第04章_多元线性回归分析估计
高一数学必修三课件第章线性回归方程
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02
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变量
在某一过程中可以取不同 数值的量。
自变量
能够影响其它变量，而又 不受其它变量影响的变量 。
因变量
依赖于其它变量，而又不 能影响其它变量的变量。
散点图及其特点
散点图
用点的密度和变化趋势表示两指 标之间的直线和曲线关系的图。
特点
能直观表现出影响因素和预测对 象之间的总体关系趋势。
线性回归方程定义
通过绘制自变量和因变量的散点图，观察数据点 分布形态，若呈现非线性形态，则可能存在非线 性关系。
曲线拟合
根据散点图形态，选择合适的曲线类型进行拟合 ，如二次曲线、指数曲线、对数曲线等。
3
变换自变量或因变量
通过对自变量或因变量进行变换，如取对数、平 方、开方等，将非线性关系转化为线性关系。
可化为线性关系非线性模型
一致性
随着样本量的增加，线性回归方程 的系数估计值会逐渐接近真实值。
预测值与置信区间估计
预测值
根据回归方程和给定的自 变量值，可以计算出因变 量的预测值。
置信区间
通过构造置信区间，可以 对预测值进行区间估计， 表示预测值的可靠程度。
置信水平
置信水平表示了置信区间 包含真实值的概率，常用 的置信水平有95%和99% 。
在数据采集过程中，可能存在某些自变量 被重复测量或高度相关的情况。
变量设计问题
样本量问题
在变量设计时，可能存在某些自变量之间 存在固有的高度相关性。
当样本量较小而自变量较多时，也容易出 现多重共线性问题。
识别和处理多重共线性方法
观察自变量间的相关系数
如果两个自变量间的相关系数很高，则可能存在多重共线性 。
案例二
线性回归模型检验方法拓展-三大检验
线性回归模型检验⽅法拓展-三⼤检验第四章线性回归模型检验⽅法拓展——三⼤检验作为统计推断的核⼼内容，除了估计未知参数以外，对参数的假设检验是实证分析中的⼀个重要⽅⾯。
对模型进⾏各种检验的⽬的是，改善模型的设定以确保基本假设和估计⽅法⽐较适合于数据，同时也是对有关理论有效性的验证。
⼀、假设检验的基本理论及准则假设检验的理论依据是“⼩概率事件原理”，它的⼀般步骤是（1）建⽴两个相对（互相排斥）的假设（零假设和备择假设）。
（2）在零假设条件下，寻求⽤于检验的统计量及其分布。
（3）得出拒绝或接受零假设的判别规则。
另⼀⽅⾯，对于任何的检验过程，都有可能犯错误，即所谓的第⼀类错误P（拒绝H|H0为真）=α和第⼆类错误P（接受H|H0不真）=β在下图，粉红⾊部分表⽰P（拒绝H0|H0为真）=α。
黄⾊部分表⽰P（接受H0|H0不真）=β。
⽽犯这两类错误的概率是⼀种此消彼长的情况，于是如何控制这两个概率，使它们尽可能的都⼩，就成了寻找优良的检验⽅法的关键。
下⾯简要介绍假设检验的有关基本理论。
参数显著性检验的思路是，已知总体的分布(,)F X θ，其中θ是未知参数。
总体真实分布完全由未知参数θ的取值所决定。
对θ提出某种假设001000:(:,)H H θθθθθθθθ=≠><或，从总体中抽取⼀个容量为n 的样本，确定⼀个统计量及其分布，决定⼀个拒绝域W ，使得0()P W θα=，或者对样本观测数据X ，0()P X W θα∈≤。
α是显著性⽔平，即犯第⼀类错误的概率。
既然犯两类错误的概率不能同时被控制，所以通常的做法是，限制犯第⼀类错误的概率，使犯第⼆类错误的概率尽可能的⼩，即在0()P X W θα∈≤ 0θ∈Θ的条件下，使得()P X W θ∈，0θ∈Θ-Θ达到最⼤，或1()P X W θ-∈，0θ∈Θ-Θ达到最⼩。
其中()P X W θ∈表⽰总体分布为(,)F X θ时，事件W ∈{X }的概率，0Θ为零假设集合（0Θ只含⼀个点时成为简单原假设，否则称为复杂原假设）。
多元线性回归分析在QCA数值比较器可靠性研究中的应用
器件物理与器件模拟多元线性回归分析在QCA 数值比较器可靠性研究中的应用黄宏图1 蔡 理1 彭卫东2 柏 鹏2 杨晓阔1 刘保军1 李政操1(1空军工程大学理学院,西安,710051) (2空军工程大学综合电子信息系统研究中心,西安,710051)2011-01-10收稿,2011-05-23收改稿摘要:基于概率转移矩阵方法建立了Q CA 数值比较器的可靠性模型,采用多元线性回归方法定量分析了QCA 数值比较器中各组成元件对整体可靠性的不同影响,并比较了元件可靠性改善度对整体可靠性改善度的不同影响。
结果表明,当传输线可靠性改善度为3.00%时,整体可靠性改善度为16.51%,远高于其它元件,从而为大规模Q CA 数值比较器电路的可靠性设计提供了依据。
关键词:多元线性回归;概率转移矩阵;量子元胞自动机;数值比较器;可靠性中图分类号:T N 406 文献标识码:A 文章编号:1000-3819(2011)05-0460-04The Application of Multi -linear Regression Analysis in the Reliability Study of QCA ComparatorHUANG Hongtu 1 CAI Li 1 PENG Weido ng 2 BAI Peng 2 YANG Xiaokuo1LIU Bao jun 1 LI Zhengcao1(1College of Science ,A ir For ce Engineer ing U niv er sity ,X i ′an ,710051,CH N )(2T he Resear ch Center of E lectr onic I nf or mation Sy stem I ntegration ,A ir F or ce E ngineering University ,X i ′an ,710051,CH N )Abstract :T