子化为只含正弦的形式：
(1) 3sin1cos
2
2
(2)sin 3cos
(3)sincos
练习 课本 第132页 第6题
a2b2
例 已知函数 f(x)sinxcosx.
(1)求此函数的最值； (2)求此函数的值域； (3)求此函数的单调递增区间； (4)求此函数图象的对称轴； (5)求此函数图象的对称中心； ……
作业：
课本 第137页 第13题 (3) (4) (5) (6)
此课件下载可自行编辑修改，供参考 感谢您的支持，我们努力做得更好！
例4 利用和差角公式计算下列各式的值：
(1 )s in 7 2 o c o s4 2 o c o s7 2 o s in 4 2 o
(2 )c o s2 0 o c o s 7 0 o s in 2 0 o s in 7 0 o
(4 )s in 2 0 o c o s 1 1 0 o c o s 1 6 0 o s in 7 0 o
(1)正余弦和差角公式
sin()sinco s co ssin sin()sinco s co ssin cos()co sco s sinsin cos()co sco s sinsin
(2)正切的和差角公式
tan() tan tan
1 tan tan
tan() tan tan
必修四第三章辅助角公式
作业：
必修四教材 第137页 第13题 (1) (2) (3) (4)
a2 b2
a2 b2
(其中 tan = b ) 一般地，0
a
2
说明：
利用辅助角公式可以将形如 asin x bcosx 的
式子 ，转化为一个角的一种三角函数形式。便于后面 求三角函数的最小正周期、最大（小）值、单调区间 等。
课堂练习： 化简：（1） 2sin 2 cos （2） 2sinx - 6 cos x
（ 2 sin cos cos sin ）
3
3
2sin
3
思考：2 b cos x 如何化简呢
辅助角公式
asin x bcos x a2 b2 sin(x )
其中 cos a ,sin b .
探究：
1.公式的逆用
sin cos
12 4
cos sin
12 4
sin(
12
)
4
sin
3
3 2
sincos cos sin
4
4
sin( )
4
2.将下面式子化为只含正弦的形式：
2 sin 2 cos
2
2
sin( )
（3）sin 2x cos2x
延伸拓展：
化简： 2 3 sin x cos x 2 cos2 x 1
解：原式 3 sin 2x cos 2x
（ 2 3 sin 2x 1 cos 2x）
2
2
（ 2 sin2x cos cos2x sin ）
6
辅助角公式
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政 (1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设 ， 邮传邮正传式部脱离海关。 (2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国。邮联大会
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在 架台设湾第一条电报线，成为中国自 办电报的开端。
[串点成面·握全局]
一、近代交通业发展的原因、特点及影响 1．原因 (1)先进的中国人为救国救民，积极兴办近代交通业，促 进中国社会发展。 (2)列强侵华的需要。为扩大在华利益，加强控制、镇压 中国人民的反抗，控制和操纵中国交通建设。 (3)工业革命的成果传入中国，为近代交通业的发展提供 了物质条件。
[串点成面·握全局]
一、近代交通业发展的原因、特点及影响 1．原因 (1)先进的中国人为救国救民，积极兴办近代交通业，促 进中国社会发展。 (2)列强侵华的需要。为扩大在华利益，加强控制、镇压 中国人民的反抗，控制和操纵中国交通建设。 (3)工业革命的成果传入中国，为近代交通业的发展提供 了物质条件。
[合作探究·提认知] 电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家， 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。 提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展； 政府及各阶层人士的提倡与推动。
C C
S S
引例
把下列各式化为一个角的三角函数形式