陕西省2019届高三年级第三次联考理科数学试卷含解析
2019年5月2019届高三第三次全国大联考(新课标Ⅲ卷)-理数(全解全析)
分）
（3）因为 X ~ N(110,144) ，所以 110 ， 144 12 ，
理科数学 第 6页（共 10页）
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，
消去
y
，整理得 k 2 x2
(2k 2
4)x k2
0 ，设 M (x1, y1), N (x2 , y2 ) ，则
x1 +x2
2k 2 k2
4
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4 k2
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x1 x2
1，
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MF
|
|
NF
|
(1
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|
x1
1|
|
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1|
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(1
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|
x1x2
(x1
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1|
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1 k2
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．因为
|
MF
(a, a
2) 的长度不小于
3T 4
（其中 T
为函数
f
(x) 的最小正周期），即 2
3 4
2π
，即
3π 4
，故选
A．
12．【答案】C
【解析】由 (a 1)x ln x b 2 0 ，得 ln x (a 1)x b 2 ，若存在唯一实数 x0 ，使得 f (x0 ) 0 ，则
直线 y (a 1)x b 2 与曲线 y ln x 相切，设切点为 P(t,ln t) ，则切线方程为 y ln t 1 (x t) ，即 t
5
5
∴ CD AC cosC 7 5 7 5 ，∴ BC 2CD 14 5 ，（3 分）
55
5
∴ BE2 BC2 EC2 2BC EC cosC 196 22 2 14 5 2 5 32 ，
陕西省2019届高三第三次教学质量检测数学(理)试题(扫描版)pdf
∴ＥＦ∥ＡＤ．
综上，ＥＦ⊥ＢＣ． （４分）
注：亦可取 ＡＤ中点 Ｇ、连接 ＧＢ，ＧＣ，可证 ＡＤ⊥
平面 ＧＢＣ，则可证 ＥＦ⊥平面 ＧＢＣ，即证得 ＥＦ⊥
ＢＣ．
（Ⅱ）∵平面 ＡＢＣ⊥平面 ＤＢＣ，ＡＯ平面 ＡＢＣ， 平面 ＡＢＣ∩平面 ＤＢＣ＝ＢＣ，ＡＯ⊥ＢＣ．
即 ａ＞０，
（６分）
{ 由韦达定理有
ｔ１＋ｔ＝２槡２， 根据参数的几 ｔ１·ｔ２ ＝－８ａ＋２，
点对称，∴ｇ（ｘ）＝－ｆ（－ｘ）＝－ｘ２＋２ｘ．
（２分） ∴原不等式可化为 ｜ｘ－１｜≥２ｘ２，即 ｘ－１≥２ｘ２ 或 ｘ－１≤ －２ｘ２，解 得 不 等 式 的 解 集 为
则 ｇ（ｘ）单调递增． 综上，ｇ（ｘ）极小值 ＝ｇ（１）＝ｅ－２， 无极大值． （４分）
２０．【解析】（Ⅰ）由题意得
ｃ＝３，
ｃ ａ
＝槡２３，
（Ⅱ）∵ｘ∈Ｒ，ｆ（ｘ）＋ １ ２（３ｘ２ ＋ｘ－３ｋ）≥０．
∴ａ＝２槡３． （２分）
又因为 ａ２＝ｂ２＋ｃ２，∴ｂ２＝３．
∴ｃｏｓ＜→ｍ→，ｎ＞＝→→｜ｍｍ·｜→→｜ｎｎ｜＝槡５５，
２１．［解析］（Ⅰ）∵ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘｘ）＝ｅｘ
－ｘ２ ｘ
－１．
∴ｇ′（ｘ）＝ｘｆ′（ｘ）ｘ２－ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）（ｘｅ２ｘ－ｘ－１）（ｘ
＞０）． （２分） 设 ｔ（ｘ）＝ｅｘ－ｘ－１，则 ｔ′（ｘ）＝ｅｘ－１＞０，即 ｔ（ｘ）
— ２—
ｘ０ － １２）＋ １ ２ｘ２ ０ ＋ １ ２ｘ０ －１＝ １２（ｘ２０ －ｘ０ －３）
（１０分）
∵ｘ０∈（－１，０），∴ｈ（ｘ０）∈（－３２，－１２），
陕西省2019届高三年级第三次联考理科数学答案
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陕西省安康市2019届高三第三次联考理科数学试题
陕西省安康市2019届高三第三次联考理科数学试题一、选择题（本大题共12小题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|0},{|1,}M x x N x x x R =≥=<∈，则M N =（ ）.[0,1]A .[0,1)B .(0,1]C .(0,1)D 2.函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π 3.定积分10(2)x x e dx +⎰的值为（ ）.2A e + .1B e + .C e .1D e -4.根据右边框图，对大于2的整数N ，输出数列的通项公式是（ ） .2n Aa n = .2(1)n B a n=- .2n n C a = 1.2n n D a -=5.已知底面边长为1，则该球的体积为（ ）32.3A π .4B π .2C π 4.3D π6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）1.5A2.5B3.5C4.5D 7.下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3x f x =8.原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12z z =”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）（A ）真，假，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假 9.设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若i i y x a =+（a 为非零常数， 1,2,,10i =），则12,10,y y y 的均值和方差分别为（ ）（A ）1+,4a （B ）1,4a a ++ （C ）1,4 （D ）1,4+a10.如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降， 已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）（A ）3131255y x x =- （B ）3241255y x x =- （C ）33125y x x =- （D ）3311255y x x =-+11．设函数f （x ）=3|x ﹣1|﹣2x +a ，g （x ）=2﹣x 2，若在区间（0，3）上，f （x ）的图象在g （x ）的图象的上方，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（2，+∞） B ．[2，+∞） C ．（3，+∞） D ．[3，+∞）12．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（ ） A ．3 B ．2 C ．2 D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知实数x，y满足，则z=x+y的最小值为．14．椭圆mx2+y2=1（m＞1）的短轴长为m，则m=．15．若函数f（x）=在（2，3）上为增函数，则实数a的取值范围是．16．已知S n为数列{a n}的前n项和，若a n（2+sin）=n（2+cosnπ），且S4n=an2+bn，则a﹣b=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．如图，在四边形ABCB′，△ABC≌△AB′C，AB⊥AB′，cos∠BCB′=，BC=2．（1）求sin∠BCA；（2）求BB′及AC′的长．18．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥CD，BC ⊥平面PAB，且E，M，N分别为PD，CD，AD的中点，=3．（1）证明：PB∥平面FMN；（2）若PA=AB，求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．19．在一次全国高中五省大联考中，有90万的学生参加，考后对所有学生成绩统计发现，英语成绩服从正态分布N（μ，σ2），如表用茎叶图列举了20名学生英语的成绩，巧合的是这20个数据的平均数和方差恰比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9，且这20个数据的方差为49.9．（2）给出正态分布的数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．（i）若从这90万名学生中随机抽取1名，求该生英语成绩在（82.1，103.1）的概率；（ii）若从这90万名学生中随机抽取1万名，记X为这1万名学生中英语成绩在在（82.1，103.1）的人数，求X的数学期望．20．如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过点M的直线与抛物线交于A，B两点，设A（x1，y1）到准线l的距离d=2λp（λ＞0）（1）若y1=d=3，求抛物线的标准方程；（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率的平方为定值．21．已知函数f（x）=+nlnx（m，n为常数）的图象在x=1处的切线方程为x+y﹣2=0（1）判断函数f（x）的单调性；（2）已知p∈（0，1），且f（p）=2，若对任意x∈（p，1），任意t∈[，2]，f（x）≥t3﹣t2﹣2at+2与f（x）≤t3﹣t2﹣2at+2中恰有一个恒成立，求实数a的取值范围．四.请考生从第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标中，直线l的方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=2，曲线C的方程为ρ=m （m＞0）．（1）求直线l与极轴的交点到极点的距离；（2）若曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，求实数m的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10的解集为A．（2）若∀a，b∈A，x∈R+，不等式a+b＞（x﹣4）（﹣9）+m恒成立，求实数m的取值范围．陕西省安康市2019届高三第三次联考理科数学试题参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|0},{|1,}M x x N x x x R =≥=<∈，则M N =（ ）.[0,1]A .[0,1)B .