he reliability mo del of 1-bit QCA com parator is established based on pro babilistictransfer matrix ,and the multi -linear r eg ressio n analysis is employ ed to quantify the different ef-fects of indiv idual components on the overall r eliability in the QCA com parator.The effects of different com po nents reliability enhancem ent on the o verall reliability enhancem ent is com pared at the same level .And the simulation show s w hen the reliability enhancement of w ir e is 3.00%,the overall reliability enhancement is 16.51%,w hich far outw eig hs the enhancement bro ug ht by the other com ponent at the sam e level.Such reliability analy ses should be used for a better character-ization of QCA comparator designs and reliability impr ovement.Key words :multi -linear regression ;probabilistic transfer matrix ;quantum -dot cellular au -tomata ;comparator ;reliabilityEEACC :0170N ;1265Z第31卷 第5期2011年10月固体电子学研究与进展RESEARCH &PROGRESS OF SSEV ol.31,N o.5Oct.,2011联系作者:E-mail:hu angh ongtu@yah 基金项目:国家自然科学基金资助项目(61172043);陕西省自然科学基础研究计划重点项目(2011JZ015);陕西省电子信息系统综合集成重点实验室基金资助项目(201115Y15)引 言Patel 等人于2003年首先提出将概率转移矩阵[1-2](PTM ,pro babilistic transfer m atrix )用于电路可靠性研究。
基于多元线性回归的中国人口老龄化问题影响因素研究
第29卷㊀第4期河南教育学院学报(自然科学版)Vol.29㊀No.42020年12月Journal of Henan Institute of Education (Natural Science Edition )Dec.2020收稿日期:2020-03-24基金项目:河南省高等学校重点科研项目(21A110023);河南省高等学校青年骨干教师培养计划项目(2017GGJS202);张二丽数学建模劳模创新工作室建设项目阶段性研究成果(郑财工发[2020]13号)作者简介:张二丽(1983 ),女,河南开封人,郑州财经学院统计与大数据学院副教授,主要研究方向为微分方程的稳定性与分支理论㊁数学建模及其应用㊂doi:10.3969/j.issn.1007-0834.2020.04.003基于多元线性回归的中国人口老龄化问题影响因素研究张二丽1,2,汪太行3,王玉龙3(1.郑州财经学院统计与大数据学院,河南郑州450044;2.郑州财经学院中原统计研究所,河南郑州450044;3.郑州财经学院信息工程学院,河南郑州450044)㊀㊀摘要:根据‘中国人口统计年鉴“中1988 2018年人口统计数据,选取8个因素进行相关分析㊂通过SPSS 输出结果,选择显著性影响因素用于建立关于65岁及以上总人口数和65岁及以上人口占总人口比重的多元线性回归模型,从而分析影响我国人口老龄化问题产生的原因㊂关键词:人口老龄化;影响因素;SPSS ;相关性分析;多元线性回归中图分类号:O212.4;C924.24㊀㊀㊀㊀文献标志码:A㊀㊀㊀㊀文章编号:1007-0834(2020)04-0015-070㊀引言从21世纪开始,人口老龄化引起了社会和政府的高度重视,众多学者展开了关于人口老龄化问题的研究㊂基于对文献[1-6]的研究,并结合‘中国统计年鉴“‘中国人口统计年鉴“‘中国卫生统计年鉴“的相关数据,在建立多元线性回归模型分析人口老龄化问题时,选取了15~64岁人口数㊁人均GDP㊁人口的出生率㊁社会卫生总支出㊁0~14岁人口数㊁人口自然增长率㊁总人口数㊁人口密度作为主要因素进行分析㊂根据国际上对人口老龄化的划分标准,选取65岁及以上人口数和占总人口比重作为研究指标,分别建立关于65岁及以上总人口数以及比重的多元线性回归模型,研究以上因素对我国人口老龄化趋势产生的影响及意义㊂1㊀模型假设1)选取的样本之间相对独立;2)自变量㊁因变量二者之间的相关性非常显著;3)各项研究指标服从正态分布;4)随机误差εi 服从期望值为零的正态分布㊂2㊀符号说明本文中用到的符号说明见表1㊂3㊀人口老龄化与影响因素的回归分析本文所使用数据主要来自‘中国统计年鉴“‘中国人口统计年鉴“‘中国卫生统计年鉴“1988 2018年的各项数据㊂根据联合国对人口老龄化确定的划分标准,选取65岁及以上人口数和占总人口比重作为研究指标㊂3.1㊀相关分析对x 1至x 8共8个因素进行相关性分析,利用SPSS 软件得到的结果如表2所示㊂从表2中可看出x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6,x 7,x 8,y 1,y 