现代信号处理胡广元第二章

2
Linear scale
Energy spectral density
0.4
Frequency [Hz]
167 84 0
0.3
0.2
0.1
0
20
40
60 80 Time [s]
100
120
10
例5
设 x(t ) 由两个时频“原子”构成, 一个时间中心 t1 50 处，时宽是32，另一个时间中心在 t2 90 处时宽也是32，调制信号的归一化频率都是0.25 。 选择 g ( )为Hanning窗
2.5 临界抽样情况下连续信号 Gabor展开系数的计算
x(t )
m n
C
m n


m ,n m ,n
h
(t )


j 2 mbt C h ( t na ) e m,n

如何 计算
选择一母函数 g (t ) ，移位加调制：
gm,n (t ) g (t na)e
用 g (t ) 的对偶函数 h(t ) 来表示
1 x( ) 2
区别




STFTx (t , )h ( t )e j dtd
15
* g ( t ) h (t )dt 1
2.3 离散信号的短时傅立叶变换
STFTx (m, ) x( n) g * ( n mN )e j n
Signal in time
Real part
0.5 0 -0.5 |STFT| , Lh=63, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%
2
Linear scale
Energy spectral density
0.4
Frequency [Hz]
0.3
0.2
0.1
168
j 2 mbt

t

h(t a) exp( j 2 mbt )
展开的基函数

18
t
移位＋调制
1.如何选择 a 和b？ 2.如何选择母函数 h(t ) 3.如何求Cm,n?
4. 是否任一能量有限信
号都可作 Gabor 分解？ 5. 时－频平面离散栅格上的 任一个二维函数是否都唯一 地对应一个一 维 的 信 号 ？
若
y (t ) x (t t0 ) ， 则
jt0
STFTy (t , ) STFTx (t t0 , )e
S y ( t , ) S x ( t t 0 , )
13
2.2 短时傅立叶反变换
短时傅里叶反变换有不同的表示形式：
取反变换 1 左边＝ STFTx (t , )e j d 2 1 j ( ) 右边 x ( ) g ( t ) e d d 2
欠抽样将引起信息的丢失，因此很少被研究；
20
Gabor最早提出：
使用高斯窗 取临界抽样
x(t )
临界抽样最简单；
m n
C


m,n m,n
h (t )
原因
高斯窗满足不定原理的下限； 高斯窗的傅里叶变换仍然是高斯的。
但是，由于展开系数计算的困难，Gabor展开长 期没有被重视； 从1946年～1980年，人们也不断地 提出一些计算的方法，但都不理想。直到 Bastians 于1980年提出了用“对偶”函数计算Gabor系数的方 法，这一问题才初步的被解决。 当时，考虑的是 21 ab 1 的临界情况
let t
STFTx (t , ) x( ) g ( t )e j d
1 jt x(t ) STFT ( t , ) e d x 2 g (0)
x( ) g ( t ) ( )d x( ) g ( t )
x (t ) L ( R ) 其STFT定义为:
2
STFTx (t , ) x( ) gt*, ( )d x( ), gt , ( )
式中
gt , ( ) g ( t )e j
|| g ( ) || 1
窗函数应取 对称函数。
d
2
STFTx (t , ) x( ) g ( t )e
第2章 短时傅立叶变换与 Gabor变换
2.1 2.2 2.3 2.4 连续信号的短时傅立叶变换 短时傅立叶反变换 离散信号的短时傅立叶变换 Gabor变换的基本概念
2.5 临界抽样时连续信号展开系数的计算 2.6 过抽样情况下连续信号展开系数的计算
1
2．1 连续信号的短时傅立叶变换
（Short Time Fourier Transform，STFT） 概念：
100
120
4091 2045
0
0
20
40
60 80 Time [s]
100
120
窗函数的宽度为55
窗函数的宽度为13
11
概念：
“谱图（spectrogram）”
2
STFTx (t , )
x( ) g ( t )e
j
d S x (t , )
2
谱图是恒正的，且是实的。
Signal in time 1
Signal in time 1
Real part
Real part
0.5 0 -0.5 |STFT| , Lh=27, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%
2
0.5 0 -0.5 |STFT| , Lh=6, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%
所以：
STFTx (t , ) e
jt
1 2



X ( )G * ( )e jt d
STFT的频域表达式 对 x( ) 在时域加窗 g ( t )
对 X (v) 在频域加窗 G (v )
等效
有了时－频定位功能，下面再关心其时－频分辨率。
5
时—频分辨率
时间中心 0 由 g ( ) 的中心位置所决定 ，即
jl
时间中心在 k 处 频率中心在 l处
t
v 分辨“细胞”为
tk 分辨“细胞”和

Ω2 Ω1
Gt , (v) Gt , (v)
v
gt , ( )
v
l 无关，即不
论 t k 和 l 处
在何处，分辨细
gt , ( )
胞的形状都保持 不变。这是STFT 的特点。 7
t1
t2
例1
令 x ( ) ( 0 ) ，可以求出其
STFTx (t , ) ( 0 ) g ( t )e g ( 0 t )e
j 0 j
d
该例说明，STFT的时间分辨率由窗函数 g ( ) 的 宽度而决定。
例2
若 x ( ) e
j 0
，则
j0
STFTx (t , ) e
g ( t )e j d
G ( 0 )e j ( 0 )t
STFT的频率分辨率由 g ( ) 频谱的宽度来决定。8
例3
若 g ( ) 1 ，则 ， G () () STFTx (t , ) X () 这时，STFT减为简单的FT，这将给不出任何的时间 定位信息。其实，由于 g ( ) 为无限宽的矩形窗，故 等于没有对信号作截短。 高斯Chirp调制信号
j
在时域也是有限支撑的;
j e 由于 在频域是线谱，所以STFT的基函数
gt , ( ) g ( t )e j Gt , (v)
的频谱的形状取决于 G (v) ，接近于有限支撑的。 而频率中心由 e j 来决定， 这样，利用STFT可实 现对 x(t ) 时－频定位的功能。
2
Linear scale
Linear scale
Energy spectral density
Energy spectral density
0.4
0.4
Frequency [Hz]
Frequency [Hz]
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
4091 2045
0
0
20
40
60 80 Time [s]
14 STFT的一维反变换表示
STFT的二维反变换来表示 ：
STFTx (t , ) x( ) g ( t )e j d
1 x( ) 2




STFTx (t , ) g ( t )e
j
dtd
1 jt x(t ) STFT ( t , ) e d x 2 g (0)
b
a
a
na
：栅格的时间长度
t
b
：栅格的频率长度
17
x(t )
m n
C


m,n m,n
h (t )
h(t )
Cm,n
Gabor展开系数；
h(t )
h(t a)
h(t na)

0
a
h(t a) exp( j 2 bt )
na
t
母函数
hm ,n (t ) h (t na )e
t1 , t2 , , tn
频率中心 v0由G(v)的中心决定，即
1 , 2 , , n
时宽：2 带宽：
2

1 2
2
| g ( ) | d
2
与时移 t 无关