(0,1]C .(0,1)D 【答案】 B【解析】B N M N M 选，).1,0[),11-(),,0[=∩∴=+∞=2.函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π 【答案】 B 【解析】B T 选∴,π2π2||π2===ω3.定积分10(2)x x e dx +⎰的值为（ ）.2A e + .1B e + .C e .1D e -【答案】 C 【解析】C e e e e x dx e x x x 选∴,-0-1|)()2(1001102∫=+=+=+4.根据右边框图，对大于2的整数N ，输出数列的通项公式是（ ）.2n Aa n = .2(1)n B a n =- .2n n C a = 1.2n nD a -=【答案】 C 【解析】C q a a a a a n 选的等比数列是.2,2∴,8,4,21321=====5.已知底面边长为1，则该球的体积为（ ）32.3A π .4B π .2C π 4.3D π【答案】 D 【解析】 D r r r r 选解得设球的半径为.π3434V ∴,1,4)2(11)2(,32222====++=π6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）1.5A2.5B3.5C 4.5D 【答案】 C 【解析】C p 选反向解题.53C 4C 4-1.2525===8.下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3x f x =【答案】 D 【解析】D y f x f y x f D C y x y x y x 选而言，对不是递增函数只有.333)()(,3)(.++=•=•=+8.原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12z z =”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）（A ）真，假，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假 【答案】 B 【解析】B z z b a z b a z bi a z bi a z 选选择完成判断逆命题的真假即可逆否名称也为真，不需，原命题为真，则设，逆命题和否命题等价原命题和逆否名称等价.,||||∴,||||,-,.2122222111=+=+==+=10.设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若i i y x a =+（a 为非零常数， 1,2,,10i =），则12,10,y y y 的均值和方差分别为（ ）（B ）1+,4a （B ）1,4a a ++ （C ）1,4 （D ）1,4+a【答案】 A 【解析】A 选变均值也加此数，方差不样本数据加同一个数，.10.如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降， 已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）（B ）3131255y x x =- （B ）3241255y x x =-（C ）33125y x x =- （D ）3311255y x x =-+ 【答案】 A 【解析】AA f x f f x f A f x 选符合只有，，而言，对即为极值点且），三次奇函数过点..053-53)5(53-1253x )(2-3-1)5(∴x 53-x 1251)(.0)5(,5,2-5(),0,0(23==′=′====′=11．设函数f （x ）=3|x ﹣1|﹣2x +a ，g （x ）=2﹣x 2，若在区间（0，3）上，f （x ）的图象在g （x ）的图象的上方，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（2，+∞） B ．[2，+∞） C ．（3，+∞） D ．[3，+∞） 【考点】函数恒成立问题． 【分析】由题意可得3|x ﹣1|﹣2x +a ＞2﹣x 2在0＜x ＜3上恒成立，即有a ＞2﹣x 2+2x ﹣3|x ﹣1|的最大值，由二次函数和指数函数的最值的求法，可得x=1时，右边取得最大值，即可得到a 的范围．【解答】解：由题意可得3|x ﹣1|﹣2x +a ＞2﹣x 2在0＜x ＜3上恒成立， 即有a ＞2﹣x 2+2x ﹣3|x ﹣1|的最大值，由h （x ）=2﹣x 2+2x ﹣3|x ﹣1|=3﹣（x ﹣1）2﹣3|x ﹣1|，当x=1∈（0，3）时，h （x ）取得最大值，且为3﹣0﹣1=2， 即有a ＞2． 故选A ．12．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（ ） A ．3 B ．2 C ．2 D ．3 【考点】棱锥的结构特征．【分析】由四棱锥的体积为9可得到底面边长a 与高h 的关系，作出图形，则球心O 在棱锥的高或高的延长线上，分两种情况根据勾股定理列出方程，解出球的半径R 的表达式，将问题转化为求R 何时取得最小值的问题． 【解答】解：设底面边长AB=a ，棱锥的高SM=h ， ∵V 棱锥S ﹣ABCD =•a 2•h=9，∴a2=，∵正四棱锥内接于球O，∴O在直线SM上，设球O半径为R，（1）若O在线段SM上，如图一，则OM=SM﹣SO=h﹣R，（2）若O在在线段SM的延长线上，如图二，则OM=SO﹣SM=R﹣h，∵SM⊥平面ABCD，∴△OMB是直角三角形，∴OM2+MB2=OB2，∵OB=R，MB=BD=a，∴（h﹣R）2+=R2，或（R﹣h）2+=R2∴2hR=h2+，即R=+=+=≥3=．当且仅当=取等号，即h=3时R取得最小值．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知实数x，y满足，则z=x+y的最小值为2．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出z的最小值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得B（1，1），由z=x+y得：y=﹣x+z，显然直线过B时z最小，z的最小值是2，故答案为：2．14．椭圆mx2+y2=1（m＞1）的短轴长为m，则m=2．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，将椭圆mx2+y2=1的方程变形为标准方程可得+=1，比较与1的大小可得该椭圆的焦点在y轴上，且b=，进而依据题意可得m=2，解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆mx2+y2=1的方程可以变形为+=1，又由m＞1，则＜1，故该椭圆的焦点在y轴上，则b=，又由该椭圆的短轴长为m，则有m=2，解可得m=2；故答案为：2．15．若函数f（x）=在（2，3）上为增函数，则实数a的取值范围是[，+∞）．【考点】函数单调性的性质．【分析】若函数f（x）=在（2，3）上为增函数，则f′（x）=≥0在（2，3）上恒成立，进而得到答案．【解答】解：若函数f（x）=在（2，3）上为增函数，则f′（x）=≥0在（2，3）上恒成立，则9a+1≥0，解得：a∈[，+∞），故答案为：[，+∞）．16．已知S n为数列{a n}的前n项和，若a n（2+sin）=n（2+cosnπ），且S4n=an2+bn，则a﹣b=5．【考点】数列的求和．【分析】通过计算得出数列{a n}前8项的值，进而联立S4=a+b、S8﹣S4=3a+b，进而解方程组，计算即得结论．【解答】解：①当n=4k﹣3时，a n（2+1）=n（2﹣1），a n=；②当n=4k﹣2时，a n（2+0）=n（2+1），a n=n；③当n=4k﹣1时，a n（2﹣1）=n（2﹣1），a n=n；④当n=4k时，a n（2+0）=n（2+1），a n=n；∵S4n=an2+bn，∴S4=a+b=+•2+3+•4=+12，S8﹣S4=（4a+2b）﹣（a+b）=3a+b=•5+•6+7+•8=+28，∴（3a+b）﹣（a+b）=（+28）﹣（+12），解得：a=+8，b=+12﹣a=（+12）﹣（+8）=﹣+4，∴a﹣b=（+8）﹣（﹣+4）=5，故答案为：5．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．如图，在四边形ABCB′，△ABC≌△AB′C，AB⊥AB′，cos∠BCB′=，BC=2．（1）求sin∠BCA；（2）求BB′及AC′的长．【考点】相似三角形的性质．【分析】（1）利用△ABC≌△AB′C，可得∠BCA=∠B′CA，利用cos∠BCB′=，即可求sin∠BCA；（2）利用余弦定理求出BB′，利用正弦定理求出BB′，即可求出AC′的长．【解答】解：（1）∵△ABC≌△AB′C，∴∠BCA=∠B′CA，∴cos∠BCB′=2cos2∠BCA﹣1，∵cos∠BCB′=，∴cos2∠BCA=，∴sin2∠BCA=，∴sin∠BCA=；（2）∵BC=2，∴BB′2=8+8﹣2×=4，∴BB′=2∵，∴AB=，设BB′与AC交于O，则AO=1，CO==，∴AC=+1．18．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥CD，BC ⊥平面PAB，且E，M，N分别为PD，CD，AD的中点，=3．（1）证明：PB∥平面FMN；（2）若PA=AB，求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结BD，分别交AC、MN于点O，G，连结EO、FG，推导出EO ∥PB，FG∥EO，PB∥FG，由此能证明PB∥平面FMN．（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角E﹣AC﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）连结BD，分别交AC、MN于点O，G，连结EO、FG，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，又=3，∴F为ED中点，又CM=MD，AN=DN，∴G为OD的中点，∴FG∥EO，∴PB∥FG，∵FG⊂平面FMN，PB⊄平面FMN，∴PB∥平面FMN．解：（2）∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA，又PA⊥CD，BC∩CD=C，∴PA⊥平面ABCD，如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设PA=AB=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），E（0，1，1），则=（2，2，0），=（0，1，1），平面ABCD的一个向向量=（0，0，1），设平面AEC的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，1），∴cos＜＞==，由图知二面角E﹣AC﹣B为钝角，∴二面角E﹣AC﹣B的余弦值为﹣．19．在一次全国高中五省大联考中，有90万的学生参加，考后对所有学生成绩统计发现，英语成绩服从正态分布N（μ，σ2），如表用茎叶图列举了20名学生英语的成绩，巧合的是这20个数据的平均数和方差恰比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9，且这20个数据的方差为49.9．