2的皮尔逊相关性在0.01水平(双侧)上显著相关,检验P 值均小于0.01,说明各变量与y 1,y 2的相关性是显著的㊂为了进一步考察各项研究指标对人口老龄化的16㊀河南教育学院学报(自然科学版)2020年影响关系和影响因素,将研究以上各变量之间对y1㊁y2的影响㊂表1㊀符号说明Tab.1㊀Symbol description符号含义单位x1总人口数万人x20~14岁人口数万人x315~64岁人口数万人x4人均GDP元x5人口的出生率%x6人口自然增长率%x7政府和社会卫生总支出亿元x8人口密度人/m2y165岁及以上总人口数万人y265岁及以上人口数所占的比重%表2㊀各个变量之间的相关系数及相关检验系数P值Tab.2㊀Correlation coefficient between variables and correlation test coefficient P valuey1y2x1x2x3x4x5x6x7x8y1皮尔逊相关性10.999∗∗0.943∗∗-0.900∗∗0.902∗∗0.985∗∗-0.814∗∗-0.849∗∗0.966∗∗0.949∗∗显著性(双尾)0.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.000y2皮尔逊相关性0.999∗∗10.930∗∗-0.891∗∗0.887∗∗0.989∗∗-0.794∗∗-0.830∗∗0.974∗∗0.936∗∗显著性(双尾)0.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.000x1皮尔逊相关性0.943∗∗0.930∗∗1-0.926∗∗0.982∗∗0.886∗∗-0.950∗∗-0.969∗∗0.838∗∗1.000∗∗显著性(双尾)0.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.000x2皮尔逊相关性-0.900∗∗-0.891∗∗-0.926∗∗1-0.967∗∗-0.880∗∗0.842∗∗0.879∗∗-0.841∗∗-0.925∗∗显著性(双尾)0.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.000x3皮尔逊相关性0.902∗∗0.887∗∗0.982∗∗-0.967∗∗10.849∗∗-0.943∗∗-0.965∗∗0.804∗∗0.985∗∗显著性(双尾)0.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.000x4皮尔逊相关性0.985∗∗0.989∗∗0.886∗∗-0.880∗∗0.849∗∗1-0.715∗∗-0.760∗∗0.990∗∗0.884∗∗显著性(双尾)0.0000.0000.0000.000.0000.0000.0000.0000.000x5皮尔逊相关性-0.814∗∗-0.794∗∗-0.950∗∗0.842∗∗-.943∗∗-0.715∗∗10.996∗∗-0.644∗∗-0.948∗∗显著性(双尾)0.0000.0000.0000.000.0000.0000.0000.0000.000x6皮尔逊相关性-0.849∗∗-0.830∗∗-0.969∗∗0.879∗∗-0.965∗∗-0.760∗∗0.996∗∗1-0.691∗∗-0.967∗∗显著性(双尾)0.0000.0000.0000.000.0000.0000.0000.0000.000x7皮尔逊相关性0.966∗∗0.974∗∗0.838∗∗-0.841∗∗0.804∗∗0.990∗∗-0.644∗∗-0.691∗∗10.839∗∗显著性(双尾)0.0000.0000.0000.000.0000.0000.0000.0000.000x8皮尔逊相关性0.949∗∗0.936∗∗ 1.000∗∗-0.925∗∗0.985∗∗0.884∗∗-0.948∗∗-0.967∗∗0.839∗∗1显著性(双尾)0.0000.0000.0000.000.0000.0000.0000.0000.000㊀㊀注:∗∗为在0.01级别(双尾)相关性显著3.2㊀多元回归模型的建立根据相关分析的结果可知,各项研究指标对老龄化系数和老年人口总数都会产生影响㊂为研究这些指标对老龄化问题的具体影响,同时,又为预测人口老龄化系数和65岁及以上老年人口总数,分别建立y1与x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8和y2与x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8之间的多元线性回归方程㊂由于自变量间可能存在共线性现象,因此,采用逐步回归方法,从所有可供选择的自变量中逐步地剔除单个不显著的变量,利用SPSS软件得到相关的输出结果如表3所示㊂表3中有3个模型(模型1㊁模型2㊁模型3),从调整R拟合优度来看,模型3的拟合优度明显比模型1和模型2好(0.996>0.995>0.970)㊂从表4中易知 模型3 中的 回归平方和 为225674251.900, 残差平方和 为713695.056,总平方和=回归平方和+残差平方和㊂根据表4中统计量F的显著性水平为0.000,0.000<0.01,随着预测变量的引入,显著性水平均小于0.01,由此证明了原假设不成立㊂通过表4可以看出变量y1与x3㊁x4㊁x5之间存在第4期张二丽,等:基于多元线性回归的中国人口老龄化问题影响因素研究17㊀线性关系㊂至于线性关系的强弱,需要进一步进行分析㊂表3㊀模型拟合情况Tab.3㊀Model fitting模型R R2调整后R2标准估算的误差10.985a0.9710.970495.65720.998b0.9950.995207.31930.998c0.9970.996168.961a.预测变量:(常量),x4;b.预测变量:(常量),x4,x5;c.预测变量:(常量),x4,x5,x3;d.因变量:y1表4㊀全模型F检验(ANOVA)情况Tab.4㊀Full model F test(ANOVA)模型平方和自由度均方F Sig.1回归219754705.0001219754705.000894.4910.000b 残差6633241.92827245675.627总计226387947.000282回归225270432.9002112635216.4002620.5630.000c 残差1117514.1102642981.312总计226387947.000283回归225674251.900375224750.6402635.0450.000d 残差713695.0562528547.802总计226387947.00028a.因变量:y1;b.预测变量:(常量),x4;c.预测变量:(常量),x4,x5;d.预测变量:(常量),x4,x5,x3基于表5易见, 模型3 中各变量的T检验的Sig.值都大于0.05,说明表中各变量对因变量的影响不显著,因此不能引入线性回归模型,必须排除㊂表5㊀排除的变量情况Tab.5㊀Excluded variables模型输入Beta T Sig.偏相关共线性统计容差VIF最小容差1x1㊀0.324b9.3070.0000.8770.214 4.6620.214 x2㊀-0.147b-2.2850.031-0.4090.226 4.4190.226 x3㊀0.235b 5.3910.0000.7260.279 3.5780.279 x5㊀-0.223b-11.3280.000-0.9120.488 2.0480.488 x6㊀-0.236b-10.3390.000-0.8970.422 2.3690.422 x7㊀-0.033b-0.4360.666-0.0850.198 5.0400.198 x8㊀0.198b 4.9260.0000.6950.360 2.7780.3602x1㊀-0.123c-0.8650.395-0.1700.009106.2780.009 x2㊀0.107c 3.3400.0030.5550.1337.4910.133 x3㊀-0.192c-3.7610.001-0.6010.04820.6600.048 x6㊀0.405c 1.7180.0980.3250.003314.2990.003 x7㊀-0.019c-0.6180.542-0.1230.198 5.0470.160 x8㊀-0.068c-1.6730.107-0.3170.1069.4110.1063x1㊀0.194d 1.3900.1770.2730.006160.0030.006 x2㊀0.000d-0.0030.997-0.0010.01951.5190.007 x6㊀-0.183d-0.6700.509-0.1360.002575.5600.002 x7㊀0.021d0.7500.4610.1510.168 5.9480.041 x8㊀0.027d0.5860.5640.1190.06216.2220.028a.因变量:y1;b.模型中的预测变量:(常量),x4;c.模型中的预测变量:(常量),x4,x5;d.模型中的预测变量:(常量),x4,x5,x318㊀河南教育学院学报(自然科学版)2020年从表6中可以看出多元线性回归方程应该为y 1=18532.588+0.130ˑx 4-362.105ˑx 5-0.064ˑx 3㊂表6㊀回归方程待估系数的估计情况Tab.6㊀Estimation of coefficient to be estimated in regression equation模型未标准化系数B 标准误差标准化系数Beta T Sig.共线性统计容差VIF 1(常量)7330.861137.99753.1230.000x 40.1440.0050.98529.9080.0001.0001.0002(常量)11048.025333.17133.1600.000x 40.1200.0030.82541.8590.0000.4882.048x 5-227.56420.088-0.223-11.3280.0000.4882.0483(常量)18532.5882008.4689.2270.000x 40.1300.0040.89436.8110.0000.2144.676x 5-362.10539.341-0.355-9.2040.0000.08511.827x 3-0.0640.017-0.192-3.7610.0010.04820.660a.因变量:y 1图1为残差分布的直方图,直方图上,残差分布大致呈正态分布,不存在极端值㊂图2为因变量累计概率和模型预测值累计概率间的P -P 图,残差散点呈直线趋势,符合正态分布,也不存在极端值㊂图1㊀标准化残差直方图Fig.1㊀Normalized residual histogram图2㊀P -P 概率图Fig.2㊀P -P probability map㊀㊀通过表7可知,有3个模型(模型4㊁模型5㊁模型6),从调整R 拟合优度来看,模型6的拟合优度明显比模型4和模型5好(0.996>0.993>0.977)㊂表7㊀模型拟合情况Tab.7㊀Model fitting模型R R 2调整后R 2标准估算的误差/%40.989a 0.9780.9770.2632150.997b0.9930.9930.1471160.998c0.9960.9960.11219a.预测变量:(常量),x 4;b.预测变量:(常量),x 4,x 5;c.预测变量:(常量),x 4,x 5,x 3;d.