（1）求μ，σ；（2）给出正态分布的数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．（i）若从这90万名学生中随机抽取1名，求该生英语成绩在（82.1，103.1）的概率；（ii）若从这90万名学生中随机抽取1万名，记X为这1万名学生中英语成绩在在（82.1，103.1）的人数，求X的数学期望．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由茎叶图得这20个数据的平均数，再由这20个数据的方差为49.9，英语成绩服从正态分布N（μ，σ2），结合题意能求出μ和σ．（2）（i）∵由题知x服从正态分布N（89.1，49），作出相应的正态曲线，能求出该生英语成绩在（82.1，103.1）的概率．（3）由从这90万名学生中随机抽取1名，该生英语成绩在（82.1，103.1）的概率为0.8185，能求出这1万名学生中英语成绩在在（82.1，103.1）的数学期望．【解答】解：（1）由茎叶图得这20个数据的平均数：=（79+80+81+82+87+87+88+88+89+90×4+91+92+93+93+100+101+109）=90，∵这20个数据的平均数和方差恰比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9，且这20个数据的方差为49.9，英语成绩服从正态分布N（μ，σ2），∴μ=90﹣0.9=89.1，σ==7．（2）（i）∵英语成绩服从正态分布N（89.1，49），P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544，∴P（82.1＜X＜96.1）=0.6826，P（75.1＜X＜103.1）=0.9544，由题知x服从正态分布N（89.1，49），作出相应的正态曲线，如图，依题意P（82.1＜X＜96.1）=0.6826，P（75.1＜X＜103.1）=0.9544，即曲边梯形ABCD的面积为0.9544，曲边梯形EFGH的面积为0.6826，其中A、E、F、B的横坐标分别是75.1、82.1、96.1、103.1，由曲线关于直线x=89.1对称，可知曲边梯形EBCH的面积为0.9544﹣=0.8185，即该生英语成绩在（82.1，103.1）的概率为0.8185．（3）∵从这90万名学生中随机抽取1名，该生英语成绩在（82.1，103.1）的概率为0.8185．∴从这90万名学生中随机抽取1万名，记X为这1万名学生中英语成绩在在（82.1，103.1）的人数，X的数学期望E（X）=0.8185×10000=8185．20．如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过点M的直线与抛物线交于A，B两点，设A（x1，y1）到准线l的距离d=2λp（λ＞0）（1）若y1=d=3，求抛物线的标准方程；（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率的平方为定值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，由题意可得AF⊥x轴，即有p=3，进而得到抛物线的方程；（2）设B（x2，y2），AB：y=k（x+），代入抛物线的方程，可得x的方程，运用判别式大于0和求根公式，运用向量共线的坐标表示，可得2p=x2﹣x1，解方程即可得到所求定值．【解答】解：（1）抛物线y2=2px的焦点F（，0），准线方程为x=﹣，则|AF|=y1，可得AF⊥x轴，则x1=，即有d=+=3，即p=3，则抛物线的方程为y2=6x；（2）证明：设B（x2，y2），AB：y=k（x+），代入抛物线的方程，可得k2x2+p（k2﹣2）x+=0，由△=p2（k2﹣2）2﹣k4p2＞0，即为k2＜1，x1=，x2=，由d=2λp，可得x1+=2λp，由+λ=，M（﹣，0），可得x1+=λ（x2﹣x1），即有2p=x2﹣x1=，解得k2=．故直线AB的斜率的平方为定值．21．已知函数f（x）=+nlnx（m，n为常数）的图象在x=1处的切线方程为x+y﹣2=0（1）判断函数f（x）的单调性；（2）已知p∈（0，1），且f（p）=2，若对任意x∈（p，1），任意t∈[，2]，f（x）≥t3﹣t2﹣2at+2与f（x）≤t3﹣t2﹣2at+2中恰有一个恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数的意义求得m，进而求出单调区间；（2）f（x）在[p，1]上的最小值为f（1）=1，最小值f（p）=2，只需2a≥t2﹣t+对t∈[，2]恒成立或2a≤t2﹣t对t∈[，2]恒成立，利用导数求出函数的单调性，列出不等式，即可求得结论；【解答】解：（1）由f（x）=+nlnx（m，n为常数）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣+，∴f′（1）=﹣+n=﹣1，把x=1代入x+y﹣2=0得y=1，∴f（1）==1，∴m=2，n=﹣，∴f（x）=﹣lnx，f′（x）=﹣﹣，∵x＞0，∴f′（x）＜0，∴f（x）的单调递减区间为（0，+∞），没有递增区间．（2）由（1）可得，f（x）在[p，1]上单调递减，∴f（x）在[p，1]上的最小值是f（1）=1，最大值是f（p）=2，∴只需t3﹣t2﹣2at+2≤1或≥2，即2a≥t2﹣t+对t∈[，2]恒成立或2a≤t2﹣t对t∈[，2]恒成立，令g（t）=t2﹣t+，则g′（t）=，令g′（t）=0，解得：t=1，而2t2+t+1＞0恒成立，∴≤t＜1时，g′（t）＜0，g（t）递减，1＜t≤2时，g′（t）＞0，g（t）递增，∴g（t）的最大值是max{g（），g（2）}，而g（）=＜g（2）=，∴g（t）在[，2]的最大值是g（2）=，又t2﹣t∈[﹣，2]，∴2a≥或2a≤﹣，解得：a≥或a≤﹣，故a的范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．四.请考生从第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标中，直线l的方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=2，曲线C的方程为ρ=m （m＞0）．（1）求直线l与极轴的交点到极点的距离；（2）若曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，求实数m的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）令θ=0，得ρ（3cos0﹣4sin0）=2，由此能求出直线l与极轴的交点到极点的距离．（2）先求出直线l和曲线C的直角坐标方程，由曲线C表示以原点为圆心，以m为半径的圆，且原点到直线l的距离为，结合题设条件能求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵直线l的方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=2，∴令θ=0，得ρ（3cos0﹣4sin0）=2，∴3ρ=2，∴直线l与极轴的交点到极点的距离ρ=．（2）直线l的直角坐标方程为3x﹣4y﹣2=0，曲线C的直角坐标方程为x2+y2=m2，曲线C表示以原点为圆心，以m为半径的圆，且原点到直线l的距离为，∵曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，∴．∴实数m的取值范围是（，）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10的解集为A．（1）求集合A；（2）若∀a，b∈A，x∈R+，不等式a+b＞（x﹣4）（﹣9）+m恒成立，求实数m的取值范围．【考点】基本不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）化不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10为3个不等式组，解不等式组可得；（2）由题意可得﹣10＜a+b＜10，由基本不等式可得（x﹣4）（﹣9）≤25，由恒成立可得m+25≤﹣10，解不等式可得．【解答】解：（1）不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10等价于，或或，解得﹣5＜x＜5，故可得集合A=（﹣5，5）；（2）∵a，b∈A=（﹣5，5），x∈R+，∴﹣10＜a+b＜10，∴（x﹣4）（﹣9）=1﹣﹣9x+36=37﹣（+9x）≤37﹣2=25，∵不等式a+b＞（x﹣4）（﹣9）+m恒成立，∴m+25≤﹣10，解得m≤﹣35第21页（共21页）。
精品解析：【省级联考】陕西省2019届高三第三次教学质量检测理科数学试题(解析版)
2019年高三第三次教学质量检测理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数i i z +=-1)1(，则复数z =（ ） A. 2i + B. 2i -C. iD. i -【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，复数i i z +=-1)1(，则()()()()11121112i i i iz i i i i +++====--+，故选C. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的除法运算的法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2.设集合{|12,}A x x x N =-≤≤∈，集合{2,3}B =，则B A 等于（ ） A. {1,0,1,2,3}- B. {0,1,2,3}C. }3,2,1{D. {2}【答案】B 【解析】 【分析】求得集合{|12,}{0,1,2}A x x x N =-≤≤∈=，根据集合的并集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{|12,}{0,1,2}A x x x N =-≤≤∈=， 又由集合{2,3}B =，所以0,1,3}2,{AB =，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的并集运算，其中解答中正确求解集合A ，熟练应用集合并集的运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.3.若向量(1,1)a =，(1,3)b =-，(2,)c x =满足(3)10a b c +⋅=，则=x （ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算，求得(3)(2,6)a b +=，再根据向量的数量积的坐标运算，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，向量(1,1)a =，(1,3)b =-，(2,)c x =，则向量(3)3(1,1)(1,3)(2,6)a b +=+-=， 所以(3)(2,6)(2,)22610a b c x x +⋅=⋅=⨯+=，解得1x =，故选A.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，及向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4.