因变量:y 2根据表8中,统计量F 的显著性水平为0.000,0.000<0.01,随着预测变量的引入,显著性水平均小于0.01,由此证明了原假设不成立㊂通过表8可以看出变量y 2与x 3㊁x 4㊁x 5之间存在线性关系㊂第4期张二丽,等:基于多元线性回归的中国人口老龄化问题影响因素研究19㊀表8㊀全模型F检验(ANOVA)情况Tab.8㊀Full model F test(ANOVA)模型平方和自由度均方F Sig.4回归83.807183.8071209.6860.000b 残差 1.871270.069总计85.678285回归85.115242.5571966.5330.000c 残差0.563260.022总计85.678286回归85.363328.4542260.6740.000d 残差0.315250.013总计85.67828a.因变量:y2;b.预测变量:(常量),x4;c.预测变量:(常量),x4,x5;d.预测变量:(常量),x4,x5,x3表9㊀排除的变量情况Tab.9㊀Excluded variables模型输入Beta T Sig.偏相关共线性统计容差VIF最小容差4x10.249b 6.3450.0000.7800.214 4.6620.214 x2-0.093b-1.6000.122-0.2990.226 4.4190.226 x30.170b 3.9130.0010.6090.279 3.5780.279 x5-0.177b-7.7740.000-0.8360.488 2.0480.488 x6-0.186b-7.1990.000-0.8160.422 2.3690.422 x7-0.041b-0.6410.527-0.1250.198 5.0400.198 x80.143b 3.6470.0010.5820.360 2.7780.3605x1-0.277c-1.7590.091-0.3320.009106.2780.009 x20.124c 3.3830.0020.5600.1337.4910.133 x3-0.245c-4.4390.000-0.6640.04820.6600.048 x60.512c 1.9090.0680.3570.003314.2990.003 x7-0.031c-.8580.399-0.1690.198 5.0470.160 x8-0.100c-2.2050.037-0.4040.1069.4110.1066x10.066d0.4260.6740.0870.006160.0030.006 x2-0.081d-0.9340.360-0.1870.01951.5190.007 x6-0.238d-.08140.424-0.1640.002575.5600.002 x70.019d0.6400.5280.1300.168 5.9480.041 x80.011d0.2300.8200.0470.06216.2220.028a.因变量:y2;b.模型中的预测变量:(常量),x4;c.模型中的预测变量:(常量),x4,x5;d.模型中的预测变量:(常量),x4,x5,x3表10㊀回归方程待估系数的估计情况Tab.10㊀Estimation of coefficient to be estimated in regression equation模型未标准化系数B标准误差标准化系数BetaT Sig.共线性统计容差VIF1(常量) 6.0860.07383.0470.000x48.868E-50.0000.98934.7810.000 1.000 1.000 2(常量)7.8960.23633.3990.000x47.734E-50.0000.86337.9220.0000.488 2.048 x5-0.1110.014-0.177-7.7740.0000.488 2.048 3(常量)13.761 1.33410.3190.000x48.516E-50.0000.95036.2350.0000.214 4.676 x5-0.2160.026-0.345-8.2780.0000.08511.827 x3-4.991E-50.000-0.245-4.4390.0000.04820.660 a.因变量:y2从表9中可以看出, 模型6 中各变量的T检验的Sig.值都大于0.05,说明表中各变量对因变量的影响20㊀河南教育学院学报(自然科学版)2020年不显著,因此不能引入线性回归模型,必须排除㊂从表10中得出多元线性回归方程为y 2=13.761+(8.516E -5)ˑx 4-0.216ˑx 5-(4.991E -5)ˑx 3㊂图3为残差分布的直方图,直方图上,残差分布大致呈正态分布,不存在极端值㊂图4为因变量累计概率和模型预测值累计概率间的P -P 图,残差散点呈直线趋势,符合正态分布,也不存在极端值㊂图3㊀标准化残差直方图Fig.3㊀Normalized residual histogram图4㊀P -P 概率图Fig.4㊀P -P probability map㊀㊀从上述输出结果可以看出,模型通过了F 检验和T 检验,有较高的拟合优度㊂根据回归方程所得到的等级相关系数,这些结果说明模型中不存在多重共线性㊁自相关,说明模型拟合效果较好㊂因此,得到可用于预测老年人口总数的模型y 1=18532.588+0.130ˑx 4-362.105ˑx 5-0.064ˑx 3(1)和预测老龄化比重的模型y 2=13.761+(8.516E -5)ˑx 4-0.216ˑx 5-(4.991E -5)ˑx 3㊂(2)3.3㊀模型的应用及影响前面已对模型进行了相关的分析检验,通过(1)(2)两个模型预测未来65岁及以上人口总数和老龄人口所占比重㊂用模型预测2014 2018年的老年人口比重,并与年鉴里的实际值进行比较(表11),以此检验模型的预测能力以及应用价值㊂表11㊀模型的预测值和实际值比较Tab.11㊀Comparison between predicted value and actual value of the model年份65岁及以上人口总数实际值/万人预测值/万人65岁及以上人口占总人口的比重/%预测值/%2014137551383810.0610.142015143861428510.4710.432016150031477410.8510.752017158311553111.3911.242018166581661611.9411.94由表11可见,模型的预测值与实际值相差不大,很好地证明了该模型具有合理性㊂本模型在原始数据相对较多的情况下,通过对多个自变量的筛选得出多元线性回归模型,具有很好的预测价值,可以应用于我国相关部门今后进行老龄化进程的预测㊂同时在模型中可以看出,15~64岁人口总数㊁人均国内生产总值㊁人口出生率是我国老年人口总数和人口比重最重要的影响因素㊂针对如何解决人口老龄化问题,需要提高出生率,提升儿童人口在总人口中所占的比重,可以快速解决人口老龄化问题㊂人均国内生产总值状况直接决定和影响着一个国家在居民收入和㊀第4期张二丽,等:基于多元线性回归的中国人口老龄化问题影响因素研究21生活水平及其社会建设方面的投入能力和投入水平㊂提高人均国内生产总值,可以有效地促进老龄产业㊁老年消费市场的发展,改善我国老年人的晚年生活质量,提高其生活水平㊂老年人口负担系数是指在一定地域范围内的65岁及以上老年人口总数与15~64岁人口总数之比㊂提高15~64岁人口总数(劳动人口年龄规定为15~64岁),有利于降低老年人口负担系数㊂4㊀结论本文对影响中国人口老龄化的8个因素进行相关性分析,利用SPSS软件找出了影响老龄化的3个重要因素为人口的出生率㊁15~64岁人口㊁人均国内生产总值,并建立多元线性回归模型,对老年人口数量㊁老年人口比重进行预测,从而为国家相关部门解决老龄化问题提供数据参考㊂参考文献[1]㊀李光,王文华.中国人口老龄化问题研究[J].西部皮革,2016,98(20):94[2]㊀苏永刚,吕艾芹,陈晓阳.中国人口老龄化问题和健康养老模式分析[J].山东社会科学,2013,212(4):42-47[3]㊀李志宏.中国人口老龄化问题及应对策略[J].紫光阁,2016,265(10):50-52[4]㊀李文华.中国人口老龄化预测[J].合作经济与科技,2020,487(3):178-179[5]㊀渠雨潇.中国人口老龄化问题的研究[J].商业观察,2020,59(2):146-149[6]㊀陈艳玫,刘子锋,李贤德,等.2015 2050年中国人口老龄化趋势与老年人口预测[J].中国社会医学杂志,2018,162(5):480-483Research on Influencing Factors of Chinese Population AgingBased on Multiple Linear RegressionZHANG Erli,WANG Tailhang,WANG Yulong(1.School of Statistics and Big Data,Zhengzhou Institute of Finance and Economics,Zhengzhou450044,China;2.Zhongyuan Institute of Statistics,Zhengzhou Institute of Finance and Economics,Zhengzhou450044,China;3.School of Information Engineering,Zhengzhou Institute of Finance and Economics,Zhengzhou450044,China) Abstract:According to demographic data of1988 2018in China Demographic Yearbook,8factors were selected for correlation analysis.Through the SPSS output results,choose the significant factors to establish the multiple lin-ear regression model about the total population over65years old and the proportion of population over65years old to the total population,so as to analyze the causes of the problem of population aging in China.Key words:population aging;influencing factors;SPSS;correlation analysis;multiple linear regression。
回归分析课后习题
第一章习题1.1变量间统计关系和函数关系的区别是什么？1.2回归分析与相关分析的区别和联系是什么？1.3回归模型中随机误差项的意义是什么？1.4线性回归模型中的基本假设是什么？1.5回归变量设置的理论依据是什么？在设置回归变量时应注意哪些问题？1.6收集、整理数据包括哪些基本内容？1.7构造回归理论模型的基本依据是什么？1.8为什么要对回归模型进行检验？1.9回归模型有哪几个方面的应用？1.10为什么强调运用回归分析研究经济问题要定性分析和定量分析相结合？第二章 习题2.1一元线性回归模型有哪些基本假定？ 2.2 考虑过原点的线性回归模型1,1,,i i i y x i n βε=+=误差1,,n εε仍满足基本假定。
求1β的最小二乘估计。
2.3证明（2.27）式，10nii e==∑，10ni i i x e ==∑。
2.4回归方程01Ey x ββ=+的参数01,ββ的最小二乘估计与极大似然估计在什么条件下等价？给出证明。
2.5 证明0ˆβ是0β的无偏估计。