已知tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A. 13-B.13C. -3D. 3【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知3124tan tan πππαα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意结合两角和的正切公式可得3tan πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】3124tan tan πππαα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 112431124tan tantan tan ππαππα⎛⎫++ ⎪⎝⎭==-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，故选A . 【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前15项和为（ ）A. 110B. 114C. 124D. 125【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式系数对应的杨辉上三角形的第1n +行，令1x =，得到二项展开式的二项式系数的和，再结合等差、等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第1n +行， 令1x =，可得二项展开式的二项式系数的和n 2， 其中第1行为02，第2行为12，第3行为22，以此类推，即每一行的数字之和构成首项为1，公比为2的对边数列，则杨辉三角形中前n 行的数字之和为122112nn n S -==--，若除去所有为1的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3,4,可以看成构成一个首项为1，公差为2的等差数列，则(1)2n n n T +=， 令(1)152n n +=，解得5n =， 所以前15项的和表示前7行的数列之和，减去所有的1，即()72113114--=， 即前15项的数字之和为114，故选B.【点睛】本题主要考查了借助杨辉三角形的系数与二项式系数的关系考查等差、等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中认真审题，结合二项式系数，利用等差等比数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6.若正数,m n 满足12=+n m ，则11m n+的最小值为（ ）A. 223+B. 3C. 2+D. 3【答案】A 【解析】 【分析】 由11112()(2)3n m m n m n m n m n+=+⋅+=++，利用基本不等式，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，因为12=+n m ，则11112()(2)333n m m n m n m n m n +=+⋅+=++≥+=+，当且仅当2n mm n =，即n =时等号成立， 所以11m n+的最小值为223+，故选A.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理构造，利用基本不是准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.执行如图所示的程序框图，输出S 的值为ln 5，则在判断框内应填（ ）A. 5i ≤B.4≤iC. 6i <D. 5i >【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合程序的输出值模拟程序的运行过程可知4i =时，程序需要继续执行，5i =时，程序结束，据此确定判断框内的内容即可. 【详解】程序运行过程如下： 首先初始化数据，0,1S i ==，第一次循环，执行1ln 10ln 2ln 2S S i ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭，12i i =+=，此时不应跳出循环；第二次循环，执行13ln 1ln 2lnln 32S S i ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭，13i i =+=，此时不应跳出循环； 第三次循环，执行14ln 1ln 3lnln 43S S i ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭，14i i =+=，此时不应跳出循环； 第四次循环，执行15ln 1ln 4lnln 54S S i ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭，15i i =+=，此时应跳出循环； 4i =时，程序需要继续执行，5i =时，程序结束，故在判断框内应填4?i ≤. 故选B .【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．8.已知在三棱锥ABC P -中，1PA PB BC ===，2=AB ，AB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A.B.3C. 2πD. 3π【答案】D 【解析】 【分析】求出P 到平面ABC 的距离为2，AC 为截面圆的直径, AC = 2222212R d d 骣琪=+=+-琪桫桫桫求出R ，即可求出球的表面积。
陕西省西安2019届高三第三次模拟考试数学试题(理科)
陕西省西安2019届高三第三次模拟考试数学试题(理科)注意事项：1、选择题请按题号用2B铅笔填涂方框，非选择题，除作图可使用2B铅笔外，其余各题按题号用0.5毫米黑色签字笔书写，否则作答无效。
2、按照题号在对应的答题区域内作答，超出各题区域的答案无效，在草稿纸、试题上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项符合题目要求。
1．已知全集U=R，集合A={x|﹣2≤x＜0}，B={x|2x﹣1＜}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪[﹣1，+∞） C．[﹣2，﹣1）D．（﹣2，+∞）2．定义：=ad﹣bc，若复数z满足=﹣1﹣i，则z等于（）A．1+i B．1﹣i C．﹣i D．3﹣i3．等差数列{a n}中，a4+a8=﹣2，则a6（a2+2a6+a10）的值为（）A．4 B．8 C．﹣4 D．﹣84．在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，则“不是整数”的概率为（）A．B．C．D．5．设命题p：=（m，m+1），=（2，m+1），且∥；命题q：关于x的函数y=（m﹣1）log a x（a＞0且a≠1）是对数函数，则命题p成立是命题q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不重充分条件C．充要条件D．既不充分也不不要条件6．执行如图所示的程序框图，若输出的S等于，则输入的N为（）A ．8B ．9C ．10D ．77．已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上过F 的两个端点，设线段AB 的中点M 在l 上的摄影为N ，则的值是（ ）A ．B ．1C ．D ．28．在△ABC 中， =5， =3，D 是BC 边中垂线上任意一点，则•的值是（ ）A ．16B ．8C ．4D ．2 9．已知F 1，F 2分别是双曲线﹣=1（a ＞0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若∠F 1PF 1=60°，则△F 1PF 2的面积是（ ） A ．B ．4C ．2D ．10．已知正四面体的棱长，则其外接球的表面积为（ ） A ．8π B ．12π C ．πD ．3π11．已知函数f （x ）=，若函数g （x ）=f （x ）﹣mx 有且只有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[1，4] B ．（﹣∞，0] C ．（﹣∞，4] D ．（﹣∞，0]∪[1，4] 12．把曲线C ：y=sin （﹣x ）•cos （x +）上所有点向右平移a （a ＞0）个单位，得到曲线C ′，且曲线C ′关于点（0，0）中心对称，当x ∈[π，π]（b 为正整数）时，过曲线C ′上任意两点的直线的斜率恒小于零，则b 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．1或2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，将答案填写在答题卡中的横线上）． 13、为了研究某种细菌在特定环境下,随时间变化繁殖规律,得如下实验数据,计算得回归直线方程为0.850.25y x ∧=-. 由以上信息,得到下表中c 的值为 ．E B C 114、51+2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中整理后的常数项为 ．15、已知直线l ：y ＝k (x －2) 与抛物线C ：y 2＝8x 交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若|AF|＝3|BF|，则直线l 的倾斜角为 ．16、已知偶函数)0)((≠x x f 的导函数为)(x f '，且满足0)1(=f ，当0>x 时，)(2)(x f x f x <'，则使0)(>x f 成立的x 的取值范围为 ．三、解答题（解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 17、（本小题满分12分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2,4]的有8人．（1）求直方图中a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间[10,12]的人数； （2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．18、（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都成立．记2log n n b a =． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：19、（本小题满分12分）已知直三棱柱111ABC A BC -中，△ABC 为等腰直角三角形，乙甲∠BAC ＝90°，且1AB AA =，D 、E 、F 分别为1B A 、1C C 、BC 的中点．（1）求证：直线DE ∥平面ABC ；（2）求锐二面角1B AE F --的余弦值．20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为F （1,0）。
陕西省2019届高三数学第三次联考试题理含解析
陕西省2019届高三年级第三次联考理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.，则（）1.，已知B. A.C. D.D 【答案】【解析】【分析】. 分别解对数不等式和绝对值不等式得集合A,B进而求并集即可，【详解】，D.则.故应选【点睛】本题主要考查对数不等式和绝对值不等式的求解及集合的并集运算，属于基础题.已知复数（是虚数单位），则的实部为（2. ）D. C.B. A.【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算化简复数z，从而得到其实部.．的实部为【详解】∵，∴z ．故应选B【点睛】数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.）（，则已知3.D. B. A. C.【答案】B【解析】【分析】，结合条件得正切，代入求解即可.由【详解】由已知得，.B.故应选. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，“弦化切”是本题的关键，属于基础题），则与4.的夹角为（已知向量， C.D.A. B.A 【答案】【解析】【分析】. 直接由向量的夹角公式代入求解即可得出答案与的夹角；又；【详解】；为．故选：A．【点睛】本题主要考查了向量的夹角公式，属于基础题.，则线段的焦点，的中点5.已知是该抛物线上的两点，是抛物线到准线的距离为（）D. 3C. 1B. A.B 【答案】【解析】【分析】．进而得，从而得中点横坐标，，由抛物线的定义可得.进而得解，准线方程【详解】∵是抛物线，的焦点，∴，根据抛物线的定义可得，设，，.∴的中点横坐标为，，∴线段解得的中点到准线的距离为∴线段B..故应选【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，属于基础题.，的面积为，则三，三个内角，若6.已知的对边分别为角形是（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 不能确定A 【答案】【解析】【分析】，结合，进而得由三角形的面积公式和余弦定理化简条件可得. 的范围可得解角A，【详解】∵，∴，，可得，∴可得，可得，可得：∵，∴， A.故应选解得：【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式及余弦定理的应用，属于中档题.）（阅读如图所示的程序框图，则输出的7.A. 30B. 29C. 90D. 54D 【答案】【解析】【分析】，直到满足条件，退出循环，即可得解和S.模拟程序的运行，不断计算i，执行循环体，；，，【详解】模拟程序的运行，可得；不满足条件，执行循环体，，；不满足条件，，执行循环体，；，，执行循环体，不满足条件，退出循环，输出的值为此时，满足条件54.D.故应选【点睛】本题主要考查了循环结构的计算功能，正确识别何时循环结束是解决这类问题的关键，属于基础题.，则枚硬币均正面向上的次数为4次，设2的数学期望是28.同时抛掷枚质地均匀的硬币（）D. C. 2A. 1B.A 【答案】【解析】【分析】枚正面向上的概率，进而利用二项分2枚质地均匀的硬币，恰好出现2先计算依次同时抛掷．布求数学期望即可.枚正面向上的概率为，【详解】∵一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2.∴，∴A.故应选. 【点睛】本题主要考查了二项分布的应用，属于基础题的中点，则上的射影为已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，9.在底面与）所成的角的余弦值为（异面直线 B. C.A.D.【答案】B【解析】【分析】，进而通过计算所成的角（或其补角）即为异面直线的各边长，与易知利用余弦定理求解即可.、，【详解】设的中点为，连接、所成的角（或其补角）；即为异面直线与易知的侧棱与底面边长为1，设三棱柱，，则，.由余弦定理，得B.故应选【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，通过平移找到所成角是解这类问题的关键，若平移不好做，可采用建系，利用空间向量的运算求解，属于基础题.函数的图像大致为（）10.B. A.D. C.【答案】B【解析】当时A，，义域，为排除定采试题分析：用排除法，函数B.，排除D，当时，，故选，排除C. 考点：函数图象的，若抛物线（为双曲线半焦距）的准线被双曲11.已知双曲线，则双曲线线的渐近线方程为（截得的弦长为（）为双曲线的离心率）A. B.C. D.D 【答案】【解析】【分析】和由，从而可，得方程和双曲线相交得弦长为，化简可得.，进而可得渐近线方程得的下焦的准线：【详解】∵抛物线，它正好经过双曲线点，截得的弦长为，∴准线被双曲线，∴∴，，∴，∴的渐近线方程为∴双曲线.故应选D.【点睛】本题主要考查了抛物线的准线方程及双曲线的通经长，及双曲线的渐近线的求解，属于基础题.，当时，已知函数的奇函数，且满足是定义域为12.上的解的个数是（在区间），则方程C. 7B. 5A. 3 D. 9D 【答案】【解析】【分析】进而通过分析函数的奇偶性及周期性可得时的根为由条件通过解方程可得，. 的解得个数【详解】∵当时，，.，解得，则令是周期为，∴函数4∵的周期函数.是定义域为的奇函数，又∵函数，，上，∴在区间，，在区间上的解有0，1，2，3，4，5，则方程6，7，8共9个.D.故应选时有定义必有x=0【点睛】本题主要考查了利用函数的性质求方程的根，奇函数在，.是解本题的关键，属于易错题的周期函数，必有4是周期为奇函数20二、填空题（每题5分，满分分，将答案填在答题纸上）．______已知函数13.，则处的切线方程是的图像在10【答案】．【解析】【分析】通过切线可得斜率即可导数值，再求函数值即可.【详解】由已知切点在切线上，所以，.切点处的导数为切线斜率，所以，所以【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，属于基础题.，则的最大值是______． 14.满足已知实数14 【答案】【解析】【分析】.作出不等式的可行域，通过平移直线，当纵截距最大时即可所求作出可行域如图，【详解】由约束条件，解得，联立时，直线在化目标函数轴上的截为，由图可知，当直线过距最大，有最大值为14.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.则____．将函数的图像向左平移个单位得到一个偶函数的图像，15.【答案】【解析】【分析】，，即可得解通过函数图象平移得到.为偶函数，进而由的图像，个单位得到的图像向左平移【详解】将函数.，所以，其图像关于，又轴对称，所以有【点睛】本题主要考查了三角函数的图像平移及奇偶性，属于基础题.直三棱柱的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接16.，则该三棱柱体积的最大值为______．球的体积为【答案】【解析】【分析】由题意可知三棱柱上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，利用. 勾股定理建立变量间的关系，结合均值不等式得到最值【详解】设三棱柱底面直角三角形的直角边为a，b，则棱柱的高，设外接球的半径为r，解得，则，∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，，∴，∴．∴时“＝”成立．∴．当且仅当∴三棱柱的体积．故答案为：【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．PABCPAPBPCPAaPBb，＝，＝两两互相垂直，且，，构成的三条线段，，，若球面上四点(2)．2222caPCcRb求解．＋＝＝，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4＋三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分，17.满足已知正项等比数列.的通项公式；）求数列（1项和，求数列）记.的前（2【答案】（）．（2）．1 【解析】【分析】，解出基本量即可得到数列(1) 由题意得的通项公式；. ）知，由（ (2) 1，利用裂项相消法求和，由已知，1【详解】（）设数列的公比为q由题意得，．所以解得，．．因此数列的通项公式为）知，1 ，2）由（（∴．【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：；（（2） 3）；(1)；此外， 4（；）需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.某工厂某产品近几年的产量统计如下表：（万年产量7.46.776.67.17.2件）；）根据表中数据，求关于的线性回归方程（1（2）若近几年该产品每千克的价格（单位：，元）与年产量满足的函数关系式为且每年该产品都能售完.①根据（1）中所建立的回归方程预测该地区年该产品的产量；②当为何值时，销售额最大？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.【答案】（1）（2）①7. 56②【解析】【分析】，利用最小二乘法即可求得线性回归方程；（1）求得样本中心点t=7）年该农产品的产量； t=7代入线性回归方程，即可预测该地区2019（）①将（2727yyyyS×10+4.5=（–0.3②由题，先表示出，销售额（=4.5–0.3））×10ySy=7.5，可得结果. 取得最大值，只有y=7.56最靠近可知，当=7.5时，函数【详解】（1）由题意，得，，=（–2.5）×（–0.4）+（–1.5）×（–0.3） +0+0.5×0.1+1.5×0.2+2.5×0.4=2.8，222222=17.5．0.5）+2.5+0.5=（–2.5） +（–1.5）+1.5+（–，得，由，得，又ty的线性回归方程为关于．∴t）知，当1=72时，，）①由（（所以预测2019年该农产品产量为7.56万吨．727ySyyyy）×10（–×10=0.3（元）②当年产量为+4.5时，销售额4.5=（–0.3，）的yyS，，7.2，7.4当，=75时，函数7.56}取得最大值，又因∈{6.6，6.7，7，7.1ty =7时，即2019年销售额最大．计算得当=7.56，即【点睛】本题主要考查了线性回归方程，公式的熟练以及计算的仔细是解题的关键，属于较. 为基础题，AC的中E，D，分别是ABC平面的所有棱长都是2，19.如图，三棱柱点．求证：平面；求二面角的余弦值．）2）见解析； .（1【答案】（【解析】【分析】；1，进而证得平面（）利用线面垂直的判定和性质，得到的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二和面DBE）建立空间直角坐标系，求面2（．面角的余弦值.）∵（1AC【详解】的中点，∴，，D是，∴平面平面平面ABC∵ABC，，∴平面∴．，分别是ACD，EAD≌△ACE的中点，易证得∴△A 又∵在正方形中，1DA+∠CAE=90° ,即．∴∠ADA=∠AEC, ∵∠AEC+∠CAE=90°，∴∠A11平面．又，∴，则又中点F，以DF，DA，DB为x，y，z2（轴建立空间直角坐标系）取，，，，，，，的一个法向量为DBE，设平面则，，令，则的一个法向量为，设平面，则，令，则，观察可知为锐角，设二面角的平面角为．的余弦值为故二面角．【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定和应用空间向量求二面角的余弦值，在解题的过程中，注意对角的判定，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.