2.6 证明(2.42)式 ()()222021,i x Var n x x βσ⎡⎤=+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑成立 2.7 证明平方和分解式SST SSR SSE =+2.8 验证三种检验的关系，即验证：（1）t ==（2）2212ˆ1ˆ2xx L SSR F t SSE n βσ===-2.9 验证（2..63）式：()()221var 1i i xx x x e n L σ⎡⎤-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦2.10 用第9题证明()2211ˆˆ2n i ii y y n σ==--∑是2σ的无偏估计。
2.11* 验证决定系数2r 与F 值之间的关系式 22Fr F n =+-以上表达式说明2r 与F 值是等价的，那么我们为什么要分别引入这两个统计量，而不是只使用其中的一个。
2.12* 如果把自变量观测值都乘以2，回归参数的最小二乘估计0ˆβ和1ˆβ会发生什么变化？如果把自变量观测值都加上2，回归参数的最小二乘估计0ˆβ和1ˆβ会发生什么变化？ 2.13 如果回归方程01ˆˆˆy x ββ=+相应的相关系数r 很大，则用它预测时，预测误差一定较小。
基于灰关联分析的多元线性回归模型在中长期水文预报中的应用
摘 要： 采用 灰 色 系统 理 论 中 的关 联 分 析 方 法 ， 影 响 径 流 的各 个 因 素 进 行 分 析 ， 选 出 影 响 径 流 的主 要 因 子 ， 立 径 对 挑 建
流 与 主要 影 响 因子 之 间 的多 元 线 性 回归 预 测 模 型 。通 过 实 例 证 明 ， 方 法 简单 可 行 ， 测 精 度 较高 。 该 预 关键 词 ： 长 期 水 文 预 报 ； 色 关 联 分 析 ； 元 线 性 回归 ； 流 序 列 中 灰 多 径
・
８ ・ ５
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谢敏 萍 ， 志 良， 得利 ： 于灰 关联 分 析 的 多元 线性 回 归模 型在 中长期 水文 预报 中的 应用 王 王 基
要影 响 因素 ，借 助 Ｅ ｃｌ 据 分析 中的 回归分 析 ｘｅ数
行 的预测 方法 。
流 指数 ：
鼽： 一年 ６月 ２ ｏ ＭＨｚ 阳射 电流量 ； 上 ８ｏ 太
：
上一 年 ８月 ５ ０ Ｐ Ｗ 型环 流 出现 １数 ； ０ｈａ ３ 上一 年 ８月 ５ ０ Ｐ Ｅ型环 流 出现 １数 ； ０ｈａ ３
：
‰： 上一年 １ 月 至当年 ３月某 站总降水量 （ ｍ） １ ａ ｒ ； 根据 ２ ２年 实测 资料 ，利 用灰 色关 联分 析方 法 ，
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第 ９卷
第 ２期
重庆科 技 学 院学报 （ 自然科 学 版 ）
２０ ０ ７年 ６月
基于灰关 联分析的多 线性回 模型 长期 预报中 应用 元 归 在中 水文 的
谢 敏 萍 王 志 良 王 得 利
（ 华北 水利 水 电学 院 ，郑 州 ４ ０ ０ ） ５０ ８
灰色关 联 分析 方法 弥补 了采 用数 理统 计 方法作 系统
多重共线性答案
第四章 多重共线性一、判断题1、多重共线性是一种随机误差现象。
（F ）2、多重共线性是总体的特征。
（F ）3、在存在不完全多重共线性的情况下，回归系数的标准差会趋于变小，相应的t 值会趋于变大。
（F ）4、尽管有不完全的多重共线性，OLS 估计量仍然是最优线性无偏估计量。
（T ）5、在高度多重共线的情形中，要评价一个或多个偏回归系数的个别显著性是不可能的。
（T ）6、变量的两两高度相关并不表示高度多重共线性。
（F ）7、如果分析的目的仅仅是预测，则多重共线性一定是无害的。
（T ）8、在多元回归中，根据通常的t 检验，每个参数都是统计上不显著的，你就不会得到一个高的2R 值。
（F ）9、如果简单相关系数检测法证明多元回归模型的解释变量两两不相关，则可以判断解释变量间不存在多重共线性。
（ F ）10、多重共线性问题的实质是样本问题，因此可以通过增加样本信息得到改善。
（T ） 11、虽然多重共线性下，很难精确区分各个解释变量的单独影响，但可据此模型进行预测。
（T ）12、如果回归模型存在严重的多重共线性，可不加分析地去掉某个解释变量从而消除多重共线性。
（F ）13、多重共线性的存在会降低OLS 估计的方差。
（F ）14、随着多重共线性程度的增强，方差膨胀因子以及系数估计误差都在增大。
（T ） 15、解释变量和随机误差项相关，是产生多重共线性的原因。
（F ） 16、对于模型i ni n i 110i u X X Y ++++=βββΛ，n 1i ,,Λ=；如果132X X X -=,模型必然存在解释变量的多重共线性问题。
（T ）17、多重共线性问题是随机扰动项违背古典假定引起的。
（F ） 18、存在多重共线性时，模型参数无法估计。
（F ）二、单项选择题1、在线性回归模型中，若解释变量1X 和2X 的观测值成比例，既有12i i X kX =，其中k 为 非零常数，则表明模型中存在 （ B ） A 、异方差 B 、多重共线性 C 、序列相关 D 、随机解释变量2、 在多元线性回归模型中，若某个解释变量对其余解释变量的可决系数接近1，则表明模型中存在 （ C ） A 、异方差性 B 、序列相关C 、多重共线性D 、拟合优度低3、对于模型i i 22i 110i u X X Y +++=βββ，与0r 12=相比，当50r 12.=时，估计量1βˆ的方差()1βˆvar 将是原来的 （ B ） A 、 1 倍 B 、 倍 C 、 倍 D 、 2 倍 4、如果方差膨胀因子VIF ＝10，则认为什么问题是严重的（ C ）A 、异方差问题B 、序列相关问题C 、多重共线性问题D 、 解释变量与随机项的相关性 5、经验认为某个解释与其他解释变量间多重共线性严重的情况是这个解释变量的VIF （ C ）。
回归方程
y=ƒ(x)近似，则可通过适当的变换，将非线性问题线性化，下面列举常见的几种情况。 （1）双曲线
1 b = a + （图 10-1） y x