，且过点20..已知椭圆的离心率为 1）求椭圆的标准方程；（，当，并延长交椭圆于点作直线与椭圆交于另一个点是左焦点，连接（2）过右顶点. 面积最大时，求直线的方程.2）【答案】（1；）（【解析】【分析】）根据条件列方程，进而可得椭圆方程；1 （，将直线与椭圆联立，结合韦达定理，可得）由（2又斜率不存在时，，可得，，，令.从而得最大值，）设椭圆方程为【详解】（1，解之得，由题意知：所以椭圆方程为.，，当直线斜率存在时，所在直线为设，由题知，2（），①，.，，代入①式得，，，则令时，.当斜率不存面积最大时，轴，此时直线的斜率为故当垂直于，则直线的方程：.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，考查了“设而不求”的解法，着重考查了运算能力，属于中档题.，为自然对数的底数，，21..已知函数，求函数（1）若的单调区间；. ）若有2，方程个解，求的值（）单调增区间为【答案】（10.，单调减区间为；（2）【解析】【分析】（1）求函数导数，结合定义域即可得单调区间；在区间内单调递增，（2，求函数的导数可得）设，整理得，，结合条件.的范围可得解，结合基本不等式及，其定义域为1）当，时，【详解】（，，得，解解，得，的单调增区间为.，单调减区间为所以函数）设2 ，（个零点，有由题意知．，，∵，，则记内单调递增知.在区间，又∵，内存在唯一的零点，∴在区间，即，.于是单调递减；时，当，单调递增，.时，当∴，时，取等号当且仅当.，得，由即.∴没有零点.，即函数【点睛】本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性及零点，涉及“隐零点”的解法，是解题的关键，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立已知直线的参数方程为（为参数）的极坐标方程为.极坐标系，曲线）求曲线的直角坐标方程与直线的极坐标方程；1 （，求.（不同于原点）（2）若直线，与直线交于点的值与曲线交于点.）2）1【答案】（:（;;: 【解析】．【分析】(1) 先根据极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程C，将直线参数方程化为普通方程；将分别代入直线l和曲线C的极坐标方程求出A，B(2) 到原点的距离，作差得出|AB|．）∵（1，∴，【详解】的直角坐标方程为C．∴曲线，∴．的参数方程为（t∵直线l为参数）的极坐标方程为．∴直线l得的极坐标方程2（，）将代入曲线C点的极坐标为．∴A，解得．的极坐标方程得将代入直线l点的极坐标为∴B，∴．【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题．23.选修4-5：不等式选讲已知函数.）解不等式1（；，使得不等式成立，求实数（2的取值范围）.）2（；【答案】（1）.【解析】【分析】（1）利用分段讨论去绝对值解不等式即可；即，只需恒成立，设2（）去绝对值得，对于. 可得解，可化为1（【详解】），或或∴．或或无解.分别解得所以不等式的解集为.，2. ）由题意：（成立，只需，，，要想设，在上单调递增，∴∵，∴的取值范围为，∴∴.【点睛】本题主要考查了分类讨论去绝对值的思想及恒成立问题参变分离的方法，属于基础题.。
陕西省2019届高三年级第三次联考理科数学试题(解析版)
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
12.已知函数 是定义域为 的奇函数，且满足 ，当 时， ，则方程 在区间 上的解的个数是（）
A.3B.5C.7D.9
【答案】D
【解析】
【分析】
由条件通过解方程可得 时的根为 ，进而通过分析函数的奇偶性及周期性可得 的解得个数.
【详解】∵当 时， ，
令 ，则 ，解得 .
∵ ，∴函数 是周期为4的周期函数.
【详解】∵ 是抛物线 的焦点，∴ ，准线方程 ，
设 ， ，根据抛物线的定义可得 ， ，
∴ .
解得 ，∴线段 的中点横坐标为 ，
∴线段 的中点到准线的距离为 .故应选B.
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，属于基础题.
6.已知 的面积为 ，三个内角 的对边分别为 ，若 ， ，则三角形是（）
A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定
【点睛】本题主要考查对数不等式和绝对值不等式的求解及集合的并集运算，属于基础题.
2.已知复数 （ 是虚数单位），则 的实部为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算化简复数z，从而得到其实部.
【详解】∵ ，∴z的实部为 ．
故应选B．
【点睛】数的运算，难点是乘除法法则，设 ，
=（–2.5）2+（–1.5）2+（–0.5）2+0.52+1.52+2.52=17.5．
2019届陕西省宝鸡市高三第三次模拟考试数学(理)试卷及解析
2019届宝鸡市高三三模考试
数学（理）试卷
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1.已知函数的值域为集合A ，集合，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出集合A,再求得解.
【详解】由题得A=(0,+∞)，
所以.
故选：C
【点睛】本题主要考查集合的并集运算和指数函数的值域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2.复数在复平面内对应的点位于（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
先计算出z=1-i ,再确定复数z在复平面内对应的点在第四象限.
【详解】由题得复数z=,
所以复数z对应的点位于复平面第四象限，
故选：D
3.平面向量与的夹角为120°，，，则（）
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精品解析：【市级联考】陕西省西安市2019届高三第三次质量检测理科数学试题(解析版)
西安市2019届高三年级第三次质量检测理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合B和，然后计算即可.【详解】解：∵；∴；∴．故选：D．【点睛】本题考查了集合的交集和补集计算，对数函数的定义域，属于基础题.2.为虚数单位，已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先化简计算复数，然后计算模长即可.【详解】解：∵，∴．故选：D【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数的模长，属于基础题.3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】，由诱导公式即可求解.【详解】因为，则．故应选C．【点睛】本题考查诱导公式的应用，合理地进行角的变换的解题关键.4.已知向量，，若与垂直，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量垂直可得数量积为，利用坐标运算列出方程，即可解得的值.【详解】因为与垂直，所以，解得．故应选B．【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，是基础题.5.过双曲线的一个焦点作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为，为坐标原点，若，则此双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】中，,所以且=c，所以.根据题意有：，即离心率.故选C.点睛：本题主要考查双曲线的渐近线及离心率，离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．6.在中，角，，的对边分别为，，，若的面积和周长分别为和，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三角形的面积和周长公式得出的关系式，再利用角和余弦公式得到关于的方程，可解得的值.【详解】由题意可得，，∴，∴.∵，∴．由余弦定理可得，，解得．故应选A．【点睛】本题考查利用余弦定理和面积公式解三角形.在运用余弦定理时常用到. 7.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】按程序框图的顺序得出循环结构中每次的赋值，可发现的值呈现周期性变化，再结合循环条件可得输出的值.【详解】当时，，时，，当时，，所以的值呈现周期性变化，周期为.当时，的值与时的值相等，即.当时，不成立，输出．故应选D．【点睛】本题考查程序框图的输出结果.8.某小区计划在一正六边形花园内均匀地栽种株花卉，如图所示，则阴影部分能栽种的株数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意得阴影部分与正六边形的面积比等于阴影部分栽种的花卉株数与总的花卉株数之比，则答案易得. 【详解】由题意可得阴影部分面积占正六边形面积的，设阴影部分能栽种株，则有，解得．故应选D．【点睛】本题考查抽样的基本问题.9.将正方形沿对角线折起，并使得平面垂直于平面，直线与所成的角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将异面直线平移到同一个三角形中，可求得异面直线所成的角.【详解】如图，取，，的中点，分别为，，，则，所以或其补角即为所求的角.因为平面垂直于平面，，所以平面，所以.设正方形边长为，，所以，则.所以.所以是等边三角形，.所以直线与所成的角为．故应选B．【点睛】本题考查异面直线所成的角.10.函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用已知函数的对称性及特殊点进行判断即可.【详解】函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当时，，排除A；当时，，排除D．故应选C．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.11.过抛物线的焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于，两点，若三角形的面积为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由抛物线方程得焦点坐标，得直线的方程，求出点的方程，从而可表示出三角形的面积，解出即可.【详解】过抛物线的焦点且与轴垂直的直线与抛物线的交点为，所以.因为三角形的面积为，所以，解得.故应选B．【点睛】本题考查抛物线的方程和焦点等基本问题.12.若定义在上的函数满足且时，，则方程的根的个数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意作出函数与的图象，两图象的交点个数即为方程的根的个数.【详解】因为函数满足，所以函数是周期为的周期函数.又时，，所以函数的图象如图所示.再作出的图象，易得两图象有个交点，所以方程有个零点．故应选A．【点睛】本题考查函数与方程.函数的零点、方程的根、函数图象与轴交点的横坐标之间是可以等价转化的.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数有极值，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】三次函数有极值，则有两个不等的实根，则，可解得的取值范围.【详解】由题意可得：.若函数有极值，则一元二次方程有两个不同的实数根，所以，整理可得：，据此可知的取值范围是或．【点睛】本题考查导数与极值.函数的极值点必为导函数的零点，但在导函数的零点处函数不一定取得极值，还需验证导函数验在零点附近的正负.如果三次函数的导函数(二次函数)对应的方程有两个相同的实根，那么三次函数是没有极值的.14.若实数，满足约束条件，则最大值是________．【答案】【解析】【分析】作出不等式组表示平面区域，平移目标函数所表示的直线，可得出目标函数的最大值.【详解】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示：可变形为，表示斜率为的直线，平移该直线，当直线经过点时，取得最大值，．【点睛】本题考查简单的线性规划问题.15.已知函数，对任意，，将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于原点中心对称，则函数在上的值域为___．【答案】【解析】【分析】先由周期性求得，由平移求得，再求三角函数在区间上的值域.【详解】由题意知函数的周期为，∴，即.将函数的图象向右平移个单位后得：，由其图象关于原点中心对称，故.∵，∴，故.∵，∴.∴，即函数在上的值域为.【点睛】本题考查三角函数的性质，求出三角函数的解析式是解题关键.16.已知正三棱柱的各条棱长都相等，且内接于球，若正三棱柱的体积是，则球的表面积为_____．【答案】【解析】【分析】先由正三棱柱的体积求出棱长，再求出球的半径和表面积.【详解】设，则正三棱柱的体积是，解得，底面正三角形的外接圆半径，所以球的半径，所以球的表面积为．【点睛】本题考查棱柱的体积、球的表面积，几何体与球的切接问题，根据几何体的结构特征求得球的半径是解题关键.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）17.设数列的前项和为，已知．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用可求得，利用可得出是等比数列，则可得到的通项公式.(2)根据的通项公式，可用裂项相消法求和.【详解】（1）因为，①所以当时，，得；当时，.②①②两式相减得，所以.所以数列是以为首项，为公比的等比数列.所以．（2）由（1）得，所以．【点睛】本题考查求数列的通项和前项和.18.通过随机调查大学生在购物时是否先询问价格得到如下列联表：（1）根据以上列联表判断，能否在反错误的概率不超过的前提下认为性别与是否先询问价格有关系？（2）从被调查的28名不先询问价格的大学生中，随机抽取2名学生调查其优先关注哪个方面的问题，求抽到女生人数的分布列及数学期望．附：【答案】（1）能；（2）. 【解析】【分析】（1）由二联表中数据计算出，结合附表做出判断；（2）的取值可能为，，，分别计算出概率，列出分布列表格，计算出数学期望即可.【详解】解：（1）由计算可得．所以在犯错误的概率不超过的前提下认为“性别与先询问价格之间有关系”．（2）的取值可能为，，．，，．的分布列为的数学期望为．【点睛】本题考查了独立性检验，随机变量的分布列和数学期望，属于基础题.19.已知椭圆：经过点，右焦点到直线的距离为．（1）求椭圆的标准方程（2）过点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于，两点．求证：直线恒过定点．【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】(1)由题意列出关于的方程组，解得的值，即可得椭圆的标准方程.(2)设出直线的方程，代入椭圆方程，可求得点的坐标，由即可证得直线恒过定点. 【详解】（1）由题意知，，，，解得，，．所以椭圆的标准方程为．（2）证明：显然直线的斜率存在．设直线的方程为，联立方程组得，解得，，所以，．由垂直，可得直线的方程为.用替换前式中的，可得，.则，，所以，故直线恒过定点．【点睛】本题考查椭圆的综合问题.求椭圆方程的方法一般是解关于的方程组，是简单题.要证明过两点的直线恒过第三点，相当于证明三点共线，可由用任意两点求得的斜率相等来证.20.如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，，．（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）证明：连接，，发现，求出和，并证得，又平面，所以，所以平面，证得；（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量为，设平面的法向量为，然后计算夹角即可.【详解】解：（1）证明：连接，，因为在中，，，．所以．所以，因为．所以，又平面，且平面，所以，，所以平面，因为平面，所以．（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，设平面的法向量为，则，取，则，取．所以，即二面角的平面角的余弦值为．【点睛】本题考查了直线与平面垂直的证明，空间向量求解二面角的平面角，属于中档题.21.已知，函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程.（2）是否存在实数，使得恒成立？若存在，求实数的取值集合；若不存在，请说明理由．【答案】（1）.（2）存在实数，使得恒成立，的取值集合为．【解析】【分析】(1)由斜率等于导数值求切线方程.(2)恒成立，则的最小值恒大于等于，从而可求得的取值集合，若无解则不存在满足条件的实数.【详解】（1）当时，，，，，所以曲线在处的切线方程为，即．（2）假设存在实数，使得恒成立.，令，又，则，所以有两个不等根，，，不妨设.所以在上递减，在上递增.所以成立.因为，所以，所以．令，，所以在上递增，在上递减.所以.又，所以，.代入，得，所以存在实数，使得恒成立，的取值集合为．【点睛】本题考查函数与导数的综合问题.由导数的几何意义求切线方程，恒成立问题一般可转化为最值问题.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22.极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（是参数）．（1）求的直角坐标方程和的普通方程；（2）若与有两个不同公共点，，求．【答案】（1）的直角坐标方程为，的普通方程为；（2）【解析】【分析】(1)在极坐标方程中凑出，分别替换为即可化得直角坐标方程.把参数方程中的消去即可得普通方程.(2)为双曲线，为直线，求直线和双曲线相交的弦长，联立方程，由弦长公式即可求得.【详解】由,可得，则，所以的直角坐标方程为.由消去参数得的普通方程为.（2）由（l）知是双曲线，是直线，把直线方程代入双曲线方程消去，得.设，，所以，，所以．【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合问题.解题的一般方法是把极坐标方程化成直角坐标方程，把参数方程化为普通方程，再在直角坐标系中解决问题.选修4-5：不等式选讲23.已知．（1）关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若，且，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)把化成分段函数求出其最大值，恒成立即，解不等式即可.(2)由的解析式和最值，可得出的取值范围，则结果易求.【详解】（1）所以的最大值为.因为，所以，解得或.所以的取值范围是.（2）由（1）得，，，所以.因为，所以.所以.所以．所以的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值的函数与不等式的综合问题.解题的一般思路是用零点分段讨论法把绝对值函数化成分段函数.。
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陕西省2019届高三年级第三次联考理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分别解对数不等式和绝对值不等式得集合A,B进而求并集即可.【详解】，，则.故应选D.【点睛】本题主要考查对数不等式和绝对值不等式的求解及集合的并集运算，属于基础题.2.已知复数（是虚数单位），则的实部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算化简复数z，从而得到其实部.【详解】∵，∴z的实部为．故应选B．【点睛】数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，结合条件得正切，代入求解即可.【详解】由已知得，.故应选B.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，“弦化切”是本题的关键，属于基础题.4.已知向量，，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接由向量的夹角公式代入求解即可得出答案.【详解】；；又；与的夹角为．故选：A．【点睛】本题主要考查了向量的夹角公式，属于基础题.5.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到准线的距离为（）A. B. C. 1 D. 3【答案】B【解析】【分析】由抛物线的定义可得，进而得，从而得中点横坐标，进而得解.【详解】∵是抛物线的焦点，∴，准线方程，设，，根据抛物线的定义可得，，∴.解得，∴线段的中点横坐标为，∴线段的中点到准线的距离为.故应选B.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，属于基础题.6.已知的面积为，三个内角的对边分别为，若，，则三角形是（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】由三角形的面积公式和余弦定理化简条件可得，进而得，结合角A的范围可得解. 【详解】∵，，∴，可得，可得，∴可得，∵，可得：，∴，解得：故应选A.【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式及余弦定理的应用，属于中档题.7.阅读如图所示的程序框图，则输出的（）A. 30B. 29C. 90D. 54【答案】D【解析】【分析】模拟程序的运行，不断计算i和S，直到满足条件，退出循环，即可得解.【详解】模拟程序的运行，可得，，执行循环体，，；不满足条件，执行循环体，，；不满足条件，执行循环体，，；不满足条件，执行循环体，，；此时，满足条件，退出循环，输出的值为54.故应选D.【点睛】本题主要考查了循环结构的计算功能，正确识别何时循环结束是解决这类问题的关键，属于基础题.8.同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为，则的数学期望是（）A. 1B.C. 2D.【答案】A【解析】【分析】先计算依次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率，进而利用二项分布求数学期望即可. 【详解】∵一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率为，∴，∴.