图 10-1 令 y′ =
1 1 , x ′ = , 则有y ′ = a + bx ′ y x
ˆ i ) 2 = ∑ [ y i − (b0 + b1 x i )]2 Q = ∑ ( yi − y
i =1 i =1
n
n
达到最小。记
x=
1 n 1 n ˆ = ∑ yi , xi , y ∑ n i =1 n i =1
n n 2
s xx = ∑ ( xi − x ) 2 = ∑ xi −
i =1 n i =1 n 2
i =1 i =1
得到β1，β0的最小二乘估计
b1 =
∑x y
i =1 n i
n
i
− nx y = − nx
2
∑ (x
i =1 n
n
i
− x )( y i − y )
i
∑x
i =1
2 i
∑ (x
i ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
=
S xy S xx
（10.4）
− x)
2
b0 = y − b1 x
2.相关检验 由（10.4）及（10.5）得到经验回归方程
y2-y1≥l(x1)
y 2 + y1 2
y 2 − y1 〉 2t a ⋅ S
2
当 n 较小时，控制问题无实际意义，当 n 较大，并且
⎧ y1 = b0 + b1 x1 − t a S ⎪ 2 时，从方程组 ⎨ ⎪ y 2 = b0 + b1 x 2 +t a S 2 ⎩
多元线性回归模型中的异方差性问题
( 4)
即作残差的平方 e i 对所有原始变量 、 变量的平方以及变量的交叉乘积的回归 . ε i 是方程 ( 4) 的残差项 . ③ 求辅助方程 ( 4) 的 R 值 . 在零假设 H0 不存在异方差 ( 即方程 ( 4) 中的所有斜率系数为 0) 下 ,
σ 假设 5 μi 为服从正态分布的随机变量 ,即 μ μ) . i ～ N (0 , 假设 6 任何解释变量不存在严格的线性相关 ,即不存在多重共线性 . 以上 6 个假设条件合称多元线性回归的经典假设条件 . 在这些基本假设下 ,应用普通最小二乘法可以得到无偏的 、 有效的参数估计量 . 但是在实际的计量 经济学问题中 ,完全满足这些基本假设的情况并不多见 ,如果违背了某一项基本假设 ,那么应用普通最 小二乘法就可能无法得到无偏的 、 有效的参数估计量 ,甚至无法得到参数估计量 ,对模型进行的一系列 统计假设也可能失效 . 当模型违背第 3 条假设即同方差性假设时 ,称为异方差性问题 . 例如 ,根据凯恩斯的绝对收入假设消费理论建立起来的模型 : ( i = 1 ,2 , …, n ) Ci = B 0 + B 1 Ii + μ i ,
2 异方差性的后果
2. 1 参数估计量非有效 在对参数估计量进行无偏性和有效性的证明中 ,当计量经济学模型出现异方
差性 ,其普通最小二乘法参数估计量仍然具有无偏性 ,但不具有有效性 . 因为在有效性证明中利用了 2 ) =σ E ( NN′ — —n 阶单位矩阵 , μI , N = (μ 1 , …,μ n) , I — 即同方差性条件 . 所以参数估计量不再具有一致性 . 2. 2 变量的显著性检验失去意义 在多元线性回归模型的显著性检验中 ,构造了 t 统计量 , 在该统计 2 量中包含有随机误差项共同的方差 σ μ ,并且有 t 统计量服从自由度为 ( n - k - 1) 的 t 分布 . 如果出现了 异方差性 , t 检验就失去意义 . 采用其它检验也是如此 . 2. 3 模型的预测失效 一方面 ,由于上述后果 ,使得模型不具有良好的统计性质 ; 另一方面 ,在预测值 2 的置信区间中也包含有随机误差项共同的方差 σ μ . 所以当模型出现异方差性时 ,它的预测功能失效 .
《应用回归分析》课后习题部分答案何晓群版
第二章 一元线性回归2.14 解答：（1）散点图为：（2）x 与y 之间大致呈线性关系。
（3）设回归方程为01y x ββ∧∧∧=+1β∧=12217()ni ii nii x y n x yxn x --=-=-=-∑∑0120731y x ββ-∧-=-=-⨯=-17y x ∧∴=-+可得回归方程为（4）22ni=11()n-2i i y y σ∧∧=-∑ 2n 01i=11(())n-2i y x ββ∧∧=-+∑=2222213⎡⎤⨯+⨯+⨯⎢⎥+⨯+⨯⎣⎦（10-（-1+71））（10-（-1+72））（20-（-1+73））（20-（-1+74））（40-（-1+75）） []1169049363110/3=++++=6.1σ∧=≈ （5）由于211(,)xxN L σββ∧t σ∧==服从自由度为n-2的t 分布。
因而/2|(2)1P t n αασ⎡⎤⎢⎥<-=-⎢⎥⎣⎦也即：1/211/2(p t t ααβββ∧∧∧∧-<<+=1α-可得195%β∧的置信度为的置信区间为（7-2.3537+2.353 即为：（2.49，11.5）2201()(,())xxx Nn L ββσ-∧+t ∧∧==服从自由度为n-2的t 分布。
因而/2(2)1P t n αα∧⎡⎤⎢⎥⎢⎥<-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦即0/200/2()1p βσββσα∧∧∧∧-<<+=- 可得195%7.77,5.77β∧-的置信度为的置信区间为（）（6）x 与y 的决定系数22121()490/6000.817()nii nii y y r y y ∧-=-=-==≈-∑∑（7）由于(1,3)F F α>,拒绝0H ,说明回归方程显著，x 与y 有显著的线性关系。
（8）t σ∧==其中2221111()22n ni i i i i e y y n n σ∧∧====---∑∑ 7 3.661==≈ /2 2.353t α= /23.66t t α=>∴接受原假设01:0,H β=认为1β显著不为0，因变量y 对自变量x 的一元线性回归成立。