故应选A.【点睛】本题主要考查了二项分布的应用，属于基础题.9.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】易知即为异面直线与所成的角（或其补角），进而通过计算的各边长，利用余弦定理求解即可.【详解】设的中点为，连接、、，易知即为异面直线与所成的角（或其补角）；设三棱柱的侧棱与底面边长为1，则，，，由余弦定理，得.故应选B.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，通过平移找到所成角是解这类问题的关键，若平移不好做，可采用建系，利用空间向量的运算求解，属于基础题.10.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：采用排除法，函数定义域为，排除A，当时，，排除D，当时，，排除C，故选B.考点：函数图象.11.已知双曲线，若抛物线（为双曲线半焦距）的准线被双曲线截得的弦长为（为双曲线的离心率），则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由和双曲线相交得弦长为，得方程，化简可得和，从而可得，进而可得渐近线方程.【详解】∵抛物线的准线：，它正好经过双曲线的下焦点，∴准线被双曲线截得的弦长为，∴，∴，∴，∴，∴双曲线的渐近线方程为.故应选D.【点睛】本题主要考查了抛物线的准线方程及双曲线的通经长，及双曲线的渐近线的求解，属于基础题.12.已知函数是定义域为的奇函数，且满足，当时，，则方程在区间上的解的个数是（）A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】D【解析】【分析】由条件通过解方程可得时的根为，进而通过分析函数的奇偶性及周期性可得的解得个数.【详解】∵当时，，令，则，解得.∵，∴函数是周期为4的周期函数.又∵函数是定义域为的奇函数，∴在区间上，，，，，则方程在区间上的解有0，1，2，3，4，5，6，7，8共9个.故应选D.【点睛】本题主要考查了利用函数的性质求方程的根，奇函数在x=0时有定义必有，奇函数是周期为4的周期函数，必有是解本题的关键，属于易错题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数的图像在处的切线方程是，则______．【答案】10【解析】【分析】通过切线可得斜率即可导数值，再求函数值即可.【详解】由已知切点在切线上，所以，切点处的导数为切线斜率，所以，所以.【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，属于基础题.14.已知实数满足，则的最大值是______．【答案】14【解析】【分析】作出不等式的可行域，通过平移直线，当纵截距最大时即可所求.【详解】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最大值为14. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.将函数的图像向左平移个单位得到一个偶函数的图像，则____．【答案】【解析】【分析】通过函数图象平移得到为偶函数，进而由，，即可得解.【详解】将函数的图像向左平移个单位得到的图像，其图像关于轴对称，所以有，，又，所以.【点睛】本题主要考查了三角函数的图像平移及奇偶性，属于基础题.16.直三棱柱的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为，则该三棱柱体积的最大值为______．【答案】【解析】【分析】由题意可知三棱柱上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，利用勾股定理建立变量间的关系，结合均值不等式得到最值.【详解】设三棱柱底面直角三角形的直角边为a，b，则棱柱的高，设外接球的半径为r，则，解得，∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，∴．∴，∴，∴．当且仅当时“＝”成立．∴三棱柱的体积．故答案为：【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.已知正项等比数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】(1)由题意得，解出基本量即可得到数列的通项公式；(2)由（1）知，，利用裂项相消法求和.【详解】（1）设数列的公比为q，由已知，由题意得，所以．解得，．因此数列的通项公式为．（2）由（1）知，，∴．【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.某工厂某产品近几年的产量统计如下表：年产量（万（1）根据表中数据，求关于的线性回归方程；（2）若近几年该产品每千克的价格（单位：元）与年产量满足的函数关系式为，且每年该产品都能售完.①根据（1）中所建立的回归方程预测该地区年该产品的产量；②当为何值时，销售额最大？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.【答案】（1）（2）①7. 56②【解析】【分析】（1）求得样本中心点，利用最小二乘法即可求得线性回归方程；（2）①将t=7代入线性回归方程，即可预测该地区2019（t=7）年该农产品的产量；②由题，先表示出，销售额S=（4.5–0.3y）y×107=（–0.3y2+4.5y）×107可知，当y=7.5时，函数S取得最大值，只有y=7.56最靠近y=7.5，可得结果.【详解】（1）由题意，得，，=（–2.5）×（–0.4）+（–1.5）×（–0.3）+0+0.5×0.1+1.5×0.2+2.5×0.4=2.8，=（–2.5）2+（–1.5）2+（–0.5）2+0.52+1.52+2.52=17.5．由，得，又，得，∴y关于t 的线性回归方程为．（2）①由（1）知，当t=7时，，所以预测2019年该农产品产量为7.56万吨．②当年产量为y时，销售额S=（4.5–0.3y）y×107=（–0.3y2+4.5y）×107（元），当y=75时，函数S取得最大值，又因y∈{6.6，6.7，7，7.1，7.2，7.4，7.56}，计算得当y=7.56，即t=7时，即2019年销售额最大．【点睛】本题主要考查了线性回归方程，公式的熟练以及计算的仔细是解题的关键，属于较为基础题.19.如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面ABC，D，E分别是AC ，的中点．求证：平面；求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定和性质，得到平面，进而证得；（2）建立空间直角坐标系，求面DBE和面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角的余弦值.【详解】（1）∵，D是AC的中点，∴，∵平面ABC，∴平面平面ABC，∴平面，∴．又∵在正方形中，D，E分别是AC，的中点，易证得∴△A1AD≌△ACE∴∠A1DA=∠AEC, ∵∠AEC+∠CAE=90°，∴∠A1DA+∠CAE=90° ,即．又，∴平面．又，则（2）取中点F，以DF，DA，DB为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，，，，，设平面DBE的一个法向量为，则，令，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，设二面角的平面角为，观察可知为锐角，故二面角的余弦值为．【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定和应用空间向量求二面角的余弦值，在解题的过程中，注意对角的判定，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.20.已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过右顶点作直线与椭圆交于另一个点，是左焦点，连接并延长交椭圆于点，当面积最大时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据条件列方程，进而可得椭圆方程；（2）由，将直线与椭圆联立，结合韦达定理，可得，令，可得，又斜率不存在时，，从而得最大值.【详解】（1）设椭圆方程为，由题意知：，解之得，所以椭圆方程为.（2）由题知，当直线斜率存在时，设所在直线为，，，，①，，.代入①式得，令，则，，当斜率不存时，.故当面积最大时，垂直于轴，此时直线的斜率为，则直线的方程：.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，考查了“设而不求”的解法，着重考查了运算能力，属于中档题.21.已知函数，，，为自然对数的底数.（1）若，求函数的单调区间；（2）若，方程有个解，求的值.【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）0.【解析】【分析】（1）求函数导数，结合定义域即可得单调区间；（2）设，求函数的导数可得在区间内单调递增，，，结合条件，整理得，结合基本不等式及的范围可得解.【详解】（1）当时，，其定义域为，，解，得，解，得，所以函数的单调增区间为，单调减区间为.（2）设，由题意知有个零点，∵，，记，则，知在区间内单调递增.又∵，，∴在区间内存在唯一的零点，即，于是，.当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴，当且仅当时，取等号.由，得，∴，即函数没有零点.即.【点睛】本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性及零点，涉及“隐零点”的解法，是解题的关键，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程与直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于点（不同于原点），与直线交于点，求的值.【答案】（1）:;:;（2）.【解析】【分析】(1) 先根据极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程C，将直线参数方程化为普通方程；(2) 将分别代入直线l和曲线C的极坐标方程求出A，B到原点的距离，作差得出|AB|．【详解】（1）∵，∴，∴曲线C的直角坐标方程为．∵直线l的参数方程为（t为参数），∴．∴直线l的极坐标方程为．（2）将代入曲线C的极坐标方程得，∴A点的极坐标为．将代入直线l的极坐标方程得，解得．∴B点的极坐标为，∴．【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题．23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2），使得不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用分段讨论去绝对值解不等式即可；（2）去绝对值得，对于恒成立，设，只需即可得解.【详解】（1）可化为，∴或或，分别解得或或无解.所以不等式的解集为.（2）由题意：，.设，要想，成立，只需，∵，∴在上单调递增，∴，∴，∴的取值范围为.【点睛】本题主要考查了分类讨论去绝对值的思想及恒成立问题参变分离的方法，属于基础题.。